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八年级数学·下 新课标[北师]
第二章 一元一次不等式与一元一次不
等式组
1.经历将一些简单的实际问题抽象为不等式的过程,进一步体会不等式的模型思想,建立符号意识.
2.结合具体问题,了解不等式的意义.
3.探索并掌握不等式的基本性质.
4.理解不等式(组)的解及解集的含义;会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示一元一次不等式
的解集;会解一元一次不等式组,并会用数轴确定其解集.
5.通过经历用数轴表示不等式(组)的解集的过程,体会数形结合思想.
6.能根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式,解决简单的实际问题,并能根据具体问题的实际
意义,检验结果是否合理,发展应用意识.
经历将一些实际问题抽象为不等式的过程,体会不等式也是刻画现实世界中量与量之间关系的有效模
型,感受不等式、方程、函数之间的联系与区别,研究用不等式解决实际问题的方法.
1.初步体会不等式、方程、函数之间的内在联系与区别.
2.进一步感受数学和生活的联系,体会数学的价值.
不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式,它不仅是现阶段学生学习的重点内容,而且也是学
生后续学习的重要基础.本章在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组和一次函数的基础上,开始研究
简单的不等关系,通过前面的学习,学生已初步体会到生活中量与量之间的关系是众多而且复杂的,面对大量
的同类量,最容易使人想到的就是它们有大小之分.在此之前,学生已初步经历了建立方程模型和函数关系
解决一些简单的实际问题的“数学化”过程,为分析量与量之间的关系积累了一定的经验,以此为基础展开
不等式的学习,顺理成章.
本章首先通过具体实例建立不等式,探索不等式的基本性质,了解一般不等式的解、解集以及解不等式
的概念,然后具体研究一元一次不等式的解、解集、解集的数轴表示,一元一次不等式的解法以及一元一次
不等式的简单应用,通过具体实例渗透一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的内在联系.最后研究一
元一次不等式组的解、解集和一元一次不等式组的解法.
根据学生现有的认知基础和认知特点,本章的设计主要有下列特点:
(1)提供丰富的实际背景.如等周问题、测树围研究树龄问题、打折销售问题等,这些都为学生探索实际
问题中的不等关系提供了生动、丰富的背景.通过研究这些问题,可以进一步发展学生的符号意识,提高学
生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力,发展模型思想.
(2)突出知识之间的内在联系.不等式与方程、函数一样,都是反映客观事物变化规律及其关系的模型,
函数能够刻画事物之间对应变化的过程,方程能够刻画某个变化过程的一瞬间,而不等式则刻画变化过程中同类量之间的一个普遍现象.本章教科书充分注意了这三者之间的联系,并专设一节“一元一次不等式与一
次函数”,意在引导学生初步体会从整体中把握部分的思维方法,渗透函数、方程、不等式等重要的数学思
想,发展几何直观.
具体来讲,第1节“不等关系”,用实例引入,使学生在归纳的过程中认识不等式模型,体会到生活中的
不等关系大量存在,并初步建立用不等式模型解决简单实际问题的应用意识.第2节“不等式的基本性质”,
类比等式的基本性质研究不等式的基本性质,让学生经历类比、猜想、尝试、归纳、得出结论的合情推理
过程,探索不等式的三条基本性质,使学生能够将不等式进行简单转化.第3节“不等式的解集”,用烟花引
火线的实例引入,在建立不等式之后研究其解集及数轴表示,让学生结合实际意义来理解不等式的解集,并引
导学生感受不等式的解与方程的解的异同.第4节“一元一次不等式”,经历认识一元一次不等式的概念、
求解一元一次不等式,以及应用一元一次不等式的过程,逐步积累数学活动经验.本节设计了大量实际问题,
如打折销售、知识竞赛等,意图是进一步培养学生的数学应用意识.第5节“一元一次不等式与一次函数”,
研究一元一次不等式与一次函数的联系,发展学生对数学的综合认识,建立数学学科内部知识之间的联系,完
善学生的认知结构,并运用这种联系解决一些简单的实际问题,发展学生的应用意识.第6节“一元一次不等
式组”,将解一元一次不等式组的问题转化为解一元一次不等式的问题,再借助数轴确定其解集.
【重点】
1.不等式的基本性质.
2.不等式(组)的解法.
3.不等式(组)的解集及不等式(组)解集的数轴表示.
4.不等式与一次函数的关系.
【难点】
1.经历将一些实际问题抽象为不等式的过程.
2.不等式及不等式组的解法.
3.根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式(组),解决简单的实际问题.
数学教学是数学活动的教学,是师生交流、互动和共同发展的过程,教学中,要将学生推到学习的前沿,
注重发挥学生的学习主体性和主观能动性.
1.关注与旧知识的联系,提高思维能力.
有效的教学一定要从学生已经知道了什么开始.教学过程中,要关注不等式、函数、方程的内在联系,
不等关系与相等关系的辩证关系,要类比等式(方程)进行不等式的教学,这样不仅有利于学生认识不等式,而
且可以使学生体会知识之间的内在联系,从整体上把握知识,发展学生的辩证思维.例如,在研究不等式的基
本性质时,可以类比等式的基本性质,并比较其异同.
2.设置丰富的问题情境,体会知识的发生、发展过程.
