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2025-2026 学年八年级下册数学单元自测
第二章 不等式与不等式组·能力提升
建议用时：60分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列式子：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ．其中是不等
式的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】本题考查的是不等式的定义，即用不等号（ ， ， ， ， ）表示不等关系的式子叫做不等式，
理解不等式的定义是解题的关键．
根据不等式的定义对各小题进行逐一分析即可．
【详解】解：∵不等式需含有不等号，
∴① ；② ；④ ；⑥ ，是用不等号连接的式子，故是不等式．
而③ 是等式；⑤ ；⑦ ，是代数式，这三个都不是不等式．
∴共有 个不等式.
故选：B．
2．要使得代数式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，不等式组的解法，熟记分式及二次根
式有意义的条件是解本题的关键．由分式及二次根式有意义的条件可得 ，再解不等式组即可．
【详解】解：∵代数式 有意义，∴ ，
解得 且 ．
故选：D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】本题主要考查了等式的基本性质、不等式的性质等知识点，灵活运用等式的基本性质和不等式的
基本性质是解题的关键．
根据等式的基本性质、不等式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：A．由 得 ，即 或 ，不一定 ，故A错误；
B．当 时，分式无意义，必须 才成立，故B错误；
C．若 ，乘以负数 ，不等号方向改变， ，故C错误；
D．若 ，且 ，即 两边除以 得 ，故D正确．
故选：D．
4．下列解不等式 的过程： 去分母，得 ； 去括号，得 ；
移项，得 ； 合并同类项，得 ； 系数化为 ，得 ．其中，开始出现错
误的一步是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的一般步骤逐一排除即可，熟练掌握
解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键．
【详解】解：∵原不等式： ，
去分母（两边乘 ）： ，∴ （步骤 正确），
去括号： （步骤 正确），
移项： （步骤 正确），
合并同类项： （步骤 正确），
系数化为 （两边乘 ，不等号方向改变）： ，
但步骤 得 ，错误，故开始出现错误的一步是 ，
故选： ．
5．若关于 ， 的方程组 的解满足不等式 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟知不等式的基本性质是解答此题的关
键．
直接把两方程相减，得到 关于 的表达式，再代入不等式求解即可．
【详解】解：方程组
，得： ，
，
，
解得 ，
故选：A．
6．已知关于 的不等式组 有解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式组有解的条件，先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不
等式组有解的条件确定a的取值范围．
【详解】解：解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
∵关于 的不等式组 有解，
∴ ，
故选：D．
7．已知关于 的不等式组 的最小整数解是3，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先分别解两个不等式，得到不等式组的解集为 ，根据最小整数解是 ，可知 不
是解而 是解，从而得出关于 的不等式组，求解即可．
【详解】解：解不等式组：
解第一个不等式：
∵
∴ ．
解第二个不等式：
∵
两边乘 ：
展开：
移项：
∴ ．
即 ．∴ 不等式组的解集为 ．
∵ 最小整数解是
∴ 不是解，故 ．
又 ∵ 是解，故
∵
∴ ．
即 ．
∵ 且
∴ ．
即 ．
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了知识点一元一次不等式组的整数解，解题关键是根据最小整数解的条件，建立关于
的不等式，从而确定 的取值范围．
8．对于实数 ， 定义一种运算“ ”： ，则不等式组 的解集在数轴上表示
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，将不等式组的解集表示在数轴上，先由新定义运
算可得不等式组为 ，再分别求解，表示在数轴上即可，熟练掌握以上知识点并灵活运
用是解此题的关键．【详解】解：∵对于实数 ， 定义一种运算“ ”： ，
∴不等式组 为 ，
解 可得： ，
解 可得： ，
将解集表示在数轴上如图所示：
故选：D．
9．已知一次函数 与 的图象如下图所示，其交点 的坐标为 ，直线 与
轴的交点坐标为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．方程 的解是
B．方程组 的解是
C．关于x的不等式 的解集是
D． 的解集为
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，两条直线的交点求方程组的解，
先根据直线与x轴的交点求出方程的解判断A，再求出两条直线的交点，并判断方程组的解，说明B；然
后根据两条直线的位置求出不等式的解集解答C；最后根据直线 与x轴的交点解答D．
