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专题 02 平方根与立方根的五种模型
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题型一：利用算术平方根的非负性解题..................................................................................................................1
题型二：求算术平方根的整数部分和小数部分......................................................................................................2
题型三：与算术平方根有关的规律探索题..............................................................................................................6
题型四：与立方根有关的规律探索题....................................................................................................................11
题型五：平方根与立方根的综合............................................................................................................................16
题型一：利用算术平方根的非负性解题
1．若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查非负性，根据算术平方根和绝对值的非负性，求出 的值，再进行计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：0．
2．若 ，则 ．
【答案】1
【分析】此题考查代数式的求值，算术平方根的非负性及绝对值的非负性，正确掌握算术平方根的非负性
及绝对值的非负性是解题的关键．根据算术平方根的非负性及绝对值的非负性求出 ， ，代入计
算即可．
【详解】解：∵ ，且 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：1．
3．若 与 互为相反数，则 ．【答案】1
【分析】本题考查了相反数的定义，算术平方根的非负数，立方根，根据几个非负数的和等于 0 ，则每
一个算式都等于 0 列式是解题的关键．
根据相反数的定义列式，然后根据非负数的性质列式求出 、 的值，再代入进行计算即可得解．
【详解】解：∵ 与 互为相反数，
，
，
解得 ，
，
故答案为：1．
4．如果 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查非负性问题，关键是根据偶次方和二次根式的非负性解答．根据偶次方和二次根式的非
负性解答即可．
【详解】解：根据题意可得： ， ，
解得： ， ，
把 ， 代入代数式，原式 ，
故答案为： ．
5．已知 与 互为相反数，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查相反数的定义以及非负数的性质，根据互为相反数的两个数之和为 0 列出方程，化简
后利用平方项和算术平方根的非负性求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
∴
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
题型二：求算术平方根的整数部分和小数部分
6． 的小数部分为 ．【答案】 /
【分析】本题考查了无理数的估算，计算可得 ，估算出 即可得出 ，
从而即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 的小数部分为 ，
答案为： ．
7．若 与 的小数部分分别为 与 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的估算；根据 可得 与 的小数部分，然后计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 的小数部分是 ， 的小数部分是 ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
8．已知 小数部分是m， 小数部分是n，且 ，则 ．
【答案】2或0
【分析】本题考查了无理数的有关运算；
根据 的取值范围得出 ， ，再根据平方根的性质求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 的小数部分是 ， 的小数部分是 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或0，
故答案为：2或0．
9．在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出 近似值，得出 ．利
用“逐步逼近”法，请回答下列问题：
(1) 介于连续的两个整数 和 之间，且 ，那么 ， ．(2) 是 的小数部分， 是 的整数部分，求 ， ．
(3)在（2）的基础上，求 的平方根．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3)
【分析】本题主要考查了平方和平方根估算无理数大小应用，正确的估计无理数的取值范围是解题的关键．
（1）估算出 的取值范围即可解答；
（2）根据(1)的结论 ，得到 ，即可解答；
（3）将（2）的结论代入计算即可解答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：4，5；
（2）解：由(1)知 ，
∴ ， ，
∵ 是 的小数部分，
∴ ；
∵ 是 的整数部分，
∴ ；
（3）解：由（2）知 ，
∴ ，
∵ ，
∴4的平方根是 ，
即 的平方根是 ．
10．如图1，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达 点．(1)那么 点对应的数是________．
(2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数
中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数．解决下列问题：
①如图2，在数轴上，点A表示的数是 ， ， ，若以点A为圆心、
的长为半径画弧，与数轴交于点 （点 位于点A右侧），则点 表示的数为________．
②图3中画出表示 的点M．（保留作图痕迹）
③若 的整数部分为 ，小数部分为 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)① ；②见解析；③
