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2022-2023 学年北师大版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题 02 实数
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021八上·南京期末）在 中， ， ， .下
列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③a是8的算术平方根；④
.其中，所有正确的说法的序号是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
【答案】C
【完整解答】解：∵ 中， ， ， ，
∴ ，
① 是无理数，说法正确；
②a可以用数轴上的一个点来表示，说法正确；
③a是8的算术平方根，说法正确；
④∵4＜8＜9，∴ ，即2＜a＜3，说法错误；
所以说法正确的有①②③.
故答案为：C.
【思路引导】利用勾股定理求出a的值，根据a的值，可对①作出判断；根据实数与数轴上的点成一一对
应，可对②作出判断；利用正数的算术平方根是正数，可对③作出判断；利用估算无理数的大小方法，可
知 ，可对④作出判断，综上所述可得到正确说法的个数.
2．（2分）（2021八上·句容期末）如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的
正方形BACD，将对角线BC绕点B逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点M处，则点M表示的
数是（ ）A． B． +1 C．1﹣ D．﹣
【答案】C
【完整解答】解：根据勾股定理得： .
∴ .
∵
∴
∴点M表示的数是：1- .
故答案为：C.
【思路引导】首先由勾股定理求出BC，根据同圆的半径相等得MB=BC，结合OB的值求出OM，进而根据数
轴上的点所表示的数的特点可得点M表示的数.
3．（2分）（2021八上·毕节期末）如图，在平面直角坐标系中， ， ，以点A为圆心，
AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，点C表示的实数介于（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【答案】B
【完整解答】解：∵点A，B的坐标分别为（1，0），（0，1），
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得：
，∴ ，
∴ ，
∴点C的坐标为 ，
∵ 即 ，
∴ ，
即点C的表示的实数介于2和3之间，
故答案为：B.
【思路引导】由A、B的坐标，可得OA=1，OB=1，利用勾股定理求出AB的长，根据同圆的半径相等可得
AC的长，再由OC=OA+AC求出OC的长，即得点C表示的数，最后根据估算无理数的大小及不等式的性质即
可得出答案.
4．（2分）（2021八上·六盘水月考）实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简|a﹣b|﹣ 的结
果是（ ）
A．a B．﹣a C．2b D．2b﹣a
【答案】A
【完整解答】解：由数轴可知： ，
∴ ，
∴原式＝ ，
故答案为：A.
【思路引导】由数轴可知： ，从而得出 ，再根据绝对值及二次根式的非负性进行化简，
进而再合并同类项即可.
5．（2分）（2021八上·永州月考）下列命题是假命题的是( )
A．实数与数轴上的点一一对应
B．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必定也相等C．对顶角相等
D．三角形的重心是三角形三条中线的交点
【答案】B
【完整解答】解：A、实数与数轴上的点一一对应，是真命题，故本选项错误；
B、如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必定也相等，是假命题，应为如果两个数的绝对值相等，那
么这两个数相等或互为相反数，故本选项正确；
C、对顶角相等，是真命题，故本选项错误；
D、三角形的重心是三角形三条中线的交点，是真命题，故本选项错误.
故答案为：B.
【思路引导】A、实数与数轴上的点一一对应，据此判断即可；
B、如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，据此判断即可；
C、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，据此判断即可；
D、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，据此判断即可.
6．（2分）（2021八上·连云月考）如图所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，A、B两点对应的实数
分别是1和 ，则点C对应的实数是（ ）
A．1﹣ B． ﹣2 C．﹣ D．2﹣
【答案】D
【完整解答】解：∵A、B两点对应的实数分别是1和 ，
∴AB＝ ﹣1，
又∵点C与点B关于点A对称，
∴AC＝AB，
设点C所表示的数为c，则AC＝1﹣c，
∴1﹣c＝ ﹣1，
∴c＝2﹣ .
