文档内容
专题 02 平面直角坐标系中面积、变换规律、新定义、几何综合问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、平面直角坐标系中的动点面积问题......................................................................................................1
题型二、平面直角坐标系中点的规律探究问题..................................................................................................7
题型三、平面直角坐标系中的新定义型问题....................................................................................................10
题型四、平面直角坐标系中与几何证明的综合问题........................................................................................13
B综合攻坚・能力跃升
题型一、平面直角坐标系中的动点面积问题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线 与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段 与 的长满足等式
．
(1)求线段 ， 的长；
(2)若点C的坐标为 ，连接 ，则 的面积为______；
(3)若点D在线段 上，且 ，点Q在x轴上且 ，请直接写出点D的坐标______，点Q
的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接 ， 的面积是 面积的 ， 的面
积是 面积的 ，利用其面积即可求出点D坐标．
【答案】(1)
(2)9
(3) ； 或
【知识点】坐标与图形、利用算术平方根的非负性解题
【分析】（1）根据非负数的性质得 ，据此可得出 ， 的长；
（2）过点C作 轴于E，则 ，进而得 ，然后根据
可得出答案；（3）连接 ，过点D作 于M， 于N，根据点D在线段AB上，且 ，可得
，从而可求出 ，进而可得点D的坐标；根据点Q在x轴上且
，可分为两种情况讨论，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
解得： ；
（2）解：过点C作 轴于E，如图1所示：
∵点C的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：9．
（3）解：连接 ，过点D作 于M， 于N，如图2所示：
∵点D在线段 上，且 ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
由（2）可知： ，
∴ ，
∴ ，
∴点D的坐标为 ；
∵点Q在x轴上且 ，
∴有以下两种情况：
设 ，
①当点Q在x轴的负半轴上时，过点D作 轴于P，如图3所示：
∵点D的坐标为 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得：
∴点Q的坐标为 ；
①当点Q在x轴的正半轴上时，过点D作 轴于P，如图4所示：∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴点Q的坐标为 ，
综上所述：点Q的坐标为 或 ．
2.如图，在平面直角坐标系中，直线 与两坐标轴分别交于 两点，若点 ， ，满足
．
(1)求 的值；
(2)若点 的坐标为 ，连接 ， ．则 的面积为 ；
(3)点 在直线 上，且 ．数学活动小组的同学发现：当点 在线段 上时，可连接 ，
的面积是 面积的 ，根据两者间的面积关系，即可求出点 坐标．请你根据活动小组的思路，
直接写出满足条件点 的坐标．
【答案】(1)
(2)9
(3) 或【知识点】坐标与图形、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题
【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标系中的面积问题、中点坐标公式等，解题的关键是根据题意
熟练应用上述知识．
（1）依据题意，由 ，可得 ，进而计算可以得解；
（2）作 轴于点 ，由 三点的坐标可知 ，再根据
代入计算即可；
（3）依据题意，可分为当点 在线段 上时、点 在 的延长线上和点 在 的反向延长线上三种
情况，分别进行讨论即可得解．
【详解】（1）解： ，
，
解得 ．
（2）如图，作 轴于点 ，
由（1）可得， ， ，
，
，
．
（3）由题意，①如图，当点 在线段 上时，
，，
，
边 上的高是 边 上的高的3倍，
，
的纵坐标为2，
，
，
，
边 上的高是 边 上的高的 ，
，
的横坐标为2，
；
②如图，当点 在 的延长线上时，
，
是线段 的中点，
设 ，
， ，
， ，
， ，
；
③当点 在 的反向延长线上时，
不成立，不合题意；
综上所述， 或 ．
题型二、平面直角坐标系中点的规律探究问题
3.在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点 出发，沿着 循环爬行，其中点坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，当蚂蚁爬了2024个
单位时，它所处位置的坐标为（ ）
A．(0,3) B．(1,0) C． D．
【答案】C
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了点坐标规律探索，根据蚂蚁的运动规律找出“蚂蚁每运动12个单位长度是一圈”是解
题的关键．先求出 的长，再用2024除以上述长度，利用余数来确定蚂蚁的位置.
