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第 03 讲 一元一次不等式与一次函数
课程标准 学习目标
1. 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集。
①求解集
2. 通过不解不等式，直接用图象法求不等式和方程的解与解
②数形结合
集。
知识点01 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集
(1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合.
(2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合.
(3)一元一次不等式kx+b>kx+b 的解集，一次函数y=kx+b 图象在一次函数y=kx+b 图象上方的点的横
1 1 2 2 1 1 2 2
坐标所组成的集合.
(4)一元一次不等式kx+b0， ，则函数 经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确；
由 可得 ，故不等式 的解集是 ，故③不正确；
当 时， ，则 ，故④正确；
综上，正确的有： ，
故选：A．
二、填空题
5．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知一次函数 ，当 时， ．
【答案】
【知识点】求一次函数自变量或函数值、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【分析】本题考查一次函数的性质，根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到当 为何值时，
，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【详解】解：∵在一次函数 中， ，
∴该函数y随x的增大而增大，
当 时，∴当 时， ，
故答案为： ．
6．（24-25八年级上·浙江金华·期中）一次函数 的图象经过点 ，且与正比例函数
的图象交于点 ，则 的解为 ．
【答案】
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数
的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 在x轴
上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后利用函
数图象，写出一次函数 的图象在正比例函数图象上方所对应的自变量的范围．
【详解】解：把 代入 得 ，解得 ，
所以当 时， ，
即 的解集为 ．
故答案为 ．
7．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，直线 与 分别交x轴于点 ，
，则不等式 的解集为 ．
【答案】 或
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集【分析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式．本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个
图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
【详解】解：直线 与直线 分别交x轴于点 、 ，
∵ ，
∴一个正数和一个负数的积为负数，
∴不等式 的解集为 或 ，
故答案为： 或 ．
8．（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）一次函数 的图象经过点 ，则 的值为 ；当
时，对于 的每一个值，函数 的值小于函数 的值，则 的取值范围 ．
【答案】
【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、根据两条直线的交点求不等式的解集、一次
函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活
运用是解此题的关键．根据一次函数图象上的点满足函数解析式得到 ，解方程即可；求出函数
的图象过定点 ，当 时， ，若函数 的图象过 ，
此时 ，则 ，结合 和 的图象即可得到答案．
【详解】解： 一次函数 的图象经过点 ，
，
；
当 时， ，
∴函数 的图象过定点 ，
当 时， ，
若函数 的图象过 ，
则 ，
此时 ，则此时 ，
如图，
当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于函数 的值，
的取值范围是 ．
故答案为： ，
三、解答题
9．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）一次函数 的图象如图所示．
(1)求出 ， 的值；
(2)当 时，直接写出 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) 的取值范围为 ．
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、求一次函数解析式
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握待定系
数法求一次函数解析式，学会根据图象法解不等式是解题的关键．
（1）代入点 ， 到 ，再解二元一次方程组即可；
（2）根据函数图象进行解答即可．
【详解】（1）解：由图象可知，一次函数 的图象经过点 ， ，
代入得： ，
解得： ，
．
（2）由图象得，当 时， 的取值范围为 ，
的取值范围为 ．
10．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，根据图中信息解答下列问题：(1)关于 的不等式 的解集是 ；
(2)关于 的不等式 的解集是 ；
(3)当 ， ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式；
（1）利用直线 与 轴的交点为 ，然后利用函数图象可得到不等式 的解集．
（2）利用直线y=mx+n与 轴的交点为 ，然后利用函数图象可得到不等式 的解集．
（3）结合函数图象直接写出答案．
【详解】（1） 直线 与 轴的交点是 ，
当 时， ，即不等式 的解集是 ；
故答案是： ；
（2） 直线 与 轴的交点是 ，
当 时， ，即不等式 的解集是 ；
故答案是： ；
（3）根据图象可得，当 时， ．
故答案为： ．
11．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点 ， ，
与x轴，y轴相交于点C，D．(1)结合函数图象，直接写出 的解集为______；
(2)求一次函数 的表达式；
(3)求 的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)8
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题、由直线与坐标
轴的交点求不等式的解集
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数的解析式、三角形面积等知识，解
题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）结合函数图像与点B的坐标可回答．
（2）用待定系数法求一次函数解析式即可．
