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第 03 讲 一元一次不等式组(8 类热点题型讲练)
1.经历通过具体问题抽象出不等式组的过程；
2.理解一元一次不等式组及其解的意义，初步感知利用一元一次不等式解集的数轴表示求不等式组的解和
解集的方法；
3.会运用一元一次不等式组解决简单的实际问题；
4.会利用数轴表示一元一次不等式组的解集．
知识点01 一元一次不等式组的定义
（1）一元一次不等式组的定义：
几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
（2）概念解析
形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也
有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的
任意几个．
知识点02 解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组
的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
知识点03 一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一
步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结
果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
知识点04 由实际问题抽象出一元一次不等式组
由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根
据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语
出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．
知识点05 一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
题型01 一元一次不等式组的定义
【例题】（2023上·广东梅州·九年级校考开学考试）下列不等式组为一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式组的定义：含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，
那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组，逐个判断即可．
【详解】解：A、是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
B、是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C、是一元二次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D、是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，能熟记一元一次不等式组的定义是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·七年级课时练习）下列选项中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】略
2．（2023上·浙江·八年级专题练习）下列不等式组：① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可．
【详解】解：① 是一元一次不等式组；
② 是一元一次不等式组；
③ 含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
④ 是一元一次不等式组；
⑤ ，未知数是2次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断．
题型02 求一元一次不等式组的解集
【例题】（2023下·江苏·七年级专题练习）解不等式组 ，并在数轴上画出它的解集．
【答案】不等式组的解集为 ，数轴上表示见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根
据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
则不等式组的解集为 ，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【变式训练】
1．（2023上·江苏苏州·七年级校联考阶段练习）解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，数轴见解析
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先
分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同
大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．不等式组的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包
含该点，实心点表示包含该点．
【详解】解：
由①得， ，
由②得， ，
故不等式组的解集为：
在数轴上表示为：
2．（2023上·湖南株洲·八年级校考阶段练习）解不等式组，并在数轴上表示出解集：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) ，数轴表示见解析
(2) ，数轴表示见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键.
（1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无
解）”求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可；（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无
解）”求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】（1）解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
数轴表示如下：
（2）解：
解不等式①得 ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
数轴表示如下：
题型03 求一元一次不等式组的整数解