【详解】解：∵直线 与x轴交于点 ，∴方程 的解是 ， ，
解得 ，即 ，
则A不正确，不符合题意；
∵一次函数 与 交点为 ，
∴ ，
即 ，
∴方程组 的解是 ，
则B不正确，不符合题意；
关于x的不等式 的解集是 ，
则C正确，符合题意；
∵直线 与x轴交于点 ，
∴ 的解集是 ，
则D不正确，不符合题意．
故选：C．
10．已知关于x、y的方程组 ，其中 ，给出下列结论：① 是方程组的解；
②当 时，x、y的值互为相反数；③若 ，则 ；④ 的最大值为11；其中正确
的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】D
【分析】本题考查解二元一次方程组，解不等式，求一次函数的最值等，先解方程组得到解为 ，
再逐一验证各结论是否正确．
【详解】解：∵ 方程组为 ，
用 得： ，
∴ ，代入⑥得： ，
∴ ，
∴ 方程组的解为 ．
对于结论①：给定解为 ，与上述解不符，∴ ①错误；
对于结论②：当 时， ， ，
∴ ， ，互为相反数，∴ ②正确；
对于结论③：∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，
则 ，当 时 ，当 时 ，∴ ，∴ ③正确；
对于结论④： ，
∵ ，∴ 当 时 ，最大值为11，∴ ④正确；
综上，②③④正确，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．点 不可能在第 象限．
【答案】二/2
【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四
个象限的符号特点分别是：第一象限 ；第二象限 ；第三象限 ；第四象限 ．直接利用
四个象限内点的坐标特点分析得出答案即可．
【详解】解：假设点 在第一象限，则 ，解得 ，
故点 可能在第一象限；
假设点 在第二象限，则 ，不等式组无解，故点 不可能在第二象限；
假设点 在第三象限，则 ，解得 ，
故点 可能在第三象限；
假设点 在第四象限，则 ，解得 ，
故点 可能在第四象限．
故答案为：二．
12．如图，直线 （k，b为常数，且 ）经过 和 两点，则关于x的不等式组
的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．写出一次函数图象在x轴的上方且在 的左侧所对应的
自变量的值即可．
【详解】解：∵直线 经过 和 两点，
∴当 时， ，
∴关于x的不等式 的解集是 ，
故答案为： ．
13．若 是关于 的一元一次不等式，则 的值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式需满足未知数的次数为1且系数不为0
是解题的关键．根据一元一次不等式的定义， 的指数必须为 且系数不为零，因此 且 ，求解 的值并验
证．
【详解】解：由题意，不等式是关于 的一元一次不等式，因此 的指数 ，且系数 ．
解 ，得 或 ，即 或 ．
当 时，系数 ，不符合条件；
当 时，系数 ，符合条件．
故答案为： ．
14．如图，某书架长 ，在该书架上按图示方式摆放语文书和数学书，已知每本语文书厚 ，每本
数学书厚 ．若书架上已摆放20本语文书，则最多还可以摆放 本数学书．
【答案】16
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设数学书还可以摆x本，根据数学书的总厚度加上
语文书的总厚度不超过书架的长建立不等式求解即可．
【详解】解：设数学书还可以摆x本，
由题意得 ，
解得 ，
∵x为整数，
∴x的最大值为16，
∴数学书最多还可以摆16本，
故答案为：16．
15．若关于 的二元一次方程组 的解为整数，且关于 的不等式 的解集为
，则所有满足条件的整数 的积为 ．
【答案】20
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法、二元一次方程组的整数解，熟练掌握“根据不等式解集的符号确定系数的范围，结合方程组的整数解条件分析未知数的取值”是解题的关键．
先根据不等式的解集确定 的范围，再解方程组得到 的表达式，结合解为整数的条件确定 的可能值，
最后计算这些 的积．
【详解】解：∵ 不等式 的解集为 ，
∴ ，
解得 ，
解方程组 ，得 ， ，
∵ 方程组的解为整数，
∴ 是整数，且 是整数，故 是4的倍数
∵ ，
∴ ，即 是负整数，
又∵ 是整数且为4的倍数，
∴ 是8的负约数，且 是4的倍数，
当 时， ， （是4的倍数）， （整数），符合条件，
当 时， ， （是4的倍数）， （整数），符合条件，
当 时， ， （不是4的倍数），舍去，
当 时， ， （不是4的倍数），舍去，
∴符合条件的整数 为 、 ，
∴ 它们的积为 ，
故答案为： ．
16．在平面直角坐标系中，对于点 定义变换P，满足 ，例如：
．（1） ．
（2）若 在第二象限，则所有整数m的和为 ．
【答案】
【分析】 直接根据定义得解；
根据定义得到 ，进而根据象限建立不等式组求解即可．
本题主要考查了点的坐标特征、解一元一次不等式组等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解： 根据题意可得 ；
故答案为： ；
，
，
其在第二象限，
，解得 ，
m的整数解为： 、 、 、 、 、 ，
它们的和为： ；
故答案为： ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．解不等式与不等式组，并把它们的解集表示在数轴上：
(1) ；
(2)【答案】(1)不等式解集是 ，在数轴上的表示见解析。
(2)不等式组的解集是 ，在数轴上的表示见解析。