【详解】解： 点 坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，
，
则 ，余数为8，
故可判断蚂蚁爬了168个循环后，停在了 点，
故选：C．
4．在平面直角坐标系 中，对于点 ，我们把点 叫做点 的伴随点．已知点 的伴
随点为 ，点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，…，这样依次得到点 ， ， ， ，…．若点
的坐标为 ，则点 的坐标为 ；若点 的坐标为 ，对于任意的正整数n，点 均
在 轴上方，则a，b应满足的条件为 ．
【答案】 且
【知识点】点坐标规律探索、求不等式组的解集
【分析】本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循
环组依次循环是解题的关键．
根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2015除以4，根据
商和余数的情况确定点 的坐标即可；再写出点 的“伴随点”，然后根据x轴上方的点的纵坐
标大于0列出不等式组求解即可．
【详解】因为 的坐标为 ，依题意可得 ， ， ， ，…，
依此类推，每4个点为一个循环节依次循环．因为 余1，
所以点 的坐标与 的坐标相同，即为 ；
点 的坐标为 ，
， ， ， ，…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
对于任意的正整数 ，点 均在 轴上方，
， ，
解得 ， ．
故答案为： ； 且 ．
5．如图，点 ，点 ，点 ，点 ，…，按照这样的规律下去，点 的坐标是
．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查点的坐标规律；熟练掌握平面内点的坐标，能够根据图形的变化得到点的坐标规律是解
题的关键．根据题意得： ， ， ， ，……，由此发现：脚标为偶数的点的
坐标的规律，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ， ， ， ，……，
由此发现：脚标为偶数的点的坐标的规律为 ，
∵ ，
∴点 的坐标为 ．
故答案为： ．
6．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每
次移动1个单位长度．其行走路线如图所示．(1)填写下列各点的坐标： （______，______）， （______，______）；
(2)写出点 的坐标（n是正整数）： （______，______）；
(3)求出 的坐标．
【答案】(1)2，0，4，0
(2) ，0
(3)
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了点的坐标规律求解，旨在考查学生的抽象概括能力．
（1）由图即可求解；
（2）根据点的坐标规律可知 ，即可求解；
（3）根据 即可求解；
【详解】（1）解：根据题意可直接写出 ， ，
故答案为2，0，4，0．
（2）解：根据点的坐标规律可知， ，
故答案为 ，0．
（3）解：∵ ，
∴ ．
题型三、平面直角坐标系中的新定义型问题
7.点 是平面直角坐标系中的一点，若点Q的坐标为 （其中k为常数且 ），
则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点 的“2拓点”Q为 ，即点Q为 ．
(1)求点 的“3拓点”Q的坐标；
(2)若点 的“4拓点”Q的坐标是 ，求 的值．
【答案】(1)点Q的坐标为
(2)
【知识点】新定义下的实数运算、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题主要考查点的坐标，根据题目中的新定义正确列出式子是解题的关键．
（1）根据题目中的新定义，求出横坐标和纵坐标即可；（2）根据新定义列出式子，求出 的值，即可求出．
【详解】（1）解：由定义可知：
∴点Q的坐标为
（2）
解得
∴
8．在学习了“数形结合”讨论问题后，某校数学兴趣小组开展“你命我解”互助学习活动．其中有一组
的同学给出了这样一个问题：在平面直角坐标系 中，点 中x，y的值若满足 ，
则称点Q为“直线点”，请你来解答这位同学提出的问题：
(1)判断点 是否为“直线点”，并说明理由；
(2)若点 是“直线点”，请通过计算判断点M在第几象限？
【答案】(1)是，理由见解析
(2)点M在第一象限
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、写出直角坐标系中点的坐标、新定义下的实数运算
【分析】（1）由 ，可得 ， ，解得， ， ，由 ，满足
，进而可知点 是“直线点”；
（2）由 是“直线点”，可知 ， ，解得， ， ，由
，可得 ，解得， ，即 ，然后判断点M所在的象限即可．
【详解】（1）解：点 是“直线点”，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
解得， ， ，
∵ ，
∴点 是“直线点”；
（2）解：∵ 是“直线点”，