【例题】（2023上·浙江·八年级专题练习）不等式组 的整数解为 ．
【答案】
【分析】先求出不等式组的解集，然后问题可求解．
【详解】解：
由①可得： ，
由②可得： ，
∴原不等式组的解集为 ，
∴该不等式组的整数解为 ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
【变式训练】1．（2023下·安徽宿州·八年级校考期中）不等式组 的所有整数解的和是 ．
【答案】6
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后可求出不等式
组的所有整数解，由此即可得．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
则不等式组的解集为 ，
所以它的所有整数解为 ，
所以它的所有整数解的和为 ，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．
2．（2023下·四川宜宾·七年级统考期末）以不等式组 的整数解为边长的等腰三角形的周长是
．
【答案】13或14
【分析】先求出不等式组的解集，再确定整数解，然后根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系定理求
解即可．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
所以不等式组的解集为 ，
整数解是4，5．
如果4为腰长，4，4，5能够组成三角形，周长是 ；
如果5为腰长，4，5，5能够组成三角形，周长是 ．
即等腰三角形的周长是13或14．
故答案为：13或14．
【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，
同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．也考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系定理．
题型04 解一元一次不等式组中错解复原问题【例题】（2023下·河南开封·七年级统考期末）下面是小李同学解不等式组 的过程，请认
真阅读并完成相应任务．
解：令
解不等式①，
去分母，得 第一步
移项，得 第二步
合并同类项，得 第三步
系数化为1，得 第四步
任务一：
上述解不等式①的过程第______步出现了错误，其原因是______．
任务二：
请写出正确的解题过程，并将不等式组的解集在数轴上表示出来，
【答案】任务一：四；在不等式两边同时乘(除以)同一个负数，不等号的方向改变；任务二：见解析
【分析】任务一：根据解一元一次不等式的一般步骤逐步分析即可；
任务二：按照解一元一次不等式组的步骤求解集，将不等式组的解集在数轴上表示出来即可．
【详解】任务一：上述解不等式①的过程第四步出现了错误，其原因是在不等式两边同时乘(除以)同一个
负数，不等号的方向改变；
故答案为：四；在不等式两边同时乘(除以)同一个负数，不等号的方向改变；
任务二：令
解不等式①， ，
去分母，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
解不等式②， ，
移项，得 ，
解得： ，
∴不等式组的解集为： ，如图：将不等式组的解集表示在数轴上：
【点睛】本题考查解一元一次不等式（组）．熟练掌握解一元一次不等式（组）的步骤，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·贵州安顺·七年级统考期末）请观察框内小明同学解不等式的过程，回答下列问题：
解不等式
解： …………第
一步
……………………第
二步
……………………第
三步
………………………………第
四步
……………………………………
第五步
(1)第______步出现错误；
(2)该不等式的正确解集为：______；
(3)要使不等式组 的解集包含3个整数解，则在括号里添加的一元一次不等式可以为：
______，此不等式组的解集是：______．
【答案】(1)五
(2)
(3) ， （答案不唯一）
【分析】（1）根据不等式的性质判断求解即可；
（2）根据不等式的性质可得解集；
（3）根据不等式 的解集和所求不等式组的解集，只要添加的一元一次不等式的解集的最
小整数解为 即可．
【详解】（1）解：∵第五步中，不等式 两边都除以 ，不等式的方向没有改变，
∴第五步出现错误，
故答案为：五；（2）解：该不等式的正确解集为 ，
故答案为： ；
（3）解：∵不等式 的解集为 ，不等式组 的解集包含3个整数解，
∴在括号里添加的一元一次不等式可以为 ，
则此不等式组的解集是 ，
故答案为： ， （答案不唯一）．
【点睛】本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式组的整数解，理解题意，正确求解是解答的关键．
2．（2023下·宁夏中卫·八年级统考期末）下面是小明同学解不等式组 的过程，请认真阅
读，完成相应的任务．
解：由不等式 ，得 ，第一步
解得 ，第二步
由不等式 ，得 ，第三步
移项，得 ，第四步
解得 ，第五步
所以，原不等式组的解集是 ．第六步
任务一：
(1)小明的解答过程中，第______步开始出现错误，错误的原因是______________________________；
任务二：
(2)这个不等式组正确的解集是____________（直接写出），并在数轴上表示出来．
【答案】(1)第五步，合并同类项时少了负号
(2) ，解集表示在数轴上见详解
【分析】（1）根据不等式，解一元一次不等式组的方法即可求解；
（2）运用不等式的性质，解一元一次不等式组，根据不等组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小
大取中间，大大小小无解了”即可求解．
【详解】（1）解：由 式去分母得， ，第三步
移项，得 ，第四步
合并同类项得， ，
系数化为 得， ，∴小明的解答过程中，第五步出错，错误的原因是合并同类项时少了负号，
故答案为：第五步，合并同类项时少了负号．
（2）解：
由不等式 去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为 得， ，
由 式去分母得， ，
移项，得 ，
合并同类项得， ，
系数化为 得， ，
解集表示在数轴上如图所示，
∴原不等式组的解集为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，解一元一次不等式组的方法，不等式组
的取值方法，将解集表示在数轴上等知识是解题的关键．
题型05 由一元一次不等式组的解集求参数
【例题】（2023上·江苏南通·九年级校考期末）若关于 不等式组 若无解，则 的取值范围
．
【答案】
【分析】此题考查了解一元一次不等式组，弄清不等式组无解的条件是解本题的关键，不等式整理后，根