【分析】本题考查了解不等式和解不等式组，明确解不等式的步骤和不等式组确定解集的方法是解题的关
键；
（1）利用去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解不等式并将解集表示在数轴上即可；
（2）不等式①先去括号再解不等式，不等式②先去分母再解不等式，最后利用同大取大，同小取小，大
小小大中间找，大大小小解不了，得到不等式组的解集并将解集表示在数轴上即可．
【详解】（1）解： ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
∴不等式的解集为 ，
将 表示在数轴上为：
（2）解：
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
不等式组的解集为 ，
将 表示在数轴上为：
18．（1）当 取什么值时，代数式 的值是负数？
（2）当 取什么值时，代数式 的值小于 的值？
（3）当 取什么值时，代数式 的值不大于 的值？
【答案】（ ） ；（ ） ；（ ） ．【分析】本题考查了列不等式，解不等式，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）根据题意列出不等式，然后解不等式即可；
（ ）根据题意列出不等式，然后解不等式即可；
（ ）根据题意列出不等式，然后解不等式即可．
【详解】解：（ ）根据题意得， ，
，
∴ ；
（ ）根据题意得，
，
∴ ；
（ ）根据题意得， ，
，
，
，
，
∴ ．
19．按照如下程序，输入 的值并计算．规定从“输入一个数 ”到“判断结果是否大于70”为一次程序操
作．
(1)如果程序操作恰好执行一次就停止了，你可以列出怎样的不等式？求输入的 的取值范围．
(2)如果程序操作执行了两次才停止，那么输入的 的取值范围是多少？
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了流程图与不等式，理解流程图的计算规定是解题关键．（1）由操作流程可得 ，如果程序操作恰好执行一次就停止了，则 ，再求出 的取值范围即
可．
（2）由题意可知，第一次程序操作可得 ，进而第二次程序操作可得 ，解不等式即
可得到 的取值范围．
【详解】（1）解：输入 ，由操作流程可得 ，
如果程序操作恰好执行一次就停止了，则 ，
解得： ；
（2）解：输入 ，
则第一次程序操作可得 ，解得 ，
进而第二次程序操作可得 ，解得： ，
输入的 的取值范围是 ．
20．已知关于x的方程 ．
(1)若该方程的解满足 ，求a的取值范围；
(2)若该方程的解是不等式 的最小整数解，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解一元一次方程和解一元一次不等式，掌握好方程和不等式的解法是关键．
（1）先求出方程的解，由 ，求出a的取值范围；
（2）先解不等式，取范围内最小的整数解，代入方程求出a的值．
【详解】（1）解： ，
解得， ，
∵ ，
∴ ，
解得， ；
（2）解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，移项并合并同类项，得 ，
解得， ，范围内的最小整数解为 ，
将 ，代入方程，得：
，
解得， ．
21．镇安某特产店计划购进镇安核桃和木耳，以满足顾客多样化的需求．
(1)若购进8盒镇安核桃，3袋木耳，需要94元，购进5盒镇安核桃，6袋木耳，需要100元．求购进镇安
核桃、木耳每盒（袋）各需多少元？
(2)若该特产店本次购进木耳的袋数比购进镇安核桃的盒数的2倍还少5袋，购进两种特产的总金额不超过
510 元，则该特产店本次最多购进镇安核桃多少盒？
【答案】(1)镇安核桃每盒8元，木耳每袋10元
(2)20盒
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关
键．
（1）理解题意，设购进镇安核桃每盒需x元，木耳每袋需y元，结合购进8盒镇安核桃，3袋木耳，需要
94元，购进5盒镇安核桃，6袋木耳，需要100元，进行列方程组，再解得 ，即可作答．
（2）结合题意，设该特产店本次购进镇安核桃a盒，则购进木耳 袋，根据两种特产的总金额不超
过510元，进行列不等式，解不等式，即可作答．
【详解】（1）解：设购进镇安核桃每盒需x元，木耳每袋需y元，
根据题意得： ，
解得： ，
答：镇安核桃每盒8元，木耳每袋10元．
（2）解：设该特产店本次购进镇安核桃a盒，则购进木耳 袋，且 为正整数，且
∴ ，根据题意得 ，
解得： ，
∴ 的最大值为 ，
答：该特产店本次最多购进镇安核桃20盒．
22．已知关于 、 的方程满足方程组
(1)用含 的代数式表示 ；
(2)若 、 均为非负数，求 的取值范围；
(3)在（2）的条件下，求 的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)最大值为9，最小值为
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知
识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）运用加减消元法，解得 ，即可作答．
（2）由 ，且根据已知易得 ，从而可得 ，最后进行计算即可解答；
（3）利用（1）的结论代入 可得 ，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解
答．
【详解】（1）解： ，
，得 ，
解得 ，
，得 ，
解得 ，综上所述： ， ；
（2）解：由（1）得 ，
∵ 均为非负数，
∴ ，
即 ，
解得 ；
（3）解：∵ ，
∴
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ 的最大值为9，最小值为 ．
