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第 03 讲 一元一次不等式与一次函数
课程标准 学习目标
1. 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集。
①求解集
2. 通过不解不等式，直接用图象法求不等式和方程的解与解
②数形结合
集。
知识点01 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集
(1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合.
(2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合.
(3)一元一次不等式kx+b>kx+b 的解集，一次函数y=kx+b 图象在一次函数y=kx+b 图象上方的点的横
1 1 2 2 1 1 2 2
坐标所组成的集合.
(4)一元一次不等式kx+b<kx+b 的解集，一次函数y=kx+b 图象在一次函数y=kx+b 图象下方的点的横
1 1 2 2 1 1 2 2
坐标所组成的集合.
【即学即练1】（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系 中，直线
与直线 相交于点 ，与 轴、 轴分别交于 两点．(1)若点 的坐标分别为 ．直接写出下列各小题答案．
方程 的解是______．
方程组 的解是______．
不等式 的解集是______．
不等式 的解集是______．
(2)若点 的坐标分别为 ，直线 的表达式为 ，求 的面积；
(3)在（ ）的基础上，点 是 轴上的一点，且使得 是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的
点 的坐标．
【答案】(1) ； ； ； ；
(2) ；
(3) 或 或 或 ．
【知识点】求直线围成的图形面积、两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式
的解集、已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】（ ）根据交点坐标及函数图象即可求解；
（ ）利用待定系数法求出 的解析式，再联立函数解析式求出点 坐标，最后根据三角形面积公式计算
即可求解；
（ ）设点 的坐标为 ，可得 ，分点 分别为顶点三情况解答即可求解；
本题考查了一次函数与一元一次方程和不等式，一次函数的交点问题，勾股定理，等腰三角形的定义，坐
标与图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解： ∵直线 与 轴的交点为 ，
∴方程 的解为 ，
故答案为： ；
∵直线 与直线 的交点为 ，∴方程组 的解为 ，
故答案为： ；
由图象可得，当 时， ，
∴不等式 的解集是 ，
故答案为： ；
由函数图象可得，当 时， ，
∴不等式 的解集是 ，
故答案为： ；
（2）解：把 代入 得，
，
解得 ，
∴直线 的函数解析式为 ，
由 得， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：设点 的坐标为
∵ ，
∴ ，
当点 为顶点时， ，
∴ ，∴ 或 ，
∴点 的坐标为 或 ；
当点 为顶点时， ，
∴点 的坐标为 ；
当点 为顶点时，则 ，
∴ ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ；
综上，点 的坐标为 或 或 或 ．
题型01 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
例题：（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如下图，已知一次函数 ，观察图象回答下列问题：
当 时， ．
【答案】
【知识点】从函数的图象获取信息、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【分析】本题考查从图像获取信息的能力，根据一次函数 得出函数位于y轴下方时x的取值范围
求解即可．理解题意并合理利用图像是关键．
【详解】解：根据图像可知：当 时， ，
故答案为： ．
【变式训练】1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末） 的图象如图所示，关于x的不等式 的解集是
．
【答案】
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用，解决此类问题关键是仔细观
察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．从图象得到函数 的增减性及与x
轴的交点的横坐标，即能求得不等式 的解集．
【详解】解：从图象知，函数 的图象经过点 ，并且函数值y随x的增大而减小，
∴当 时， ，
即关于x的不等式 的解集是 ，
故答案为： ．
2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，点 在一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上，则不等式
的解集是 ．
【答案】
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数
的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 在x轴上
（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．观察函数图象即可求解．
【详解】解：由图象可得：当 时， ，
所以不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）一次函数的图象如图所示，观察图象回答问题：当 时，，当 时， ，当 时， ．
