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专题 04 一元一次不等式与函数的三种考法全攻略
题型一、直线与坐标轴的交点解不等式
例．函数 ， ， 为常数）的图象如图所示，则关于 的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：一次函数 ，当 时，图象在 轴上方，
函数图象与 轴交于 点，
不等式 的解集为 ，故选： ．
【变式训练1】如图，已知点 是一次函数 的图象上的一点，则下列判断中正确的是
（ ）A．y随着x的增大而减小 B． C．当 时， D．当 时，
【答案】D
【详解】解：由图象知，
A、y随x的增大而增大，说法错误，不符合题意；
B、 ，说法错误，不符合题意；
C、当 时， 或 ，说法错误，不符合题意；
D、当 时， ，，说法正确，符合题意；
故选：D．
【变式训练2】在平面直角坐标系中，直线 的位置如图所示，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由图象可得，
当 时， 对应的函数值大于1，
∴不等式 的解集是 ，
故选：C．
【变式训练3】已知一次函数 的图象如图，当 时，y对应的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由图象可得，
一次函数 的图象y随x的增大而增大，当 时， ，当 时， ，
故当 时，y对应的取值范围是 ，
故选：B．
【变式训练4】如图，直线 经过点 ，和 两点，则不等式组 的解集为
________．
【答案】
【详解】解：将 代入 得， ,
如图，画出函数 的图象，
则两条直线交于点 ，
∴不等式组 的解集为： ．
故答案为： ．题型二、两条直线的交点解不等式
例．如图，直线 与直线 相交于点 ，则关于 的不等式 的解集为
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解： 直线 与直线 相交于点 ，
，
解得： ，
观察图象可知：关于 的不等式 的解集为 ，
故选：C．
【变式训练1】如图，函数 与 的图像相交于点 ，则关于x的不等式
的解集是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵函数 与 的图像相交于点 ，
∴ ，
解得： ，
∴关于x的不等式 的解集是： ．
故选：B．
【变式训练2】如图，直线 与 的交点的横坐标为 ．下列结论：① ，
；②直线 一定经过点 ；③m与n满足 ；④当 时， ．
其中正确的有________．（只填序号）
【答案】①②③
【详解】】解：① 直线 与 轴交于负半轴，
；
的图象从左往右逐渐上升，
，
故结论①正确；
②将 代入 ，得 ，
直线 一定经过点 ．
故结论②正确；③ 直线 与 的交点的横坐标为 ，
当 时， ，
．
故结论③正确；
④ 当 时，直线 在直线 的上方，
当 时， ，
故结论④错误．
故答案为①②③．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，若直线 ，直线 相交于点 ，则关于
的不等式 的解集是________．
【答案】
【详解】解：∵
∴
∴ 的解集，即为 的解集，
由图可知，关于x的不等式 的解是 ，
∴关于 的不等式 的解集是 ．
故答案为： ．
【变式训练4】如图，直线 和 的交点的横坐标为 ，则满足不等式组
的解集是__________．【答案】
【详解】解：∵
∴直线 与x轴的交点坐标为
∵直线 和 的交点的横坐标为 ，
∴关于x的不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
【变式训练5】如图，函数 与 的图象交于点 ，则不等式 的解集是______．
【答案】
【详解】解：由图象可知：在点 的左侧，函数 的图象在函数 图象的上方
∴ 的解集是： ，
故答案为： ．
题型三 综合应用
例．在平面直角坐标系 中一次函数 （ ）的图象由函数 的图象平移得到，且经过
点 与直线 相交于点P．直线 和直线 （ ）分别与x轴交于点A，
B．(1)求交点P的坐标；
(2)求 的面积；
(3)请直接写出图象中直线 （ ）在直线 下方的部分所对应的自变量x的取值范围．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【详解】（1）解：∵一次函数 （ ）的图象由函数 的图象平移得到，且经过点 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
联立 得： ，
∴ ；
（2）解：∵直线 和直线 分别与x轴交于点A，B，
在 中，当 时， ；在 中，当 时， ；
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ；
（3）解：由图象可知，当 时，直线 在直线 下方，
∴自变量的取值范围为： ．
【变式训练1】如图，直线 与过点 的直线 交于点 ，与x轴交于点B．
(1)求直线 的解析式；
(2)过动点 且垂直于x轴的直线与 ， 的交点分别为M，N，当点M位于点N上方时．
①请直接写出n的取值范围______；
②若 ，求点M的坐标．
【答案】(1) ；(2)① ；②
【详解】（1）解：把 代入 得： ，
∴点C的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ．
（2）解：①根据函数图像可知，当点M、N在点C右边时，点M位于点N上方，
∴ ，
故答案为： ；
②把 代入 得： ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
把 分别代入 和 得 ， ，
∵ ，点M位于点N上方，
∴ ，
解得： ，
∴此时点M的坐标为： ．
【变式训练2】如图，直线 与直线 相交于点 ．(1)直接写出不等式 的解集；
(2)直接写出方程组 的解；
(3)直线： 是否也经过点P？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)经过，理由见解析
【详解】（1）∵直线 与直线 相交于点 ，
∴ 的解集为 ；
（2）把 代入 可得： ，
∵直线 与直线 相交于点 ，
∴方程组 的解为 ；
（3）直线： 经过点P，
理由：∵ 过点 ，
∴ ，
将 代入： ，可得， ，
因此直线： 经过点P．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，过点 的直线 和直线 交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)当 时，自变量 的取值范围是___________；
(3)求 的面积；
(4)已知直线 与直线 平行，直接写出直线 与直线 和 轴围成的区域内，不含边界整点的
个数．横、纵坐标都为整数的点叫整点
【答案】(1)
(2)
(3)4
(4)
【详解】（1）解： 点 在直线 上，
，即 ，
．
直线 经过点 和点 ，
，解得 ，
直线 的函数表达式为： ；（2）由函数图象可知，当 时， ．
故答案为： ；
（3） 点 是直线 与 轴的交点，
，
，
，
；
（4） 直线 与直线 平行，
，
直线 的解析式为： ，
，解得 ，
直线 与直线 的交点坐标为 ，
直线 与直线 和 轴围成的区域内 不含边界 整点有： 共 个．
【变式训练4】如图，已知一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于点A、 ，点 、 均在函
数图象上．(1)判断点 是否在直线 上，并说明理由；
(2)当 时，求 的取值范围；
(3)在 轴上是否存在点 ，使得 的面积为3？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点 在直线 上，见解析
(2)
(3)存在，点P的坐标为 或
【详解】（1）解： ， 在直线 上，理由如下：
在 中，
令 得 ，
， 在直线 上；
（2）解：在 中，
令 得 ，
解得 ，
令 得 ，
解得 ，
当 时， 的取值范围是 ；
（3）解：存在点P，
理由：由（1）知：点 ，由（2）知：点 ，
设点P的坐标为 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
综上所述，点P的坐标为 或 .