∴ ， ，
解得， ， ，
∵ ，∴ ，
解得， ，
∴ ，即点M在第一象限．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，点坐标，一元一次方程的应用．解题的关键在于理解题意．
9．阅读下列范例，按要求解答问题．
定义：在平面直角坐标系 中，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，若与坐标轴围成的
长方形 的周长与面积的值相等，则称点P．为“友善点”．如图，点P的坐标 ，则长方形
的周长为 ，面积为 ，则点P就是“友善点”．
(1)判断点 ， ，是否为“友善点”，并说明理由；
(2)若 是“友善点”，求点P的坐标．
【答案】(1)M不是“友善点”，N是“友善点”．理由见解析
(2) 或
【知识点】坐标与图形
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，解题的关键是会用含有未知数的式子表示围成的长
方形的面积和周长．
（1）分别求得过点M和点N得到的长方形的周长和面积，然后比较周长和面积判断；
（2）先阅读范例，按照范例的方法解答即可．
【详解】（1）M不是“友善点”，N是“友善点”．
理由：对于 长方形的 的周长是 ，面积是 ，
∵周长与面积不相等，
∴M不是“友善点”，
对于 长方形的 的周长是 ，面积是 ，
∵周长与面积相等，
∴N是“友善点”；
（2）∵ 是“友善点”，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 或 ．
10．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q
到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．
(1)求点 的“长距”；
(2)若点 是“完美点”，求a的值；
(3)若点 的长距为4，点D的坐标为 ，且点D是“完美点”，求b，c的值．
【答案】(1)4
(2) 或
(3)当 ，则 或 ；当 ，则
【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标与图形、绝对值方程
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的
“长距”与“完美点”．
（1）根据“长距”的定义解答即可；
（2）根据“完美点”的定义解答即可；
（3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得点 到 轴的距离为4，到 轴的距离为2，
∴点A的“长距”为4．
故答案为：4；
（2）解：∵点 是“完美点”，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 ；
（3）解：∵点 的长距为4，
∴ ，
解得 或 ，
∵点D的坐标为 ，且点D是“完美点”
∴ 或当 ，则 或
当 ，则 ．
题型四、平面直角坐标系中与几何证明的综合问题
11．如图，在直角坐标系中，B点的坐标为 ，且a、b满足 ．
(1)求B点的坐标；
(2)点A为y轴上一动点，过B点作 ，交x轴正半轴于点C，求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、代入消元法、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）、坐标与图形综合
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，非负数的性质，坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活
运用是解此题的关键．
（1）根据非负数的性质建立关于 的方程组，求出 的值，进而得出点 的坐标；
（2）过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，易证 ，即可证明
，即可解题．
【详解】（1）解：∵ ，
，
，
∴点 坐标为 ；
（2）证明：如图，过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，，
，
∵在 和 中，
，
，
．
12.如图，A(−2,0)， ，以A点为顶点、 为腰在第三象限作等腰直角三角形 ．
(1)点C的坐标为______．
(2)如图②，A(−2,0)，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为直角顶点，
为腰向右作等腰直角三角形 ，过D作 轴于E点，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合
（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义
【分析】（1）过点 作 轴于点 ，于是可得 ，由直角三角形的两个锐角互余
可得 ，由 是等腰直角三角形可得 ， ，进而可得
，于是可得 ，利用 可证得 ，于是可
