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专题02 整式的乘法与除法
考向一、单项式乘单项式
考向二、单项式乘多项式
考向三、多项式乘多项式
考向四、单项式除以单项式
考向五、多项式除以单项式
考向六、整式的混合运算
考向七、整式的化简求值
一、单项式乘单项式
1．（2021·湖南株洲·七年级期末）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据单项式乘以单项式运算法则计算即可得出答案．
【详解】
解： ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了单项式乘以单项式，熟知运算法则是解题的关键．
2．（2021·江苏南京·七年级期末）计算 的结果是______．
【答案】6x3y
【解析】
【分析】
根据单项式乘以单项式法则，即可求解．【详解】
解： ．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式法则是解题的关键．
3．（2021·广东佛山·七年级期末）计算：（﹣2x）2×3a＝__________．
【答案】12ax2
【解析】
【分析】
先运算积的乘方，然后单项式与单项式相乘即可．
【详解】
（﹣2x）2×3a
，
故答案为：12ax2．
【点睛】
本题主要考查积的乘方以及单项式与单项式相乘，属于基础题，掌握运算法则是关键．
4．（2019·四川成都·七年级期末）如果单项式 与单项式 的乘积为 ，则 __________．
【答案】-5
【解析】
【分析】
根据已知条件可求得 ，约分可得 ，根据单项式相乘的原则：底数不变，指数
相加可得 求解即可.
【详解】
单项式 与单项式 的乘积为 ，即
两边约分后可得
根据底数不变，指数相加原则可得
可求得 .
故答案为-5.【点睛】
此题考查单项式乘单项式，解题关键在于掌握运算法则.
5．（2021·湖南·邵阳县教育科学研究室七年级期末）计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】
先计算积的乘方，再按单项式乘单项式的法则进行计算即可．
【详解】
【点睛】
本题是单项式的乘法计算题，考查了积的乘方及单项式乘单项式运算，掌握两个运算法则是关键，注意运
算顺序和符号．
二、单项式乘多项式
1．（2021·贵州·毕节三联学校七年级期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小刘回家后，拿出
课堂笔记本复习，发现这样一道题：2x（﹣3x2﹣3x+1）＝﹣6x3﹣□+2x，“□”的地方被墨水污染了，你
认为“□”内应填写（ ）
A．﹣6x2 B．6x2 C．6x D．﹣6x
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案．
【详解】
解：∵2x（-3x2-3x+1）
=-6x3-6x2+2x=-6x3-□+2x，
∴“□”的地方被墨水污染的式子是：6x2．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．2．（2020·北京市第二中学分校七年级期末）如图，长和宽为a、b的长方形的周长为14，面积为10，则
ab（a+b）的值为（ ）
A．140 B．70 C．35 D．24
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用长方形面积求法以及长方形周长求法得出ab，a+b的值，进而得出答案．
【详解】
解：∵长和宽为a、b的长方形的周长为14，面积为10，
∴2（a+b）=14，ab=10，
则a+b=7，
故ab（a+b）=7×10=70．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了单项式乘以多项式，正确得出a+b的值是解题关键．
3．（2021·安徽淮北·七年级期末）已知(－2x)·(5－3x＋mx2－nx3)的结果中不含x3项，则m的值为( )
A．1 B．－1 C．－ D．0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，根据整式不含x3项，可得
三次项的系数为零．
【详解】
（-2x）•（5-3x+mx2-nx3）=-10x+6x2-2mx3+2nx4，
由（-2x）•（5-3x+mx2-nx3）的结果中不含x3项，得-2m=0，
解得m=0，
故选D．【点睛】
本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理．
三、多项式乘多项式
1．（2022·上海普陀·七年级期末）如果2（5﹣a）（6+a）＝100，那么a2+a+1的值为（ ）
A．19 B．﹣19 C．69 D．﹣69
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据多项式乘以多项式法则计算2（5﹣a）（6+a）＝100，得a2+a＝﹣20，最后整体代入可得结论．
【详解】
解：∵2（5﹣a）（6+a）＝100，
∴﹣a2+5a﹣6a+30＝50，
∴a2+a＝﹣20，
∴a2+a+1＝﹣20+1＝﹣19，
故选：B．
【点睛】
本题考查多项式乘以多项式、求代数式的值，设计整体思想，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
2．（2021·上海黄浦·七年级期末）若x2+px+q＝（x﹣3）（x+5），则p的值为（ ）
