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考题 02 整式的乘法
（知识点梳理+典例剖析+变式训练）
【知识点梳理】
1、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分
别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
注意：
①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
如：−2x2y3z⋅3xy=
2、单项式乘以多项式，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所
得的积相加，
即
m(a+b+c)=ma+mb+mc
(
m,a,b,c
都是单项式)
注意：
①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。
如：
2x(2x−3y)−3y(x+y)
3、多项式与多项式相乘的法则；
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所
的的积相加。(3a+2b)(a−3b)
(x+5)(x−6)
如：
【经典题型】
考点1 单项式乘单项式
【典例1】（2021秋•河西区期末）计算3x2•5x5的结果是（ ）
A．15x3 B．15x5 C．15x7 D．15x10
【答案】C
【解答】解：3x2•5x5＝15x7，
故选：C．
【变式1-1】（2021秋•朝阳县期末）（﹣2x3）3•（x2）2＝ ．
【答案】 ﹣ 8 x 1 3
【解答】解：（﹣2x3）3•（x2）2
＝﹣8x9•x4
＝﹣8x13．
故答案为：﹣8x13．
【变式1-2】（2021秋•长寿区期末）直接写出计算结果：（﹣3x2y3）4（﹣xy2）2＝
．
【答案】 81 x 10 y 16
【解答】解：原式＝81x8y12•x2y4
＝81x10y16．
故答案为：81x10y16．
【变式1-3】（2020秋•南沙区期末）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，
▄×2ab＝4a2b+2ab3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（
）
A．（2a+b2） B．（a+2b） C．（3ab+2b2） D．（2ab+b2）
【答案】A
【解答】解：被墨汁遮住部分＝（4a2b+2ab3）÷2ab＝4a2b÷2ab+2ab3÷2ab＝2a+b2，
故选：A．
考点2 单项式乘多项式
【典例2】（2021秋•铁西区期末）计算：（﹣3x2）2•（﹣x2+2x﹣1）．【答案】﹣9x6+18x5﹣9x4．
【解答】解：（﹣3x2）2•（﹣x2+2x﹣1）
＝9x4（﹣x2+2x﹣1）
＝﹣9x6+18x5﹣9x4．
【变式2-1】（2021秋•西青区期末）计算（﹣2ab）（ab﹣3a2﹣1）的结果是（ ）
A．﹣2a2b2+6a3b B．﹣2a2b2﹣6a3b﹣2ab
C．﹣2a2b2+6a3b+2ab D．﹣2a2b2+6a3b﹣1
【答案】C
【解答】解：原式＝﹣2a2b2+6a3b+2ab，
故选：C．
【变式2-3】（2020秋•天津期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，
拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的
地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（ ）
A．9x2 B．﹣9x2 C．9x D．﹣9x
【答案】B
【解答】解：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x，
故选：B．
【变式2-4】（2021春•崂山区期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手
掌捂住了一个多项式，形式如下：
×（﹣ xy）＝3x2y﹣xy2+ xy，所捂多项式是 ．
【答案】 ﹣ 6 x + 2 y ﹣ 1
【解答】解：∵（3x2y﹣xy2+ xy）÷（﹣ xy）＝﹣6x+2y﹣1，
∴所捂多项式是﹣6x+2y﹣1，
故答案为：﹣6x+2y﹣1．
【变式2-5】（2015秋•莒县月考）（ ） ．
【答案】﹣2x4y﹣ x3y2+ x2y3．
【解答】解：原式＝﹣2x4y﹣ x3y2+ x2y3．【典例3】（2021春•濉溪县期末）已知（﹣2x）•（5﹣3x+mx2﹣nx3）的结果中不含x3项，
则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣ D．0
【答案】D
【解答】解：（﹣2x）•（5﹣3x+mx2﹣nx3）＝﹣10x+6x2﹣2mx3+2nx4，
由（﹣2x）•（5﹣3x+mx2﹣nx3）的结果中不含x3项，得
﹣2m＝0，
解得m＝0，
故选：D．
【变式3-1】（2019秋•恩阳区 期末）要使（﹣6x3）（x2+ax﹣3）的展开式中不含x4项，
则a＝（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．
【答案】B
【解答】解：原式＝﹣6x5﹣6ax4+18x3，
由展开式不含x4项，得到a＝0，
