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专题 04 不等式和不等式组的基本性质和解法以及探究类题型
目录
题型一 不等式的定义
题型二 不等式的性质
题型三 不等式（组）在数轴上的表示
题型四 不等式比大小（作差，作商以及放缩）
题型五 解不等式（组）
题型六 探究——高次不等式的解法
题型七 探究——绝对值不等式与数轴的结合题型一 不等式的定义
1．下列式子：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 中，
不等式的个数有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
所以（1），（2），（4），（6）为不等式，共有4个．
故选： ．
2．下列不等式中，对任何有理数都成立的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、当 时， ，所以该不等式不成立；故本选项错误；
、当 时， ，所以该不等式不成立；故本选项错误；
、当 时， ，所以该不等式不成立；故本选项错误；
、因为 ，所以无论 取何值都有 ，所以该不等式成立．故本选项正确；
故选： ．
3．若 是关于 的一元一次不等式，则 0 ．
【解答】解： 是关于 的一元一次不等式，
故答案为：0
题型二 不等式的性质
4．若 ，则下列结论不一定成立的是A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
正确， 不符合题意．
， ，
正确， 不符合题意．
， ，
正确， 不符合题意．
，当 时， ，故 选项不正确，符合题意．
故选： ．
5．比较 与 的大小，叙述正确的是
A． B．
C．由 的大小确定 D．由 的大小确定
【解答】解： ，
当 时， ， ；
当 时， ， ．
故选： ．
6． 与3的差的2倍小于 的2倍与3的差，用不等式表示为
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，得
．故选 ．
7．设 、 、 表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：依题意得 ； ．
．
故选： ．
8．若三个有理数 ， ， 满足 ，且 ，则一定有
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ，
【解答】解： 实数 、 、 满足 ，且 ，
， ，
故选： ．
题型三 不等式（组）在数轴上的表示
9．下面四个图形中，表示解集 的图形是
A． B．
C． D．
【解答】解：由已知得，解集 是 与 的解集的公共部分，故选： ．
10．平面直角坐标系中的点 关于 轴的对称点在第四象限，则 的取值范围在数轴上可表示
为
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意得： ，
解得： ．
故选： ．
11．在实数范围内规定新运算“△”，其规则是： △ ．已知不等式 △ 的解集在数轴上如
图表示，则 的值是 ．
【解答】解：根据图示知，已知不等式的解集是 ．
则
△ ，
且 ，
．
故答案是： ．
题型四 不等式比大小（作差，作商以及放缩）
12．不等式 的解集是 ，则 与 的大小关系是 ．【解答】解： 不等式 的解集是 ，
，
，
则 与 的大小关系是 ．
故答案为： ．
13．若 ，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
可假设 ，
则 ， ，
，
．
故选： ．
14．若 ，则 与 的大小关系是
A． B． C． D．无法确定
【解答】解：当 时， ；
当 时，在不等式 的两边同时乘以 ，不等式仍成立，即 ．
综上所述， ．
故选： ．
15．当 时， 与 的大小关系是
A． B． C． D．
【解答】解： ，两边都乘以 得： ，
故选： ．
16．已知 ， ，试将 ， ， 从小到大依次排列．
【解答】解： ， ，
，
．
17．若 ，则 ， ， 的大小关系是 ．
【解答】解： ，
假设 ，
则 ， ，
，
．
故答案为： ．
18．已知 ，用“ ”号把 ， 和 三者的大小关系表示出来的不等式是
A． B． C． D．
【解答】解：由 ，取 ，
则 ， ，
显然， ，
故选： ．
19．利用作商法比较大小
比较 与 的大小．【解答】解： ，
．
20．已知正整数 、 、 满足 ，且 ，求 ， ， 的值．
【解答】解： ， ，
，
，
，
．
21．若正数 、 、 满足不等式组 ，则 、 、 大小关系是
A． B． C． D．不确定
【解答】解：原不等式组可化为 ，
把不等式①变为 ，即 ④；
把不等式②变为 ，即 ⑤；
把不等式③变为 ，即为 ⑥，
由④，⑤，⑥得 ，
所以 ， ， 的大小关系为 ．故选： ．
题型五 解不等式（组）
22．解不等式组 ，并求出它的整数解的和．
【解答】解：
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ．
在同一数轴上表示不等式①②的解集，得
这个不等式组的解集是 ，
这个不等式组的整数解的和是 ．
23．解不等式组： ，并在数轴上表示解集．