得 ， ，进而可得 ，据此即可得出点 的坐标；
（2）过点 作 轴于点 ，于是可得 ，由直角三角形的两个锐角互余
可得 ，由 是等腰直角三角形可得 ， ，进而可得
，于是可得 ，利用 可证得 ，于是可得 ，
由 轴可得 ，根据题意可知 ，再结合 ，进而可得 ，则，于是得解．
【详解】（1）解：如图 ，过点 作 轴于点 ，
，
，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
故答案为： ；
（2）解：如图 ，过点 作 轴于点 ，
，
，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
在 和 中，，
，
，
轴，
，
∴ ；
根据题意可知： ，
又 ，
∴ ，
，
，
即： 的值为 ．
13．如图1，直线 分别与x轴、y轴交于A、B两点， 平分 交 于点C，点D为线段 上
一点，过点D作 交y轴于点E，已知 ， ，且m、n满足 ．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)若点D为 中点，延长 交x轴于点F，在 的延长线上取点G．使 ，连接 ．
① 与y轴的位置关系怎样？说明理由；
②求 的长；
(3)如图2，若点 为直线 在x轴下方的一点，点M是y轴的正半轴上一动点，以M为直角顶
点作等腰直角 ，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．
【答案】(1) ，
(2)① 轴，理由见解析
②
(3)【知识点】通过对完全平方公式变形求值、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综
合（ASA或者AAS）、坐标与图形综合
【分析】本题主要考查了非负数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，作
辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等列方程求解是解题的关键．
（1）根据非负数的性质可得方程 、 ，解得 ， ，即可得到 、 两点的坐
标；
（2）①由题意可得 ，进而可得 ，再证
，于是可得 ，则 ，于是可得结论；
②设 ，则 ，由全等三角形的性质可知 ， ，进而可得
，列方程求解即可；
（3）分别过点F、P作 轴于点 ， 轴于点 ，设点 为(0,m)，构造全等三角形，再根据
点的横坐标与纵坐标相等，得出方程 ，解方程即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
， ；
（2）解：① 轴，理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点D为 中点，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 轴；
②设 ，则 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
（3）解：如图，分别过点F、P作 轴于点 ， 轴于点 ，
设点 为(0,m)，
∵ 点P的坐标为 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 点F的坐标为 ，
∵ F点的横坐标与纵坐标相等，
∴ ，
解得： ，则 ，
∴ 点P的坐标为 ．
14．如图1，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，且 ， 满足 ．
(1)求 的面积；
(2)如图1，以 为斜边构造等腰直角 ，当点 在直线 上方时，请直接写出点 的坐标；
(3)如图2，已知等腰直角 中， ， ，点 是腰 上的一点（不与 ， 重合），
连接 ，过点 作 ，垂足为点 ．
①若 是 的角平分线，求证： ；
②探究：如图3，连接 ，当点 在线段 上运动时（不与 ， 重合）， 的大小是否发生变化？
若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值．
【答案】(1)
(2)
(3)①证明见解析② 的大小不变，总为 ，理由见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理、等腰三角形的定义、
坐标与图形综合
【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得 ， ，进而可得 ， ，再利
用三角形的面积公式即可求解．
（2）当点C在 上方时，作 为等腰直角三角形，过点 作 轴于F， 轴于E，利用
全等三角形的判定及性质即可求解．
（3）①延长 ， ，它们相交于点 ，利用全等三角形的判定及性质及等腰三角形的性质即可求解；
②作 ， ，垂足分别是 ， ，利用全等三角形的判定及性质及角平分线的性质即可求
解．
【详解】（1）解： ，
， ，
解得： ， ．
， ，的面积 ．
（2）解：当点C在 上方时：
作 为等腰直角三角形，过点 作 轴于F， 轴于E，如图：
∴ ，
∵ ，
， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
∵ ，
，即： ，
解得： ，
， ，
．
（3）解：①延长 ， ，它们相交于点 ，如图：
等腰直角 中， ， ，且 ，
，
又 ，
，
在 和 中，，
，
．
是 的角平分线，
，
，
，
在 和 中，
，
，
即 ，
．
② 的大小不变，总为 ，理由如下：
作 ， ，垂足分别是 ， ，如图：
，
由①可知： ， ，
在 和 中，
，
，
，
是 的角平分线，
．一、单选题
1．如图， 在平面直角坐标系中， 已知 ， ， 其中a，b满足 ．点M的
坐标 ，在y轴的正半轴上有一点 P，使得三角形 的面积与三角形 的面积相等，则点 P
的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出 的值，由
，再建立方程求解即可．
【详解】解：∵a，b满足 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
如图，
∴ ，
解得： ，
∵P在y轴的正半轴上，∴ ，
故选：B．
2．在平面直角坐标系中，点 经过某种变换后得到点 ，我们把点 叫作
点 的青蓝点，已知 的青蓝点为 ，点 的青蓝点为 ，点 的青蓝点为 ，⋯，这样依次得到点
， ， ， ，…， ， 若点 的坐标是 ， 则点P 的坐标是 （ ）
2025
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题为新定义问题，根据新定义进行计算，发现其中规律是解题关键．根据“青蓝点”的定义求
出 ， ， ， ，…；即可发现点的坐标每4个一个循环，据此即可求解．
【详解】解：∵把点 叫作点 的青蓝点，已知 的青蓝点为 ，点 的青蓝点为 ，
点 的青蓝点为 ，⋯，
∴ ，即 ；
∴ ，即 ；
同理可得 ， ，…；
∴点的坐标每4个一个循环，
∵ ，
∴ 的坐标与 的坐标相同，即 ．
故选：A．
3．如图，平面直角坐标系内，动点 按照图中箭头所示的方向依次运动，第 次从点 运动到点 ，
第 次运动到点 ，第 次运动到点 ， ，按照这样的运动规律，动点 第 次运动到点的坐
标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了规律型—点的坐标规律探究，由此可以得到规律每四次运动为一个循环，点的纵坐标
依次为 ， ， ， ，横坐标为运动次数减 ，又 ，故有动点 第 次运动到点的
横坐标为 ，纵坐标与第 次运动后的点的纵坐标相同为 ，从而求解，读懂题意，找出规律是解题的关键．
【详解】解：∵第 次从点 运动到点 ，
第 次运动到点 ，
第 次运动到点 ，
第 次运动到点 ，
第 次运动到点 ，
，
由此可以得到规律，每四次运动为一个循环，点的纵坐标依次为 ， ， ， ，横坐标为运动次数减 ，
∵ ，
∴动点 第 次运动到点的横坐标为 ，纵坐标与第 次运动后的点的纵坐标相同，为 ，
∴动点 第 次运动到点的坐标为 ，
故选： ．
二、填空题
4．对于平面直角坐标系 中的点 ，若点 的坐标为 （其中k为常数，且 ），
则称点 为点P的“k属衍生点”，例如： 的“2属衍生点”为 ，即 ，
若点P在y轴的正半轴上，点P的“k属衍生点”为 点．且线段 的长度为线段 长度的3倍，则k
的值 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，设 ，则 ， ，根据线段 的长度为线段
长度的3倍得到 ，解之即可得到答案．
【详解】解：设 ，则 ，
∴ ， ，
∵线段 的长度为线段 长度的3倍，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
5．如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ， ，点 在 轴正半轴上，线段
与线段 交于点 ．若 与 面积相等，则 到直线 的距离是 ．【答案】4
【分析】本题考查平面直角坐标系中三角形面积的计算．画出相关图形，根据 与 面积相等，
可得 ．进而可得点A到 的距离．
【详解】解：作 于点M．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 面积相等，
∴ ．
即 ．
又
∴ ，
即： ．
解得： ．
故答案为：4
6．长方形 的两边 分别平行于 轴， 轴，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．如图
1，将长方形 绕图形右下侧顶点 顺时针旋转 ，再沿 轴翻折得到长方形 ，称为一次操作；如图2，接着将长方形 继续绕图形右下侧顶点 顺时针旋转 ，再沿 轴翻折得到长方形
，称为第二次操作；以此类推，…
（1）经过3次操作后，点 的坐标为 ：
（2）经过2025次操作后，点 的坐标为 ，
【答案】
【分析】（1）点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．得到长方形到x轴的距离为1，长为2，宽为
1，故 ， ， ，解答即可．
（2）当 中的 为奇数时，横坐标从 开始，每次增加 个单位长度；纵坐标从 开始，每次增加 个单