故选：B．
【变式3-2】（2018秋•新建区期末）若（x2﹣a）x+2x的展开式中只含有x3这一项，则a
的值是 ．
【答案】2
【解答】解：∵（x2﹣a）x+2x的展开式中只含有x3这一项，
∴x3﹣ax+2x＝x3+（2﹣a）x中2﹣a＝0，
∴a＝2，
故答案为：2．
【变式3-3】（2021秋•海淀区校级期末）若关于x的多项式x3+（2m+2）x2﹣（m﹣3）x﹣
1不含二次项，则m＝ ．
【答案】 ﹣ 1
【解答】解：由题意得：2m+2＝0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．考点3 多项式乘多项式
【典例4】（2021秋•延边州期末）计算：（a﹣2）（a+4）+2a（a﹣1）．
【答案】3a2﹣8．
【解答】解：原式＝a2+2a﹣8+2a2﹣2a
＝3a2﹣8．
【变式4-1】（2021秋•花都区期末）计算（2x+1）（x﹣5）的结果是（ ）
A．2x2﹣9x﹣5 B．2x2﹣9x+5 C．2x2﹣11x﹣5 D．2x2﹣11x+5
【答案】A
【解答】解：（2x+1）（x﹣5）
＝2x2﹣10x+x﹣5
＝2x2﹣9x﹣5，
故选：A．
【变式4-2】（2021秋•朝阳区期末）计算：2x（x﹣3）+（x﹣2）（x+7）．
【答案】3x2﹣x﹣14
【解答】解：原式＝2x2﹣6x+x2+7x﹣2x﹣14
＝3x2﹣x﹣14
【变式4-3】（2021秋•双辽市期末）计算：（x﹣1）（x+3）﹣x（x﹣2）．
【答案】4x﹣3．
【解答】解：（x﹣1）（x+3）﹣x（x﹣2）
＝x2+3x﹣x﹣3﹣x2+2x
＝4x﹣3．
【变式4-4】（2021秋•汉滨区期末）化简：（x﹣y）（x+3y）﹣x（x+2y）．
【答案】﹣3y2
【解答】解：原式＝x2+3xy﹣xy﹣3y2﹣x2﹣2xy
＝﹣3y2．
【典例5】（2021秋•上思县期末）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则a，b的值分别为（
）
A．a＝5，b＝﹣6 B．a＝5，b＝6 C．a＝1，b＝6 D．a＝1，b＝﹣6
【答案】D
【解答】解：已知等式整理得：x2+x﹣6＝x2+ax+b，
利用多项式相等的条件得：a＝1，b＝﹣6，故选：D．
【变式 5-1】（2021 秋•常宁市期末）若（x﹣3）（2x+1）＝2x2+ax﹣3，则 a 的值为
（ ）
A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7
【答案】B
【解答】解：（x﹣3）（2x+1）
＝2x2+x﹣6x﹣3
＝2x2﹣5x﹣3，
∵（x﹣3）（2x+1）＝2x2+ax﹣3，
∴a＝﹣5．
故选：B．
【变式5-2】（2021秋•佳木斯期末）观察下列两个多项式相乘的运算过程：
根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）＝x2﹣7x+12，则a，b的值可能分别是（ ）
A．﹣3，﹣4 B．﹣3，4 C．3，﹣4 D．3，4
【答案】A
【解答】解：根据题意，知：a+b＝﹣7，ab＝12，
∴a，b的值可能分别是﹣3，﹣4，
故选：A．
【变式5-3】（2021春•贵阳期末）如图，现有足够多的型号为①②③的正方形和长方形
卡片，如果分别选取这三种型号卡片若干张，可以拼成一个不重叠、无缝隙的长方形．
小星想用拼图前后面积之间的关系解释多项式乘法（a+2b）（3a+b）＝3a2+7ab+2b2，
则其中②和③型号卡片需要的张数各是（ ）
A．3张和7张 B．2张和3张 C．5张和7张 D．2张和7张
【答案】D【解答】解：②型号卡片的面积为b2，③型号卡片的面积是ab，
∵（a+2b）（3a+b）＝3a2+7ab+2b2，
∴需要②型号卡片2张，③型号卡片7张，
故选：D．
【典例6】（2021秋•鲤城区校级期末）若（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，则a
的值为（ ）
A．0 B．2 C． D．﹣2
【答案】B
【解答】解：（x2+ax+2）（2x﹣4）
＝2x3﹣4x2+2ax2﹣4ax+4x﹣8
＝2x3+（2a﹣4）x2+（4﹣4a）x﹣8，
∵结果中不含x2项，
∴2a﹣4＝0，
∴a＝2，
故选：B．
【变式6-1】（2022春•碑林区校级月考）（x2+ax+8）（x2﹣3x+b）展开式中不含x3和x项，
则a、b的值分别为（ ）
A．a＝0，b＝0 B．a＝﹣3，b＝﹣9 C．a＝3，b＝8 D．a＝﹣3，b＝1
【答案】C
【解答】解：（x2+ax+8）（x2﹣3x+b）
＝x4﹣3x3+bx2+ax3﹣3ax2+abx+8x2﹣24x+8b
＝x4+（a﹣3）x3+（b﹣3a+8）x2+（ab﹣24）x+8b，
∵展开式中不含x3和x项，
∴a﹣3＝0，ab﹣24＝0，
∴a＝3，b＝8，
故选：C．
【变式6-2】（2021秋•雁江区期末）若x+n与3﹣x的乘积中不含x的一次项，则实数n的
值为（ ）
A．﹣3 B．0 C．1 D．3
【答案】D【解答】解：（x+n）（3﹣x）
＝3x﹣x2+3n﹣nx
＝﹣x2+（3﹣n）x+3n，
∵x+n与3﹣x的乘积中不含x的一次项，
∴3﹣n＝0，
解得n＝3．
故选：D．
【变式6-3】（2021春•通道县期中）已知多项式x﹣1与x2+ax﹣1的乘积中不含x2项，则
常数a的值（ ）
A．0 B． C．﹣1 D．1
【答案】D