【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的
交点求不等式的解集
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象和性质、函数图象解不等式等知识，
根据一次函数的性质结合函数图象，按要求逐步求解即可得到结论．正确地识别图象是解题的关键．
【详解】解：观察图象：
当 时，是图中一次函数图象与 轴交点的纵坐标，则 ；
，是指一次函数图象在 轴上方图象，则此情况 ；
时，如图所示：
，是指一次函数图象在直线 下方图象，也就是 轴右侧的一次函数
图象，则此情况 ；
故答案为： ．
题型02 根据两条直线的交点求不等式的解集例题：（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，函数 和 的图象相交于点 ，则
关于 不等式 的解集为 ．
【答案】
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数与一元一次不等式的关系是解题的
关键，先把点A的坐标代入 中求解m的值，然后根据一次函数与不等式的关系可进行求解．
【详解】解：把 代入 ．
得 ．
解得 ．
即A点坐标为 ．
∵由图象可得，当 时， ，
∴关于x的不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，函数 和 的图象相交于点 ，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【知识点】求一次函数自变量或函数值、根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象与一元一次不等式的关系
是解题的关键．先利用正比例函数确定点 坐标，利用 即 的图象在 的图象
下方所对应的自变量的取值范围，观察图象即可得到答案．【详解】解：把 代入 ，
得 ，
解得： ，
故 ，
∵ 即 的图象在 的图象下方所对应的自变量的取值范围，
结合图象得当 时， ，
则不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，一次函数 （ ， 为常数）与 （ 为常数）的
图象交于点 ，则关于 的不等式 的解集是 ．
【答案】
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题考查一次函数与不等式，利用图象法确定不等式的解集即可．
【详解】解： ，
∴ ，
由图象，可知，不等式的解集为： ；
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）直线 与直线 在同一平面直角坐标系中的图象如图
所示，关于 的不等式 的解集为 ．
【答案】
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了一次函数与不等式．数形结合是解题的关键．根据不等式的解集为直线 在直线 下方部分所对应的 的取值范围，数形结合作答即可．
【详解】解：由题意知，不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
题型03 一次函数与一元一次不等式综合问题
例题：（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与正比例函
数 交于点 ．
(1)求m和k的值．
(2)若点 在直线 上，连接 ，求 的面积．
(3)结合图象，直接写出关于x的不等式 的解集．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据两条直线的交点求不等式的解集、求直线围成的图形
面积、一次函数与几何综合
【分析】本题主要考查了一次函数图象的交点问题，求一次函数解析式，根据直线的交点求出不等式的解
集，解题的关键是数形结合，求出两条直线的交点坐标．
（1）把 代入解析式 ，求出m的值，把点A的坐标求出k的值即可；
（2）先求出点C与点B的坐标，然后根据三角形面积公式，求结果即可；
（3）由（1）知 ，由（2）知 ，然后根据函数图象求出不等式 的解集即可．
【详解】（1）解：将 代入 ，得： ，
，
将 代入 ，得：
，
解得： ；
（2）解：由（1）得 ，直线 的解析式为： ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则直线 与 轴交点为 ，
（3）解：由（1）知 ，由（2）知 ，
根据函数图象可知，当 时，直线 在直线 的下方，直线 与直线 在x
轴的上方，
∴不等式 的解集为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直
线 交于点 ，直线 与x轴交于点A．
(1)求直线 的解析式；
(2)求四边形 的面积；
(3)直接写出不等式 的解集．
【答案】(1) ；
(2)四边形 的面积为10；
(3) ．
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据两条直线的交点求不等式的解集、求直线围成的图形
面积
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题及三角形的面积公式
等，熟练掌握一次函数的图形性质是解决本题的关键．（1）由直线 求得P的坐标，代入 即可得到结论；
（2）由直线 的解析式求得B、C的坐标，由直线 求得A的坐标，然后根据四边形 的面
积等于 的面积减去 的面积即可得到结论；
（3）利用图象直接得出结论．
【详解】（1）解：∵直线 过点 ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴直线 的函数表达式为： ；
（2）解：把 代入 ，得：
，解得 ，
∴ ，
把 代入 得： ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得： ，