位长度，即 时， ，解答即可．
本题考查了坐标系中坐标的规律，正确发现规律是解题的关键．
【详解】（1）解：点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．得到长方形到x轴的距离为1，长为2，
宽为1，故 ， ， ，
故答案为： ．
（2）解：按题意描点可知，当 中的 为奇数时，横坐标从 开始，每次增加 个单位长度；纵坐标从
开始，每次增加 个单位长度，即 时， ，当 时， ，
．
三、解答题
7．在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ，连接 ．(1)求四边形 的面积；
(2)过 的中点 作直线 轴，交 于点 ，求点 的坐标．（提示：根据三角形ABO的面积
求）
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，三角形面积等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）由 ， ， ，则 ， ， ，然后通过四边形 的面积 三
角形 的面积 三角形 的面积即可求解；
（ ）连接 ，求出点 的横坐标为 ，然后通过三角形 的面积 三角形 的面积 三角形
的面积即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴四边形 的面积 三角形 的面积 三角形 的面积
；
（2）解：如图， 轴，连接 ，
∵ ，点 是 的中点，
∴ ，
∵ 轴，
∴点 的横坐标为 ，
∵三角形 的面积 三角形 的面积 三角形 的面积∴ ，
解得 ，
∴点 ．
8．如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，且满足 ．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)若点C是第二象限内一点，且 ，过点A作 于F，求证： ．
【答案】(1)A、B两点的坐标分别为
(2)证明见解答
【分析】（1）由非负数的性质得 ，所以 ，则A、B两点的坐标分别为
；
（2）先由“同角的余角相等”证明 ，再根据全等三角形的判定定理“ ”证明
，得 ．
【详解】（1）解：∵ ， ，
，
，
，
∴ A ， B两点的坐标分别为 ．
（2）证明：∵ 于点 ，
，
，
，
，
，在 和 中，
，
，
．
【点睛】此题重点考查非负数的性质、图形与坐标、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识与
方法，求得 、 及证明 是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，点B在第一象限，点P从原点O出发，以每秒
1个单位长度的速度沿长方形 的边逆时针移动一周（即沿着 的路线移动）后停
止．
(1)点B的坐标为______；当点P移动 时，点P的坐标为_______；
(2)在点P移动过程中，当移动 时，求三角形 的面积．
【答案】(1) ；
(2)3
【分析】本题考查平面直角坐标系中长方形的坐标特征与点的运动，以及三角形面积计算，解题关键是利
用长方形性质确定点坐标，结合路程分析点位置，进而求解．
（1）利用长方形对边相等的性质，由 、 ，直接得出 点坐标 ；根据点 移动速度和时
间算出移动路程，结合长方形边长，确定 时 在 上的位置，从而得到 坐标 ．
（2）根据移动时间和速度算出 时移动路程，对比长方形各边长度和，确定 在 上，求出 长度，
再以 为底、 为高，用三角形面积公式算出 面积 ．
【详解】（1）∵四边形 是长方形， ， ，长方形对边相等，
∴ 点坐标为 ．
∵点 速度是每秒 个单位长度，
∴点P移动 时，移动的路程是 个单位．
长方形 中， ， ，点 从 出发沿 移动， 长 ， ，即点 在
上且距离 点 个单位，
所以 坐标为 ．
故答案为： ， ；（2）解：如图
∵点 移动 ，
∴移动路程为 个单位．
长方形周长为 ， ， ，
∴点 在 上，
∴ ，
．
10．若点 的坐标满足 ，我们称点 为“横和点”．
(1)已知点 为“横和点”，求 的值；
(2)在平面直角坐标系中，将三角形 平移得到三角形 ，点A， ， 的对应点分别是点 ， ，
，已知点 ，点 ，点 ，若点A，点 均为“横和点”，且三角形 的面
积为8，求 的值
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、三角形的面积，解题时要熟练掌握并能根据新定义列出关
系式是关键．
（1）依据题意，由点 是“横和点”，从而 ，进而计算可以得解；
（2）依据题意， ， ，进而可得 ， ， ，根据点 和点
的纵坐标相同，可得 轴，即可列出方程进行解答．
【详解】（1）解： 点 是“横和点”，
，
的值为4
（2）解： 点 和点 是“横和点”，
， ，
， ，， ，
，
点 和点 的纵坐标相同，
轴
，解得： ，
11．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，