【分析】本题考查了圆的周长公式，实数与数轴的对应关系，勾股定理解三角形，无理数的估算以及代数
式的求值．无理数在数轴上表示的内容，体现了实数与数轴上的点一一对应，熟练掌握勾股定理求解三角
形边长并正确估算无理数是解决本题的关键．
（1）根据圆的周长公式，即 （d为直径）计算即可；
（2）①先由勾股定理计算 的长，再由勾股定理计算 的长，由圆的半径可得 的长，由此可解；
②通过构造直角三角形，作出长度为1和长度为2的直角三角形，利用勾股定理求出长度为 的线段，即
可确定位置；
③先估算 的大小，从而确定 的整数部分和小数部分，再代入式子求解即可．
【详解】（1）解：∵圆的直径为1，
∴圆的周长为 ，
∵向右滚动一周，圆上的一点由原点到达 点，
∴ 点对应的数是 ，
故答案为： ；
（2）解：①∵ ， ，
∴由勾股定理可得 ，
∵ ， ， ，∴由勾股定理可得 ，
∵以点A为圆心、 的长为半径画弧，与数轴交于点 ，
∴ ，
∵在数轴上，点A表示的数是 ，则点 表示的数为 ；
故答案为： ；
②在数轴上取点Q，表示的数为1，取点N，表示的数为2，
过点N作 轴，且满足 ，
∴ ，
在 中， ，
以点Q为圆心、 的长为半径画弧，与数轴负半轴交于点 ，
即点M表示 ，如图：
③∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ 的整数部分为 ，
小数部分为 ，
∴
题型三：与算术平方根有关的规律探索题
11．求一个正数的算术平方根时，可以通过一组数的内在联系运用规律求得．请同学们观察下表：
n 0.0016 0.16 16 1600 16000 …0
0.04 0.4 4 40 400 …
(1)根据表中所给的信息，你能发现什么规律？请将你发现的规律用文字表达出来．
(2)已知 ，运用你发现的规律，求下列各式的值：
① _______；
② _______．
【答案】(1)规律：被开方数的小数点向左（或向右）移动 位，算术平方根的小数点就向左（或向右）
移动 位（ 为正整数）
(2)①0.1435 ②1435
【分析】此题考查的是探索规律题，掌握被开方数小数点的变化和开方后小数点的变化关系总结规律是解
决此题的关键．
（1）根据表格中被开方数小数点的变化和开方后小数点的变化关系总结规律即可；
（2）①根据（1）总结的规律，计算即可；
②根据（1）总结的规律，计算即可；
【详解】（1）解：由表可知：被开方数的小数点向左（或向右）移动 位，算术平方根的小数点就向左
（或向右）移动 位（ 为正整数）；
（2）解：①根据（1）总结规律， ；
②根据（1）总结规律， ，
故答案为：①0.1435 ②1435．
12．已知 ， ， ，因为 ，所以 ．
(1)计算下列各式的值： ________， ________， ________；
(2)观察（1）中的结果， ， ， 之间存在怎样的关系？直接写出关系式：________；
(3)由（2）猜想： ________（ ， ）；
(4)根据（3）计算： ．
【答案】(1)4；5；20
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，掌握算术平方根运算法则是解题的关键．
（1）根据算术平方根的定义即可求解；
（2）根据（1）的结果即可求解；
（3）根据（2）所得的关系即可求解；（4）根据（3）所得猜想计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
，
故答案为：4；5；20；
（2）解：由（1）的结果可得， ，
故答案为： ；
（3）解：由（2）猜想： ，
故答案为： ；
（4）解： ．
13．（1）观察发现：表格中 ___________， ___________；
（2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动
___________位；
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
（3）规律运用：
①已知 ，则 ___________；
②已知 ，则 ___________．
【答案】（1）0.1；10（2）右；1（3）①22.4；②50
【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键．
（1）根据算术平方根的定义即可求出答案；
（2）找到规律即可得出答案；
（3）根据（2）中的规律即可得出答案．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为：0.1；10．
（2）根据表格可得，
被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位．
故答案为：右；1．
（3）①∵ ，∴ ．
②∵ ， ，
∴ ．
故答案为：22.4；50．
14．（1）填表：
1000
0 1 100
0
0 ______ 1 ______ 100
（2）规律归纳：
①若正数 的小数点向左（或右）移动______位，则 的小数点就相应地______移动______位；
②当 时，若正数 越大，则 也越大．
（3）尝试运用：已知 ， ，求 的值；
（4）灵活应用：当 时，比较 和 的大小．
【答案】（1） ， ；（2）两，向左（或右），一；（3） ；（4）① 时：
；② 或 时： ；③ 时：
【分析】本题考查了算术平方根的应用．
（1）根据算术平方根计算即可；
（2）根据表格作答即可；
（3）根据（2）的规律作答即可；
（4）分 或 三种情况作答即可．
【详解】解：（1） ， ；
故答案为： ， ；
（2）由表格可知，若正数 的小数点向左（或右）移动两位，则 的小数点就相应地向左（或右）移动
一位；
故答案为：两，向左（或右），一；
（3） ，
，
．
（4）由表格可知，① 时： ，则 ；
② 或 时： ；
③ 时： ，则 ．
15．按要求填空：（1）填表并观察规律：
a 4 400
（2）根据你发现的规律填空：
已知： ，则 ______；
已知： ， ，则 ______；
（3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明．
4 400
2 20
【答案】（1）见解析
（2） ，68
（3）求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数
点向左（或右）移动1位
【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．
（1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可；
（2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则
它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得；
（3）根据（1）解题过程找出规律即可．
