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专题 02 平面直角坐标系中面积、变换规律、新定义、几何综合问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、平面直角坐标系中的动点面积问题......................................................................................................1
题型二、平面直角坐标系中点的规律探究问题..................................................................................................7
题型三、平面直角坐标系中的新定义型问题....................................................................................................10
题型四、平面直角坐标系中与几何证明的综合问题........................................................................................13
B综合攻坚・能力跃升
题型一、平面直角坐标系中的动点面积问题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线 与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段 与 的长满足等式
．
(1)求线段 ， 的长；
(2)若点C的坐标为 ，连接 ，则 的面积为______；
(3)若点D在线段 上，且 ，点Q在x轴上且 ，请直接写出点D的坐标______，点Q
的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接 ， 的面积是 面积的 ， 的面
积是 面积的 ，利用其面积即可求出点D坐标．
2.如图，在平面直角坐标系中，直线 与两坐标轴分别交于 两点，若点 ， ，满足
．(1)求 的值；
(2)若点 的坐标为 ，连接 ， ．则 的面积为 ；
(3)点 在直线 上，且 ．数学活动小组的同学发现：当点 在线段 上时，可连接 ，
的面积是 面积的 ，根据两者间的面积关系，即可求出点 坐标．请你根据活动小组的思路，
直接写出满足条件点 的坐标．
题型二、平面直角坐标系中点的规律探究问题
3.在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点 出发，沿着 循环爬行，其中点
坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，当蚂蚁爬了2024个
单位时，它所处位置的坐标为（ ）
A．(0,3) B．(1,0) C． D．
4．在平面直角坐标系 中，对于点 ，我们把点 叫做点 的伴随点．已知点 的伴
随点为 ，点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，…，这样依次得到点 ， ， ， ，…．若点
的坐标为 ，则点 的坐标为 ；若点 的坐标为 ，对于任意的正整数n，点 均
在 轴上方，则a，b应满足的条件为 ．
5．如图，点 ，点 ，点 ，点 ，…，按照这样的规律下去，点 的坐标是
．
6．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每
次移动1个单位长度．其行走路线如图所示．(1)填写下列各点的坐标： （______，______）， （______，______）；
(2)写出点 的坐标（n是正整数）： （______，______）；
(3)求出 的坐标．
题型三、平面直角坐标系中的新定义型问题
7.点 是平面直角坐标系中的一点，若点Q的坐标为 （其中k为常数且 ），
则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点 的“2拓点”Q为 ，即点Q为 ．
(1)求点 的“3拓点”Q的坐标；
(2)若点 的“4拓点”Q的坐标是 ，求 的值．
8．在学习了“数形结合”讨论问题后，某校数学兴趣小组开展“你命我解”互助学习活动．其中有一组
的同学给出了这样一个问题：在平面直角坐标系 中，点 中x，y的值若满足 ，
则称点Q为“直线点”，请你来解答这位同学提出的问题：
(1)判断点 是否为“直线点”，并说明理由；
(2)若点 是“直线点”，请通过计算判断点M在第几象限？
9．阅读下列范例，按要求解答问题．
定义：在平面直角坐标系 中，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，若与坐标轴围成的
长方形 的周长与面积的值相等，则称点P．为“友善点”．如图，点P的坐标 ，则长方形
的周长为 ，面积为 ，则点P就是“友善点”．
(1)判断点 ， ，是否为“友善点”，并说明理由；
(2)若 是“友善点”，求点P的坐标．
10．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q
到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．(1)求点 的“长距”；
(2)若点 是“完美点”，求a的值；
(3)若点 的长距为4，点D的坐标为 ，且点D是“完美点”，求b，c的值．
题型四、平面直角坐标系中与几何证明的综合问题
11．如图，在直角坐标系中，B点的坐标为 ，且a、b满足 ．
(1)求B点的坐标；
(2)点A为y轴上一动点，过B点作 ，交x轴正半轴于点C，求证： ．
12.如图，A(−2,0)， ，以A点为顶点、 为腰在第三象限作等腰直角三角形 ．
(1)点C的坐标为______．