∴ ，
∴A(−4,0)，
∴ ，
过P点作 轴于H，如下图所示：
∴四边形 的面积为
；
（3）解：∵ ，∴由图象知：不等式 的解集为 ．
2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示，直线 经过A、B，点 ， 的坐标分别为
， ，直线 与坐标轴交于 、 两点．
(1)求k、b的值，并求出直线AB直线 交点 的坐标．
(2)直接写出不等式 的解集．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数解析式
【分析】本题主要考查了求函数解析式、两直线交点问题、根据函数图像确定不等式解集等知识点，掌握
一次函数的相关性质是解答本题的关键．
（1）把点A，B的坐标代入 即可求得直线 的解析式，然后与直线 联立即可解答；
（2）直接根据函数图像和点E的坐标即可写出的解集．
【详解】（1）解：把点A，B的坐标代入 得 ，
解得 ，
∴直线AB的解析式是 ．
解方程组 ，得 ，
∴点E的坐标是 ．
（2）解：由（1）可得点E的坐标是
由函数图像可得不等式 的解集为 ．3．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，过点A(−2,0)的直线 与直线 交于
．
(1)求直线 对应的表达式．
(2)直接写出 时， 的取值范围．
(3)求四边形 的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】求直线围成的图形面积、两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式
的解集、求一次函数解析式
【分析】（1）由点 在直线 上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出 值，
再利用点 的坐标和点 的坐标可求直线 的解析式；
（2）根据不等式的解集为直线 在直线 的下方所对应的 的取值范围，结合图象作答即可；
（3）根据 可得结论．
【详解】（1）解：∵点 在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∵直线 过点 ， ，∴ ，
解得： ，
∴直线 对应的表达式 ；
（2）由函数图象可知：当 时，直线 在直线 的下方，
∴ 时， 的取值范围为 ；
（3）∵直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，
当 时，得： ；当 时，得： ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
，
∴四边形 的面积为 ．
【点睛】本题考查两条直线相交问题、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象上点的坐标特征和三角
形的面积．利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
题型04 一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题
例题：（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）在如图所示的坐标系下，(1)画出函数 与 的图象，并利用图象解答下列问题：
(2)求方程组 ；
(3)不等式
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】图象法解二元一次方程组、两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等
式的解集、画一次函数图象
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式及二元一次方程组，属于基础题，关键是正确作出图象，
根据图象进行求解．
（1）求出两直线与坐标轴的交点，连接即可；
（2）由图象可知两直线的交点即可确定方程组 的解；
（3）由图象可知，不等式 的解集为： ．
【详解】（1）解：对于函数 ，
当 ， ，
当 ， ，解得： ，
∴直线 与两坐标轴交点为 ，
同理可求直线 与两坐标轴交点为 ，
∴可画图象如图所示：
（2）解：由图象可知：两直线的交点为 ，
∴方程组 的解为： ；（3）解：由图象可知：不等式 的解集为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线 ： 与直线 ： 相交于点 ．
(1)求 的值；
(2)写出方程组 的解；
(3)写出 时， 的取值范围．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、已知直线与坐标
轴交点求方程的解
【分析】本题主要考查了求一次函数图象上的点的坐标，一次函数与二元一次方程组，数形结合思想，对
于（1），将点 代入 可得答案；
对于（2），根据两条直线的交点即为对应方程组的解解答；
对于（3），观察图象，从交点向右，且在x轴上方，即符合题意．
【详解】（1）∵点 在直线 上，
∴ ，
解得 ；
（2）观察图象可知，
方程组 的解是 ；
（3）当 时， ．
2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数 的图象与 轴分别交于 两点，与正
比例函数 交于点 ．(1)关于 的方程 的解是________；
(2)关于 的二元一次方程组 的解为_______，关于 的不等式 的解集为_______；
(3)关于 的不等式 的解集为_______，不等式 的解集为_______．
【答案】(1)
(2) ；
(3) ；
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、由直线与坐标轴
的交点求不等式的解集、已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程组，结合图象，利用数形结合