教学中,要充分发挥教科书中“做一做”“想一想”“议一议”等栏目提供的问题情境,组织学生进行
探究性学习.例如,在“不等关系”一节的教学中,要让学生经历探索不等式模型的形成过程,要给学生留有
充分的思考与活动时间,使其初步体会学习不等式的价值,通过充分经历观察、试验、归纳、类比、概括和
数学表示的过程,自然过渡到“模型化”,教师不要急于求成,要关注学生学习能力的提高.
3.恰当把握打牢基础与培养能力的关系.
不等式的基本性质、不等式(组)的解法及不等式(组)解集的数轴表示是学生后续学习的重要基础和必
备技能,一定量的练习是完全必要的,但不宜停留在简单的模仿训练与机械记忆的层次上,更不必强调解不等
式(组)的步骤,要引导学生能够说出一个不等式为什么可以从一种形式变为另一种形式,它的解集为什么能
在数轴上表示,为什么可以通过数轴迅速准确地确定不等式组的解集,发展其代数变形能力、说理能力和数
形结合能力,养成步步有据、准确表达的良好学习习惯.在教学过程中,对学生求解不等式(组)的基本训练要
自始至终加以关注,而不宜一步到位突击训练.如解决一些实际问题时,建立不等式模型之后要关注其求解
过程、结果的准确性、解释结果的合理性,在这个过程中,使学生进一步体会解不等式(组)与解方程(组)的异
同.4.恰当把握实际背景题目的难度,关注学生多角度的思考.
对于一元一次不等式(组)的应用,最重要的是帮助学生建立不等意识,学习将实际问题数学化.有实际背
景的题目的难度要控制在教科书例题、习题的难度以下,不要人为加大难度.相应地,教师要鼓励学生自主
探索与合作交流,引导学生主动地从事观察、试验、猜测、验证、推理与交流等活动.同时,要鼓励解法的
多样性,如对某些实际问题,学生可用方程、函数知识处理,只要学生的解法合理,就应当予以鼓励,不必强求
统一.重要的是发展学生的思维策略,促进学生一般数学观的建立.
5.关注学生的个体差异,提高学生的学习积极性.
教学过程中,要尊重学生的个体差异,关注学生的学习情感和自信心的建立.《标准》指出:“学生的个
体差异表现为认知方式与思维谋略的不同,以及认知水平和学习能力的差异,教师要及时了解并尊重学生的
个体差异,满足多样化的学习需要.”本章教学要提倡解决问题策略的多样化,发展学生的学习个性,允许出
错,对学习有困难的学生,教师要耐心倾听他们的看法,适时引导,增强其学习的兴趣和自信心.对于学有余力
的学生,要多提供一些材料,指导他们自学,发展他们的数学才能.例如,对于本章“读一读”中一元一次不等
式组的应用的学习,教师可以提供有关简单线性规划的材料让学有余力的学生阅读,尝试解决一些简单的实
际问题,从中体会最优化思想.
1 不等关系 1课时
2 不等式的基本性质 1课时
3 不等式的解集 1课时
4 一元一次不等式 2课时
5 一元一次不等式与一次函数 2课时
6 一元一次不等式组 2课时
回顾与思考 1课时
1 不等关系
1.感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式的意义.
2.初步体会不等式是研究量与量之间关系的重要模型.
1.经历由具体实例建立不等式模型的过程,进一步发展学生的符号感与数学化的能力.
2.在探索中发展学生归纳、猜想的能力及有条理地表达的能力.培养学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论,敢于发表自己的观点,并尊重与理解他人见
解,从交流中受益.
【重点】
1.不等式概念的总结.
2.建立不等关系.
【难点】 从现实情境中建立不等关系.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习课本有关知识.
导入一:
师:我们学过等式,等式的定义是什么?
生:表示相等关系的式子叫等式.
师:我们知道量与量之间的相等关系可以利用等式来描述.同时,我们也知道现实生活中还存在着许多
不等关系.比如,研究表明同学们每天睡觉的时间要不少于9小时;体育考试中合格的分数要不低于60分.请
同学们也举一些含有不等关系的例子. (同学们各抒己见)
生1:每天我都比弟弟早起5分钟.
生2:我的年龄不小于13岁.
生3:我的体重不低于30公斤.
[设计意图] 通过这一活动,使学生体会到不等关系如相等关系一样处处存在,培养学生观察生活、乐
于探究的品质.
导入二:
教师用课件出示商品图片,如:手机、电视、冰箱、电脑、电话等,说明规则:男、女生各派一名代表,看
教师出示的商品,猜商品的价格,时间为一分钟,谁在一分钟之内猜出的商品多,谁就获胜.男先女后.
如:教师出示一部彩屏手机的图片,请学生猜价格.“高了”指所猜价格大于手机真实价格,“低了”指
所猜价格小于手机真实价格,只有1460元才和这部手机的真实价格相等.
通过游戏,大家也发现了相等是一种特殊情况,而不等是一般情况.现实生活中存在着大量的不等关系,
研究这些不等关系有助于我们把握事物的变化规律.
[设计意图] 使学生认识到现实生活中存在大量的不等关系,明确学习不等式的必要性,同时激发学生
的学习兴趣.
一、不等式的概念
思路一
[过渡语] 同学们,我们如何用式子来表示不等关系呢?现在我们来看下面的问题.