故答案为：D.【思路引导】根据两点间距离公式可得AB＝ -1，根据点C与点B关于点A对称可得AC＝AB，设点C所
表示的数为c，则AC＝1-c，然后根据AC＝AB就可求出c的值.
7．（2分）（2021八上·高陵月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】解：观察数轴可得， ， ，
∴ ， ，
故答案为：B.
【思路引导】由数轴可得-1<a<0<1<b<2，如何判断出a+1、b-1的正负，接下来结合二次根式的性质化简
即可.
8．（2分）（2021八上·灵石期中）如图，长方形OABC的OA长为2，AB长为1，OA在数轴上，点O与原
点重合，以原点为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A．2.5 B．－2 C． D．－
【答案】D
【完整解答】由勾股定理可知，
，
这个点交数轴于负半轴，∴这个点表示的实数是 ．
故答案为：D．
【思路引导】利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系解题即可。
9．（2分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示.若 ，则下列结论中正确的是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a＜b＜0＜c＜d，
A、b+d＝0，∴b+c＜0，故A不符合题意；
B、 ＜0，故B不符合题意；
C、ad＜bc＜0，故C不符合题意；
D、|a|＞|b|＝|d|，故D符合题意；
故答案为：D．
【思路引导】根据实数a、b、c、d在数轴上的位置及b+d＝0，可得a＜b＜0＜c＜d，|a|＞|b|＝|d|＞|
c|，据此逐一分析即可.
10．（2分）若6－ 的整数部分为x，小数部分为y，则(2x＋ )y的值是( )
A．5－3 B．3 C．3 －5 D．－3
【答案】B
【完整解答】解：因为 ， 所以 ，所以 ，
所以
的整数部分x=2，小数部分y= ，所以(2x＋ )y=，故答案为：B.
【思路引导】由3= ＜ ＜4= ，得到2＜6- ＜3，得到它的整数部分是2，小数部分是4-
，再由平方差公式求出代数式的值.
二．填空题（共10小题，满分20分，每题2分）
11．（2分）（2021八上·宝安期末）如图，长方形 的边 落在数轴上，A、B两点在数轴上对
应的数分别为 和1， ，连接 ，以B为圆心， 为半径画弧交数轴于点E，则点E在数轴上
所表示的数为 ．
【答案】
【完整解答】解： 四边形 是长方形，A、B两点在数轴上对应的数分别为 和1， ，
依题意 .
设点E在数轴上所表示的数为x，则
解得
故答案为：
【思路引导】根据勾股定理求出BD的长，从而得出BE的长，即可得出点E在数轴上所表示的数。
12．（2分）（2021八上·惠州期末）计算： ．
【答案】4【完整解答】解：
=1+2-（-1）
=1+2+1
=4．
故答案为：4．
【思路引导】先利用0指数幂、负指数幂和有理数的乘方化简，再计算即可。
13．（2分）（2021八上·浠水月考） ； .
【答案】 ；
【完整解答】解： ，
故答案为： ， .
【思路引导】①先计算乘方、零指数幂，再进行加法计算即可；②利用同底数幂乘法及积的乘方的逆用将
原式变形为 ，然后计算即可.
14．（2分）（2021八上·玉田期中）如图，把面积为5的正方形ABCD放到数轴上，使得正方形的一个顶
点A与 重合，那么顶点B在数轴上表示的数是 ．
【答案】
【完整解答】解：因为正方形ABCD面积为5所以AB=
因为顶点A与 重合
所以B在数轴上表示的数是-1+
故答案为：
【思路引导】先根据正方形的性质求出AB的长，再根据数轴上两点之间的距离可得到点B表示的数。
15．（2分）（2021八上·运城期中）实数 在数轴上的位置如下图所示，化简 等于
【答案】0
【完整解答】由图可知， ，
=
=0，
故答案为：0．
【思路引导】根据数轴可得： ，再利用二次根式的性质： ，可得 = =0.