（3）先求出点C的坐标，即可得出 ，再根据 即可得出答案．
【详解】（1）解：根据函数图像以及点 可知，
当 时， ，
∴故答案为： ．
（2）解， 一次函数 的图象经过点 ， ，
∵
，
∴
解得： ，
一次函数的解析式为：
∴（3）另 ，则 ，
解得： ，
，
∴
∴
∴
12．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，一次函数 和 的图象相交于点 ，两图象
分别与 轴交于点 和点 ．(1)方程组 的解是_______，点A的坐标是_______；
(2)根据图象判断，当 时， 的取值范围为_______；
(3)在直线 的图象上存在另一点 ，使得 的面积为 面积的2倍，求出点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、加减消元法、根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组和一元一次不等式，题目较为基础，注意数形结合思想的
应用．
（1）由加减消元法求出方程组的解；由此即可得两直线的交点A的坐标；
（2）通过函数图象即可得出 的取值范围；
（3）先求出点 和点 的坐标，即可得到 的面积，令 ，根据 是 的面积的
2倍，即可求出点 的坐标．
【详解】（1）解： ，
得： ，解得： ，
将 代入①得 ，
故方程组 的解是 ；
方程组 可变形为 ，
故一次函数 和 的图象的交点即为方程组的解，
则点A的坐标是 ，故答案为： ； ．
（2）解：根据图象可得：当 时，
取何值范围是： ；
故答案为： ；
（3）解：令 ，则 ， ，
，
，
，
设 ，则 ，
，
或3，
或 ．
13．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图
象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数 展开探索，请补充
完整以下探索过程：
(1)列表：
0 2 4 6 8
5 2 5
直接写出 的值， ______， ______．
(2)在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象．(3)已知函数 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，则不等式 的解集为
______．
【答案】(1)4，2
(2)见解析
(3) 或
【知识点】用描点法画函数图象、根据两条直线的交点求不等式的解集、从函数的图象获取信息、函数的
三种表示方法
【分析】本题考查函数图象及性质，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题．
（1）把 ， 代入 中可求 ，将 ，代入即可求出 ；
（2）描点补全图象即可；
（3）不等式 ，即 的图象在 的上方时，对应自变量的取值范
围，数形结合可得答案．
【详解】（1）把 ， 代入 中得： ，
，
当 时， ，
．
（2）描点连线，如下图所示，（3）由图象可得，
不等式 ，即 的图象在 的上方，
解集为 或 ．
14．（23-24八年级下·新疆克拉玛依·期末）如图，请根据图像所提供的信息解答下列问题：
(1)交点 的坐标 是二元一次方程组：______的解；
(2)不等式 的解集是______；
(3)当 ______时， ；
(4)直线 分别交 轴、 轴于点 、 ，直线 分别交 轴、 轴于点 、 ，求点 的坐标和四边形
的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)(4) ，1
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与几何
综合、求一次函数解析式
【分析】本题考查了一次函数的交点问题、一次函数与不等式、待定系数法求一次函数解析式等知识，利
用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
（1）根据函数图像即可求解；
（2）根据函数图像即可求解；
（3）根据函数图像即可求解；
（4）利用待定系数法求出直线 ， 的解析式，求出点 ， 的坐标，再根据 计
算即可求解．
【详解】（1）解：由图像可得，交点 的坐标 是二元一次方程组 的解．
故答案为： ；
（2）由图像可得，不等式 的解集是 ．
故答案为： ；
（3）由图像可得，当 时， ．
故答案为： ；
（4）把 ， 代入 ，
可得 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，可得 ，
∴ ，
∴ ，
把 ，A(0,−1)代入 ，
可得 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，令 ，可得 ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
15．（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）我们曾研究过“函数 的图象上点的坐标的特征”，了解了
一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式 的解集是
函数 图象在 轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式： （或 ）的解集，是函数 图象在 轴上方（或 轴下
方）部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】：
（1）如图1，观察图象，一次函数 的图象经过点 ，则不等式 的解集是
__________．
（2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为__________；不等式 的解集是__________．
【拓展延伸】：
（3）如图3，一次函数 和 的图象相交于点 ，分别与 轴相交于点 和点 ．
①结合图象，直接写出关于 的不等式组 的解集是__________．
②若在 图像上有一动点 ，是否存在点 ，使得 为等腰三角形，若存在，请直接写出点坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2） ，x>2（3）①
②存在， 或 或 或
【知识点】等腰三角形的定义、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、一次函数与几何综合、根据两条
直线的交点求不等式的解集
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、解不等式，等腰三角形的定义，数
形结合和分类求解是解题的关键．
（1）观察图象即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）①观察函数图象知，符合条件的点在点 、 之间，即可求解；
②分三种情况：当 时， 当 时， 当 时，分别 求解即可．
【详解】解：（1）观察图象知，不等式 的解集是 ，
（2）观察函数图象知，两直线的交点坐标为： ，不等式 的解是x>2
（3）①观察函数图象知，符合条件的点在点 、 之间，
联立两个一次函数得： ，
解得： ，即点 ，
令 ，则 ，即点 ；
故不等式组的解集为 ；
②存在，理由：
令 ，则 ，解得： ，
∴
∵
∴
设点 ，
∴ ， ，
分三种情况：I）当 时，
∴
解得：
∴ 或 ，
II）当 时，
∴解得： ， （舍去）
∴
III）当 时，过点P作 轴于D，
∴ ，
∴
∴ ，
∴
综上， 或 或 或 ．