【课件1】 (1)如果某等腰三角形的底边长为a cm,这边上的高为4 cm,且这个三角形的面积不大于8
cm2,那么a应该满足的关系式为 (注意“不大于”的含义);(2)铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定:每件行李的长、宽、高之和不得超过160 cm.设行李
的长、宽、高分别为 a cm,b cm,c cm, 请你列出行李的长、宽、高满足的关系式 .
【课件2】 某中学准备在学校饭厅新添一个通风口,四周用长为x m(x≤5)的装潢条镶嵌(不计接缝),
现有两种设计方案,如下图所示.
(1)填写下表:
通风口规格 x满足的关系式
正方形面积不大于1 m2
圆的面积不大于1.5 m2
(2)探究:
正方形的 圆的面 S 与S
x/m 正 圆
面积/m2 积/m2 的关系
1
4
5
【课件3】 通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以估算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5 m
的地方作为测量部位.某树栽种时的树围为6 cm,在一定生长期内每年增加约3 cm,设经过x年后这棵树的
树围超过30 cm,请你列出x满足的关系式.
总结:一般地,用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.(特别地,不等号还包含
“≠”)
[设计意图] 通过运用不等式表示不等关系,加深对不等式的理解,会用不等式表示实际问题中的不等
关系.
思路二
[过渡语] 既然不等关系在现实生活中并不少见,那么大家肯定接触过不少,如何用式子表示不等关系
呢?请看下面的问题.
【课件1】 如图所示,用两根长度均为l cm的绳子分别围成一个正方形和一个圆.
(1)如果要使正方形的面积不大于25 cm2, 那么绳长l应满足怎样的关系式?
(2)如果要使圆的面积不小于100 cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式?
(3)当l=8时,正方形和圆的面积哪个大?l=12呢?改变l的取值再试一试,由此你能得到什么猜想?
【课件2】 通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以估算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5 m
的地方作为测量部位.某树栽种时的树围为6 cm,在一定生长期内每年增加约3 cm,设经过x年后这棵树的
树围超过30 cm,请你列出x满足的关系式.
总结:一般地,用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.(特别地,不等号还包含
“≠”)
[设计意图] 通过问题直接建立不等关系,体会同类量之间最常见的是比大小问题,并发展学生的归纳
猜想能力.在解决这一串问题的过程中,让学生体会不等式与方程、函数一样,也是刻画事物变化规律的重
要模型,并初步感知最优化思想.
二、例题讲解[过渡语] 刚刚我们学习了什么是不等式,现在我们通过下面的例题来看看同学们理解得怎么样.
(补充例题)用不等式表示下列关系.
(1)a是正数;
(2)a是负数;
(3)a与6的和小于5;
(4)x与2的差不小于-1;
(5)x的4倍不大于7;
(6)y的一半小于3.
解:(1)a>0.
(2)a<0.
(3)a+6<5.
(4)x-2≥-1.
(5)4x≤7.
1
(6) y<3.
2
[设计意图] 对本节知识进行巩固练习,及时反馈,使学生会运用适当的不等号表示不等关系.
本课我们主要学习了根据题意列出不等式,并由此总结出不等式的概念.在列不等式时,要特别注意
“不大于”“不小于”等词语的含义,通过表示不等关系的式子归纳出不等式的概念.
1.下面给出了5个式子:①3>0;②4x+3y>0;③x=3;④x-1;⑤x+2≤3.其中不等式有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
解析:根据不等式的定义可知不等式为①②⑤.故选B.
2.a,b两数在数轴上的位置如图所示,下列结论中正确的是 ( )
A.a>0,b<0 B.a<0,b>0
C.ab>0 D.以上均不对
解析:根据数轴上的位置可知a>0,b<0,所以ab<0.故选A.
3.a是非负数的表达式是 ( )
A.a>0 B.a≥0
C.a≤0 D.|a|≥0
解析:非负数就是大于或等于零的数.故选B.
4.用不等号连接下列各组数:
14 15
(1)- - ;
15 16
(2)x2+1 0.
14 15 14 15
解析:两个负数,绝对值大的反而小.因为 < ,所以- >- ;因为x2≥0,所以x2+1>0.
15 16 15 16
答案:(1)> (2)>
5.y的3倍与x的4倍的和是负数用不等式表示为 .
答案:3y+4x<06.一所中学的男子百米赛跑的纪录是11.7秒,假设一名男运动员的百米赛跑成绩为x秒,如果这名运动
员破纪录,那么 ;如果这名运动员没破纪录,那么 .
答案:x<11.7 x≥11.7
7.用适当的符号表示下列关系:
(1)a的2倍比a与3的和小;
(2)y的一半与5的差是非负数;
(3)x的3倍与1的和小于x的2倍与5的差.
解:(1)2a0 B.-x2<0
C.(x+1)2≥0 D.a2>0
2.小林在水果摊上称了2斤苹果,摊主称了几个苹果说:“你看秤,高高的.”如果设苹果的实际质量为x斤,用
不等式把这个“高高的”的意思表示出来是 ( )
A.x≥2 B.x≤2 C.x>2 D.x<2
【能力提升】
1
3.若0”“<”或“=”),并回答问题.