16．（2分）（2021八上·寿阳期中）如图，用两个面积为3cm2的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，
则以数轴上表示1的点A为圆心，以大正方形的边长为半径画弧，与数轴的交点表示的实数是
．
【答案】 ，
【完整解答】解：∵两个面积为3cm2的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，
∴大的正方形的面积为6cm2，边长为 cm，
表示1的点A为圆心，向左向右移 个单位，
∴数轴的交点表示的实数是 ， ，
故答案为： ， ．
【思路引导】先根据正方形的面积可得大正方形边长为 ，再利用表示1的点A为圆心，向左向右移
个单位，可得数轴的交点表示的实数是 ， ，即可得到答案。
17．（2分）（2021八上·黑山期中）如图，已知BA＝BC．写出数轴上点A所表示的数是 ．
【答案】
【完整解答】解：由勾股定理得：
则 到原点的距离为：
点A所表示的数是
故答案为：
【思路引导】先利用勾股定理求出BC的长，再根据数轴利用两点之间的距离即可求出点A表示的数。18．（2分）（2021八上·城阳月考）已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图，化简
的结果是 ．
【答案】b-2a
【完整解答】由数轴知，a<0<b，|a|>b
∴a-2b<0，a+b<0
∴
故答案为：b-2a
【思路引导】由数轴知，a<0<b，|a|>b，进而判断a-2b<0，a+b<0，从而可对绝对值以及二次根式进行化
简，最后求得化简后的结果。
19．（2分）（2021八上·沈阳月考）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则 值
为 ．
【答案】2b-a+c
【完整解答】解：由数轴可知，c＜a＜0＜b，且|c|＞|b|＞|a|，c-a＜0，c＜0，
∴a-b＜0，b+c＜0，
∴原式=b-a+（b+c）
=b-a+b+c
=2b-a+c，
故答案为：2b-a+c．
【思路引导】先利用二次根式的性质去掉根号，再结合数轴利用特殊值法判断绝对值中的正负，再去掉绝
对值，最后合并同类项即可。
20．（2分）（2021八上·会同期末）如图，数轴上 、 两点所表示的数是 和 点 是线段
的中点，则点 所表示的数是 .【答案】
【完整解答】解：∵点C为线段AB的中点
∴点C所表示的数为：
故答案为： .
【思路引导】根据点C为线段AB的中点可得点C表示的数为 ，计算即可.
三．解答题（共8题，满分60分）
21．（3分）（2021八上·遂宁期末）计算： + + + .
【答案】解：原式
.
【思路引导】先算开方运算，同时化简绝对值，然后合并即可.
22．（4分）（2021八上·高州月考）如图，数轴上点A，B，C 所对应的实数分别为a，b，c，试化简
．
【答案】解：由数轴得a<b<0<c，
∴a-c<0，a+b<0，
∴
=-b-（c-a）+（a+b）
=-b-c+a+a+b
=2a-c.【思路引导】根据数轴得出a<b<0<c，由此得出a-c<0，a+b<0，依次化简各式，再合并同类项即可。
23．（4分）（2020八上·长春月考）把下列各数分别填入相应的集合内：
0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加
1）
有理数集：
无理数集：
整数集：
分数集：
【答案】 ， ， ， ，0； ， ，π， ， ， ，
0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）； ，0； ， ， ．
【思路引导】根据整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数；无限不循环小数叫
做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.
24．（10分）（2021八上·峄城期中）解下列各题：
（1）（3分）计算： ；
（2）（3分）计算： ；
（3）（4分）如图，点A是数轴上表示实数a的点．
①用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的 的点P；（保留作图痕迹，不写作法）
②利用数轴比较 和a的大小，并说明理由．【答案】（1）解：
=-3+5-1
=1；
（2）解：
=
= ；
（3）解：①如图所示，点P即为所求；
②a＞ ，理由如下：
∵如图所示，点A在点P右侧，
∴a＞ ．
【思路引导】（1）利用二次根式的乘法及立方根进行计算即可；
（2）利用绝对值及平方差公式计算即可；（3）①过点1作x轴的垂线，在垂线上取1个单位长度的点，与点O连接此长度为 ，以点1为圆心，
以 长为单位画圆与x轴另一个交点即为实数 的点；
②点A在点P右侧 ，根据数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大，据此即得结论.