A．﹣15 B．﹣2 C．2 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据根据多项式乘以多项式，把等号右边展开，即可求得p的值．
【详解】
解： ，
．
故选：C．
【点睛】
本题主要是考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式的乘法运算是解题的关键．
3．（2022·重庆南开中学七年级期末）将一块长a米，宽b米的长方形空地按如图所示的方式分为草坪和
小路两部分，则小路（长方形内空白部分）的面积为（ ）．A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据割补法以及小路的面积=长方形空地的面积-草坪的面积，即可计算出答案．
【详解】
如图，根据割补法可知：草坪的面积 ，
∵长方形空地的面积 ，
∴小路的面积=长方形空地的面积-草坪的面积 ．
故选A．
【点睛】
本题考查多项式乘多项式与图形面积问题．根据题意，结合图形正确列出算式是解答本题的关键．
4．（2021·浙江·浦江县实验中学七年级期末）若（x＋2）（x﹣1）＝x2＋mx＋n，则m＋n＝_____．
【答案】－1
【解析】
【分析】
根据多项式乘多项式的运算规律，求出m，n的值即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴m=1，n=-2，
∴m+n=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式 ；熟记运算规律是解题关键．
5．（2021·陕西·武功县教育局教育教学研究室七年级期末）若计算（x+m）（4x-3）-5x所得的结果中不含
x的一次项，则常数m的值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】
直接利用多项式乘法结合一次项次数为零进而得出答案．
【详解】
解：（x+m）（4x-3）-5x
=4x2-3x+4mx-3m-5x
=4x2+（4m-8）x-3m，
∵（x+m）（4x-3）-5x所得的结果中不含x的一次项，
∴4m-8=0，
解得：m=2．
故答案为：2．
【点睛】
此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（2022·上海宝山·七年级期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘 错抄成除以
，结果得到 ，如果小明没有错抄题目，并且计算依然正确，那么得到的结果应该是什么？
【答案】3x3-12x2y+12xy2
【解析】
【分析】
根据被除式=商×除式，所求多项式是3x（x-2y），根据多项式乘多项式的法则计算即可．【详解】
解：第一个多项式是：3x（x-2y）=3x2-6xy，
正确的结果应该是：（3x2-6xy）（x-2y）
=3x3-6x2y-6x2y+12xy2
=3x3-12x2y+12xy2．
【点睛】
题考查了多项式乘多项式法则，根据被除式、除式、商三者之间的关系列出等式是解题的关键，熟练掌握
运算法则也很重要．
四、单项式除以单项式
1．（2021·贵州毕节·七年级期末）计算28x4y2÷（﹣7x3y）的正确结果是（ ）
A．4xy B．﹣4xy C．4x2y D．4xy2
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】
解：28x4y2÷（﹣7x3y）＝−4xy．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．（2021·湖南岳阳·七年级期末）已知 ，则“ ”所表示的式子是______．
【答案】2x
【解析】
【分析】
根据单项式除以单项式的运算法则计算即可．
【详解】
解：∵3x2y•★=6x3y，
∴“★”所表示的式子为：6x3y÷3x2y=2x，
故答案为：2x．
【点睛】
本题考查的是单项式乘单项式、单项式除以单项式，掌握它们的运算法则是解题的关键．3．（2021·陕西西安·七年级期末）计算： ______．
【答案】3x
【解析】
【分析】
直接利用积的乘方运算化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】
解：原式=
=3x．
故答案为：3x．
【点睛】
此题主要考查了整式的除法运算以及积的乘方运算，正确掌握整式的除法运算法则是解题关键．
五、多项式除以单项式
1．（2021·贵州毕节·七年级期末）一个长方形的面积为 ，且一边长为 ，则该长方形的周长为
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据多项式除以单项式求得另一边，进而求得长方形的周长．
【详解】
解： 一个长方形的面积为 ，且一边长为 ，
该长方形另一边的长为： ，
长方形的周长为： ，
故选D
【点睛】
本题考查了多项式除以单项式，整式的加减，求得另一边的长是解题的关键．
2．（2022·上海普陀·七年级期末）计算：（9a6﹣12a3）÷3a3＝_____．
【答案】
【解析】【分析】
直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】
解： ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（2022·江苏泰州·七年级期末）填空： __________ ．
【答案】 ##（-4x+3）
【解析】
【分析】
由 即可得到答案.
【详解】
∵ ，
故 = ，
故答案为：
【点睛】
此题考查了多项式除以单项式，掌握单项式乘多项式和多项式除以单项式互为逆运算是解答此题的关键.