(1)32+42 2×3×4;
(2)22+22 2×2×2;
(3) 2 3
(3)12+ 2×1× ;
4 4
(4)(-2) 2+52 2×(-2)×5;
(1) 2 (2) 2 1 2
(5) + 2× × .
2 3 2 3
观察上面的算式,请你用含字母a,b的式子来表示上面算式反映的一般规律.
【答案与解析】
1.C
2.C(解析:“高高的”的意思是苹果的实际质量大于2斤.故选C.)
1 1 1 1 1
3.a<1< (解析:用特殊值法解决.设a= ,则 =2,所以a<1< .故填a<1< .)
a 2 a a a
4.8(解析:将所有情况列举出来,然后判断即可.)
1 1 1 1
5. a2+ b2>ab(a>b)(解析:由图可看出图(1)的面积是 a2+ b2,图(2)的面积是ab.再根据图形面积的大小关
2 2 2 2
1 1 1 1
系,可得 a2+ b2>ab(a>b).故填 a2+ b2>ab(a>b).)
2 2 2 2
6.解:2a250.
8.解:5×10+(30-10-3)x>270.
9.解:设该同学应答对x道题,依题意有6x-(16-x)×2>60.
10.解:(1)> (2)= (3)> (4)> (5)> a2+b2≥2ab(当a=b时取等号).本节课充分通过学生举例和老师的选例,让学生体会在现实生活中除了存在许多等量关系外,更多的是
不等关系的存在,并通过感受生活中的大量不等关系,初步体会不等式是刻画量与量之间关系的重要数学模
型.经历由具体实例建立不等式模型的过程,进一步发展了学生的符号感与数学化的能力.
本节课还是有很多的不足,学生平时缺少锻炼,使得课堂气氛没有达到最好的效果.学生在进行自主合
作探究时,特别是在进行讨论时,有时讨论会偏离中心,提出一些与本节课内容无关的问题.
在教学中,充分相信学生的潜力,让学生真正成为学习的主体,让学生的思维在数学课堂上尽情地驰骋,
老师要做好课堂的引导者、参与者、合作者,与学生平等地进行交流与学习.
随堂练习(教材第38页)
2.解:(1)a≥0. (2)c>a,c>b. (3)x+17<5x. (4)a2+b2≥2ab(设这两个数分别为a和b).
习题2.1(教材第38页)
1.解:(1)3x+8>5x. (2)x2≥0. (3)S>S(S 表示地球上的海洋面积,S 表示地球上的陆地面积). (4)x>2y(x表示
1 2 1 2
老师的年龄,y表示你的年龄). (5)m>m(m 表示铅球的质量,m 表示篮球的质量).
1 2 1 2
3.解:(1)600x+100(10-x)≥4200. (2)8x+4(10-x)≤72.
4.解:(1)0”“<”等符号的用法和意义,能比较两数的大小,并能用数学语言表达.在
相关知识的学习过程中,经历了建立方程模型和函数关系解决一些实际问题的数学化过程,初步具备了将生
活中的数学现象抽象为数学问题或数学模型的能力,为分析量与量之间的关系积累了一定的经验,并在学习
过程中形成了一定的合作交流能力,为进一步展开不等式的学习奠定了基础.
班级50名学生上体育课,老师出了一道题目:现在拿来一些篮球,如果每5人一组玩一个篮球,
那么有些同学没有球玩;如果每6人一组玩一个篮球,那么就会有一组玩篮球的人数不足6人.你们知道有几
个篮球吗?
甲同学说:如果有x个篮球,那么有5x<50.
乙同学说:而且有6x>50.
丙同学说:还有6(x-1)<50.
你明白他们的意思吗?解:甲同学说的意思是:如果每5人一组玩一个篮球,那么玩球的人数少于50人,即有些同学就没有球玩.
乙同学说的意思是:如果每6人一组玩一个篮球,那么就会有一组玩篮球的人数不足6人.
丙同学说的意思是:如果每6人一组玩一个篮球,除了一个球以外,剩下的球每6人玩一个,还有几人(不
足6人)玩另外一个篮球.
一位意大利数学家游玩了比萨斜塔后,提出了一道有趣的问题.他说:比萨斜塔共有8层,其中顶
层有12根石柱,中间6层,每层的石柱一样多,底层石柱只有中间每层石柱的一半,而且中间每层和底层的石
柱数都是5的倍数.告诉你比萨斜塔由200多根石柱构成,但不会超过250根.则比萨斜塔由多少根石柱构成?
解:设比萨斜塔的底层有x根石柱,那么中间6层每层各有2x根,则比萨斜塔共有(13x+12)根石柱.
由于中间每层和底层的石柱数都是5的倍数,即x是5的倍数,因此x可取5,10,15,20,….
当x取5,10时,总石柱数13x+12<200,不符合题意;当x取20时,13x+12>250,也不符合题意;当x=15时,
13x+12=207,符合要求.
因此比萨斜塔由207根石柱构成.
2 不等式的基本性质
1.经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同.
2.掌握不等式的基本性质,并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为“x>a”或
“xb,则a±c>b±c.
a b
生2:等式的基本性质2用字母可以表示为: 若a=b,则ac=bc, = (c≠0).经过前面的探索,可类似地得到:
c c
如果不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号方向不变;不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的
a b a b
方向改变.用字母表示为:若a>b,c>0,则ac>bc, > ;若a>b,c<0,则ac5×(-2),所以他的总结是错的.
