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专题 04 不等式和不等式组的基本性质和解法以及探究类题型
目录
题型一 不等式的定义
题型二 不等式的性质
题型三 不等式（组）在数轴上的表示
题型四 不等式比大小（作差，作商以及放缩）
题型五 解不等式（组）
题型六 探究——高次不等式的解法
题型七 探究——绝对值不等式与数轴的结合题型一 不等式的定义
1．下列式子：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 中，
不等式的个数有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列不等式中，对任何有理数都成立的是
A． B． C． D．
3．若 是关于 的一元一次不等式，则 ．
题型二 不等式的性质
4．若 ，则下列结论不一定成立的是
A． B． C． D．
5．比较 与 的大小，叙述正确的是
A． B．
C．由 的大小确定 D．由 的大小确定
6． 与3的差的2倍小于 的2倍与3的差，用不等式表示为
A． B．
C． D．
7．设 、 、 表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大
排序正确的是A． B． C． D．
8．若三个有理数 ， ， 满足 ，且 ，则一定有
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ，
题型三 不等式（组）在数轴上的表示
9．下面四个图形中，表示解集 的图形是
A． B．
C． D．
10．平面直角坐标系中的点 关于 轴的对称点在第四象限，则 的取值范围在数轴上可表示
为
A． B．
C． D．
11．在实数范围内规定新运算“△”，其规则是： △ ．已知不等式 △ 的解集在数轴上如
图表示，则 的值是 ．题型四 不等式比大小（作差，作商以及放缩）
12．不等式 的解集是 ，则 与 的大小关系是 ．
13．若 ，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
14．若 ，则 与 的大小关系是
A． B． C． D．无法确定
15．当 时， 与 的大小关系是
A． B． C． D．
16．已知 ， ，试将 ， ， 从小到大依次排列．
17．若 ，则 ， ， 的大小关系是 ．
18．已知 ，用“ ”号把 ， 和 三者的大小关系表示出来的不等式是
A． B． C． D．
19．利用作商法比较大小
比较 与 的大小．
20．已知正整数 、 、 满足 ，且 ，求 ， ， 的值．21．若正数 、 、 满足不等式组 ，则 、 、 大小关系是
A． B． C． D．不确定
题型五 解不等式（组）
22．解不等式组 ，并求出它的整数解的和．
23．解不等式组： ，并在数轴上表示解集．
24．对 ， 定义一种新的运算 ，规定： ， （其中 ．已知 ，．
（1）求 、 的值；
（2）若 ，解不等式组 ．题型六 探究——高次不等式的解法
25．知识阅读：我们知道，当 时，代数式 ；当 时，代数式 ；当 时，代数
式 ．
基本应用：当 时，用“ ， ， ”填空．
（1） 0； （2） 0；
理解应用：当 时，求代数式 的值的大小；
灵活应用：当 时，比较代数式 与 的大小关系．
26．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式
解：
可化为
① 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得② 或
解不等式组①，得 ；解不等式组②，得 ，
的解集为 或 ，即一元二次不等式 的解集为 或 ．
根据阅读材料：
（1）一元二次不等式 的解集为 （在横线上直接写出答案）；
（2）解不等式 ； （3）解不等式 ．27．我们学校了一元一次不等式的解法，没有学习 这样的一元二次不等式的解法，今天，我
们一起来研究它的解法，解不等式： ．
解 ： 原 不 等 式 可 化 为 ： ， 再 化 为 ： ， 最 后 化 为 ：
，整理得： ，由同号相乘得正，可把原不等式化为：
不等式组① 或不等式组② ．
解不等式组①得 ；解不等式组②得 ．
所以，原不等式的解集为 或 ．
（1）请根据上面的解法解不等式： ；
（2）解不等式： ．
题型七 探究——绝对值不等式与数轴的结合
28．【阅读理解】“ ”的几何意义是：数 在数轴上对应的点到原点的距离．所以， 可理解为：
数 在数轴上对应的点到原点的距离不小于2；
我们定义：形如“ ”、“ ”、“ ”、“ ” 为非负数）的不等式叫做绝
对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．
（1）【理解运用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：由图可得出：绝对值不等式 的解集是 或 ；绝对值不等式 的解集是 ．则：不
等式 的解集是 ；
（2）（拓展应用）解不等式 ，并画图说明．
29．阅读下面材料：
材料一：
数轴上表示数 的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作 ，数轴上表示数 的点与表示数 的点的距离
记作 ，如 表示数轴上表示数 的点与表示数 的点的距离．
材料二：
绝对值符号中含有未知数的不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式 的解集．
小华同学的思路如下：
根据绝对值的定义，当 时， ，把 和2在数轴上分别表示为点 ， ，如图所示，观察数轴
发现，以点 ， 为分界点把数轴分为三部分：
点 左边的点表示的数的绝对值大于2；
点 ， 之间的点表示的数的绝对值小于2；
点 右边的点表示的数的绝对值大于2．
因此，小华得出结论，绝对值不等式 的解集为： 或 ．
参照小华的思路，解决下列问题：
（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集．
① 的解集是 ；
② 的解集是 ；
（2）求绝对值不等式 的整数解；（3）直接写出绝对值不等式 的解集是 ．