据无解确定出 的范围即可．
【详解】解：不等式整理得： ，
不等式组无解，
，解得： ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2023·广东河源·一模）若关于x的不等式组 的解集是 ，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】解出不等式组的解集，与已知解集 比较，可以求出 的取值范围．
【详解】解：化简原不等式组得 ，因为不等式组的解集为 ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，
求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．
2．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）关于x的不等式组 恰有四个整数解，那么m的取
值范围为 ．
【答案】
【分析】可先用m表示出不等式组的解集，再根据有四个整数解可得到关于m的不等组，可求得m的取值
范围．
【详解】解：在 中，
解不等式①可得 ，
解不等式②可得 ，
由题意可知原不等式组有解，
∴原不等式组的解集为 ，
∵该不等式组恰好有四个整数解，
∴整数解为0，1， 2，3，
故答案为： ．
【点睛】此题考查一元一次不等式组的整数解，解题关键确定不等式的解集，注意表示解集的不等式是否
含等号．
题型06 一元一次不等式组和方程组结合的问题
【例题】（2023下·福建泉州·七年级福建省泉州市培元中学校考期中）已知关于 ， 的方程组的解均是负数．
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将m看作常数，解方程组，再根据解均是负数列出 ，解不等式组即可求解；
（2）根据 可得 ，再根据（1）的结果即可求解．
【详解】（1）解方程组得 ，
∵方程组的解均为负数，
∴ ，
解得 ；
（2） ，
，得： ，
由（1），得： ，
，
，
即： ．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式组的知识，掌握二元一次方程组以及一元
一次不等式组的求解方法，是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考开学考试）若关于 ， 的二元一次方程
的解满足 ，求 的取值范围．
【答案】
【分析】①+②得， ，进而可得 ，根据已知条件，列出不等式，解不等式，即可求解．【详解】解： ，
①+②得， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，求一次不等式的解集，得出 是解题的关键．
2．（2023下·湖北恩施·七年级校考阶段练习）已知关于x、y的方程组 的解x为负数，y为非
正数．
(1)求a的取值范围；
(2)在a的取值范围内，当a取何整数时，不等式 的解为 ？
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）解方程组得 ，根据“x为负数，y为非正数”得出 ，解之即可；
（2）不等式 的解为 知 ，解之求得a的范围，结合以上所求可得答案．
【详解】（1）解方程组得 ，
由题意知， ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
则不等式组的解集为 ；
（2） 不等式 的解为
，
解得 ，
又 且 为整数，
所以 或 ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．题型07 列一元一次不等式组
【例题】（2023下·四川达州·八年级校考期中）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还
剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列
各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为 棵，根据“每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植
树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可．
【详解】解：若每人平均植树 9 棵，则 位同学植树棵数为 ，
∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为 棵，
∴可列不等式组为： ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·全国·七年级假期作业）一本书共98页，张力读了一周(7天)还没读完，而李永不到一周就已读
完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】张力平均每天读x页，则李永每天读 页，根据张力读了一周(7天)还没读完可得不等式
，根据李永不到一周就已读完可得不等式 ，再联立两个不等式即可．
【详解】解：设张力平均每天读x页，由题意得：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答此题的关键是找到关键性的描述语言，列出不等式组．
在求解时不要忽略x为整数这一关键性条件．
2．（2023下·江苏无锡·七年级无锡市天一实验学校校考阶段练习）若一艘轮船沿江水顺流航行 用时
少于 小时，它沿江水逆流航行 也用时少于 小时，设这艘轮船在静水中的航速为 ，江水的流速为 ，则根据题意可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】船只顺流速度 船静水中的速度 水流流速，
船只逆流速度 船静水中的速度 水流流速，
根据“顺流航行 用时少于 小时，它沿江水逆流航行 也用时少于 小时”建立方程，即可得出
答案．
【详解】根据题意，得 ，
故选： ．
【点睛】此题是由实际问题抽象出二元一次方程，主要考查了水流问题，找到相等关系是解本题得关键．
题型08 一元一次不等组的应用
【例题】（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）在我市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电
脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子
白板需要2.5万元．
(1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元？
(2)根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，该校有几种
购买方案？
