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第 03 讲 估算
课程标准 学习目标
①掌握估算的方法 1. 会估算一个无理数的大致范围；
②会利用估算法比较大小 2. 比较两个无理数的大小．
知识点01 估算
【微点拨】日常生活中有些数据不需要十分精确时，可以通过应用所学知识进行估算，但要尽可能地减小
误差，方法要科学．
估算法：（1）若 ，则 ； （2）若 ，则 ；
根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算 和 的大小．
例如： ，则 ； ，则 ．
常见实数的估算值： ， ， ．
【即学即练1】
1.估计 的值在（ ）
A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和 之间 D． 和 之间2.若a和b为两个连续整数，且 ，那么 ， ．
知识点02 比较无理数的大小
①平方（立方）②估算法
注意：
还有其他比较实数大小的方法，如数形结合法（数轴上右边的实数始终比左边的大），作差法，作商法等．
【即学即练1】
1.比较大小：−3❑√2 −❑√19．
题型01 估计算术平方根的取值范围
【典例1】（2024九年级下·新疆·专题练习）估计❑√5的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【变式1】（23-24七年级下·重庆秀山·阶段练习）估计❑√27+1的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【变式2】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）估算❑√17×❑√3−4的结果在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【变式3】（23-24七年级下·重庆·期末）估算4−❑√5的值（ ）
A．在0到1之间 B．在1到2之间
C．在2到3之间 D．在3到4之间
题型02 无理数的大小估算
【典例2】（22-23八年级上·河南开封·期末）把无理数❑√17，❑√11，❑√5，❑√3表示在数轴上，在这四个无
理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ．
【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）估算下列数的大小：
（1）√3120≈ (结果精确到1)；
（2）❑√14.8≈ (结果精确到0.1)．
【变式2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）写出一个介于−❑√3和−❑√10之间的整数 ．【变式3】（22-23七年级下·四川广安·阶段练习）❑√28在两个连续整数a和b之间，a<❑√28”“<”或“=
”）．
❑√5+1
【变式2】（23-24七年级下·甘肃武威·期末）比较大小：1.5 ．
2
【变式3】（23-24七年级下·山东济宁·期末）比较大小：❑√5+1 3．(填“>”“<”或“=”)
题型04 无理数整数部分的有关计算
【典例3】（23-24七年级下·内蒙古通辽·期末）已知5+❑√7的小数部分为a，5−❑√7的小数部分为b，则
(a+b) 2024= ．
【变式1】（23-24七年级下·山东临沂·期末）设4+❑√5的整数部分是a，小数部分是b，则a−b=
【变式2】（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）已知a的立方根是2，b是❑√12的整数部分，则a+b的算术
平方根是 ．
【变式3】（22-23七年级下·湖北黄冈·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道❑√2是无理数，因此
❑√2的小数部分我们不可能全部地写出来❑√2−1来表示❑√2的小数部分，小明的表示方法是有道理的，因为
❑√2，将这个数减去其整数部分，差就是❑√2，又例如∵22<(❑√7) 2<32，即2<❑√7，∴❑√7的整数部分为2，
小数部分为(❑√7−2)．
请解答：
(1)❑√11的整数部分是 ，小数部分 ．
(2)如果❑√5的小数部分为a，❑√41的整数部分为b，则a+b−❑√5的值．
(3)已知x是3−❑√5的整数部分，y是其小数部分，直接写出x−y的值．一、单选题
1．（23-24七年级下·广东珠海·期中）估计 的值是在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
2．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）估计 的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
3．（2024·四川资阳·中考真题）若 ，则整数m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（23-24八年级上·全国·单元测试）若一个正方体水晶砖的体积为100，则它的棱长约在（ ）
A． 之间 B． 之间 C． 之间 D． 之间
5．（22-23八年级上·河南南阳·期中）若 是 的算术平方根， 是 的小数部分，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）请写出一个大于 而小于 的无理数 ．
7．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）与 最接近的整数是 ．
8．（23-24七年级下·新疆伊犁·期末）比较大小：（1） ，（2）
9．（22-23八年级上·广西南宁·开学考试）已知a，b为两个连续整数，且 ，则 ．
10．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知 ， ， ， ．若
n为整数且 ，则n的值是 ．
三、解答题
11．（23-24八年级上·山西运城·期末）已知 ， 的平方根是 ， 是 的整数部分．
(1)求 的算术平方根；
(2)求 的立方根．
12．（23-24七年级下·江西宜春·期末）根据表回答问题：
x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24
(1)272.25的平方根是 ；
(2) ， ；
(3)设 的整数部分为m，求 的立方根．
13．（22-23七年级上·浙江·期中）请回答下列问题：
(1) 介于连续的两个整数 和 之间，且 ，那么 __________， ____________．
(2) 是 的小数部分， 是 的整数部分，求 ____________， ____________．
(3)求 的立方根．
14．（23-24七年级下·河南安阳·期末）观察：∵ ，即 ，∴ 的整数部分为2，小
数部分为 ．规定符号 表示实数m的整数部分，例如： ， ，请你运用上述规律解
决下面的问题：
(1)按此规定 ________；
(2)如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求 的值．
15．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）根据表回答下列问题：
x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18
28
x2 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324
9
(1)316.84的平方根是 ；
(2) ＝ ， ＝ ；
(3)若 介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有 个；(4)若 小数部分为m，求 的值．
16．（23-24七年级下·广东珠海·期中）先阅读下面的文字，然后解答问题．
大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用
的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，因为 的整数部分是1，差就是小数部分．
由此我们还可以得到一个真命题：如果 ，其中x是整数，那么 ，
请解答下列问题：
(1)如果 ，其中 是整数， 且 ，那么 ， ；
(2)已知 ，其中 是整数， 且 ，求 的值．
17．（23-24七年级下·山西忻州·期末）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记．
无理数的估算：
大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，于是我
用 来表示 的小数部分，你同意我的表示方法吗？
事实上，我的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数
部分
例如：
∵ ，即 ，
∴ 的整数部分是2，小数部分是
根据以上笔记内容，请完成如下任务．
(1)任务一： 的小数部分为______．
(2)任务二：a为 的小数部分，b为 的整数部分，请计算 的值．
(3)任务三： 其中x是整数，且 求 的相反数．
18．（23-24八年级上·全国·单元测试）在没有带开方功能的计算器的情况下，我们可以用下面的方法得到（ 为正整数）的近似值 （ 为正整数），并通过迭代逐渐减小 的值来提高 的精确度，以
求 的近似值为例，迭代过程如下：
① 先估计 的范围并确定迭代的初始值 ．
，
，取 ．
② 通过计算 和 得到精确度更高的近似值 ．
请根据以上信息，完成下面的问题（此题中记 ，以下结果都要求写成小数形式）：
(1)当 时， ____， ________， ______；
(2)当 时，求 （精确到 0.001）、 的值．