25．（6分）（2021八上·卢龙期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：
， ， ，0， ， ，
其中，甲说“ ”，乙说“ ”，丙说“ ”
（1）（1分）甲、乙、丙三个人中，说错的是 ．
（2）（5分）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内；
【答案】（1）甲
（2）正实数为 ， ，负分数为
【完整解答】（1） 是负分数，即是有理数范围内的，不是无理数，故甲错；
（2）正实数包括正有理数与正无理数，故答案为： 、 ；
负分数为： ．
【思路引导】（1） 是负分数，即是有理数范围内的，不是无理数，故甲错；（2）正实数包括正有理数与正无理数，据此判断即可。
26．（11分）如图1，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、60（单位：单位长度），将一根质地均匀的
直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C
点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．
（1）（1分）直尺的长为 个单位长度（直接写答案）
（2）（5分）如图2，直尺AB在数轴上移动，有BC=3OA，求此时A点对应的数；
（3）（5分）如图3，以OC为边搭一个横截面为长方形的不透明的篷子，将直尺放入篷内的数轴上的
某处（看不到直尺的任何部分，A在B的左边），将直尺AB沿数轴以5个单位/秒的速度分别向左、向右移
动，直到完全看到直尺，所经历的时间为t、t，若t﹣t=2（秒），求直尺放入蓬内，A点对应的数为多
1 2 1 2
少？
【答案】（1）20
（2）解：设A点表示的数为x，则B点表示的数为（x+20）
当x＞0时
由BC=3OA得60-（x+20）=3x
x= 10
当x＜0时
60-（x+20）=-3x
x=-20
（3）解：设A点对应的数为a（a＞0），
则 =2，
解得a=25，
答：A点对应的数为25
【完整解答】解：（1）如图1，由题意得：OA=AB=BC，
∵OC=60，∴AB=20，
故答案为：20；
【思路引导】（1）根据题意，线段OA=AB=BC，根据OC的长度，即可求出直尺AB的长度。
（2）设A点对应的数为x，根据BC=4OA的等量关系列方程，即可得出A点对应数。
（3）设A点对应的数为a，根据t-t=2的等量关系构建方程，即可得出A点对应的数。
1 2
27．（8分）（2020八上·滨海月考）操作与探究
（1）（1分）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以 ，再把所得数对应的点向右
平移1个单位，得到点P的对应点P′.
如图1，点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应
点分别为A′，B′.
若点A表示的数是﹣3，点A′表示的数是 ；若点B′表示的数是2，点B表示的数是
；
已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是 .
（2）（5分）对平面直角坐标系中的每个点P进行如下操作：先把点P的横、纵坐标都乘以同一种实数
a，将得到的点先向右平移b个单位，再向上平移4b个单位，得到点P的对应点P′.
如图2，正方形ABCD在平面直角坐标系中，对正方形ABCD及其内部的点进行上述操作后得到正方形
A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′.
①若已知A（﹣3，0）、A′（﹣1，2）、C（5，4），求点C′的坐标；
②如果正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标.
【答案】（1） ；4；
（2）解：∵A（﹣3，0）的对应点为A′（﹣1，2），{−3a+b=−1
根据题意得： ，
0×a+4b=2
解得： ，
∵C（5，4），
∴ ×5+ ＝3， ×4+4× ＝4，
∴点 （3，4）；
设F（m，n），
∵点F的对应点F′与点F重合，
∴ ，
解得： ，
∴F（1，4）.