师:看来大家有不同意见,请大家互相讨论后举例说明.
1 1
生3:已知3<4,且3×3<4×3,3× <4× ,3×(-3)>4×(-3),3×(-5)>4×(-5),由此看来,在不等式的两边都乘同一个
3 3
正数时,不等号的方向不变;在不等式的两边都乘同一个负数时,不等号的方向改变.
师:非常棒,那么在不等式的两边同时除以某一个数时(除数不为0),情况会怎样呢?请大家用类似的方法
进行推导.
生:当不等式的两边都除以同一个正数时,不等号的方向不变;当不等式的两边都除以同一个负数时,不
等号的方向改变.
师:由此,大家可以总结得出不等式的基本性质2和基本性质3,同学们要学会灵活运用.
总结:不等式的基本性质1:不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变;
不等式的基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
不等式的基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
[设计意图] 以问题的形式引导学生用类比的方法先猜想不等式的基本性质,再通过具体数值验算性
质,最后总结、归纳出性质.在整个教学过程中,学生均处于主导地位,教师只是从旁指引.
二、例题讲解
[过渡语] 刚刚我们学习了不等式的基本性质,下面我们通过几个例题来看看同学们理解得怎么样.
(补充例题)用两根长度均为l cm的绳子分别围成一个正方形和一个圆.我们猜想,无论绳长l取何值,圆
l2 l2
的面积总大于正方形的面积,即 > .你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗?
4π 16
1 1
解:∵4π<16,∴ > ,由题意可知l2>0,
4π 16
根据不等式的基本性质2,
l2 l2
此不等式两边都乘l2,可得 > .
4π 16
(教材例题)将下列不等式化成“x>a”或“x-1; (2)-2x>3.
解:(1)根据不等式的基本性质1,
两边都加5,得x>-1+5,即x>4.
(2)根据不等式的基本性质3,
3
两边都除以-2,得x<- .
2
[设计意图] 在讲解例题的过程中,要求学生说出每一步变形的依据,能说出一个不等式为什么可以从
一种形式变形为另一种形式,养成步步有据、准确表达的良好学习习惯,并通过这种方式达到熟练掌握不等
式的基本性质的目的.[知识拓展] 不等式的基本性质有三条,而等式的基本性质有两条.它们的区别和联系是:
(1)区别:在等式的两边都乘(或除以)同一个数(除数不为0)时,等式仍然成立;在不等式的两边都乘(或除
以)同一个数(除数不为0)时会出现两种情况,若乘(或除以)的是正数,则不等号方向不变,若乘(或除以)的是负
数,则不等号的方向改变.
(2)联系:不等式的基本性质和等式的基本性质都讨论的是在两边都加(或减)、都乘(或除以,除数不为0)
同一个数时的情况,且不等式的基本性质1和等式的基本性质1相类似.
1.不等式的基本性质的推导.
2.不等式的基本性质.
基本性质1:不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变;
基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
3.利用不等式的基本性质进行简单的化简.
1.如果m-n
1 1 m
C. > D. >1
n m n
答案:C
2.若a-b<0,则下列各式中一定正确的是 ( )
A.a>b B.ab>0
a
C. <0 D.-a>-b
b
答案:D
b
3.由不等式ax>b可以推出x< ,那么a的取值范围是 ( )
a
A.a≤0 B.a<0 C.a≥0 D.a>0
答案:B
4.若m (3)> (4)> (5)> (6)<
5.用“>”或“<”填空.
(1)如果x-2<3,那么x 5;
2 3
(2)如果- x<-1,那么x ;
3 21
(3)如果 x>-2,那么x -10;
5
(4)如果-x>1,那么x -1.
答案:(1)< (2)> (3)> (4)<
6.由xay的条件是 .
答案:a<0
7.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a”或“x3x+5; (2)-2x<17.
17
解:(1)x>5. (2)x>- .
2
a a
8.若 < ,试判断a的正负性.
-4 -3
解:根据不等式的基本性质3,
两边都乘-12,得3a>4a.
根据不等式的基本性质1,
两边都减去3a,得0>a,
即a<0,所以a为负数.
2 不等式的基本性质
一、不等式的基本性质
二、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第41页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第42页习题2.2的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如果t>0,那么a+t与a的大小关系是 ( )
A.a+t>a B.a+t0 D.a为任意实数
3.已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,则下列式子正确的是 ( )
A.cb>ab B.ac>ab
C.cba+b
4.下列说法:
①若a-b;
②若xy<0,则x<0,y<0;③若x<0,y<0,则xy<0;
④若a ;
a b
1-x 1- y
⑥若 < ,则x>y.
2 2
其中正确的说法有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
5.2a与3a的大小关系 ( )
A.2a<3a B.2a>3a
C.2a=3a D.不能确定
【能力提升】
y
6.若x+y>x-y,y-x>y,则下列结论:①x+y>0;②y-x<0;③xy≤0;④ <0.其中正确结论的序号为 .
x
7.满足-2x>-12的非负整数有 .
8.若ax>b,ac2<0,则x .
x
9.如果x-7<-5,那么x ;如果- >0,那么x .
