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专题 02 平方根与立方根的五种模型
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题型一：利用算术平方根的非负性解题..................................................................................................................1
题型二：求算术平方根的整数部分和小数部分......................................................................................................2
题型三：与算术平方根有关的规律探索题..............................................................................................................6
题型四：与立方根有关的规律探索题....................................................................................................................11
题型五：平方根与立方根的综合............................................................................................................................16
题型一：利用算术平方根的非负性解题
1．若 ，则 ．
2．若 ，则 ．
3．若 与 互为相反数，则 ．
4．如果 ，则 的值为 ．
5．已知 与 互为相反数，则 的值是 ．
题型二：求算术平方根的整数部分和小数部分
6． 的小数部分为 ．
7．若 与 的小数部分分别为 与 ，则 ．
8．已知 小数部分是m， 小数部分是n，且 ，则 ．
9．在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出 近似值，得出 ．利
用“逐步逼近”法，请回答下列问题：
(1) 介于连续的两个整数 和 之间，且 ，那么 ， ．
(2) 是 的小数部分， 是 的整数部分，求 ， ．
(3)在（2）的基础上，求 的平方根．
10．如图1，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达 点．(1)那么 点对应的数是________．
(2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数
中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数．解决下列问题：
①如图2，在数轴上，点A表示的数是 ， ， ，若以点A为圆心、
的长为半径画弧，与数轴交于点 （点 位于点A右侧），则点 表示的数为________．
②图3中画出表示 的点M．（保留作图痕迹）
③若 的整数部分为 ，小数部分为 ，求 的值．
题型三：与算术平方根有关的规律探索题
11．求一个正数的算术平方根时，可以通过一组数的内在联系运用规律求得．请同学们观察下表：
16000
n 0.0016 0.16 16 1600 …
0
0.04 0.4 4 40 400 …
(1)根据表中所给的信息，你能发现什么规律？请将你发现的规律用文字表达出来．
(2)已知 ，运用你发现的规律，求下列各式的值：
① _______；
② _______．
12．已知 ， ， ，因为 ，所以 ．
(1)计算下列各式的值： ________， ________， ________；
(2)观察（1）中的结果， ， ， 之间存在怎样的关系？直接写出关系式：________；
(3)由（2）猜想： ________（ ， ）；
(4)根据（3）计算： ．
13．（1）观察发现：表格中 ___________， ___________；（2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动
___________位；
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
（3）规律运用：
①已知 ，则 ___________；
②已知 ，则 ___________．
14．（1）填表：
1000
0 1 100
0
0 ______ 1 ______ 100
（2）规律归纳：
①若正数 的小数点向左（或右）移动______位，则 的小数点就相应地______移动______位；
②当 时，若正数 越大，则 也越大．
（3）尝试运用：已知 ， ，求 的值；
（4）灵活应用：当 时，比较 和 的大小．
15．按要求填空：
（1）填表并观察规律：
a 4 400
（2）根据你发现的规律填空：
已知： ，则 ______；
已知： ， ，则 ______；
（3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明．
4 400
2 20
a 0.0004 0.04 4 400
0.02 0.2 2 20题型四：与立方根有关的规律探索题
16．观察下列规律回答问题：
(1) _______， _______；
(2)已知 ，若 ，用含x的代数式表示y，则 _______；
(3)根据规律写出 与a的大小情况．
17．（1）填表：
a 0.000008 0.008 8 8000
（2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根 的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述
这个规律：______；
（3）根据你发现的规律解答：
①已知 ， ， ，则 介于哪两个整数之间？
②已知 ，则 ______；
③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01
平方米）
a 0.000008 0.008 8 8000
0.02 0.2 2 20
18．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求
54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计
算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整：
(1)口算并填空： 个位数字为______．
(2)求 ．
①由 ， ，可以确定 是______位数；
②由54872的个位上的数是2，可以确定 的个位上的数是______；③如果划去54872后面的三位872得到数54，而 ， ，可以确定 的十位上的数是
______，由此求得 ______．
(3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出 的值．［过程可按题中的步骤写］
19．【观察】
① ；
② ；
③ ；
④ ．
【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
（1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________；
（2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数 ，
，若______________，则 ，反之也成立；
【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若 与 的值互为相反数，求 的算术平方根．
20．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题：
10 1000
1
0 0
1 100
(1)表格中 __________； __________；
(2)从表格中探究 与 数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知 ，则 __________；
②已知 ，若 ，则 __________；
(3)拓展：
①已知 ，若 ，用含 的代数式表示 ．则 __________；
②已知 ，则 __________；
③已知 ，若 ，则 __________．
题型五：平方根与立方根的综合
21．已知 的立方根是 ， 的算术平方根是 ．
(1)求 ， 的值；
(2)求 的平方根．22．（1）已知 是 的算术平方根， 是 的立方根，求 的立方根．
（2）若 的算术平方根是5，求 的平方根．
23．已知一个正数的两个平方根分别是 和 ， 的立方根是 ，求：
(1)该正数是多少？
(2) 的算术平方根．
24．已知一个正数x的两个平方根分别是 和 ．
(1)求x的值；
(2)若b为 的算术平方根，c为 的立方根，求代数式 的值．
25．已知 ， 表示 的算术平方根， ， 表示 的立方
根．
(1)求m、n的值；
(2)求M和N的值；
(3)求 的平方根．
26．已知 的算术平方根是2， 的立方根是 ，
(1)求a，b的值；
(2)求 的平方根.
27．已知 的立方根是 ， ， 是 的算术平方根．
(1)求 ， ， 的值；
(2)求 的平方根．
28．已知： 的平方根为 ， 的算术平方根为它本身， 的立方根是
(1)求 的值；
(2)求 的平方根．
29．已知 是 的算术平方根， 是 的立方根，试求：
(1)M和N的值；
(2) 的平方根．
30．已知 表示9的算术平方根， 的立方根是2，d是 的整数部分．
(1)求a、b、c、d的值；
(2)求 的平方根．