思想解决问题是解题的关键．
（1）根据一次函数与x轴的交点坐标求出方程的解即可；
（2）根据两条直线的交点坐标求出方程组 的解即可；根据图象求出不等式 的解集即
可；
（3）根据一次函数 与x轴，y轴的交点坐标求出不等式的解集即可．
【详解】（1）解： 一次函数 的图象与x轴交于点 ，
方程 的解是 ；
（2）解： 两直线的交点坐标为 ，
关于x，y的方程组 的解是 ；
根据函数图象可知：当 时，一次函数的图象 的图象在一次函数 的上面，
∴于 的不等式 的解集为 ；
（3）解：根据函数图象可知：当 时，一次函数的图象在x轴的上面，
∴关于 的不等式 的解集为 ；
根据函数图象可知：当 时，一次函数 的函数值小于4，
∴不等式 的解集为 ．3．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，直线 ： 与直线 ： 相交于点 ，与x
轴分别交于A，B两点．
(1)求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组 的解；
(2)根据图象，直接写出关于x的不等式 的解集；
(3)求 的面积；
(4)垂直于x轴的直线 与直线 ， 分别交于点C，D，若线段CD的长为3，直接写出a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)2或0
【知识点】一次函数与几何综合、两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的
解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及解含绝对值符号的一元
一次方程，解题的关键是待定系数法求函数解析式．
（1）由点 在直线 上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值，再将点P的坐标代入直
线 中，即可求出m值，从而求得P点的坐标，进而求得方程组的解；
（2）结合两个函数图象解题即可．
（3）先求出点A、B的坐标，然后根据 计算面积；
（4）由点C、D的横坐标，即可得出点C、D的纵坐标，结合 即可得出关于a的含绝对值符号的一
元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）∵点 在直线 ： ，
∴ ，
∵点 在直线 ： ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴关于x，y的方程组 的解为 ．
（2）由（1）可知 ： ， ： ，
要使不等式 ，则 的函数图象在 函数图象的上面，
结合函数图象可知此时 ，
故不等式 的解集为： ．
（3）令 时， ，解得 ，
∴点A的坐标为 ，
令 时， ，解得 ，
∴点B的坐标为 ，
∴ ．
（4）当 时， ；当 时， ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 ．
∴a的值为2或0．
题型05 含绝对值的函数与一元一次不等的综合问题
例题：（23-24八年级下·山东临沂·期末）请用描点法研究函数 图象与性质，并用它完成下列
各题．
①列表：… 0 1 2 3 4 …
… 0 2 3 2 1 0 …
②描点③连线．
(1) _______，并画出函数 的图象；
(2)当 时， 最大值 _______， 最小值 _______；
(3)求出函数 与函数 的交点坐标；
(4)直接写出 的解集．
【答案】(1) ，画图见解析
(2)3，
(3)交点坐标为 ，
(4) 或
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、用描点法画函数
图象、从函数的图象获取信息
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求函数值，画函数图象，解题的关键是数形结合．
（1）将 ， 代入 求出 ，然后根据表格中的数据画图即可；
（2）首先得到当 时， ，然后根据图象求解即可；
（3）分别得到 和 时函数 的表达式，然后分别和函数 联立求解即可；
（4）首先画出 的图象，然后由（3）得结论求解即可．
【详解】（1）将 ， 代入
得， ，
画图如下：（2）当 时，
∴由图象可得，当 时， 最大值 ， 最小值 ；
（3）当 时，
∴联立 和 得，
解得
∴ 和 的交点坐标为 ；
当 时，
∴联立 和 得，
解得
∴ 和 的交点坐标为 ；
综上所述，函数 与函数 的交点坐标为 ， ；
（4）如图所示，
∵函数 与函数 交于点 ，
∴由图象可得，当 或 时，函数 图象在函数 图象上面
∴ 的解集为 或 ．
【变式训练】1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等
式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数 确定为研究对象，
通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下
探究过程，回答问题．
(1)作出函数 的图象．
①列表：
x … 0 1 …
y … 0 m 2 1 0 …
其中，表格中m的值为________；
②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点；
③连线：画出该函数的图象．
(2)观察函数 的图象，回答下列问题：
①当 ________时，函数 有最大值，最大值为________；
②方程 的解是 ________．
(3)已知直线 ，请结合图象，直接写出满足不等式 的x的取值范围________．
【答案】(1)1；作图见解析
(2)① ；2；② 或2
(3)
【知识点】用描点法画函数图象、已知直线与坐标轴交点求方程的解、根据两条直线的交点求不等式的解
集
【分析】（1）把 代入解析式即可求得 ，描出表中以各对对应值为坐标的点，然后连线．（2）根据图象即可求得；
