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专题13 双曲线中的定点、定值、定直线问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．P为椭圆 上异于左右顶点 ， 的任意一点，则直线 与 的斜率之积为定值
，将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线 上异于左右顶点 ，
的任意一点，则（ ）
A．直线 与 的斜率之和为定值 B．直线 与 的斜率之积为定值
C．直线 与 的斜率之和为定值 D．直线 与 的斜率之积为定值
【解析】设 ，则 ，即： ，
， ， ，
为定值.故选：D.
2．已知直线l： 与双曲线C： 交于P，Q两点，QH⊥x轴于点H，直线PH与双曲线
C的另一个交点为T，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【解析】设 ， ， ， ，则 .由 得， ，
则 ， .
，∴ ，∴ .故选：B.
3．已知A，B是双曲线Γ： ＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若
PA，PB的斜率分别为k，k，则以下总为定值的是（ ）
1 2
A．k＋k B．|k－k|
1 2 1 2
C．kk D．
1 2
【解析】由题意可得A(－a，0)，B(a，0)，设P(m，n)(m＞0，n＞0)，
可得 即 ，又k＝ ，
1
所以kk＝ ，所以kk 为定值
1 2 1 2
，不为定值；
，不为定值；
，不为定值
故选：C
4．已知双曲线 ， 为坐标原点， ， 为双曲线上两动点，且 ，则
（ ）
A．2 B．1 C． D．
【解析】由题意设 直线方程为 ， 直线方程为 ，设则 ，同理 ，
所以 ， ，即 .故选：D
5．已知 ， 是双曲线 的焦点， 是过焦点 的弦，且 的倾斜角为 ，那么
的值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．随 变化而变化
【解析】由双曲线方程 知， ，双曲线的渐近线方程为
直线 的倾斜角为 ，所以 ，又直线 过焦点 ，如图
所以直线 与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得， …………(1)，
…………(2)
由(1)+(2)得 ， .故选：A
6．已知双曲线 ： 的渐近线方程为 ，且焦距为 ，过双曲线 中心的
直线与双曲线 交于 两点，在双曲线 上取一点 （异于 ），直线 ， 的斜率分别为 ，
，则 等于（ ）
A． B． C． D．【解析】双曲线 的两条渐近线方程为 ，所以 ，因为焦距为 ，所以 ，
又 ，所以 ， ，故双曲线的方程为 ．
设点 ，则根据对称性可知 ，点 ， ， ，
所以 ，且 ， ，两式相减可得 .故选：B
7．已知双曲线 的离心率为3，斜率为 的直线 分别交F的左右两支于A，B两
点，直线 分别交F的左、右两支于C，D两点， ， 交 于点E，点E恒在直线l上，若直线l
的斜率存在，则直线的方程为（ ）
x+4 y=0
A． B． C． D．
【解析】由题得 ，
设 的中点 的中点 ，
则 ，得 ，
所以 ，所以 ①，同理得 ②，
因为 ，则E，M，N三点共线，所以 ，将①②代入得 ，即
，因为直线l的斜率存在，所以 ，
所以 ，即点E在直线 上.故选：A.8．数学美的表现形式多种多样，其中美丽的黄金分割线分出的又岂止身材的绝妙配置，我们称 （其
中 ）的双曲线 为黄金双曲线，若P为黄金双曲线上除实轴端点外任意一点，以原
点O为圆心，实轴长为直径作 ，过P作 的两条切线，切点分别为A，B，直线 与x，y轴分别交
于M，N两点，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ，则 ，即 .
因为 ， ，所以 ，解得 .
由题意 四点共圆，圆心为 的中点 ，半径为 ，
所以方程为 ； 的方程为 ；
两式相减可得直线 的方程 ，令 得 ，即 ；
令 得 ，即 ； ，
所以 .故选：B.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点 在双曲线 上，下列结论正确
的是（ ）A． B．双曲线 的渐近线方程为
C．存在点 ，满足 D．点 到两渐近线的距离的乘积为
【解析】对于A选项，因为 ， ，则 ，
所以，双曲线 的方程为 ，则 ，A错；
对于B选项，双曲线 的渐近线方程为 ，B对；
对于C选项，若存在点 ，使得 ，则点 必在双曲线 的右支上，
由双曲线的定义可得 ，可得 ，
设点 ，则 ，则
，矛盾，故不存在点 ，使得 ，C错；
对于D选项，设点 ，则 ，
则点 到直线 的距离为 ，
点 到直线 的距离为 ，所以， ，D对.