【完整解答】解：（1）∵A、B的对应点分别为A′、B′，点A表示的数是﹣3，点B′表示的数是2，
∴﹣3× +1＝ ，（2﹣1）÷ ＝4，
∴A′表示的数为 ；B表示的数为4；
∵E的对应点E′与点E重合，
设E表示的数为x，
根据题意得： x+1＝x，
解得：x＝ ，∴E′表示的数为 .
故答案为： ，4， ；
【思路引导】（1）先把点P表示的数乘以 ，再把所得数对应的点向右平移1个单位，根据变换的关系
即可得到点P的对应点P′，即可求得点A′与点B表示的数；然后设E表示的数为x，根据题意得： x
＋1＝x，即可求得答案；
（2）①先把点P的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移b个单位，再向上平移4b个单
{−3a+b=−1
位，得到点P的对应点P′，与A（−3，0）、A′（−1，2），即可得方程组： ， 从而得
0×a+4b=2
到变换关系，继而求得答案；
②设F（m，n），由点F的对应点F′与点F重合可得 m+ =m， n+2=n，求解可得m、n，据此可得点F
的坐标.
28．（14分）如图，数轴上有A．B两点，AB=12，原点O是线段AB上的一点，OA=2OB．
（1）（4分）写出A，B两点所表示的实数；
（2）（5分）若点C是线段AB上一点，且满足AC=CO+CB，求C点所表示的实数；
（3）（5分）若动点P、Q分别从A．B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的
速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．
①当t为何值时，2OP﹣OQ=4；
②当点P到达点O时，动点M从点O出发，以每秒3个单位长的速度也向右运动，当点M追上点Q后立
即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到
点P、Q停止时，点M也停止运动，求在此过程中，点M行驶的总路程和点M最后位置在数轴上对应的实数．【答案】（1）解：∵AB=12，AO=2OB，
∴AO=8，OB=4，
∴A点所表示的实数为﹣8，B点所表示的实数为4
（2）解：设C点所表示的实数为x，
分两种情况：①点C在线段OA上时，则x＜0，如图1，
∵AC=CO+CB，
∴8+x=﹣x+4﹣x，
3x=﹣4，
x=﹣ ；
②点C在线段OB上时，则x＞0，如图2，
∵AC=CO+CB，
∴8+x=4，
x=﹣4（不符合题意，舍）；
综上所述，C点所表示的实数是﹣
（3）解：①当0＜t＜4时，如图3，
AP=2t，OP=8﹣2t，BQ=t，OQ=4+t，
∵2OP﹣OQ=4，
∴2（8﹣2t）﹣（4+t）=4，∴t= =1.6，
当点P与点Q重合时，如图4，
2t=12+t，t=12，
当4＜t＜12时，如图5，
OP=2t﹣8，OQ=4+t，
则2（2t﹣8）﹣（4+t）=4，
t=8，
综上所述，当t为1.6秒或8秒时，2OP﹣OQ=4；
②当点P到达点O时，8÷2=4，此时，OQ=4+t=8，即点Q所表示的实数为8，
如图6，设点M运动的时间为t秒，
由题意得：2t﹣t=8，
∴t=8，
此时，点P表示的实数为8×2=16，所以点M表示的实数也是16，
∴点M行驶的总路程为：3×8=24，
答：点M行驶的总路程为24和点M最后位置在数轴上对应的实数为16．
【思路引导】（1）根据OA=2OB，AB=12，即可求出OB和OA的长度，既而得出A和B点所表示的实数。
（2）C点可以在OA上，也可以在OB上，所以分类讨论，设C点表示的数为x，根据AC=CO+CB列方程，求
出C点的数值，根据题目要求做出取舍即可。
（3）①分三种情况：当P在AO中时，当PQ两点重合时，当P在BQ上运动时；根据2OP﹣OQ=4列方程，即可求出t的对应数值。
②由题可知，P点到O点时，即可求出Q所代表的数；可设点M运动的时间为t秒，根据题意，P和Q停止
时，解出t的数值，得出M点所对应的实数。
