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第 03 讲 一元一次不等式组(8 类热点题型讲练)
1.经历通过具体问题抽象出不等式组的过程；
2.理解一元一次不等式组及其解的意义，初步感知利用一元一次不等式解集的数轴表示求不等式组的解和
解集的方法；
3.会运用一元一次不等式组解决简单的实际问题；
4.会利用数轴表示一元一次不等式组的解集．
知识点01 一元一次不等式组的定义
（1）一元一次不等式组的定义：
几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
（2）概念解析
形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也
有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的
任意几个．
知识点02 解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组
的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
知识点03 一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一
步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结
果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
知识点04 由实际问题抽象出一元一次不等式组
由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根
据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语
出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．
知识点05 一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
题型01 一元一次不等式组的定义
【例题】（2023上·广东梅州·九年级校考开学考试）下列不等式组为一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023下·七年级课时练习）下列选项中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·浙江·八年级专题练习）下列不等式组：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型02 求一元一次不等式组的解集
【例题】（2023下·江苏·七年级专题练习）解不等式组 ，并在数轴上画出它的解集．
【变式训练】
1．（2023上·江苏苏州·七年级校联考阶段练习）解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
2．（2023上·湖南株洲·八年级校考阶段练习）解不等式组，并在数轴上表示出解集：
(1) ； (2) ．
题型03 求一元一次不等式组的整数解
【例题】（2023上·浙江·八年级专题练习）不等式组 的整数解为 ．
【变式训练】
1．（2023下·安徽宿州·八年级校考期中）不等式组 的所有整数解的和是 ．
2．（2023下·四川宜宾·七年级统考期末）以不等式组 的整数解为边长的等腰三角形的周长是
．题型04 解一元一次不等式组中错解复原问题
【例题】（2023下·河南开封·七年级统考期末）下面是小李同学解不等式组 的过程，请认
真阅读并完成相应任务．
解：令
解不等式①，
去分母，得 第一步
移项，得 第二步
合并同类项，得 第三步
系数化为1，得 第四步
任务一：
上述解不等式①的过程第______步出现了错误，其原因是______．
任务二：
请写出正确的解题过程，并将不等式组的解集在数轴上表示出来，
【变式训练】
1．（2023下·贵州安顺·七年级统考期末）请观察框内小明同学解不等式的过程，回答下列问题：
解不等式
解： …………第
一步
……………………第
二步
……………………第
三步
………………………………第
四步
……………………………………
第五步(1)第______步出现错误；
(2)该不等式的正确解集为：______；
(3)要使不等式组 的解集包含3个整数解，则在括号里添加的一元一次不等式可以为：
______，此不等式组的解集是：______．
2．（2023下·宁夏中卫·八年级统考期末）下面是小明同学解不等式组 的过程，请认真阅
读，完成相应的任务．
解：由不等式 ，得 ，第一步
解得 ，第二步
由不等式 ，得 ，第三步
移项，得 ，第四步
解得 ，第五步
所以，原不等式组的解集是 ．第六步
任务一：
(1)小明的解答过程中，第______步开始出现错误，错误的原因是______________________________；
任务二：
(2)这个不等式组正确的解集是____________（直接写出），并在数轴上表示出来．
题型05 由一元一次不等式组的解集求参数
【例题】（2023上·江苏南通·九年级校考期末）若关于 不等式组 若无解，则 的取值范围
．
【变式训练】
1．（2023·广东河源·一模）若关于x的不等式组 的解集是 ，则a的取值范围是 ．2．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）关于x的不等式组 恰有四个整数解，那么m的取
值范围为 ．
题型06 一元一次不等式组和方程组结合的问题
【例题】（2023下·福建泉州·七年级福建省泉州市培元中学校考期中）已知关于 ， 的方程组
的解均是负数．
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求 的取值范围．
【变式训练】
1．（2023上·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考开学考试）若关于 ， 的二元一次方程
的解满足 ，求 的取值范围．
2．（2023下·湖北恩施·七年级校考阶段练习）已知关于x、y的方程组 的解x为负数，y为非
正数．
(1)求a的取值范围；
(2)在a的取值范围内，当a取何整数时，不等式 的解为 ？
题型07 列一元一次不等式组
【例题】（2023下·四川达州·八年级校考期中）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还
剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列
各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是( )
A． B．
C． D．【变式训练】
1．（2023·全国·七年级假期作业）一本书共98页，张力读了一周(7天)还没读完，而李永不到一周就已读
完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为( )
A． B．
C． D．
2．（2023下·江苏无锡·七年级无锡市天一实验学校校考阶段练习）若一艘轮船沿江水顺流航行 用时
