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第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组
2.3 不等式的解集
基础篇
一、单选题
1．（2022春·安徽亳州·七年级统考阶段练习）下列解集中，包括2的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式表示的解集范围进行判断即可．
【详解】解：A． 表示比2小的数，不包含2，故A不符合题意；
B． 表示比3大或与3相等的数，不包含2，故B不符合题意；
C． 表示比3小或与3相等的数，包含2，故C符合题意；
D． 表示比2大的数，不包含2，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了不等式的解集，解题的关键是熟练掌握不等式解集的定义．
2．（2022春·甘肃兰州·八年级校考期中）如果关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【详解】解：∵关于x的不等式 的解集为 ，
∴ ，
解得 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式
子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或
除以）同一个负数，不等号的方向改变，解题关键是熟记不等式的性质，正确应用．
3．（2022春·四川眉山·七年级统考期末）下列各数中，满足不等式 的是（ ）A． B．0 C．1 D．3
【答案】A
【分析】根据各项数据的大小，判断其是否满足不等式的解集即可．
【详解】∵-4＜0，0＜1＜3，x＜0，
∴满足条件的只有-4，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式解集的知识，关键是明白不等式解的取值范围．
4．（2022春·贵州贵阳·八年级统考期中）解集在数轴上表示为如图所示的不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴可以得到不等式的解集．
【详解】解：根据不等式的解集在数轴上的表示，向右画表示>或 ，空心圆圈表示>，故该不等式的解集
为x>2； ⩾
故选C
【点睛】本题要考查的是在数轴上表示不等式的解集，运用数形结合的思想是本题的解题关键
5．（2022秋·八年级单元测试）某次知识竞赛共有 20 道题，规定每答对一题得 10 分，答错或不答都扣
5 分，小明得分要超过 120 分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对 x 道题，根据题意得（ ）
A．10x﹣5（20﹣x）≥120 B．10x﹣5（20﹣x）≤120
C．10x﹣5（20﹣x）＜120 D．10x﹣5（20﹣x）＞120
【答案】D
【分析】根据小明得分要超过 120 分，列出不等式即可解答；
【详解】解：根据题意：小明答对x道，打错20-x道，
∴10x+（﹣5）（20-x）＞120，
∴10x﹣5（20-x）＞120，
故选：D；
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意准确判断不等式符号是解题关键．
6．（2022秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）A疫苗冷库储藏温度要求为 ， 疫苗冷库储藏温度
要求为 ，若需要将A， 两种疫苗储藏在一起，则冷库储藏温度要求为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将A， 两种疫苗储藏在一起，冷库储藏温度正好是A疫苗冷库储藏温度的最低度数和 疫苗冷
库储藏温度的最高度数．
【详解】解：∵A疫苗冷库储藏温度要求为 ， 疫苗冷库储藏温度要求为 ，
∴A， 两种疫苗储藏在一起，冷库储藏温度要求为 ．
故选：C．
【点睛】此题考查了不等式，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，解题的关键是读懂题
意，搞懂A疫苗冷库储藏温度和 疫苗冷库储藏温度的要求．
二、填空题
7．（2023春·七年级课时练习）写出一个解集为 的一元一次不等式___________．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据题意写出符合要求的不等式即可．
【详解】解：解集为 的一元一次不等式可以是 ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解集，解题的关键是理解一元一次不等式解集的定义．
8．（2021春·八年级课时练习）在0， ，3， ， ， ，4， 中，_______是方程 的解；
_____是不等式 的解；_____是不等式 的解．
【答案】 0， ，3， ， ，4 ，
【分析】分别解方程、不等式得出方程的解和不等式的解集，从而得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即 是方程 的解；
∵ ，
∴ ，
则0， ，3， ， ，4是不等式 的解；
∵ ，，
则 、 是不等式 的解；
故答案为： ；0， ，3， ， ，4； 、 ．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键．
9．（2020春·八年级统考课时练习）一个数x的 与-4的差不小于这个数的2倍加上5所得的和，则可列
不等式为________．
【答案】
【分析】根据题意有x的 与-4的差可表示为 ，这个数的2倍加上5所得的和可表示为 ，
不小于即为 ，则可列出不等式．
【详解】根据题意有
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查列不等式，掌握列不等式的方法是解题的关键．
10．（2021春·八年级课时练习）有下列说法:①x= 是不等式4x-5>0的解;②x= 是不等式4x-5>0的一个
解;③x> 是不等式4x-5>0的解集;④x>2中任何一个数都可以使不等式4x-5>0成立,所以x>2也是它的解集.