每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示．
(1)填写下列各点的坐标： (________，________)， (________，________)， (________，________)；
(2)求点 的坐标；
(3)指出蚂蚁从点 到点 的移动方向．
【答案】(1)2，0；5，1；7，0
(2)
(3)向上
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关
键．
（1）观察图形可知， ， ， 都在 轴上，求出 ， ， 的长度，然后写出坐标即可；
（2）根据题意可得规律观察可知，每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为1，1，
0，0，依次出现，再由 ，可得 的纵坐标为1，横坐标为 ．据此可得答案；
（3）由 可知从点 到点 的移动方向与从点O到点 的移动方向一致，据此可得答案．
【详解】（1）解：根据题意可得 ， ， 都在 轴上
∵小蚂蚁每次移动1个单位，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ， ，
故答案为：2，0；5，1；7，0；
（2）观察可知，每四次移动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为 ，依次出现．
，的纵坐标为1，横坐标为 ，
．
（3） ，
∴从点 到点 的移动方向与从点O到点 的移动方向一致，为向上．
12．如图所示，点 ， ，且 ， 满足 ．若 为 轴上异于原点 和点 的
一个动点，连接 ，以线段 为边构造等腰直角 （ 为顶点），连接 ．
(1)如图 所示，直接写出点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
(2)当点 的坐标为 时，求出点 的坐标；此时，连接 ， ， 度；
(3)如图 所示，点 在 轴上运动过程中，若 所在直线与 轴交于点 ，请直接写出 点的坐标为 ，
当 的值最小时，请直接写出此时 与 之间的数量关系 ．
(4)当 最短时，在 轴上是否存在点 ，使 是等腰三角形，如果存在，直接写出点 的坐标；
如果不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
(4)存在， 或 或 或
【分析】（1）根据完全平方数和绝对值的非负性得到 ， ，解一元一次方程即可得出答案；
（2）过点 作 轴于点 ，易证得 ，于是可得 ， ，进而可求
出点 的坐标，又可得出 ，于是可求出 的度数；
（3）由（2）可得 ，因此 ， ，于是可推出 ，进而可求出
，于是 ， ，据此即可求出点 的坐标；取点 ，连接
，连接 交 于点 ，易证得 ，于是有 ， ，进而可证
得 垂直平分 ，连接 交 于点 ，连接 ，则 ，此时 最小，
，然后由角平分线的性质及三角形的面积公式即可得出此时 与 之间的数量关系；
（4）当点 在 轴上运动时，点 在直线 上运动，根据垂线段最短可知：当 时， 最短，
过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，进而可求得点 的坐标，设 ，若
是等腰三角形，则分三种情况讨论： 当 时； 当 时； 当 时；分别列方
程求解，即可求得点 的坐标．
【详解】（1）解： ，
， ，
， ，
， ,
故答案为： ， ；
（2）解：如图 ，过点 作 轴于点 ，
，
，
在等腰直角 中， ， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
， ，
， ，，
，
又 ，
，
，
，
，
即 ，
故答案为： ；
（3）解：由（2）可得： ，
， ，
又 ，
，
，
即 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图 ，取点 ，连接 ，连接 交 于点 ，
，
， ，，
，
，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
， ，
又 ，
，
，即 ，
垂直平分 ，
点 与点 关于直线 对称，
如图，连接 交 于点 ，连接 ，
垂直平分 ，
，
此时 最小， ，
，
是 的角平分线，
点 到 ， 的距离相等，
， ，
，
又 ，
，
，
，
故答案为： ， ；
（4）解：存在，理由如下：
由（2）、（3）可得： ，
当点 在 轴上运动时，点 在直线 上运动，根据垂线段最短可知：当 时， 最短，
如图 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
，
，即 ，
，
，
，
，
，
又 ，
，
， ，
设 ，若 是等腰三角形，分三种情况讨论：
当 时，
则有： ，
即： ，
解得： ，
；
当 时，
则有： ，
即： ，解得： ， ，
或 ；
当 时，
则有： ，
即： ，
解得： （此时点 与点 重合，故舍去）， ，
；
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ．