故选：BD.
10．已知A，B分别为双曲线 的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点设
的面积为S，则（ ）
A． 为定值 B． 为定值
C． 为定值 D． 为定值【解析】不妨设 ，则 ，
， ，
因此 ，其中 ．
对于选项A， 为定值．
对于选项B，由于 ，
因此若 为定值，则 为定值，从而 和 是确定的值，矛盾，对于选项C，
D，有 ，因此 是定值， 不是定值．
故选：AC.
11．已知点P为双曲线 上任意一点， 为其左、右焦点，O为坐标原点．过点P
向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为M、N，则下列所述正确的是（ ）
A． 为定值 B．O、P、M、N四点一定共圆
C． 的最小值为 D．存在点P满足P、M、 三点共线时，P、N、 三点也共线
【解析】设 ，点 到渐近线 的距离为 ，同理 ，则 ， ，即 ，
（定值），故A正确；
当M、N均不与O重合时，由 ， 和 均为直角三角形，
故M，N两点在以OP为直径的圆上；
当M、N有与O重合时，也满足O、P、M、N四点共圆．故B正确；
由双曲线的对称性可知 ，
其中 ， ， 成立，故C正确；
如图，
利用双曲线的对称性，不妨设直线 垂直一条渐近线，垂足为M；直线 垂直另一条渐近线且交双曲
线于点P，易知直线 与直线 的交点始终落在y轴上，故D不正确．
故选：ABC．
12．已知双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线
l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（ ）
A． 的最小值为8
B．若直线l经过 ，且与双曲线C交于另一点Q，则 的最小值为6
C． 为定值
D．若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为
【解析】依题意 ， ， ， ， ， ，设 ，则 ， ，即 ，双曲线C的两条渐近线方程为 ，
对于A， ，A正确；
对于B，若Q在双曲线C的右支，则通径最短，通径为 ，
若Q在双曲线C的左支，则实轴最短，实轴长为 ，B错误；
对于C，
是定值，C正确；
对于D，不妨设 ， ，直线l的方程为 ，
由 得 ，
若直线l与双曲线C相切，则 ，化简整理得 ，
则点M，N的纵坐标之积 ，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．设P是双曲线 右支上任一点，过点P分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E、F，则的值为 ．
【解析】渐近线方程为 ，设 ，则 ，所以 ．
由点到直线的距离公式有 ， ，
∴ .
14．已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角的正切值为 .若直线 （ 且
）与双曲线交于A，B两点，直线 ， 的斜率的倒数和为 ，则直线 恒经过的定点
为 .
【解析】因为双曲线方程为 一条渐近线的倾斜角的正切值为 .所以 ，解得 ，
所以双曲线方程为 .
设 ， ，联立 得 ，
.
由韦达定理得 ， .
因为 ，所以
.所以 ，由题意知 ，此时 .
所以直线方程为 ，恒经过的定点为 .
15．双曲线 的离心率为 ， 分别是 的左，右顶点， 是 上异于 的一动点，
直线 分别与 轴交于点 ，请写出所有满足条件 的定点 的坐标 .
【解析】 双曲线 的离心率 ， ，即双曲线 ，
， ，设 ，则 ， ，
直线 ， ， ， ，
设 ，则 ， ，
，
又 ， ，
，解得： ， 定点 或 .
16．已知双曲线 ，过点 的动直线与C交于两点P，Q，若曲线C上存在某定点A使得
为定值 ，则 的值为 ．
【解析】设 ， ， ， ，则 ，
由 ，可得 ，则 ， ，所以
，要使 为定值 ，则 ，
可得 ， ， 或 ， ， ，故 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．从双曲线 上一点 向 轴作垂线，垂足恰为左焦点 ，点 分别是双曲线的
左、右顶点，点 ，且 ， .
(1)求双曲线的方程；
(2)过点 作直线 分别交双曲线左右两支于 两点，直线 与直线 交于点 ，证明：点
在定直线上.
【解析】（1）令 ，代入双曲线方程可得 ，所以设 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 ， ， ，
所以双曲线的方程为 .