其中正确的是__.(填序号)
【答案】②③
【分析】分别解①②③④中的不等式，再根据不等式的解去判断正误.
【详解】 4x-5>0 故x= 不是不等式4x-5>0的解;
② x= 是不等式4x-5>0的一个解;
③x> 是不等式4x-5>0的解集;
④x>2中任何一个数都可以使不等式4x-5>0成立,但不是它的解集.
【点睛】此题重点考查学生对不等式解的理解，掌握不等式的解法是解题的关键.三、解答题
11．（2021春·八年级课时练习）将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】画图见解析．
【分析】根据在数轴上表示不等式的解集的方法分别画出所求范围即可．
【详解】解：（1）如图所示：
；
（2）如图所示：
；
（3）如图所示：
；
（4）如图所示：
．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含
于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
12．（2021春·八年级课时练习）某弹簧测力计的测量范围是0至 ，小明未注意弹簧测力计的测量范
围，用弹簧测力计测量了一个物体，取下物体后，发现弹簧没有恢复原状．你知道这个物体的重力在什么
范围吗？
【答案】这个物体的重力大于 ．
【分析】根据已知得出弹簧测力计的测量范围是0至 ，再根据已知用弹簧测力计测量一个物体，取下
物体后，发现弹簧没有恢复原状得出答案即可．
【详解】解：∵弹簧测力计的测量范围是0至 ，用弹簧测力计测量一个物体，取下物体后，发现弹簧
没有恢复原状，
∴这个物体的重力大于 ．
【点睛】本题考查了不等式的定义，能根据题意得出不等式是解此题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2023春·八年级课时练习）若关于x，y的二元一次方程组 的解满足2x+y＞5，则a的
取值范围是_______．
【答案】
【分析】将两根方程相加可得 ，根据 得出关于a的不等式，解之可得答案．
【详解】解：将两个方程相加可得 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注
意不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号方向要改变．
2．（2023春·七年级课时练习）若关于 的不等式 的正整数解是 ， ， ， ，则整数 的最小
值是______．【答案】
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含 的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，
根据解的情况可以得到关于 的不等式，从而求出 的范围．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵不等式的正整数解恰是 ， ， ， ，
∴ ，
∴ 的取值范围是 ．
∴整数 的最小值是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解出不等式的解集，确定 的范围是解决本题的关
键．解不等式时要用到不等式的基本性质．
3．（2023春·七年级课时练习）已知 是关于x，y的二元一次方程，则 ________
（填“是”或“不是”）不等式 的解．
【答案】不是
【分析】先根据二元一次方程的定义求出k值，从而得k+1的值，再把k+1代入不等式检验，即可求解．
【详解】解：∵ 是关于x，y的二元一次方程，
∴ ，解得：k=-5，
∴k+1=-5+1=-4，
把x=k+1=-4代入不等式左边得-4+2=-2,
把x=k+1=-4代入不等式右边得2×(-4)-1=-9,
∵-2>-9，
∴k+1不是不等式 的解，
故答案为：不是．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义，判定一个数是否是不等式的解，求出k值是解题的关键．
4．（2021秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期中）以下说法正确的是：_______.①由 ，得 ；②由 ，得
③由 ，得 ；④由 ，得
⑤ 和 互为相反数；⑥ 是不等式 的解
【答案】②③④
【分析】根据不等式的基本性质得出结论即可．
【详解】解：①由 ，当 时，得 ，故结论①错误；
②由 ，得 ，故结论②正确；
③由 ，得 ；故结论③正确；
④由 ，得 ；故结论④正确；
⑤ 和 互为相反数，当 为奇数时， ，故结论⑤错误；
⑥ 是不等式 的解，故结论⑥错误；
故正确的结论为：②③④．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解本题的关键．
5．（2023春·八年级课时练习）东营市出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都需
付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.5元（不足1千米按1千米计）．某人从甲地到乙
地经过的路程是x千米，出租车费为15.5元，那么x的最大值是______．
【答案】
【分析】已知从甲地到乙地共需支付车费 元，从甲地到乙地经过的路程为 千米，首先去掉前 千米
