文档文本内容
专题 02 期末复习专题：一元一次不等式与一元一次不等式组
目录
【考点一 不等式的基本性质】................................................................................................................................4
【考点二 解一元一次不等式（组）】....................................................................................................................6
【考点三 一元一次不等式（组）求解中错解复原问题】....................................................................................9
【考点四 根据一元一次不等式的解集求参数】..................................................................................................13
【考点五 利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围】...........................................................................15
【考点六 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】.......................................................................17
【考点七 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】...............................................................19
【考点八 整式方程(组)与一元一次不等式（组）结合求参数的问题】...........................................................21
【考点九 一元一次不等式（组）与一次函数结合的问题】...............................................................................23
【考点十 用一元一次不等式与不等式组解决实际问题】..................................................................................25
知识点01 不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不
等关系的式子也是不等式．
特别说明：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪
“≠” 读作“不等于”
个大，哪个小
“＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
读作“小于或等 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≤”
于”
读作“大于或等 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
“≥”
于”
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，
对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我
们说不等式成立，否则，不等式不成立．
知识点02 不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或 )．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或 )．
特别说明： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，
又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，
必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
知识点03 不等式的解与解集
1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
注意：
不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围
是一个集合，是一个范围．其含义：
不等式的解集 ①解集中的每一个数值都能使不等式成立；
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
知识点04 一元一次不等式（组）的定义
1.一元一次不等式
（1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不
等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也
有联系，即一元一次不等是属于不等式．
2.一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的定义：
几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
（2）概念解析
形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也
有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的
任意几个．
知识点05 解一元一次不等式（组）
1.解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等
号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
2.解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组
的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些
解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
知识点06 一元一次不等式（组）的整数解
1.解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要
的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而
非常容易的解决问题．
2.一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一
步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结
果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
知识点07 一元一次不等式（组）的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题
的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等
关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
知识点08 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集
(1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合.
(2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合.
(3)一元一次不等式kx+b>kx+b 的解集，一次函数y=kx+b 图象在一次函数y=kx+b 图象上方的点的横
1 1 2 2 1 1 2 2坐标所组成的集合.
(4)一元一次不等式kx+b<kx+b 的解集，一次函数y=kx+b 图象在一次函数y=kx+b 图象下方的点的横
1 1 2 2 1 1 2 2
坐标所组成的集合.
【考点一 不等式的基本性质】
例题：（23-24八年级下·河南郑州·期末）若 ，则下列式子错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）若 ，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）若 ，下列不等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【考点二 解一元一次不等式（组）】
例题：（24-25七年级下·四川宜宾·期末）（1）解不等式： ，并把它的解集表示在数轴上．
（2）解不等式组： ，并求它的非正整数解．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）（1）解不等式： ，并将解集表示在下列数轴上；
（2）解不等式组：2．（24-25八年级上·广东深圳·期末）（1）解不等式： ，并写出该不等式的最大整数解．