2
10.当x 时,代数式2x-3的值是正数.
【拓展探究】
11.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a”或“x-a; (2)|a|>a.
【答案与解析】
1.A(解析:∵t>0,∴根据不等式的基本性质1可得a+t与a的大小关系是a+t>a.故选A.)
2.C
3.A(解析:由数轴可知a>0,c0,所以③不正确;④若ay,所以⑥正确.故正确的说法有3个.故选B.)
5.D(解析:要分a>0,a<0和a=0三种情况讨论,再根据不等式的基本性质来确定2a与3a的关系.故选D.)
y
6.④(解析:根据题意可判断出x<0,y>0,所以x-y<0;y-x>0;xy<0; <0.x+y的符号不能确定.所以④正确.故填④.)
x
7.0,1,2,3,4,5
b
8.< (解析:因为ac2<0,c2>0一定成立,所以有a<0.根据不等式的基本性质:不等式的两边都乘(或除以)同一个
a
b b
负数,不等号的方向改变,在ax>b的两边同时除以负数a,即可得到x< .故填< .)
a a
9.<2 <03
10.> (解析:若代数式2x-3的值是正数,则得到一个关于x的不等式2x-3>0,根据不等式的基本性质可得x>
2
3 3
.故填> .)
2 2
1 1
11.解:(1)不等式的两边都除以0.3,得x<-3. (2)不等式的两边都减去 x,得 x<-4,在此不等式的两边都乘2,
2 2
得x<-8.
12.解:(1)在不等式a>-a的两边同时加上a,得到2a>0,在此不等式的两边同时除以2,得到a>0,即当a>0时,不
等式a>-a成立. (2)∵|a|>0,|a|>a,∴a<0.即当a<0时,不等式|a|>a成立.
本节课通过复习等式的基本性质,类比得出不等式的基本性质.教学中设置问题,通过与等式的基本性
质相对比,引导学生自己先猜想不等式的基本性质,再通过具体数值验算性质,最后自己总结、归纳、完善性
质并能用字母表示出来.在接下来讲解例题与练习的过程中,学生对不等式每一步变形的依据都能够正确回
答,充分掌握了不等式的基本性质.
对于不等式的基本性质的应用,采用老师问学生答的形式,没有照顾到全体学生.不等式基本性质的总
结没有放手让学生自己进行概括.
利用学生的好奇心设疑、解疑,组织有效的教学活动,使学生积极参与,大胆猜想,在自主探索和合作交
流的过程中理解和掌握本节课的内容,力求在整个探究学习的过程中充满师生之间、生生之间的交流和互
动,体现教师是教学活动的组织者、引导者、合作者,学生才是学习的主体.
随堂练习(教材第41页)
5
1.解:(1)x>3. (2)x>- . (3)x≤6.
6
2.解:(1)不成立. (2)不成立. (3)成立. (4)成立.
习题2.2(教材第42页)
1.(1)< (2)< (3)> (4)<
2.解:(1)x<-4. (2)x>9. (3)x<-15. (4)x<-6.
3.解:(1)a0时,2<2+a;当a=0时,2=2+a;当a<0时,2>2+a. (3)当a>0时,a<2a;当a=0时,a=2a;当
a<0时,a>2a.不等式的基本性质是八年级下册第二章第二节的内容.本节课是建立在学生已经认识了不等关系的基
础上来学习的,是进一步学习解不等式及应用不等式解决实际问题的重要依据,因此本节课的内容在这一章
中占有重要位置.本节课的教学指导思想是从学生的实际认知水平及知识结构出发,让学生自主获取知识.
本章是在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组和一次函数的基础上,开始研究简单的不等关系.
学生已经掌握了等式的基本性质,同时经历了解一元一次方程、二元一次方程组的研究过程及方法,为进一
步学习不等式的基本性质奠定了基础.学习时可以类比七年级上册学习的等式的基本性质.
经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同,掌握不等
式的基本性质.
333 4444
有两个分数:A= ,B= ,A与B哪个大?
4444 55555
1 5 11111 5 ( 1 ) 1.25
解:∵ = × = ×
10+
=12.5+ <13,
B 4 1111 4 1111 1111
1 4 1111 4 ( 1 ) 1.33
= × = ×
10+
≈13.33+ >13,
A 3 111 3 111 111
1 1
∴ > >0,∴A .
c c
解:(1)符合不等式的基本性质1,所以(1)正确.
(2)符合不等式的基本性质1,所以(2)正确.
(3)已知a0,则有 < ,若
c c
a b
c<0,则有 > ,所以(4)错误.
c c
[解题策略] 在利用不等式的基本性质2和基本性质3时,关键是看不等式的两边都乘(或除以)的是一
个什么性质的数,从而确定不等号是否改变.
3 不等式的解集1.能根据具体情境理解不等式的解与解集的意义.
2.能在数轴上表示不等式的解集.
1.培养学生从现实情境中探索、发现并提出简单的数学问题的能力.
2.经历求不等式的解集的过程,通过尝试把不等式的解集在数轴上表示出来,引导学生体验用数轴表示
不等式的解集具有直观的优越性,增强学生数形结合的意识.
通过从实际问题中抽象出数学模型、探索求不等式的解集的过程,让学生认识数学与人类生活的密切
联系,体验数学活动充满了探究性和创造性.