六、整式的混合运算
1．（2021·上海普陀·七年级期末）计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据单项式乘以单项式和单项式除以单项式的计算法则求解即可．【详解】
解：原式
．
【点睛】
本题主要考查了单项式乘以单项式和单项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
2．（2021·浙江绍兴·七年级期末）计算或化简：
（1） ；
（2）
【答案】（1）2；（2）
【解析】
【分析】
（1）先计算负整数指数幂、零指数幂和去绝对值，最后加法计算即可；
（2）先计算积的乘方，再进行单项式的乘除运算即可．
【详解】
解：（1）
=
=2；
（2）
= ．
【点睛】
本题主要考查了整数指数幂的相关运算以及整式的乘除运算，属于基础题，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（2021·陕西西安·七年级期末）化简：6x2y（﹣2xy+y3）÷xy2．
【答案】-12x2+6xy2
【解析】
【分析】
原式利用单项式乘以多项式、多项式除以单项式法则计算即可．
【详解】
解：6x2y（-2xy+y3）÷xy2，
=（-12x3y2+6x2y4）÷xy2
=-12x2+6xy2．
【点睛】
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关计算法则是解题关键．
七、整式的化简求值
1．（2021·四川成都·七年级期末）先化简，再求值： ，其中 ，
．
【答案】 ，1
【解析】
【分析】
根据多项式除以单项式及多项式乘多项式可进行化简，然后再代值求解即可．
【详解】
解：原式= ，
∵ ， ，
∴原式= ．
【点睛】
本题主要考查多项式除以单项式及多项式乘多项式，熟练掌握多项式除以单项式及多项式乘多项式的运算
法则是解题的关键．
2．（2021·陕西·交大附中分校七年级期末）先化简，再求值：[(x﹣2y)2﹣(2x﹣y)(2x+y)﹣5y2]÷(﹣ x)，其
中，x、y满足|x﹣1|+(y+3)2＝0．【答案】 ；﹣18
【解析】
【分析】
根据整式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后根据非负数的性质求出x与y并代入原式即可求出答案．
【详解】
解：原式＝
∵|x﹣1|+(y+3)2＝0，
∴x﹣1＝0，y+3＝0，
∴x＝1，y＝﹣3，
∴ 原式＝6－24＝﹣18
【点睛】
本题考查整式的运算和非负数的性质，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算，本题属于基
础题型．
1．（2020·河北·保定市乐凯中学七年级期末）某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，
得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断该多项式是（ ）
A．4x2﹣x+1 B．x2﹣x+1 C．﹣2x2﹣x+1 D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据整式的减法法则求出多项式，得到答案．
【详解】
根据题意得：多项式为x2﹣x+1﹣（﹣3x2），
x2﹣x+1﹣（﹣3x2）
=x2﹣x+1+3x2=4x2﹣x+1．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是单项式乘多项式、整式的加减，能根据题意列出算式是解此题的关键．
2．（2022·甘肃天水·七年级期末）若多项式 与多项式 的和不含 项，则 等于
（ ）
A．5 B．0 C．-5 D．-1
【答案】C
【解析】
【分析】
先把两个多项式相加，再根据不含x2项，可知x2项的系数为0，那么5+m=0，解即可求m．
【详解】
∵ ，
又因为结果中不含x2项，
∴5+m=0，
解得：m=-5．
故选：C．
【点睛】
本题考查了整式的加减，解题的关键是注意合并同类项．
3．（2021·广东梅州·七年级期末）一个长方形的面积是 ，长是8m，则宽是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】
∵一个长方形的面积是 ，长是8m，
∴宽为故选：B
【点睛】
此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（2020·安徽铜陵·七年级期末）如图，阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
阴影部分面积可以表示为大长方形加上小长方形面积的差，大长方形的面积为2x（3y-0.5y），小长方形的
面积为0.5xy，然后直接计算．
【详解】
解：如图，将原不规则图形分割成两个长方形，则
阴影部分的面积=2x（3y-0.5y）+0.5xy=6xy-xy+0.5xy= ，
故选D.