【详解】（1）解：∵ ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
填表如下：
a 0.0004 0.04 4 400
0.02 0.2 2 20
（2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它
的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，
∵ ，
∴被开方数 的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即
；
∵ ， ，
∴将被开方数 的小数点向右移动4位即可得到 ，
∴ ；故答案为： ，68．
（3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左
（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位．
题型四：与立方根有关的规律探索题
16．观察下列规律回答问题：
(1) _______， _______；
(2)已知 ，若 ，用含x的代数式表示y，则 _______；
(3)根据规律写出 与a的大小情况．
【答案】(1)0.01，100
(2)
(3)当 或 时， ；当 或 或 时， ；当 或 时，
【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归
纳．
（1）根据立方根的概念进行求解、归纳；
（2）运用（1）题规律进行求解；
（3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳．
【详解】（1）解：（1） ； ；
按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位，
故答案为：0.01、100；
（2）已知 ，若 ，用含 的代数式表示 ，则 ，
故答案为： ；
（3） ， ， ， ， ，
与 的大小情况为：
当 或 时， ；
当 或 或 时， ；
当 或 时， ．
17．（1）填表：
a 0.000008 0.008 8 8000（2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根 的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述
这个规律：______；
（3）根据你发现的规律解答：
①已知 ， ， ，则 介于哪两个整数之间？
②已知 ，则 ______；
③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01
平方米）
【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根 的小
数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮
【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积
的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键．
（1）利用立方根的定义填表即可；
（2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解；
（3）①结合表格信息，对 进行变形分析即可；②结合表格信息，对 进行
变形分析即可；③设正方体的棱长为 米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方
法即可求解．
【详解】解：（1）填表如下：
a 0.000008 0.008 8 8000
0.02 0.2 2 20
（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根 的小数点就相应地向右或向左移动一位；
（3）① ，
，
介于整数12和13之间；
② ，
；
③设正方体的棱长为a米，则 ，
由②知 ，
；
，
（平方米），答：需要大约9.02平方米的铁皮．
18．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求
54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计
算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整：
(1)口算并填空： 个位数字为______．
(2)求 ．
①由 ， ，可以确定 是______位数；
②由54872的个位上的数是2，可以确定 的个位上的数是______；
③如果划去54872后面的三位872得到数54，而 ， ，可以确定 的十位上的数是
______，由此求得 ______．
(3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出 的值．［过程可按题中的步骤写］
【答案】(1)5
(2)①两；②8；③ ，
(3)
【分析】本题考查求一个数的立方根，根据已知内容进行类比探究是解答问题的关键．
（ ）根据 的个位数字即可判断；
（ ）根据题干提供的思路和方法，进行推理验证得出答案；
（ ）根据（ ）的方法、步骤，类推出相应的结果即可．
【详解】（1）解：∵ ，个位数字为 ，
∴ 个位数字为 ，
故答案为： ；
（2）解：①∵ ， ，
∴ ，
∴可以确定 是两位数，
故答案为：两；
②由 的个位上的数是 ， ，个位数字为 ，
∴ 的个位上的数是 ，
故答案为： ；③∵ ， ， ，
∴ ，
∴可以确定 的十位上的数是 ，
∴
故答案为： ．
（3）解： ， ，
的个位上的数是6，只有个位数字是6的数的立方的个位数字是6，
的个位数字是6．
如果划去17576后面的三位576得到数17，而 ， ， ，
，
，即 的十位数字是2．
．
19．【观察】
① ；
② ；
③ ；
④ ．
【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
（1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________；
（2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数 ，
，若______________，则 ，反之也成立；
【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若 与 的值互为相反数，求 的算术平方根．
【答案】[发现]（1） ，（2） ；[应用]
【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义；
（1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式；
（2）由归纳可得当 时，则 ；
（3）由 与 的值互为相反数，可得 ，再进一步求解可得答案.