【重点】
1.理解不等式的解与解集的概念.
2.探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.
【难点】 不等式解集的数轴表示.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习上一节不等式的基本性质.
导入一:
师:上节课,我们类比等式的基本性质推导出了不等式的基本性质,并且讨论了它们的异同点.下面我找
一位同学简单地回顾一下不等式的基本性质.
生:不等式的基本性质1:不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变.不等式的基本性质2:
不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.不等式的基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)
同一个负数,不等号的方向改变.
师:很好.在学习了等式的基本性质后,我们利用等式的基本性质学习了一元一次方程,知道了方程的解、
解方程等概念,大家还记得这些概念吗?
生:记得.能够使方程两边的值相等的未知数的值就是方程的解.求方程的解的过程,叫做解方程.
师:非常好.上节课我们用类比的方法,仿照等式的基本性质推导出了不等式的基本性质,那么能不能按
此方法推导出不等式的解和解不等式的概念呢?本节课我们就来试一试.
[设计意图] 让学生回顾前一节知识及相关内容,为本节课的教学做好知识准备,起到承上启下的作用.
导入二:一辆匀速行驶的汽车在11:20时距离A地50 km,如果这辆车要在12:00之前驶过A地,那么车速应满足
什么条件?
如果设车速为x km/h,那么满足条件的x的值有哪些?
[设计意图] 通过具体的问题情境,帮助学生领会不等式的解不是唯一的,为引入解集的含义做铺垫.
一、用不等式解决实际问题
[过渡语] 同学们,我们来看下面的问题,看看我们能不能解决.
燃放某种烟花时,为了确保安全,燃放者在点燃引火线后要在燃放前转移到10 m以外的安全区域,已知
引火线的燃烧速度为0.02 m/s,燃放者离开的速度为4 m/s,那么引火线的长度应满足什么条件?
10
〔解析〕 设引火线的长度为x cm,则燃放者转移到安全区域需要的时间至少为 s,引火线燃烧的
4
x x 10
时间为 s,要使燃放者在燃放前转移到安全区域,必须有 > .
0.02×100 0.02×100 4
解:设引火线的长度为x cm,
x 10
根据题意,得 > .
0.02×100 4
根据不等式的基本性质,得x>5.
所以,引火线的长度应大于5 cm
[设计意图] 用实际生活情境引入,能激发学生的求知欲,具有实际意义.
二、基本概念
[过渡语] 刚刚我们用不等式解决了一个实际问题,我们再来看下面的几个问题.
(1)x=4,5,6,7.2能使不等式x>5成立吗?
(2)你还能找出一些使不等式x>5成立的x的值吗?
生:(1)x=4,5不能使不等式x>5成立,x=6,7.2能使不等式x>5成立.(2)x=9,10,11等比5大的数都能使不等
式x>5成立.
师:由此看来,6,7,8,9,10等都能使不等式x>5成立,那么大家能否根据方程的解的概念来类比得出不等式
的解的概念呢?不等式的解唯一吗?
生:可以.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.如6,7,8都是不等式x>5的解,所以不等式的解
不唯一.
师:正因为不等式的解不唯一,所以把所有满足不等式的解集合在一起,构成不等式的解集.请大家再归
纳出解不等式的概念.
生:求不等式解集的过程叫做解不等式.
总结:能够使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个
不等式的解集.求不等式解集的过程叫做解不等式.
[设计意图] 通过对问题的探究,引导学生认识到不等式的解一般不是唯一的,在此基础上,给出不等式
的解集和解不等式的定义.
三、在数轴上表示不等式的解集
[过渡语] 下面我们来看这样一个问题.
请你用自己的方式将不等式x>5的解集和不等式x-5≤-1的解集分别表示在数轴上,并与同伴交流.
解:不等式x>5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示(如下图所示),在数轴上表示5的点
的位置上画空心圆圈,表示5不在这个解集内.
不等式x-5≤-1的解集x≤4可以用数轴上表示4的点及其左边部分来表示(如下图所示),在数轴上表示
4的点的位置上画实心圆点,表示4在这个解集内.师:请大家讨论一下,如何把不等式的解集在数轴上表示出来呢?请举例说明.
生:(1)如x>3,可以用数轴上表示3的点的右边部分表示,在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈,表示
3不在这个解集内.
(2)如x<3,可以用数轴上表示3的点的左边部分来表示,在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈.
(3)如x≥3,可以用数轴上表示3的点和它的右边部分来表示,在数轴上表示3的点的位置上画实心圆点,
表示3在这个解集内.
(4)如x≤3,可以用数轴上表示3的点和它的左边部分来表示,在数轴上表示3的点的位置上画实心圆点.
[设计意图] 让学生学会如何用数轴表示不等式的解集.在学习在数轴上表示不等式的解集时,应先鼓
励学生用自己的方法表示,从而发展他们的创新意识.
1.不等式的解、不等式的解集、解不等式的概念.
2.求简单不等式的解集,并把解集表示在数轴上.
3.用数轴表示不等式的解集的注意事项.
