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考题 02 整式的乘法
（知识点梳理+典例剖析+变式训练）
【知识点梳理】
1、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分
别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
注意：
①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
如：−2x2y3z⋅3xy=
2、单项式乘以多项式，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所
得的积相加，
即
m(a+b+c)=ma+mb+mc
(
m,a,b,c
都是单项式)
注意：
①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。
如：
2x(2x−3y)−3y(x+y)
3、多项式与多项式相乘的法则；
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所
的的积相加。(3a+2b)(a−3b)
(x+5)(x−6)
如：
【经典题型】
考点1 单项式乘单项式
【典例1】（2021秋•河西区期末）计算3x2•5x5的结果是（ ）
A．15x3 B．15x5 C．15x7 D．15x10
【变式1-1】（2021秋•朝阳县期末）（﹣2x3）3•（x2）2＝ ．
【变式 1-2】（2021 秋•长寿区期末）直接写出计算结果：（﹣3x2y3）4（﹣
xy2）2＝ ．
【变式1-3】（2020秋•南沙区期末）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到
了作业本上，▄×2ab＝4a2b+2ab3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被
墨汁遮住的一项是（ ）
A．（2a+b2） B．（a+2b） C．（3ab+2b2） D．（2ab+b2）
考点2 单项式乘多项式
【典例2】（2021秋•铁西区期末）计算：（﹣3x2）2•（﹣x2+2x﹣1）．
【变式2-1】（2021秋•西青区期末）计算（﹣2ab）（ab﹣3a2﹣1）的结果是（
）
A．﹣2a2b2+6a3b B．﹣2a2b2﹣6a3b﹣2ab
C．﹣2a2b2+6a3b+2ab D．﹣2a2b2+6a3b﹣1
【变式2-3】（2020秋•天津期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，
小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）
＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（ ）
A．9x2 B．﹣9x2 C．9x D．﹣9x
【变式2-4】（2021春•崂山区期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
×（﹣ xy）＝3x2y﹣xy2+ xy，所捂多项式是 ．
【变式2-5】（2015秋•莒县月考）（ ） ．
【典例3】（2021春•濉溪县期末）已知（﹣2x）•（5﹣3x+mx2﹣nx3）的结果中
不含x3项，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣ D．0
【变式3-1】（2019秋•恩阳区 期末）要使（﹣6x3）（x2+ax﹣3）的展开式中
不含x4项，则a＝（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．
【变式3-2】（2018秋•新建区期末）若（x2﹣a）x+2x的展开式中只含有 x3这
一项，则a的值是 ．
【变式3-3】（2021秋•海淀区校级期末）若关于 x的多项式x3+（2m+2）x2﹣
（m﹣3）x﹣1不含二次项，则m＝ ．
考点3 多项式乘多项式
【典例4】（2021秋•延边州期末）计算：（a﹣2）（a+4）+2a（a﹣1）．【变式4-1】（2021秋•花都区期末）计算（2x+1）（x﹣5）的结果是（ ）
A．2x2﹣9x﹣5 B．2x2﹣9x+5 C．2x2﹣11x﹣5 D．2x2﹣11x+5
【变式4-2】（2021秋•朝阳区期末）计算：2x（x﹣3）+（x﹣2）（x+7）．
【变式4-3】（2021秋•双辽市期末）计算：（x﹣1）（x+3）﹣x（x﹣2）．
【变式4-4】（2021秋•汉滨区期末）化简：（x﹣y）（x+3y）﹣x（x+2y）．
【典例5】（2021秋•上思县期末）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则a，b的值
分别为（ ）
A．a＝5，b＝﹣6 B．a＝5，b＝6 C．a＝1，b＝6 D．a＝1，b＝﹣6
【变式5-1】（2021秋•常宁市期末）若（x﹣3）（2x+1）＝2x2+ax﹣3，则a的
值为（ ）
A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7
【变式5-2】（2021秋•佳木斯期末）观察下列两个多项式相乘的运算过程：根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）＝x2﹣7x+12，则a，b的值可能分别
是（ ）
A．﹣3，﹣4 B．﹣3，4 C．3，﹣4 D．3，4
【变式5-3】（2021春•贵阳期末）如图，现有足够多的型号为①②③的正方
形和长方形卡片，如果分别选取这三种型号卡片若干张，可以拼成一个不重
叠、无缝隙的长方形．小星想用拼图前后面积之间的关系解释多项式乘法
（a+2b）（3a+b）＝3a2+7ab+2b2，则其中②和③型号卡片需要的张数各是
（ ）
A．3张和7张 B．2张和3张 C．5张和7张 D．2张和7张
【典例6】（2021秋•鲤城区校级期末）若（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含
x2项，则a的值为（ ）
A．0 B．2 C． D．﹣2
【变式6-1】（2022春•碑林区校级月考）（x2+ax+8）（x2﹣3x+b）展开式中不
含x3和x项，则a、b的值分别为（ ）
A．a＝0，b＝0 B．a＝﹣3，b＝﹣9C．a＝3，b＝8 D．a＝﹣3，b＝1
【变式6-2】（2021秋•雁江区期末）若x+n与3﹣x的乘积中不含x的一次项，
则实数n的值为（ ）
A．﹣3 B．0 C．1 D．3
【变式6-3】（2021春•通道县期中）已知多项式 x﹣1与x2+ax﹣1的乘积中不
含x2项，则常数a的值（ ）A．0 B． C．﹣1 D．1
【典例7】（2021秋•临河区期末）某市有一块长为（2a+b）米，宽为（a+2b）
米的长方形地块，如图所示，规划部门计划将阴影部分绿化，中间将修建一座
雕像．
（1）试用含a，b的式子表示绿化的面积是多少平方米？
（2）若a＝3，b＝2，求出绿化面积．
【变式7-1】（2021秋•通榆县期末）今年我县在老旧小区改造方面取得了巨大
成就，人居环境得到了很大改善．如图，有一块长（3a+b）米，宽（2a+b）米
的长方形广场，园林部门要对阴影区域进行绿化，空白区域进行广场硬化，阴
影部分是边长为（a+b）米的正方形．
（1）计算广场上需要硬化部分的面积．
（2）若a＝30，b＝10，求硬化部分的面积．【变式 7-2】（2021 秋•普兰店区期末）如图，哈市某小区有一块长为
（2a+3b）米，宽为（2a﹣3b）米的长方形地块，角上有四个边长为（a﹣
b）米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）．
（2）若a＝20，b＝10，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少元
钱？【变式7-3】（2021秋•揭西县期末）【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的
值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把 x、y看作字母，a
看作系数合并同类项，因为代数式的值与 x的取值无关，所以含 x项的系数
为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；
（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B
的值与x无关，求y的值；
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大
长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右
上角的面积为S ，左下角的面积为S ，当AB的长变化时，S ﹣S 的值始终保
1 2 1 2
持不变，求a与b的等量关系．
