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第 06 讲 易错易混淆集训：一次函数三大易错(3 类热点题型讲练)
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【类型一 忽略一次函数中“k≠0”或正比例函数是特殊的一次函数致错】...............................................1
【类型二 忽略自变量的取值范围致错】........................................................................................................5
【类型三 一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忘记分类讨论】.....................................................8
【类型一 忽略一次函数中“k≠0”或正比例函数是特殊的一次函数致错】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）若函数 是一次函数，则m的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意得， 且 ，
解得 且 ，
所以， ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数 的定义条件是： 、 为常数， ，自变
量次数为1．
【变式训练】
1．（2023春·山西朔州·八年级校考阶段练习）已知函数 是一次函数，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数 中 ， 的指数为 列式，根据绝对值的性质，不等式的性质即
可求解．
【详解】解：∵函数 是一次函数，
∴ ，则 ，
∵ ，则 ，
∴ ，故选： ．
【点睛】本题主要考查一次函数的定义，掌握一次函数的定义，绝对值的性质，不等式的性质的运算是解
题的关键．
2．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）若函数 是一次函数，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．0
【答案】A
【分析】根据一次函数 的定义可知， 、 为常数， ，自变量的次数为1，即可求解．
【详解】解： 是关于 的一次函数，
，且 ，
，且 ，
且 ，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义和性质是解题的关键．
3．（2023秋·山东济南·七年级统考期末）若 是正比例函数，则m的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D． 或
【答案】B
【分析】根据正比例函数的定义计算．
【详解】解：根据正比例函数的定义，可得 ，且 ，
．
故选：B．
【点睛】本题考查根据正比例函数定义求参，解题关键是掌握正比例函数的定义：形如 ， 为常数
且 ，自变量次数为1．
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）已知一次函数为 ，则
的值为 ．
【答案】
【分析】根据一次函数的定义得到 且 ，即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数为 ，
∴ 且 ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数定义是解题的关键．
5．（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期中）已知 是关于 的一次函数，则.
【答案】
【分析】根据一次函数的定义得到 且 ，据此求出 的值即可．
【详解】解： 是关于 的一次函数，
且 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如 的函数，叫做一次函数，会利用 的
指数构造方程，会利用 限定字母的值是解题关键．
6．（2023春·湖南永州·八年级统考期末）已知函数 是关于x的一次函数，则m的值是
．
【答案】
【分析】根据一次函数的概念可得 ， ，求解即可得出答案．
【详解】解： 函数 是关于x的一次函数，
， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的概念，根据题意得到关于 的不等式和方程是解题的关键．
7．（2023春·全国·八年级专题练习）设函数 ．
(1)当m为何值时，它是一次函数；
(2)当m为何值时，它是正比例函数．
【答案】(1)当 或 ，它是一次函数
(2)当 ，它是正比例函数
【分析】（1）根据一次函数的定义列出关于m的方程进行求解即可；
（2）根据正比例函数的定义列出关于m的方程组，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵函数 是一次函数，
∴ ，
解得： 或 ，
答：当 或 ，它是一次函数．
（2）解：∵函数 是正比例函数，∴ ，
解得： ，
答：当 ，它是正比例函数．
【点睛】本题主要考查了正比例函数和一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数和正比例函数的
定义列出关于m的方程组．
8．（2023春·吉林长春·八年级校考阶段练习）已知函数 ，
(1)当 是何值时函数是一次函数．
(2)当函数是一次函数时，写出此函数解析式．并计算当 时的函数值．
(3)点 在此一次函数图象上，则 的值为多少．
【答案】(1)
(2) ，当 时，
(3)
【分析】（1）根据一次函数的定义进行求解即可；
（2）根据（1）所求代入m得值求出对应的函数关系式，再把 代入对应的函数关系式求出此时y的值
即可；
（3）代入 ，求出此时x的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵函数 是一次函数，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，函数 是一次函数；
（2）解：由（1）得 ，
∴当 时， ；