【详解】解：（1） （答案不唯一）
（2）归纳可得：当 时，则 ；（3）由（2）知，
∵ 与 的值互为相反数，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ .
20．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题：
10 1000
1
0 0
1 100
(1)表格中 __________； __________；
(2)从表格中探究 与 数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知 ，则 __________；
②已知 ，若 ，则 __________；
(3)拓展：
①已知 ，若 ，用含 的代数式表示 ．则 __________；
②已知 ，则 __________；
③已知 ，若 ，则 __________．
【答案】(1) ，
(2)① ；②32400
(3)① ；② ；③
【分析】本题考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩
大10倍．掌握算术平方根和立方根的概念是解本题的关键．
（1）由表格得出规律，求出x与y的值即可；
（2）①根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案；
②根据算术平方根的被开方数扩大10000倍，算术平方根扩大100倍，可得答案；
（3）①根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案；
②根据算术平方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍，可得答案；
③根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案．
【详解】（1）解： ，
，，
．
故答案为： ， ．
（2）①解： ，
，
故答案为： ．
②解： ，
，
，
故答案为： ．
（3）①解： ，
，
，
，
，
故答案为： ．
②解： ，
，
故答案为： ．
③ ，
，
，
故答案为： ．
题型五：平方根与立方根的综合
21．已知 的立方根是 ， 的算术平方根是 ．
(1)求 ， 的值；
(2)求 的平方根．【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键．
（1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得；
（2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可．
【详解】（1）解：∵ 的立方根是2， 的算术平方根是4，
∴ ， ，
∴ ， ．
（2）解：当 ， 时， ，
∵9的平方根为 ，
∴ 的平方根为 ．
22．（1）已知 是 的算术平方根， 是 的立方根，求 的立方根．
（2）若 的算术平方根是5，求 的平方根．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，非负数的性质，代数式求值．解题的关键是：
（1）由算术平方根和立方根的定义可求出 ， ，即得出 ， ，，代入 中求值，再
求其立方根即可；
（2）由被开方数为非负数即可求出 ，由算术平方根的定义可求出 ，代入 中求值，再求
其平方根即可．
【详解】解：（1）∵ 是 的算术平方根， 是 的立方根，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 的立方根为 ；
（2）根据题意得 ，
∴ ，
∴
∵n的算术平方根是5，
∴ ，
∴ 的平方根为 ．
23．已知一个正数的两个平方根分别是 和 ， 的立方根是 ，求：
(1)该正数是多少？
(2) 的算术平方根．【答案】(1)该正数是 ；
(2) 的算术平方根是 ．
【分析】本题考查平方根，立方根，算术平方根，解题的关键是正确理解相关的概念．
（1）根据正数的两个平方根互为相反数，求出的值，进而求出这个正数即可；
（2）先求出，代入代数式求出 ，求算术平方根即可．
【详解】（1）解：根据题意可得， ，
解得， ，
∴ ，
答：该正数是 ．
（2）解：∵ 的立方根是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
答： 的算术平方根是 ．
24．已知一个正数x的两个平方根分别是 和 ．
(1)求x的值；
(2)若b为 的算术平方根，c为 的立方根，求代数式 的值．
【答案】(1)9
(2)
【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合．已知条件求得 的值是解题的关键．
（1）根据平方根的形式求得a的值后代入 中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案；