的费用，从而根据题意列出不等式，从而得出答案．
【详解】解：设他乘此出租车从甲地到乙地行驶的路程是 千米，
依题意，可得： ，
解得： ．
即：他乘此出租车从甲地到乙地行驶路程不超过 千米．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意明确其收费标准分两部分是解本题的关键．
二、解答题
6．（2023春·八年级课时练习）解不等式并在数轴上表示它们的解集：
(1)(2)
【答案】(1) ，图见解析
(2) ，图见解析
【分析】（1）根据一元一次不等式的解法：移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案，再结合不等式
解集在数轴上的表示作出图形即可；
（2）根据一元一次不等式的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案，再结
合不等式解集在数轴上的表示作出图形即可．
【详解】（1）解： ，
移项： ，
合并同类项： ，
系数化为1： ，
不等式的解集为 ，
在数轴上表示不等式的解集：
；
（2）解：去分母： ，
去括号： ，
移项： ，
合并同类项： ，
系数化为1： ，
不等式的解集为 ，
在数轴上表示不等式的解集：
．
【点睛】本题考查一元一次不等式的解法和在数轴上表示不等式的解集，掌握一元一次不等式的解法步骤
是解决问题的关键，注意：在数轴上表示不等式解集时，①分清实心点与空心点；②解集作图的方向．
7．（2023春·八年级课时练习）已知关于 的方程 ，
(1)若该方程的解满足 ，求 的取值范围；(2)若该方程的解是不等式 的最小整数解，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足 ，得到关于x的不等式，即可求解；
（2）求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式 的最小整数解，可得 ，即可
求解．
【详解】（1）解： ，
解得： ，
∵该方程的解满足 ，
∴ ，
解得： ；
（2）解：
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
解得： ．
∵该方程的解是不等式 的最小整数解，
∴ ，
∴ ，解得： ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次
方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
8．（2023春·八年级课时练习）永辉超市要购进A、B两种型号的电压力锅，已知购进2台A和3台B花费
1650元；购进1台A和2台B花费1000元．
(1)求A和B两种型号的压力锅每台进价分别是多少元．
(2)为了满足市场需求，超市决定用不超过19150元采购A、B两种型号的压力锅共60台，且B型号压力锅
的数量的2倍不低于A型号压力锅，该商场有几种进货方式．(3)在（2）的条件下A型号压力锅促销期间售价是389元，B型号压力锅促销期间售价是469元，该超市选
择哪种进货方式利润最大．
【答案】(1)A型号压力锅的进价为300元/台，B型号压力锅的进价为350元/台
(2)有4种进货方式
(3)购进37台A型号压力锅、23台B型号压力锅时，全部销售完后获得的利润最大
【分析】（1）设A型号压力锅的进价为x元/台，B型号压力锅的进价为y元/台，根据“购进2台A和3
台B花费1650元；购进1台A和2台B花费1000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可
得出结论；
（2）设购进m台B型号压力锅，则购进（60-m）台A型号压力锅，根据“购进B型号压力锅的数量的2
倍不低于A型号压力锅，且采购60台压力锅时总费用不超过19150元”，即可得出关于m的一元一次不
等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出进货方案的种数；
（3）设该商场将两种压力锅全部售出后获得的利润为w元，根据总利润=每台的销售利润×销售数量，即
可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）设A型号压力锅的进价为x元/台，B型号压力锅的进价为y元/台，
依题意得： ，
解得： ．
答：A型号压力锅的进价为300元/台，B型号压力锅的进价为350元/台．
（2）设购进m台B型号压力锅，则购进 台A型号压力锅，
依题意得： ，
解得： ．
又∵m为整数，
∴m可以取20，21，22，23，
∴该商场有4种进货方式．
（3）设该商场将两种压力锅全部售出后获得的利润为w元，
则 ，∵ ，
∴w随m的增大而增大，
∴当 时，w取得最大值，此时 ，
∴该超市购进37台A型号压力锅、23台B型号压力锅时，全部销售完后获得的利润最大．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键
是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出不等量关系，正确列出一元一次不等式组；
（3）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