(3)上面的哪种方案费用最低？按费用最低方案购买需要多少钱？
【答案】(1)每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元
(2)共有三种方案：方案一：购进电脑15台，电子白板15台；方案二：购进电脑16台，电子白板14台；
方案三：购进电脑17台，电子白板13台．
(3)选择方案三最省钱，即购买电脑17台．需要28万元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式组的应用．
（1）设电脑、电子白板的价格分别为x、y元，根据等量关系：“1台电脑+2台电子白板=3.5万元”，“2
台电脑+1台电子白板=2.5万元”，列方程组求解即可；
（2）设计方案题一般是根据题意列出不等式组，求不等式组的整数解．设购进电脑x台，电子白板有
台，然后根据题目中的不等关系“总费用不超过30万元，但不低于28万元”列不等式组解答；
（3）根据（2）的结果，通过计算即可求解．
【详解】（1）解：设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得： ，
解得： ．
答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元；
（2）解：设需购进电脑a台，则购进电子白板（30-a）台，
则 ，
解得： ，即 ，16，17．
故共有三种方案：
方案一：购进电脑15台，电子白板15台；
方案二：购进电脑16台，电子白板14台；
方案三：购进电脑17台，电子白板13台．
（3）解：方案一：总费用为 万元；
方案二：总费用为 万元；
方案三：总费用为 万元．
∴方案三费用最低．
【变式训练】
1．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）大华橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，
其进价与售价如表：
进价（元/台） 售价（元/台）
电饭煲 200 250
电压锅 160 200
(1)一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多
少钱？
(2)为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲
的数量不少于电压锅的 ，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；
(3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？
【答案】(1)厨具店在该买卖中赚了 元
(2)共有三种进货方案：①购买电饭煲 台，购买电压锅 台； ②购买电饭煲 台，购买电压锅 台；
③购买电饭煲 台，购买电压锅 台；
(3)购买电饭煲 台，购买电压锅 台时，该厨具店赚钱最多
【分析】本题考查二元一次方程组，不等式的应用，找准等量关系，列式计算是解题的关键．（1）设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台，根据图表中的数据列出关于x、y的方程组并解答即可，橱
具店在该买卖中赚了钱数；
（2）先设购买电饭煲a台，则购买电压锅 台，根据题意列出不等式组，再解不等式组即可；
（3）结合（2）中的数据进行计算，即可得到进货方案橱具店赚钱最多．
【详解】（1）设该厨具店购进电饭煲 台，则购进电压锅 台，
由题意，得 解得：
则 (元)
即厨具店在该买卖中赚了 元；
（2）设购买电饭煲 台，则购买电压锅 台，
由题意得 ，
解得： ，
∵ 是正整数，
∴ 或 或 ，
当 时，
当 时，
当 时，
故共有三种进货方案：①购买电饭煲 台，购买电压锅 台；
②购买电饭煲 台，购买电压锅 台；
③购买电饭煲 台，购买电压锅 台；
（3）①当购买电饭煲 台，购买电压锅台 台时，
(元)；
②当购买电饭煲 台，购买电压锅 台时，
(元)
③当购买电饭煲 台，购买电压锅 台时， (元)
，
∴当购买电饭煲 台，购买电压锅 台时，该厨具店赚钱最多．
2．（2023上·吉林白山·七年级统考期末）甲、乙两所幼儿园计划在“元旦”一起举办文艺汇演活动，已知
甲、乙两所幼儿园一共96人（其中甲幼儿园人数多于乙幼儿园人数，且甲幼儿园人数不足90人）．现准
备给每位小朋友都购买一套演出服装，服装厂给出如下价目表：购买服装的套
48套以下 48套至90套 91套及以上
数
每套服装的价
65元 55元 45元
格
如果两所幼儿园分别单独购买服装，一共应付5680元．
(1)如果甲、乙两所幼儿园联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？
(2)甲、乙两所幼儿园各有多少名小朋友准备参加演出？
(3)如果甲幼儿园有10名小朋友因为校外活动不能参加演出，那么你有几种购买方案？通过比较，你认为
如何购买服装才能最省钱？
【答案】(1)1360元
(2)甲幼儿园有56名小朋友准备参加演出，乙幼儿园有40名小朋友准备参加演出
(3)方案1：各自购买服装需5590元；方案2：联合购买服装需4730元；方案3：联合购买91套服装需
4095元；甲、乙两所幼儿园联合起来选择按45元一套购买91套服装最省钱
【分析】本题考查方案问题、一元一次方程的实际应用；找到等量关系列方程、列出所有方案是解决本题
的关键；
（1）计算出联合购买的价格，再减去单独购买的价格即可；
（2）根据题目等量关系“甲、乙两所幼儿园一共96人”列方程求解，再判定结果是否满足“甲幼儿园人
数多于乙幼儿园人数，且甲幼儿园人数不足90人”即可；
（3）分别计算出3种方案的价格，最后比较结果即可．
【详解】（1）解：若甲、乙两所幼儿园联合起来购买服装需 （元），
比各自购买服装共可以节省： （元），
因此共可以节省1360钱，；
（2）设甲幼儿园有小朋友 名，则乙幼儿园有小朋友 名，
依题意得 ， ，
解得 ， ，
故 符合题意，所以 （名），
故甲幼儿园有56名小朋友准备参加演出，乙幼儿园有40名小朋友准备参加演出；
（3）甲幼儿园人数： （人），乙幼儿园人数：40人，
方案1：各自购买服装需 （元），
方案2：联合购买服装需 （元），
方案3：联合购买91套服装需 （元），
因为 ，所以应该甲、乙两所幼儿园联合起来选择按45元一套购买91套服装最省钱．
一、单选题
1．（2023下·七年级单元测试）下列不等式组是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
B．有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C．是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
D．第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，能熟记一元一次不等式组的定义是解此题的关键，含有相