（3）解：在 中，当 时， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，求一次函数的函数值和自变量的值，一般地，形如
（其中k、b都是常数，且 ）的函数叫做一次函数．【类型二 忽略自变量的取值范围致错】
例题：（2022·北京·前门外国语学校八年级阶段练习）已知蜡烛被燃烧的长度与燃烧时间成正比例，长为
的蜡烛，点燃6分钟后，蜡烛变短了 ，设蜡烛点燃x分钟后的长度为 ，
(1)请列出y与x的函数关系式，指出自变量取值范围；
(2)利用描点法画出此函数的图象；
(3)由图象指出此蜡烛几分钟燃烧完毕．
【答案】(1)y与x之间的关系式是y=24-0.6x，0≤x≤40；
(2)见解析；
(3)此蜡烛40分钟燃烧完毕．
【分析】（1）根据蜡烛点燃后的长度=原长度-每分钟燃烧的长度×时间，建立函数关系式用待定系数法求
解，并求出自变量的取值范围；
（2）用描点法画出函数图像；
（3）从图像直接可以得出结论．
（1）
由题意可得，
y=24- x=24-0.6x,
∴y与x之间的关系式是y=24-0.6x，
令y=0，则24-0.6x=0，
解得：x=40，
∴自变量x的取值范围是：0≤x≤40；
（2）
列表为：
x 0 40
y=24-0.6x 24 0
图象是一条线段．描点并连线为：（3）
由图像可以看出：此蜡烛40分钟燃烧完毕．
【点睛】此题考查了根据题意中的等量关系建立函数关系式；能够根据函数解析式求得对应的x的值，特
别注意自变量的取值范围．
【变式训练】
1．（2021·安徽·合肥市第四十五中学八年级期末）一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm燃烧时剩下的
高度h（cm）与时间t（小时）的关系图象表示是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据题意求出 与 的函数关系式，再根据一次函数的图象特征即可得．
【详解】由题意得： ，
，
，
解得 ，
即 与 的关系式为 ，是一次函数图象的一部分，且 随 的增大而减小，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象，依据题意，正确求出一次函数的解析式是解题关键．
2．（2021·河北保定·八年级期末）拖拉机开始工作时，油箱中有油24L，若每小时耗油4L．则油箱中的剩
油量y （L）与工作时间x（小时）之间的函数关系式的图象是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据剩余油量=邮箱里原有的油量-消耗的油量就可以表示出y与x之间的函数关系式．
【详解】解：由题意，得
y=24-4x（0≤x≤6）．
∴k=-4＜0，
∴函数是降函数，函数图象是线段．
当x=0时，y=24，当y=0时，x=6．
∴函数图象是经过（0，24）和（6，0）的线段．
故选D．
【点睛】本题考查了运用剩余油量=邮箱里原有的油量-消耗的油量的关系的运用，一次函数的解析式的运
用，解答时求出函数的解析式是关键．
3．（2022·河南新乡·八年级期中）春节是中国民间最隆重盛大的传统节日，是集祈福禳灾，欢庆娱乐和饮
食为一体的民俗大节．人们在除夕点燃红红的蜡烛，以表除旧布新．已知一根蜡烛的长为30cm，点燃后蜡
烛每小时燃烧4cm，设蜡烛燃烧的时间为 ，蜡烛燃烧时剩下的长度为 ．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
(2)求当 时，x的值．
(3)在平面直角坐标系中画出y与x之间的函数图像，从图像中你还能得到哪些信息？写出一条即可．
【答案】(1)
(2)6
(3)见解析
【分析】（1）根据燃烧速度与总长度即可直接写出关系式，当总长烧完时对应的时间即为时间上限；
（2）将 代入求出的解析式即可求解．
（3）根据（1）中求出的解析式，令x=0得出图像与y轴的交点，令y=0得出图像与x轴的交点，再连接并
延长即可，再根据图像作答即可．
（1）
由题意得，y与x之间的函数关系式为 ，
∵ ，
∴ ，
∴自变量 的取值范围是 ；
（2）
当 时， ，
解得 ；
（3）当 时， ，
当 时， ，
解得 ，
∴画出的大致函数图像如图所示，
由图像可知，蜡烛7.5小时就燃烧完．
【点睛】本题考查一次函数与实际问题的应用、一次函数图像的画法，根据题意找出函数关系式，找到图
像与坐标轴的交点是关键．
【类型三 一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忘记分类讨论】
例题：（2022·浙江金华·八年级期末）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求A，B两点的坐标．
(2)过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP＝2OA，求直线BP的函数关系式．
【答案】(1)A(-2,0)，B(0,4)
(2)y=x+4或者y=-x+4
【分析】（1）分别当x=0时和当y=0时，即可求出B、A的坐标；
（2）设P点坐标为(a,0)，即 ，根据OP=2OA，可得 ，即a=±4，分a=4和a=-4两种情况
讨论，用待定系数法求解即可．
（1）
当x=0时，y=2x+4=4，
即B点坐标为(0,4)，
当y=0时，0=2x+4，即x=-2，
即A点坐标为(-2,0)，
故答案为：B点坐标为(0,4)，A点坐标为(-2,0)；
（2）∵P点在x轴上，
∴设P点坐标为(a,0)，即 ，
∵A点坐标为(-2,0)，
∴OA=2，
∵OP=2OA，
∴OP=4，
∴ ，
即a=±4，
当a=4时，P点坐标为(4,0)，
设BP的函数关系式为 ，
∵B点坐标为(0,4)，P点坐标为(4,0)，
∴ ，解得 ，
即此时BP的函数关系式为 ，
当a=-4时，P点坐标为(-4,0)，
同理可求：BP的函数关系式为 ，
综上：BP的函数关系式为 或者 ．
【点睛】本题考查了求解一次函数与坐标轴交点以及求解一次函数解析式的知识，解题时要注重分类讨论
的思想，注意不要遗漏．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）若直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是6个平方单位，则
______．
【答案】
【分析】先令 ，求出 的值；再令 求出 的值即可得出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面