【解答】解：（x﹣1）×（x2+ax﹣1）
＝x3+ax2﹣x﹣x2﹣ax+1
＝x3+（a﹣1）x2﹣（a+1）x+1．
∵乘积中不含x2项，
∴a﹣1＝0．
∴a＝1．
故选：D．
【典例7】（2021秋•临河区期末）某市有一块长为（2a+b）米，宽为（a+2b）米的长方形
地块，如图所示，规划部门计划将阴影部分绿化，中间将修建一座雕像．
（1）试用含a，b的式子表示绿化的面积是多少平方米？
（2）若a＝3，b＝2，求出绿化面积．
【答案】（1）（a2+5ab+2b2） (2)47
【解答】解：（1）（2a+b）（a+2b）﹣a2
＝2a2+5ab+2b2﹣a2
＝a2+5ab+2b2，即：绿化的面积是（a2+5ab+2b2）平方米；
（2）将a＝3，b＝2代入（1）题结果得，
32+5×3×2+2×22
＝9+30+8
＝47（平方米），
答：若a＝3，b＝2时，绿化面积为47平方米．
【变式7-1】（2021秋•通榆县期末）今年我县在老旧小区改造方面取得了巨大成就，人居
环境得到了很大改善．如图，有一块长（3a+b）米，宽（2a+b）米的长方形广场，园林
部门要对阴影区域进行绿化，空白区域进行广场硬化，阴影部分是边长为（a+b）米的
正方形．
（1）计算广场上需要硬化部分的面积．
（2）若a＝30，b＝10，求硬化部分的面积．
【答案】（1）5a2+3ab （2）5400m2
【解答】解：（1）根据题意，广场上需要硬化部分的面积是：
（2a+b）（3a+b）﹣（a+b）2
＝6a2+2ab+3ab+b2﹣（a2+2ab+b2）
＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝5a2+3ab，
答：广场上需要硬化部分的面积是（5a2+3ab）m2．
（2）把a＝30，b＝10代入得，
5a2+3ab＝5×302+3×30×10＝5400 m2
答：广场上需要硬化部分的面积是5400m2．
【变式7-2】（2021秋•普兰店区期末）如图，哈市某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为
（2a﹣3b）米的长方形地块，角上有四个边长为（a﹣b）米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）．
（2）若a＝20，b＝10，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少元钱？
【答案】（1） ﹣13b2+8ab （2）15000
【解答】解：（1）题意得：
（2a+3b）（2a﹣3b）﹣4×（a﹣b）2
＝4a2﹣9b2﹣4a2+8ab﹣4b2
＝（﹣13b2+8ab）平方米．
答：绿化面积是（﹣13b2+8ab）平方米；
（2）当a＝20，b＝10时，
原式＝﹣13×102+8×20×10
＝﹣1300+1600
＝300（平方米），
300×50＝15000（元），
答：完成绿化共需要15000元钱．
【变式7-3】（2021秋•揭西县期末）【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取
值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，
因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，
所以a+3＝0，则a＝﹣3．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；
（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形
ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为 S ，
1
左下角的面积为S ，当AB的长变化时，S ﹣S 的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
2 1 2
【答案】(1) m＝ ，(2)y＝ ； (3)a＝2b
【解答】解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x
＝2mx﹣3m+2m2﹣3x
＝（2m﹣3）x+2m2﹣3m，
∵其值与x的取值无关，
∴2m﹣3＝0，
解得，m＝ ，
答：当m＝ 时，多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关；
（2）∵A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，
∴3A+6B＝3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）
＝3（2x2﹣2x+x﹣1﹣x+3xy]﹣6x2+6xy﹣6
＝6x2﹣6x+3x﹣3﹣3x+9xy﹣6x2+6xy﹣6
＝15xy﹣6x﹣9
＝3x（5y﹣2）﹣9，
∵3A+6B的值与x无关，
∴5y﹣2＝0，即y＝ ；
（3）设AB＝x，由图可知S ＝a（x﹣3b），S ＝2b（x﹣2a），
1 2∴S ﹣S ＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab，
1 2
∵当AB的长变化时，S ﹣S 的值始终保持不变．
1 2
∴S ﹣S 取值与x无关，
1 2
∴a﹣2b＝0
∴a＝2b．