同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不
等式组．
2．（2023上·浙江·八年级统考阶段练习）不等式组 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】题考查了解一元一次不等式组．解题的关键是先求出每个不等式的解集，然后遵循以下原则：同
大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
【详解】解：解不等式 得 ，
解不等式 得 ，
∴不等式组的解集为： ，
故选C．
3．（2023下·全国·八年级假期作业）满足不等式组 的整数解有（ ）
A．6个 B．4个 C．5个 D．无数个【答案】C
【解析】略
4．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）在平面直角坐标系中， 在第二象限，则m的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标系，解一元一次不等式组；
根据第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正得出关于m的不等式组，解不等式组可得答案．
【详解】解：∵ 在第二象限，
∴ ，
解得： ，
故选：B．
5．（2023上·湖南永州·八年级校考阶段练习）已知关于x的不等式组 有两个整数解，则a的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．解出一
元一次不等式组的解集，根据有两个整数解得出a的取值范围．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
故不等式组的解集为 ，
不等式组有两个整数解，
，
，
故选B．
二、填空题
6．（2023·福建莆田·校考模拟预测）不等式组 的正整数解是 ．【答案】 ， ，
【分析】首先解不等式组，注意移项时要变号，不等式两边同时除以同一个负数时，要改变不等号的方向，
求出不等式组的解集后，再写出范围内的正整数．
【详解】解： ，
由 得： ，
由 得： ，
不等式组的解集为： ，
正整数解为： ， ， ．
故答案为： ， ， ．
【点睛】本题主要考查了不等式组的解法并求出其整数解，解题的关键是要注意符号问题．
7．（2023上·浙江金华·九年级校考阶段练习）若不等式组 无解，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据大大小小无解找,去确定范围即可．本题考查了不等式组无解的条件，熟练掌握无解的基本条
件是解题的关键．
【详解】∵
解①得 ，解② ，
∵不等式组 无解，根据大大小小无解找，
得 ，
故答案为： ．
8．（2023上·河南濮阳·九年级统考期中）已知关于x、y的方程组 的解是正数，则a的取值范
围是 ．
【答案】
【分析】主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，要先用字母a表示出方程组的解，然后根
据方程组的解的情况得到关于a的不等式组是解答本题的关键．
【详解】解方程组 得： ，
∵x、y是正数，∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
9．（2023下·八年级课时练习）把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后
一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为 ．
【答案】
【分析】设有a个学生，梨的总数为 个，最后一个学生得到梨的个数为： ，根据最后
一个同学最多分得3个，即大于0个小于等于3个，列出一元一次不等式组即可求解．
【详解】由已知条件可得，梨的总数为 个，最后一个学生得到梨的个数为：
最后一个同学最多分得3个，
则 ，即 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了列不等式组，根据题意找到不等关系列出不等式是解题的关键．
10．（2023上·重庆沙坪坝·八年级统考期中）若关于 的不等式组 的解集为 ，且关于
的方程 的解是非负整数，则所有满足条件的整数 的值之和是 ．
【答案】22
【分析】本题考查解一元一次不等式组，解一元一次方程，根据不等式组的解集确定a的取值范围，再根
据方程的解为非负整数，进而确定a的所有可能的值，再求和即可．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
由于不等式组的解集为 ，
∴ ，
解得 ，
关于y的方程 的解为 ，
由于方程的解是非负整数，
∴整数a可能的值为 或3或8或13，∴符合条件所有的整数a的和为： ．
故答案为：22．
三、解答题
11．（2023上·浙江·八年级期末）解不等式组 ，并写出它所有的整数解．
【答案】 ，不等式组的所有整数解为： ， ，0，1，2，3
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先
分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找
出其中的整数即可．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
所以不等式组的解集为： ，
所以不等式组的所有整数解为： ， ，0，1，2，3．
12．（2023上·江苏苏州·七年级校考阶段练习）求不等式组 的解集，并把解集在数轴上
表示出来，写出它的所有非负整数解．
【答案】 ，数轴见详解，0，1
【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，进而即可解决问题．本题考查了一元一次
不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．
【详解】∵
∴解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴不等式组的解集为 ，数轴表示如下：故非负整数解有0，1两个．
13．（2023上·浙江·八年级校联考期末）解不等式组
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：解不等式①，得 第1步
合并同类项，得 第2步
两边都除以 ，得 第3步
任务一：该同学的解答过程中第 步出现了错误，这一步的依据是 ，不等式①的正确解是 ．
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
【答案】任务一：3，不等式的基本性质3， ；任务二：
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先