（2）解不等式组： ，并在数轴上表示它的解集．
3．（24-25八年级上·重庆·期末）解不等式（组）：
(1)解不等式，并把解集表示在数轴上： ；
(2)解不等式组： ．
【考点三 一元一次不等式（组）求解中错解复原问题】
例题：（23-24七年级下·山西临汾·期末）下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务．
解不等式：
解： 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一：
填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据______（填运算律）进行变形的；
②第______步开始出错，这一步错误的原因是______；
任务二：
请直接写出该不等式的解集______并把它的解集在数轴上表示出来．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·四川内江·期末）解不等式（组）
(1)小英解不等式 的过程如下，请指出她解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过
程．
解：去分母得： ①去括号得： ②
移项得： ③
合并同类项得： ④
两边都除以 得： ⑤
(2)解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
2．（23-24八年级下·河南郑州·期末）下面是小明作业本上解不等式组 的部分过程，
请认真阅读，完成相应任务．
解：由不等式①得，
第1步
∴ 第2步
∴ 第3步
∴ 第4步
∴ 第5步
任务一：小明的解答过程中，第______步是依据乘法分配律进行变形的；第 步开始出现错误，这一步错
误的原因是 ；
任务二：不等式②的解集是 ；直接写出这个不等式组的整数解是 ．
任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式组需要注意的事项给其他同学分享一下．（至少说两条）
3．（23-24八年级下·江西九江·期末）（1）下面是某同学解不等式组 ，的过程，请认真阅
读并完成相应任务．
解：令
解不等式①，
去分母，得 ………第一步
移项，得 ………第二步
合并同类项，得 ………第三步
系数化为1，得 ………………第四步
任务一：上述解不等式①的过程第________步出现了错误，其原因是：________．不等式①的解集是________．
任务二：求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来．
【考点四 根据一元一次不等式的解集求参数】
例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）已知关于x的方程 的解是不等式 的一个解，
则a的取值范围是 ．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·北京·期末）关于x的不等式 的解如图所示，则 ．
2．（23-24七年级下·全国·期末）定义新运算“ ”，规定： ，若关于 的不等式 的
解集为 ，则 的值为 ．
3．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）若关于x的不等式 的解集是 ，那么关于
x的不等式 的解集是 ．
【考点五 利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围】
例题：（23-24七年级下·天津南开·期末）关于x的不等式 有2个正整数解，则a的取值范围是
．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·广东广州·期末）若关于 的不等式 的正整数解是1，2，3，则整数 的最小值
是 ．
2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）若 是关于x的不等式 的一个整数解，而 不
是其整数解，则m的取值范围为 ．
3．（23-24七年级下·江苏南京·期末）若关于 的不等式 只有4个正整数解，则 的取值范围为 ．
【考点六 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】
例题：（24-25八年级上·四川成都·期末）如果关于 的不等式组 有且只有5个整数解，则符
合条件的所有整数 的和为 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）已知关于 的不等式组 有4个整数解，那么实数的取值范围是 ．
2．（23-24七年级下·四川广安·期末）若关于x的不等式组 仅有5个整数解，则 的取值范围
为 ．
3．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）若关于x的不等式组 所有整数解的和为9，则整数m
的值为 ．
【考点七 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】
例题：（24-25七年级下·全国·期末）若关于x的不等式组 无解，则a的取值范围为 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）不等式组 的解集是 ，则m的取值范围是 ．
2．（24-25八年级上·广东深圳·期末）已知关于x的不等式组 无解，则a的取值范围为
．
3．（23-24七年级下·福建福州·期末）若关于 的不等式组 的解集是 ，则 的值为
．
【考点八 整式方程(组)与一元一次不等式（组）结合求参数的问题】
例题：（23-24七年级下·山东威海·期末）已知关于x，y的方程组 的解满足
，求m的取值范围 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数
a的值为 ．
2．（23-24七年级下·河南三门峡·期末）已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足
，则a的取值范围是 ．
3．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）已知关于 ， 的二元一次方程组的解 满足 ，则的取值范围是 ．
【考点九 一元一次不等式（组）与一次函数结合的问题】
例题：（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，直线 与直线 交于点A，
当 时，x的取值范围是 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，直线 与 交点的横坐标为3，则关于
x的不等式 的解为 ．
2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，已知函数 和 的图象交于点 ，则根
据图象可得不等式 的解集是 ．
3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一次函数 的图象如图所示，点 在该函数
的图象上，则关于 ．的不等式 的解集为 ．【考点十 用一元一次不等式与不等式组解决实际问题】
例题：（24-25八年级上·广西贺州·期末）某中学决定在“文体周”为一个节目制作 、 两种道具，共80
个，制作的道具需要甲、乙两种材料组合而成，现有甲种材料300件，乙种材料280件，已知组装 、
两种道具所需的甲、乙两种材料，如下表所示：
甲种材料（件） 乙种材料（件）
道具 3 4
道具 5 2
经过计算，制作一个 道具的费用为5元，一个 道具的费用为4元．设组装 种道具 个，所需总费用
为 元．
(1)求 与 的函数表达式，并求出 的取值范围；
(2)问组装 种道具多少个时，所需总费用最少，最少费用是多少？
【变式训练】
1．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）舟山市某校第 届科技体育人文艺术节，吉祥物“菱菱”脱颖而出，
学校将它定制成钥匙扣和立牌．若定制钥匙扣 件，立牌2件共需要8元；若定制钥匙扣 件，立牌5件
共需要 元．
(1)钥匙扣和立牌单价分别是多少？
(2)学校计划购买钥匙扣和立牌共 件，总费用不超过 元，那么最多能购买立牌多少件？
2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建 ， 两种光伏车棚．
已知修建 个A种光伏车棚需投资 万元， 个 种光伏车棚需投资 万元，若修建 ， 两种光伏车棚共
个，要求修建的 种光伏车棚的数量不少于修建的 种光伏车棚数量的 倍．设修建 种光伏车棚 个，修建车棚总费用为 万元．
(1)求出 （万元）关于 （个）的函数关系式，并求出自变量 的取值范围；
(2)修建多少个 种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）为落实“五育并举”，我市某学校积极开展“阳光体育运动”．引
导学生走向操场、积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的开展，学校计划购进 ，
两种品牌的足球共50个，其中 品牌足球的价格为100元/个，购买 品牌足球所需费用 （单位：
元）与购买数量 （单位：个）之间的关系如图所示．
(1)购买数量 个时， 品牌足球的价格_____元/个；
(2)求出当 时， 与 的函数表达式：
(3)若购买 种品牌足球的数量不超过30个，但不少于 种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费
用 （单位：元）最低，并求出最低费用．