【解答】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
所以不等式组的解集是 ，
原不等式组的解集在数轴上表示为：
．24．对 ， 定义一种新的运算 ，规定： ， （其中 ．已知 ，
．
（1）求 、 的值；
（2）若 ，解不等式组 ．
【解答】解：（1）由题意，得： ，
解得 ；
（2） ，
，
， ，
，
，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
不等式组的解集为 ．
题型六 探究——高次不等式的解法
25．知识阅读：我们知道，当 时，代数式 ；当 时，代数式 ；当 时，代数
式 ．
基本应用：当 时，用“ ， ， ”填空．（1） 0；
（2） 0；
理解应用：
当 时，求代数式 的值的大小；
灵活应用：
当 时，比较代数式 与 的大小关系．
【解答】解：（1） ，
；
（2） ，
， ，
．
理解应用：
，当 时， ，当 时， ．
灵活运用：
先对代数式作差， ，
当 时， 或 ．因此，当 时， ；
当 时， ．
26．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式
解：
可化为
① 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得② 或解不等式组①，得 ；解不等式组②，得 ，
的解集为 或 ，即一元二次不等式 的解集为 或 ．
根据阅读材料：
（1）一元二次不等式 的解集为 或 （在横线上直接写出答案）；
（2）解不等式 ；
（3）解不等式 ．
【解答】解：（1） ，
可化为
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ，
解第一个不等式组，得 ，
解第二个不等式组，得 ，
的解集为 或 ，
即一元二次不等式 的解集为 或 ．
（2） ，
或 ，
解得： 或 ；
（3） ，
，或 ，
解得：解第一个不等式组，得 ；
解第二个不等式组得，不等式组无解，
不等式组的解集是 ．
27．我们学校了一元一次不等式的解法，没有学习 这样的一元二次不等式的解法，今天，我
们一起来研究它的解法，解不等式： ．
解 ： 原 不 等 式 可 化 为 ： ， 再 化 为 ： ， 最 后 化 为 ：
，整理得： ，由同号相乘得正，可把原不等式化为：不等式组①
或不等式组② ．
解不等式组①得 ；解不等式组②得 ．
所以，原不等式的解集为 或 ．
（1）请根据上面的解法解不等式： ；
（2）解不等式： ．
【解答】解：（1） ，
可把原不等式化为：不等式组① 或不等式组② ，
解不等式组①得 ，解不等式组②得
所以，原不等式的解集为 或 ；
（2）原不等式化为 ，则 ，可把原不等式化为：不等式组① 或不等式组② ，
解不等式组①无解，解不等式组②得 ，
因为 ，
所以，原不等式的解集为 ．
题型七 探究——绝对值不等式与数轴的结合
28．【阅读理解】“ ”的几何意义是：数 在数轴上对应的点到原点的距离．所以， 可理解为：
数 在数轴上对应的点到原点的距离不小于2；
我们定义：形如“ ”、“ ”、“ ”、“ ” 为非负数）的不等式叫做绝
对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．
（1）【理解运用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由图可得出：绝对值不等式 的解集是 或 ；绝对值不等式 的解集是 ．则：不
等式 的解集是 或 ；
（2）（拓展应用）解不等式 ，并画图说明．
【解答】解：（1） 的解集为 或 ，
故答案为： 或 ；
（2）当 时， ，
；
当 时， ，
无解；当 时， ，
；
综上所述： 或 ．
29．阅读下面材料：
材料一：
数轴上表示数 的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作 ，数轴上表示数 的点与表示数 的点的距离
记作 ，如 表示数轴上表示数 的点与表示数 的点的距离．
材料二：
绝对值符号中含有未知数的不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式 的解集．
小华同学的思路如下：
根据绝对值的定义，当 时， ，把 和2在数轴上分别表示为点 ， ，如图所示，观察数轴
发现，以点 ， 为分界点把数轴分为三部分：
点 左边的点表示的数的绝对值大于2；
点 ， 之间的点表示的数的绝对值小于2；
点 右边的点表示的数的绝对值大于2．
因此，小华得出结论，绝对值不等式 的解集为： 或 ．
参照小华的思路，解决下列问题：
（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集．
① 的解集是 或 ；
② 的解集是 ；
（2）求绝对值不等式 的整数解；（3）直接写出绝对值不等式 的解集是 ．
【解答】解：（1）根据阅读材料可知：
① 的解集是 或 ；
② 的解集是 ．
故答案为： 或 ； ．
（2） ，
，
，
，
，
整数解为 ，0，2，3；
（3）①当 时，不等式为 ，
移项、合并得 ，
系数化为1，得 ；；
②当 时，不等式为 ，
移项、合并得 ，
不成立；
③当 时，不等式为 ，
移项、合并得 ，
系数化为1，得 ．
故不等式的解集是 或 ，
故答案为 或 ．