少于 小时，它沿江水逆流航行 也用时少于 小时，设这艘轮船在静水中的航速为 ，江水的流
速为 ，则根据题意可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
题型08 一元一次不等组的应用
【例题】（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）在我市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电
脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子
白板需要2.5万元．
(1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元？
(2)根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，该校有几种
购买方案？
(3)上面的哪种方案费用最低？按费用最低方案购买需要多少钱？
【变式训练】
1．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）大华橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，
其进价与售价如表：
进价（元/台） 售价（元/台）
电饭煲 200 250
电压锅 160 200
(1)一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多
少钱？(2)为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲
的数量不少于电压锅的 ，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；
(3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？
2．（2023上·吉林白山·七年级统考期末）甲、乙两所幼儿园计划在“元旦”一起举办文艺汇演活动，已知
甲、乙两所幼儿园一共96人（其中甲幼儿园人数多于乙幼儿园人数，且甲幼儿园人数不足90人）．现准
备给每位小朋友都购买一套演出服装，服装厂给出如下价目表：
购买服装的套
48套以下 48套至90套 91套及以上
数
每套服装的价
65元 55元 45元
格
如果两所幼儿园分别单独购买服装，一共应付5680元．
(1)如果甲、乙两所幼儿园联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？
(2)甲、乙两所幼儿园各有多少名小朋友准备参加演出？
(3)如果甲幼儿园有10名小朋友因为校外活动不能参加演出，那么你有几种购买方案？通过比较，你认为
如何购买服装才能最省钱？
一、单选题1．（2023下·七年级单元测试）下列不等式组是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·浙江·八年级统考阶段练习）不等式组 的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·全国·八年级假期作业）满足不等式组 的整数解有（ ）
A．6个 B．4个 C．5个 D．无数个
4．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）在平面直角坐标系中， 在第二象限，则m的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·湖南永州·八年级校考阶段练习）已知关于x的不等式组 有两个整数解，则a的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023·福建莆田·校考模拟预测）不等式组 的正整数解是 ．
7．（2023上·浙江金华·九年级校考阶段练习）若不等式组 无解，则 的取值范围是 ．
8．（2023上·河南濮阳·九年级统考期中）已知关于x、y的方程组 的解是正数，则a的取值范
围是 ．
9．（2023下·八年级课时练习）把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后
一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为 ．
10．（2023上·重庆沙坪坝·八年级统考期中）若关于 的不等式组 的解集为 ，且关于
的方程 的解是非负整数，则所有满足条件的整数 的值之和是 ．
三、解答题11．（2023上·浙江·八年级期末）解不等式组 ，并写出它所有的整数解．
12．（2023上·江苏苏州·七年级校考阶段练习）求不等式组 的解集，并把解集在数轴上
表示出来，写出它的所有非负整数解．
13．（2023上·浙江·八年级校联考期末）解不等式组
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：解不等式①，得 第1步
合并同类项，得 第2步
两边都除以 ，得 第3步
任务一：该同学的解答过程中第 步出现了错误，这一步的依据是 ，不等式①的正确解是 ．
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
14．（2023下·七年级课时练习）有学生若干人，住若干间宿舍．若每间住4人，则有20人无法安排住宿；
若每间住8人，则有一间宿舍不满也不空，问宿舍间数是多少？
15．（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）已知关于 ， 的方程组 ，其中 为非负数，
为正数，求 的整数解．16．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知关于x，y的方程组 的解都为非负数．
(1)求a的取值范围；
(2)若 ，求 的取值范围．
17．（2023下·江苏·七年级专题练习）接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．
北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车
一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．
(1)求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗．
(2)计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元．
若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最
少，最少费用是多少？
18．（2023下·福建泉州·七年级统考期中）我们约定一种新运算 ，规定： （其中a、b均
为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如： ．
(1)若 ， ．
①求常数a、b的值；
②若关于m的不等式组 无解，求有理数p的取值范围；
(2)非零常数a、b应满足什么条件时，才能使 对于任意有理数t都成立？请写出推理过程．