（3）观察图象即可得到答案．
【详解】（1）解：当 时， ，
．
函数图象如图所示．
故答案为：1；
（2）观察函数 的图象，
①当 时，函数 有最大值，最大值为2；
②方程 的解是 或2．
故答案为： ， 或2；
（3）画出直线 如图，
观察图象，不等式 的 的取值范围是 ；故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，数
形结合是解决本题关键．
一、单选题
1．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）一次函数 的图像如图所示，当 时， 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【分析】本题主要考查函数图象的性质与解不等式的综合，根据一次函数图象与坐标轴的交点，图象的性
质即可求解．
【详解】解：一次函数 的图象与x轴的交点横坐标为 ，
∴当 时，x的取值范围是 ，
故选：D．
2．（2024八年级上·江苏·专题练习）直线 与直线 在同一平面直角坐标系中的图象如
图所示，则关于 的不等式 的解为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．关于 的不等式
表示的是直线 位于直线 的上方，结合函数图象求解即可得．
【详解】解：关于 的不等式 表示的是直线 位于直线 的上方，
则由函数图象可知，关于 的不等式 的解为 ，
故选：C．
3．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，直线 （ 和 是常数且 ）交 轴、 轴于
点 、(0,2)，下列结论正确的是（ ）
A．方程 的解是 B．方程 的解是
C．不等式 的解集是 D．不等式 的解集是
【答案】C
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式等知识
点，掌握数形结合是解题的关键．
根据一次函数的性质、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式以及函数的图象逐项判断即
可．
【详解】解：如图：由函数图象可知直线 （k和b是常数且 ）交x轴，y轴分别于点 ，
(0,2)．
∴方程 的解是 ，即A选项错误，不符合题意；
由函数 与 的图象关于y轴对称，则 函数的图象与x轴交点的横坐标为 ，
所以方程 的解是 ，即B选项错误，不符合题意；
由函数图象可知：当 时，函数 的图象在x轴的上方，不等式 的解集是 ，即
C选项正确，符合题意；
由函数图象可知：不等式 的解集是 ，即D选项错误，不符合题意．
故选：C．
4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）一次函数 与 的图象如图所示，下列说法：
①对于函数 来说，y随x的增大而增大；②函数 不经过第二象限；③不等式的解集是 ；④ ，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】判断一次函数的增减性、从函数的图象获取信息、根据两条直线的交点求不等式的解集、根据
一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式的关系等知识点，熟练掌握
一次函数的图象与性质是解题的关键．
根据题意和函数图象，利用一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式的关系，即可判断各说法
是否正确，从而解答本题．
【详解】解：由图象可知，对于函数 来说，y随x的增大而增大，故①正确；
根据题意可得：a>0， ，则函数 经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确；
由 可得 ，故不等式 的解集是 ，故③不正确；
当 时， ，则 ，故④正确；
综上，正确的有： ，
故选：A．
二、填空题
5．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知一次函数 ，当 时， ．
【答案】
【知识点】求一次函数自变量或函数值、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【分析】本题考查一次函数的性质，根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到当 为何值时，
，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【详解】解：∵在一次函数 中， ，
∴该函数y随x的增大而增大，
当 时，∴当 时， ，
故答案为： ．
6．（24-25八年级上·浙江金华·期中）一次函数 的图象经过点 ，且与正比例函数
的图象交于点 ，则 的解为 ．
【答案】
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数
的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 在x轴
上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后利用函
数图象，写出一次函数 的图象在正比例函数图象上方所对应的自变量的范围．
【详解】解：把 代入 得 ，解得 ，
所以当 时， ，
即 的解集为 ．
故答案为 ．
7．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，直线 与 分别交x轴于点 ，
，则不等式 的解集为 ．
【答案】 或
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集【分析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式．本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个