分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同
大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．任务一：根据不等式的解法逐步分析即可；任务二：
根据不等式的解法求出不等式②的解集，然后求出解集即可．
【详解】解：（1）该同学的解答过程中第3步出现了错误，这一步的依据是不等式的基本性质3，不等式
①的正确解是
故答案为：3，不等式的基本性质3，
（2）解不等式②，得 ，
∴不等式组的解为 ．
14．（2023下·七年级课时练习）有学生若干人，住若干间宿舍．若每间住4人，则有20人无法安排住宿；
若每间住8人，则有一间宿舍不满也不空，问宿舍间数是多少？
【答案】宿舍间数有6间
【详解】解：设宿舍间数为 ，学生人数为 ．根据题意，得 ，解得 ．
∵ 是正整数， ．
答：宿舍间数有6间．
【易错点分析】学生容易错在对题意不够理解，忽视题中的“一间宿舍不满也不空”这一条件，只得到不
等式 ，而忽略 ．审清题意是解决这类问题的关键．
15．（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）已知关于 ， 的方程组 ，其中 为非负数，
为正数，求 的整数解．
【答案】 ， ， ， ，
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，解方程组得到含a的表示x和y的代数式，是解题的关键．首先对方程组进行化简即可求得含a的表示x和y的代数式，根据方程的解满足x为非
负数，y为正数，得到不等式组，解不等式组就可以得出 的取值范围，最后求出其整数解即可．
【详解】解： ，
得： ，
解得： ；
得 ，
解得： ，
∴ ，
∵x为非负数，y为正数，
∴ ，
解得： ,
∴a的整数解为 ， ， ， ， ．
16．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知关于x，y的方程组 的解都为非负数．
(1)求a的取值范围；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解二元一次方程组得 ， ，从而得出 ，进而得出 的取值
范围；
（2）根据 ，得出 ，结合 的取值范围求出 的取值范围，进而得出 的取值范围．
【详解】（1）解： ，
①+② 得： ，解得： ，
① ② 得： ，
解得： ，
根据题意可得： ，
解得： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式，读懂题意，分别得出 的取值范围是解
本题的关键．
17．（2023下·江苏·七年级专题练习）接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．
北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车
一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．
(1)求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗．
(2)计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元．
若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最
少，最少费用是多少？
【答案】(1)每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗
(2)共有三种运输方案，方案一：A型车6辆，B型车6辆，方案二：A型车7辆，B型车5辆，方案三：A
型车8辆，B型车4辆；其中方案一所需费用最少，最少费用是48000元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用；
（1）根据2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B
型冷链运输车一次可以运输1350盒，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）根据（1）中的结果和A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元．运输物资不少于1500
盒，且总费用小于54000元，可以列出相应的不等式组，然后根据车辆数为整数和租用A型车越少，费用
越低，即可得到相应的运输方案和所需费用最少的方案，进而计算出最少费用即可．
【详解】（1）解：设每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗，
由题意可得， ，
解得 ，
答：每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗；
（2）设A型车a辆，则B型车 辆，
由题意可得， ，
解得 ，
∵a为正整数，
∴ ，7，8，
∴共有三种运输方案，
方案一：A型车6辆，B型车6辆，
方案二：A型车7辆，B型车5辆，
方案三：A型车8辆，B型车4辆，
∵A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元，计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，
∴A型车辆越少，费用越低，
∴方案一所需费用最少，此时的费用为 （元），
答：共有三种运输方案，方案一：A型车6辆，B型车6辆，方案二：A型车7辆，B型车5辆，方案三：
A型车8辆，B型车4辆；其中方案一所需费用最少，最少费用是48000元．
18．（2023下·福建泉州·七年级统考期中）我们约定一种新运算 ，规定： （其中a、b均
为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如： ．
(1)若 ， ．
①求常数a、b的值；
②若关于m的不等式组 无解，求有理数p的取值范围；
(2)非零常数a、b应满足什么条件时，才能使 对于任意有理数t都成立？请写出推理过程．
【答案】(1)① ， ；②
(2)当 时， 对于任意有理数t都成立，过程见解析【分析】（1）①根据新定义运算法则列出方程组即可求出 与 的值．②根据新定义运算法则列出方程组
即可求出；
（2）根据新定义运算法则代入原式即可求出答案．
【详解】（1）解：① ， ．由新运算得，
，
整理得 ，
① ②得： ，
，
将 代入②得 ，
， ；
② ，
，
，
，
，
；
（2） ，
，
，
，
，
，
对于任意有理数 都成立，
，
．
【点睛】本题考查新定义运算，解题的关键是正确理解新定义运算法则，并根据法则列出方程组和不等式．