积公式即可得出结论．
【详解】解： 先令 ，则 ；
令 ，则 ，
直线与坐标轴的交点分别为 ， ， ，
，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
2．（2023春·八年级课时练习）在平面直角坐标系 中，一次函数 为常数，且 的图象与
x轴，y轴分别交于点A，B，若 的面积为1，则b的值为______．
【答案】
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A，B的坐标，进而可得出 ， 的长，结合
的面积为1，可得出关于b的方程，解之即可得出结论．
【详解】解：当 时， ，
解得： ，
∴点A的坐标为 ，
∴ ；
当 时， ，
∴点B的坐标为 ，
∴ ．
又∵ 的面积为1，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴b的值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征
及三角形的面积，找出关于b的方程是解题的关键．
3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，过点 的直线
与 轴交于点 ，且 ，则该直线的解析式为___________．
【答案】 或
【分析】先表示出 点坐标；再把 代入 得 ，则 ，然后根据三角形面积公式
得到 ，即 ，然后解方程即可求得 的值，进一步求得 的值．
【详解】解：把 代入 得 ，解得 ，
∴ ，
∵点 在直线 上，∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即： ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴该直线的解析式为 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征：一次函数 的图像上的点满足解析式．
4．（2023秋·广东揭阳·八年级统考期末）如图，在直角坐标系中，已知直线 与x轴相交于点A
与y轴交于点B．
(1)A、B两点坐标分别为________，________；
(2)点 在x轴上，若点P是直线 上的一个动点，当 时，求点P的坐标．
【答案】(1) ， ；
(2) 或
【分析】（1）根据直线 ，令 求出 的值，令 求出 的值，即可得点 、 的坐标；
（2）分类讨论：点 在 轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件，列出方程，利
用方程求得点 的坐标即可．【详解】（1）解：对于直线 ，
当 时， ．
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ， ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
①当点P在x轴下方时，
，
∴ ，
∵点P在x轴下方，
∴ ，
当 时，代入 得， ，
解得 ．
∴ ；
②当点P在x轴上方时，
，∴ ，
∵点P在x轴上方，
∴ ．
当 时，代入 得， ，
解得 ．
∴ ，
综上所述，满足条件的点P的坐标为 或 ．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积等知识，题中运用点的
坐标与图形的知识求出相关线段的长度，注意分类讨论和“数形结合”数学思想的应用是解决问题的关键．
5．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系 中，直线 过点 和点 ，其中 ，
满足方程组 ．
(1)则点 的坐标为 ；
(2)点 在 轴上，记 的面积为 ，直线 与 轴的交点为 ，记 的面积为 ，若
，求线段 的长；
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）加减消元法解得 的值，进而即可求解；
（2）根据已知条件得出 ，设 ，则 ，待定系数法求得直线 解析式，
进而得出 ，即可得出 的坐标，进而即可求解．
【详解】（1）解：
得，
解得： ，将 代入①得 ，
解得：
∴ ，
故答案为： ．
（2）解：如图所示，
∵ ，
∴
设 ，则
∵ ， ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得：
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴ 或 ,
∴ 或
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，坐标与图形，一次函数与坐标轴交点问题，数形结合
是解题的关键．
6．（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）如图，已知一次函数 的图象与x轴交于点 ，交y轴于点B，
(1)求m的值与点B的坐标；
(2)点 是平面直角坐标系内一动点，若 面积为12，求点P的坐标
(3)若点P在x轴上，且 为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1) ；
(2) 或
(3) 或 或 或
【分析】（1）将A坐标代入一次函数解析式求出m的值，确定出一次函数解析式，令 求出y的值，
即可确定出B的坐标；
（2）过点P作 轴，交 于点C，求出点C的坐标，根据 面积为12，列出关于m的方程，
解方程得出m的值，即可得出答案；
（3）若 是等腰三角形，且点P在x轴上，分 ， ， 三种情况由等腰三角形
的性质分别求得即可．
【详解】（1）解：把点 代入 ，得： ，
解得： ，
∴ ，
当 时， ，
∴点B坐标为 ；
（2）解：过点P作 轴，交 于点C，如图所示：把 代入 得： ，
∴点 ，
∵ 面积为12，
∴ ，
解得： 或 ，
∴点P的坐标为 或 ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当 时， ， ，
∴此时点P的坐标为 或 ；
当 时， ，
∴此时点P的坐标为 ；
当 时，设点P的坐标为 ，
根据题意，得 ，
解得： ，
∴点P的坐标为 ；
综上所述，点P的坐标为 或 或 或 ．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，等腰三角形的定义，勾股定理，三角形面积的计算，解题的
关键是数形结合，注意分情况讨论．