23．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市
场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克14元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克16
元．
(1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要360元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需
要176元，求 的值．
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1020元又不多于1028元，设购买
甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案？哪种方案可让超市获得最大利润，最大利润是多
少？
【答案】(1)
(2)有3种购买方案．方案1：购买甲种蔬菜43千克，乙种蔬菜57千克；方案2：购买甲种蔬菜44千克，乙
种蔬菜56千克；方案3：购买甲种蔬菜45千克，乙种蔬菜55千克．方案3可让超市获得最大利润，最大
利润是490元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，以及一次函数的性质，解决本题的
关键是根据题意由等量关系建立等式．
（1）根据购买甲、乙两种蔬菜的金额列出二元一次方程组，求解m和n的值即可．
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则乙种蔬菜为 千克，根据投入资金范围列出不等式组，求解x的取
值范围，得到购买方案；利润函数为一次函数，根据系数判断增减性，从而找到最大利润即可．
【详解】（1）解：根据题意，得方程组：
，
化简①：除以5，得 ，
化简②：除以2，得 ，
两式相减， ，
化简可得， ，解得 ；
代入 ，解得 ；
∴ ．
（2）解：设购买甲种蔬菜x千克，则乙种蔬菜 千克，
投入资金为： ，
∵投入资金不少于1020元又不多于1028元，
∴ ，即 ，
解得 ，
x为正整数，即 ，
购买方案：
方案1：甲43千克，乙57千克；
方案2：甲44千克，乙56千克；方案3：甲45千克，乙55千克；
设利润y元，
则利润 ，
∵ ，即y随x增大而增大，
当 时，利润y最大为 ．
答：方案3可让超市获得最大利润，最大利润是490元．
24．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组
的“关联方程”．例如：方程 的解为 ，而不等式组 的解集为 ，恰好 在
的范围内，所以方程 是不等式组 的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面
问题：
(1)在方程① ；② ；③ 中，不等式组 的“关联方程”是
________；（只填序号）
(2)若关于x的方程 是不等式组 的“关联方程”，求 的取值范围？
【答案】(1)①②
(2)
【分析】本题考查新定义，涉及解一元一次方程、解一元一次不等式组等知识，理解新定义的“关联方
程”是解决问题的关键．
（1）解题中给出的三个一元一次方程及不等式组的解集，根据“关联方程”验证即可得到答案；
（2）解一元一次方程得到 ，解不等式组得到 ，根据“关联方程”的定义得到
求解即可确定答案．【详解】（1）解：① ，解得 ；
② ，解得 ；
③ ，解得 ；
，
解不等式①得 ；
解不等式②得 ；
原不等式组的解集为 ；
、 在 范围内； 不在 范围内，
不等式组 的“关联方程”是①②，
故答案为：①②；
（2）解： ，解得 ；
解不等式①得 ；
解不等式②得 ；
不等式组的解集为 ；
关于x的方程 是不等式组 的“关联方程”，
，解得 ．
25．某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数 的图象和性质进行了研究．探究过
程如下，请补充完整．
(1)自变量x的取值范围是全体实数：如裘是y与x的几组对应值：x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 …
其中 ；
(2)如图，在平面直角坐标系 中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，
请画出该函数图象的另一部分；
(3)观察函数图象发现：
该函数图象的最低点坐标是 ，当 时，y随x的增大而 ；
(4)进一步探究：
①不等式 的解集是 ；
②若关于x的方程 只有一个解，则k的取值范围是 ．
【答案】(1)3
(2)见解析
(3) ，减小
(4)① 或 ；② 或
【分析】本题为绝对值函数问题，考查了求函数值，画函数图象，一次函数的性质，函数与方程不等式的
关系等知识﹒
（1）把 代入 即可求解；
（2）根据（1）表格描点，连线即可；
（3）结合函数图象即可求解；（4）①结合函数图象即可得当 时， 或 ，问题得解；
②当直线 经过点 时， ，当直线 经过点 时， ，若关于x的方程
只有一个解，结合图象得k的取值范围是 或 ﹒
【详解】（1）解：当 时， ﹒
故答案为：3
（2）解：该函数图象的另一部分如图所示：
；
（3）解：由图所得该函数图象的最低点坐标是 ，当 时，y随x的增大而减小﹒
故答案为： ，减小；
（4）解：①由图象得 的解集是 或 ﹒
故答案为： 或 ；
②∵当直线 经过点 时， ，当直线 经过点 时， ，
∴若关于x的方程 只有一个解，结合图象得k的取值范围是 或 ﹒
故答案为： 或 ．