（2）根据算术平方根及立方根的定义求得 的值，然后将其代入 中计算即可．
【详解】（1）解∶ 一个正数 的两个平方根分别是 和 ，
解得∶ ，
则 ，
那么 ；
（2） 为 的算术平方根， 为 的立方根， ，
∴ ，
则 ．
25．已知 ， 表示 的算术平方根， ， 表示 的立方
根．
(1)求m、n的值；(2)求M和N的值；
(3)求 的平方根．
【答案】(1) ，
(2)
(3)4
【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义，即可得出m和n的值；
（2）将m和n的值代入M和N即可求解；
（3）将（2）中得出的M和N的值相加即可．
【详解】（1）解：∵ 表示 的算术平方根，
∴ ，
解得： ，
∵ 表示 的立方根，
∴ ，
把 代入 得： ，
解得： ，
综上： ， ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
综上： ；
（3）解：∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平方根和立方根，明确平方根和立方根的意义，熟练运用相关知识求解是解题关键．
26．已知 的算术平方根是2， 的立方根是 ，
(1)求a，b的值；
(2)求 的平方根.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）4的算术平方根是2， 的立方根是 ，据此即可求解；
（2）先求出 的值，即可计算．
【详解】（1）解：∵ 的算术平方根是2， 的立方根是 ，
∴ ， ，
解得： ， .
（2）解：∵ ， ， ，∴ 的平方根为 .
【点睛】本题考查了立方根、平方根、算术平方根．熟记相关定义即可．
27．已知 的立方根是 ， ， 是 的算术平方根．
(1)求 ， ， 的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】（1）由“ 的立方根是 ”可求 ，由 可求 ，由“ 是 的算术平方
根”即可进一步求 ；
（2）根据 ， ， 的值即可求解．
【详解】（1）解：因为 的立方根是 ，
所以 ，解得 ．
因为 ，所以 ，
即 ，解得 ．
因为 是 的算术平方根，所以 ，
所以 ．
（2）解：因为 ， ， ，
所以 ，
所以 的平方根是 ．
【点睛】本题综合考查立方根和平方根问题．掌握相关定义及计算方法是解题关键．
28．已知： 的平方根为 ， 的算术平方根为它本身， 的立方根是
(1)求 的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】（1）根据平方根的运算可求出 的，算术平方根的运算及 的值可求出 的值，立方根的运算可
求出 的值；
（2）把（1）中的 的值代入，根据平方根的运算即可求解．
【详解】（1）解：∵ 的平方根为 ，
∴ ，即 ，解得， ，
∵ 的算术平方根为它本身，算术平方根等于其本身的有 或 ，且 ，∴ ，即 ，且 ，
∴ ，解得， ，
∵ 的立方根是 ，
∴ ，即 ，解得， ，
∴ ， ， ．
（2）解：由（1）可知， ， ， ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ，
∴ 的平方根为： ．
【点睛】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的运算，掌握以上知识的综合运算方法是解题的关键．
29．已知 是 的算术平方根， 是 的立方根，试求：
(1)M和N的值；
(2) 的平方根．
【答案】(1)3，1
(2)2和-2
【分析】（1）根据算术平方根和立方根的意义列出方程求解即可；
（2）求出 的值，再求平方根即可．
【详解】（1）解：因为 是 的算术平方根， 是 的立方根，
所以可得： ， ，
解得： ， ，
把 ， 代入 ， ，
所以可得 ， ．
（2）解：由（1）得 ，4的平方根为2和-2．
【点睛】本题考查了平方根和立方根，明确平方根和立方根的意义，熟练运用相关知识求解是解题关键．
30．已知 表示9的算术平方根， 的立方根是2，d是 的整数部分．
(1)求a、b、c、d的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1) ， ， ；
(2) ．
【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算．熟练掌握平方根，立方根的定义，以及无理数的估算
方法，是解题的关键．
（1）根据平方根，立方根的定义，求出 的值，无理数的估算求出c的值；
（2）将 的值代入代数式，进行计算即可．【详解】（1）解：∵ 表示9的算术平方根，
∴ ，
∴ ，
∵ 的立方根是2，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ 的整数部分为3，
∴ ；
（2）解：由（1）
∴ ，
∴ 的平方根是 ．