图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
【详解】解：直线 与直线 分别交x轴于点 、 ，
∵ ，
∴一个正数和一个负数的积为负数，
∴不等式 的解集为 或 ，
故答案为： 或 ．
8．（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）一次函数 的图象经过点 ，则 的值为 ；当
时，对于 的每一个值，函数 的值小于函数 的值，则 的取值范围 ．
【答案】
【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、根据两条直线的交点求不等式的解集、一次
函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活
运用是解此题的关键．根据一次函数图象上的点满足函数解析式得到 ，解方程即可；求出函数
的图象过定点 ，当 时， ，若函数 的图象过 ，
此时 ，则 ，结合 和 的图象即可得到答案．
【详解】解： 一次函数 的图象经过点 ，
，
；
当 时， ，
∴函数 的图象过定点 ，
当 时， ，
若函数 的图象过 ，
则 ，
此时 ，则此时 ，
如图，
当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于函数 的值，
的取值范围是 ．
故答案为： ，
三、解答题
9．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）一次函数 的图象如图所示．
(1)求出 ， 的值；
(2)当 时，直接写出 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) 的取值范围为 ．
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、求一次函数解析式
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握待定系
数法求一次函数解析式，学会根据图象法解不等式是解题的关键．
（1）代入点 ， 到 ，再解二元一次方程组即可；
（2）根据函数图象进行解答即可．
【详解】（1）解：由图象可知，一次函数 的图象经过点 ， ，
代入得： ，
解得： ，
．
（2）由图象得，当 时， 的取值范围为 ，
的取值范围为 ．
10．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，根据图中信息解答下列问题：(1)关于 的不等式 的解集是 ；
(2)关于 的不等式 的解集是 ；
(3)当 ， ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式；
（1）利用直线 与 轴的交点为 ，然后利用函数图象可得到不等式 的解集．
（2）利用直线y=mx+n与 轴的交点为 ，然后利用函数图象可得到不等式 的解集．
（3）结合函数图象直接写出答案．
【详解】（1） 直线 与 轴的交点是 ，
当 时， ，即不等式 的解集是 ；
故答案是： ；
（2） 直线 与 轴的交点是 ，
当 时， ，即不等式 的解集是 ；
故答案是： ；
（3）根据图象可得，当 时， ．
故答案为： ．
11．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点 ， ，
与x轴，y轴相交于点C，D．(1)结合函数图象，直接写出 的解集为______；
(2)求一次函数 的表达式；
(3)求 的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)8
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题、由直线与坐标
轴的交点求不等式的解集
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数的解析式、三角形面积等知识，解
题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）结合函数图像与点B的坐标可回答．
（2）用待定系数法求一次函数解析式即可．
（3）先求出点C的坐标，即可得出 ，再根据 即可得出答案．
【详解】（1）解：根据函数图像以及点 可知，
当 时， ，
∴故答案为： ．
（2）解， 一次函数 的图象经过点 ， ，
∵
，
∴
解得： ，
一次函数的解析式为：
∴（3）另 ，则 ，
解得： ，
，
∴
∴
∴
12．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，一次函数 和 的图象相交于点 ，两图象
分别与 轴交于点 和点 ．(1)方程组 的解是_______，点A的坐标是_______；
(2)根据图象判断，当 时， 的取值范围为_______；
(3)在直线 的图象上存在另一点 ，使得 的面积为 面积的2倍，求出点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、加减消元法、根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组和一元一次不等式，题目较为基础，注意数形结合思想的
应用．
（1）由加减消元法求出方程组的解；由此即可得两直线的交点A的坐标；
（2）通过函数图象即可得出 的取值范围；
（3）先求出点 和点 的坐标，即可得到 的面积，令 ，根据 是 的面积的
2倍，即可求出点 的坐标．
【详解】（1）解： ，
得： ，解得： ，
将 代入①得 ，
故方程组 的解是 ；
方程组 可变形为 ，
故一次函数 和 的图象的交点即为方程组的解，
则点A的坐标是 ，故答案为： ； ．
（2）解：根据图象可得：当 时，
取何值范围是： ；
故答案为： ；
（3）解：令 ，则 ， ，
，
，
，