（2）设 ， ，直线 ，联立 可得， ，由 可得 或 ，
所以 ， ，直线 ①
直线 ②
③
由①÷②可得
把③代入上式化简可得 ，解得 ，所以点 在定直线 上.
18．已知双曲线 过点 ，且焦距为 .
(1)求 的方程；
(2)已知过点 的动直线 交 的右支于 两点， 为线段 上的一点，且满足 ，证明：
点 总在某定直线上.
【解析】（1）由题意可得 ，解得 ，所以，双曲线 的方程为 .
（2）设点 、 、 ，因为 ，即 ，记 ，
又A、P、B、Q四点共线，则 ， ，
即 ， ，
有 ， ，得 ， ，
又因为 ，则 ，作差可得 ，
即 ，得 ，即 ，
故点Q总在定直线 上.
19．已知双曲线 的焦距为 ，点 在双曲线 上.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)点 是双曲线 上异于点 的两点，直线 与 轴分别相交于 两点，且 ，求
证：直线 过定点，并求出该定点坐标.
【解析】（1）由题意知 ，解得 ， ， ，双曲线 的方程为 .
（2）证明：设直线 的方程为 ，联立方程组 ，消去 ，得 ，
则 ， ，
所以直线 方程为 ，令 ，则 ，
同理直线 方程为 ，令 ，则 ，
由 ，可得 ，即 ，
即 ，
即 ，即 ，
即 ，即 ，
即 ，当 时， ，
此时直线 方程为 ，恒过定点 ，不符合题意；
当 时，直线 方程为 ，恒过定点 符合题意，
综上所述，直线 过定点 .
20．已知点 为双曲线 上一点， 的左焦点 到一条渐近线的距离为 .
(1)求双曲线 的标准方程；(2)不过点 的直线 与双曲线 交于 两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线
过定点，并求该定点的坐标.
【解析】（1）设 到渐近线 ，即 的距离为 ，
则 ，结合 得 ，
又 在双曲线 上，所以 ，得 ，所以双曲线 的标准方程为 .
（2）联立 ，消去 并整理得 ，
则 ， ，即 ，
设 ， ，则 ， ，
则
，
所以 ，
所以 ，
所以 ，整理得 ，
所以 ，所以 ，
因为直线 不过 ，即 ， ，所以 ，即 ，
所以直线 ，即 过定点 .21．已知双曲线 ： 实轴 长为4（ 在 的左侧），双曲线 上第一象限内的一点 到两渐
近线的距离之积为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设过 的直线与双曲线交于 ， 两点，记直线 ， 的斜率为 ， ，请从下列的结论中选
择一个正确的结论，并予以证明.
① 为定值；② 为定值；③ 为定值
【解析】（1）设 是 上的一点， 与 是 的两条渐近线，
到两条渐近线的距离之积 ，
依题意， ，故 ，双曲线 的标准方程为 ；
（2）正确结论：③ 为定值.
证明如下：由（1）知 ， ，设 ， ，
因为 ， 不与 ， 重合，所以可设直线 ： ，
与 联立： ，消去 整理可得：
故 ， ， ，
所以 ， ， ，① ，不是定值，
② ，不是定值，
③ ，所以 是定值.
22．已知双曲线 的右焦点，右顶点分别为 ， ， ， ，点 在线
段 上，且满足 ，直线 的斜率为1， 为坐标原点.
(1)求双曲线 的方程.
(2)过点 的直线 与双曲线 的右支相交于 ， 两点，在 轴上是否存在与 不同的定点 ，使得
恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设 ，所以 ， ， ，
因为点 在线段 上，且满足 ，所以点 ，
因为直线 的斜率为1，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ， ， . 所以双曲线 的方程为 .
（2）假设在 轴上存在与 不同的定点 ，使得 恒成立，当直线l的斜率不存在时，E在x轴上任意位置，都有 ；
当直线l的斜率存在且不为0时，设 ，直线l的方程为 ，
直线 与双曲线 的右支相交于 ， 两点，则 且 ，
设 ， ，由 ，得 ， ， ，
所以 ， ，
因为 ，即 ，所以 平分 ， ，
有 ，即 ，得 ，
所以 ，由 ，解得 .
综上所述，存在与 不同的定点 ，使得 恒成立，且 .