(2)如图②，A(−2,0)，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为直角顶点，
为腰向右作等腰直角三角形 ，过D作 轴于E点，求 的值．
13．如图1，直线 分别与x轴、y轴交于A、B两点， 平分 交 于点C，点D为线段 上
一点，过点D作 交y轴于点E，已知 ， ，且m、n满足 ．
(1)求A、B两点的坐标；(2)若点D为 中点，延长 交x轴于点F，在 的延长线上取点G．使 ，连接 ．
① 与y轴的位置关系怎样？说明理由；
②求 的长；
(3)如图2，若点 为直线 在x轴下方的一点，点M是y轴的正半轴上一动点，以M为直角顶
点作等腰直角 ，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．
14．如图1，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，且 ， 满足 ．
(1)求 的面积；
(2)如图1，以 为斜边构造等腰直角 ，当点 在直线 上方时，请直接写出点 的坐标；
(3)如图2，已知等腰直角 中， ， ，点 是腰 上的一点（不与 ， 重合），
连接 ，过点 作 ，垂足为点 ．
①若 是 的角平分线，求证： ；
②探究：如图3，连接 ，当点 在线段 上运动时（不与 ， 重合）， 的大小是否发生变化？
若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值．
一、单选题
1．如图， 在平面直角坐标系中， 已知 ， ， 其中a，b满足 ．点M的
坐标 ，在y轴的正半轴上有一点 P，使得三角形 的面积与三角形 的面积相等，则点 P
的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点 经过某种变换后得到点 ，我们把点 叫作点 的青蓝点，已知 的青蓝点为 ，点 的青蓝点为 ，点 的青蓝点为 ，⋯，这样依次得到点
， ， ， ，…， ， 若点 的坐标是 ， 则点P 的坐标是 （ ）
2025
A． B． C． D．
3．如图，平面直角坐标系内，动点 按照图中箭头所示的方向依次运动，第 次从点 运动到点 ，
第 次运动到点 ，第 次运动到点 ， ，按照这样的运动规律，动点 第 次运动到点的坐
标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．对于平面直角坐标系 中的点 ，若点 的坐标为 （其中k为常数，且 ），
则称点 为点P的“k属衍生点”，例如： 的“2属衍生点”为 ，即 ，
若点P在y轴的正半轴上，点P的“k属衍生点”为 点．且线段 的长度为线段 长度的3倍，则k
的值 ．
5．如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ， ，点 在 轴正半轴上，线段
与线段 交于点 ．若 与 面积相等，则 到直线 的距离是 ．
6．长方形 的两边 分别平行于 轴， 轴，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．如图
1，将长方形 绕图形右下侧顶点 顺时针旋转 ，再沿 轴翻折得到长方形 ，称为一次操
作；如图2，接着将长方形 继续绕图形右下侧顶点 顺时针旋转 ，再沿 轴翻折得到长方形
，称为第二次操作；以此类推，…（1）经过3次操作后，点 的坐标为 ：
（2）经过2025次操作后，点 的坐标为 ，
三、解答题
7．在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ，连接 ．
(1)求四边形 的面积；
(2)过 的中点 作直线 轴，交 于点 ，求点 的坐标．（提示：根据三角形ABO的面积
求）
8．如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，且满足 ．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)若点C是第二象限内一点，且 ，过点A作 于F，求证： ．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，点B在第一象限，点P从原点O出发，以每秒
1个单位长度的速度沿长方形 的边逆时针移动一周（即沿着 的路线移动）后停
止．(1)点B的坐标为______；当点P移动 时，点P的坐标为_______；
(2)在点P移动过程中，当移动 时，求三角形 的面积．
10．若点 的坐标满足 ，我们称点 为“横和点”．
(1)已知点 为“横和点”，求 的值；
(2)在平面直角坐标系中，将三角形 平移得到三角形 ，点A， ， 的对应点分别是点 ， ，
，已知点 ，点 ，点 ，若点A，点 均为“横和点”，且三角形 的面
积为8，求 的值
11．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，
每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示．
(1)填写下列各点的坐标： (________，________)， (________，________)， (________，________)；
(2)求点 的坐标；
(3)指出蚂蚁从点 到点 的移动方向．
12．如图所示，点 ， ，且 ， 满足 ．若 为 轴上异于原点 和点 的
一个动点，连接 ，以线段 为边构造等腰直角 （ 为顶点），连接 ．
(1)如图 所示，直接写出点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
(2)当点 的坐标为 时，求出点 的坐标；此时，连接 ， ， 度；
(3)如图 所示，点 在 轴上运动过程中，若 所在直线与 轴交于点 ，请直接写出 点的坐标为 ，当 的值最小时，请直接写出此时 与 之间的数量关系 ．
(4)当 最短时，在 轴上是否存在点 ，使 是等腰三角形，如果存在，直接写出点 的坐标；
如果不存在，请说明理由．