设 ，则 ，
，
或3，
或 ．
13．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图
象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数 展开探索，请补充
完整以下探索过程：
(1)列表：
0 2 4 6 8
5 2 5
直接写出 的值， ______， ______．
(2)在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象．(3)已知函数 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，则不等式 的解集为
______．
【答案】(1)4，2
(2)见解析
(3) 或
【知识点】用描点法画函数图象、根据两条直线的交点求不等式的解集、从函数的图象获取信息、函数的
三种表示方法
【分析】本题考查函数图象及性质，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题．
（1）把 ， 代入 中可求 ，将 ，代入即可求出 ；
（2）描点补全图象即可；
（3）不等式 ，即 的图象在 的上方时，对应自变量的取值范
围，数形结合可得答案．
【详解】（1）把 ， 代入 中得： ，
，
当 时， ，
．
（2）描点连线，如下图所示，（3）由图象可得，
不等式 ，即 的图象在 的上方，
解集为 或 ．
14．（23-24八年级下·新疆克拉玛依·期末）如图，请根据图像所提供的信息解答下列问题：
(1)交点 的坐标 是二元一次方程组：______的解；
(2)不等式 的解集是______；
(3)当 ______时， ；
(4)直线 分别交 轴、 轴于点 、 ，直线 分别交 轴、 轴于点 、 ，求点 的坐标和四边形
的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)(4) ，1
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与几何
综合、求一次函数解析式
【分析】本题考查了一次函数的交点问题、一次函数与不等式、待定系数法求一次函数解析式等知识，利
用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
（1）根据函数图像即可求解；
（2）根据函数图像即可求解；
（3）根据函数图像即可求解；
（4）利用待定系数法求出直线 ， 的解析式，求出点 ， 的坐标，再根据 计
算即可求解．
【详解】（1）解：由图像可得，交点 的坐标 是二元一次方程组 的解．
故答案为： ；
（2）由图像可得，不等式 的解集是 ．
故答案为： ；
（3）由图像可得，当 时， ．
故答案为： ；
（4）把 ， 代入 ，
可得 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，可得 ，
∴ ，
∴ ，
把 ，A(0,−1)代入 ，
可得 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，令 ，可得 ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
15．（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）我们曾研究过“函数 的图象上点的坐标的特征”，了解了
一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式 的解集是
函数 图象在 轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式： （或 ）的解集，是函数 图象在 轴上方（或 轴下
方）部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】：
（1）如图1，观察图象，一次函数 的图象经过点 ，则不等式 的解集是
__________．
（2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为__________；不等式 的解集是__________．
【拓展延伸】：
（3）如图3，一次函数 和 的图象相交于点 ，分别与 轴相交于点 和点 ．
①结合图象，直接写出关于 的不等式组 的解集是__________．
②若在 图像上有一动点 ，是否存在点 ，使得 为等腰三角形，若存在，请直接写出点坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2） ，x>2（3）①
②存在， 或 或 或
【知识点】等腰三角形的定义、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、一次函数与几何综合、根据两条
直线的交点求不等式的解集
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、解不等式，等腰三角形的定义，数
形结合和分类求解是解题的关键．
（1）观察图象即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）①观察函数图象知，符合条件的点在点 、 之间，即可求解；
②分三种情况：当 时， 当 时， 当 时，分别 求解即可．
【详解】解：（1）观察图象知，不等式 的解集是 ，
（2）观察函数图象知，两直线的交点坐标为： ，不等式 的解是x>2
（3）①观察函数图象知，符合条件的点在点 、 之间，
联立两个一次函数得： ，
解得： ，即点 ，
令 ，则 ，即点 ；
故不等式组的解集为 ；
②存在，理由：
令 ，则 ，解得： ，
∴
∵
∴
设点 ，
∴ ， ，
分三种情况：I）当 时，
∴
解得：
∴ 或 ，
II）当 时，
∴解得： ， （舍去）
∴
III）当 时，过点P作 轴于D，
∴ ，
∴
∴ ，
∴
综上， 或 或 或 ．