【点睛】
本题考查了单项式乘多项式的运算，是整式在生活的应用．用代数式表示两部分的面积后，再求和．
5．（2021·四川成都·七年级期末）若 ，则 ， 的值分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【解析】【分析】
根据多项式乘多项式可进行求解．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
解得： ；
故选A．
【点睛】
本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
6．（2022·重庆·七年级期末）观察： ， ，
，据此规律，当 时，代数式 的值为
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知等式为0确定出x的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】
解： ．
根据规律得： ．
．
．
．
．
当 时，原式 ．
当 时，原式 ．
故选： ．【点睛】
本题考查通过规律解决数学问题，发现规律，求出x的值是求解本题的关键．
7．（2021·上海市民办新北郊初级中学七年级期末）计算：（﹣2a2）2＝______；2x2•（﹣3x3）＝______．
【答案】 4a4 ﹣6x5
【解析】
【分析】
根据积的乘方运算法则，单项式乘以单项式进行运算即可
【详解】
解：（﹣2a2）2＝4a4；
2x2•（﹣3x3）＝﹣6x5．
故答案为：4a4；﹣6x5．
【点睛】
本题考查了单项式乘以单项式，积的乘方，掌握幂的运算是解题的关键．
8．（2021·湖南岳阳·七年级期末）计算： ______．
【答案】6x5y3
【解析】
【分析】
根据单项式乘单项式的乘法法则（系数、同底数幂分别相乘）解决此题．
【详解】
解：（2x3y2）•（3x2y）
=（2×3）•（x3•x2）•（y2•y）
=6x5y3．
故答案为：6x5y3．
【点睛】
本题主要考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的乘法法则是解决本题的关键．
9．（2021·广东揭阳·七年级期末）计算： __________________
【答案】
【解析】
【分析】
根据单项式乘以单项式运算法则，系数与系数相乘，相同字母的指数相加即可．【详解】
解：
，
故答案为： ．
【点睛】
题目主要考查单项式乘以单项式的运算法则，熟练掌握运算法则是解题关键．
10．（2022·重庆一中七年级期末）如果 展开后不含 项，那么 __________．
【答案】1
【解析】
【分析】
先利用多项式乘以多项式的计算法则把 展开，然后利用含 项的系数为0即可得到答案．
【详解】
解：
，
∵ 展开后不含 项，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘以多项式中不含某一项问题，解题的关键在于能够熟知不含某一项，即该项的系
数为0．
11．（2021·上海奉贤·七年级期末）计算：（4x4y3﹣5x5y2）÷2x2y＝_____．
【答案】2x2y2﹣ x3y
【解析】【分析】
利用多项式除以单项式法则及同底数幂除法法则计算即可得答案．
【详解】
（4x4y3﹣5x5y2）÷2x2y
＝4x4y3÷2x2y﹣5x5y2÷2x2y
＝2x2y2﹣ x3y．
故答案为：2x2y2﹣ x3y
【点睛】
本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则进行计算是解题关键．
12．（2020·吉林省通化市外国语学校七年级期末）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算： ．
令 ，
则原式
．
计算：
．
【答案】
【解析】
【分析】
仿照材料令 ，将原式变形后计算即可．
【详解】解：令 ，
则原式
【点睛】
本题考查了整式混合运算的应用，理解材料中的思想方法是解题的关键．
13．（2022·广东汕头·七年级期末）如图，一块正方形的铁皮，边长为x cm（x＞4），如果一边截去宽4
cm的一块，相邻一边截去宽3 cm的一块．
(1)求剩余部分（阴影）的面积；
(2)若x＝8，则阴影部分的面积是多少？
【答案】(1)x2-7x+12
(2)20
【解析】
【分析】
（1）根据图形分别求得阴影部分的长和宽，进而即可求得面积；
（2）根据（1）的结论，将x＝8，代入求解即可
(1)
解：阴影部分的长为 cm，宽为 cm，
则面积为 x2-7x+12
(2)
x=8时阴影的面积=（8-3）×（8-4）=20
【点睛】
本题考查了列代数式，多项式的乘法，代数式求值，理解题意是解题的关键．
14．（2021·辽宁锦州·七年级期末）计算：（1） ；
（2） ．
【答案】（1）3；（2） b2．
【解析】
【分析】
（1）利用零次幂和负整数指数幂的计算法则进行计算即可得到答案；
（2）利用单项式除以单项式的计算法则和积的乘方计算法则进行计算即可得到答案.
【详解】
解：（1）
（2）
【点睛】
本题主要考查了零次幂、负整数指数幂，单项式除以单项式和积的乘方计算法则，解题的关键在于能够熟
练掌握相关法则进行求解.
15．（2021·山东菏泽·七年级期末）计算或化简：
（1） ；（2） ．
【答案】（1）10；（2）
【解析】
【分析】
（1）先化简绝对值，乘方，零指数幂，负指数幂，再计算乘法与符号化简，最后计算加减法；
（2）根据多项式除以单项式转化为单项式除以单项式计算即可．
【详解】
解：（1） ，
，
，
；
（2）
．
【点睛】
本题考查实数混合运算，零指数幂，与负指数幂，多项式除以单项式，掌握实数混合运算法则，多项式除
以单项式运算法则，零指数幂，与负指数幂是解题关键．
16．（2022·湖南郴州·七年级期末）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，-1
【解析】
【分析】
先计算乘法，再合并，最后把 ， 代入，即可求解．
【详解】
解：当 ， 时，
．
【点睛】
本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握整式四则混合运算法则是解题的关键．
17．（2021·辽宁沈阳·七年级期末）先化简，再求值： ，其中 ，
．
【答案】 ，6
【解析】
【分析】
先计算除法和乘法，再合并同类项，即可求解．
【详解】
解：
．
当 ， 时，
原式 ．
【点睛】
本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握整式混合运算顺序是解题的关键．