1.下列说法正确的是 ( )
A.方程5+x=8和不等式5+x>8的解一样
B.x=2是不等式4x>5的解集
C.2是不等式4x>15的一个解
D.在不等式x-1<5的两边都加上1,不等号方向不变
5
解析: A.方程的解只有一个,而不等式的解有无数个,故不正确;B.不等式4x>5的解集是x> ,故不正确;
4
15
C.不等式4x>15的解集是x> ,不包括2,故不正确;D.依据不等式的基本性质可知正确.故选D.
4
2.用不等式表示如图所示的解集,其中正确的是 ( )
A.x≥-2 B.x>-2
C.x<-2 D.x≤-2
答案:B
3.下列说法中错误的是( )
A.不等式x<5的整数解有无数个
B.不等式x>-5的负数解有4个
C.不等式2x<8的解集是x<4
D.-40是不等式2x<-8的一个解
答案:B
4.当x 时,代数式2x-5的值为0;当x 时,代数式2x-5的值不大于0.
解析:根据题意可列出方程2x-5=0与不等式2x-5≤0,分别解方程和不等式即可求出x的取值范围.
5 5
答案:= ≤
2 2
5.不等式-5x≥-13的解集中,最大的整数解是 .
解析:首先利用不等式的基本性质解不等式,再从不等式的解集中找出符合条件的最大整数即可.
13
由-5x≥-13解得x≤ ,故其最大整数解为2.故填2.
5
6.求使不等式1+x>x-1成立的x的取值范围.解:x可取一切实数.
3 不等式的解集
一、用不等式解决实际问题
二、基本概念
三、在数轴上表示不等式的解集
一、教材作业
【必做题】
教材第44页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第44页习题2.3的2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
5
1.下列不等式中,解集不包括 的是 ( )
2
5 5
A.x< B.x>-
2 2
5
C.x<3 D.x≥
2
2.使不等式2x>x+1成立的最小整数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.给出四个命题:①若a>b,c=d,则ac>bd;②若ac>bc,则a>b;③若a>b,则ac2>bc2;④若ac2>bc2,则a>b.正确的有
( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图所示的是不等式的解集,其中错误的是 ( )
5.如图所示,在数轴上表示某不等式的解集,则这个不等式可能是 ( )
A.3x≤1 B.3x≤-1
C.3x≥1 D.3x≥-1
【能力提升】
1
6.不等式x≤3 的正整数解是 .
3
7.若二次根式❑√x-2有意义,则x的取值范围是 .
8.不等式-9+3x≤0的非负整数解的和为 .
9.如果2-3a<-4a,那么a的取值范围是 .
【拓展探究】
10.求不等式x-2≤5的正整数解.
【答案与解析】
1.A(解析:根据各个解集的范围逐一判断即可.故选A.)2.C(解析:先求出不等式的解集,再求出符合条件的x的值即可.故选C.)
3.A(解析:①当c=d≤0时不成立,错误;②当c<0时不成立,错误;③当c=0时不成立,错误;④正确.故选A.)
4.A(解析:x≤2应该在表示2的点上画实心圆点,并向左画折线,故A错误.故选A.)
5.D(解析:先根据数轴得出不等式的解集,再分别求出四个选项中各不等式的解集,找出符合条件的不等式即
可.故选D.)
1
6.1,2,3(解析:小于或等于3 的正整数有1,2,3.故填1,2,3.)
3
7.x≥2(解析:根据二次根式的被开方数为非负数列式求值即可.故填x≥2.)
8.6(解析:根据不等式的基本性质求出不等式的解集为x≤3,进而得出不等式的非负整数解,再相加即可.故填
6.)
9.a<-2(解析:根据不等式的基本性质可得到答案.故填a<-2.)
10.解:在不等式的两边同时加上2,得x≤7.所以不等式x-2≤5的正整数解为1,2,3,4,5,6,7.
教师在教学过程中充分领会教材,注重知识的衔接,在教学中充分体现数形结合思想的渗透,设置问题情
境让学生有兴趣参与探究、学习,从而去思考.教学中重点放在不等式解集的探索过程.通过教师的引入让
学生体会了类比方程的解的定义得到不等式的解的定义的过程,进一步通过问题情境的引入,积极参与交流
探索,通过老师的引导,理解不等式的解和解集的意义.
学生对于带等号和不带等号的不等式的解集在数轴上的表示是用空心圆圈还是实心圆点分不清,易产
生错误.在解集中取整数解时,对于临界点要不要有时弄不清楚.
怎样更好地培养学生的直觉思维能力,不仅应当经常问学生“为什么”,而且更应该努力促使学生由
“被动状态”向相应的“自觉状态”转变,即由被动地回答老师关于“为什么”的问题而发展为经常地向
自己提出“为什么”,而这一转化过程还需要教师耐心地引导、启发和锻炼.
随堂练习(教材第44页)
1.(1)√ (2)✕
习题2.3(教材第44页)
1
1.-4 0,-4,3,-3, ,4 -5,-10
5
3.解:(1)有无数个解,例如:x=-1,0,1. (2)有3个正整数解,为1,2,3.
4.提示:大于50 N.
在前面学生已经学过数轴和实数的相关知识,对数轴有一定的了解,掌握了数轴的画法,知道实数与数轴
上的点一一对应,并且建立了一定的数形结合思想.一元一次方程的解具有唯一性,而不等式的解一般有无
数个,这点对学生来说是全新的.在上节课,通过学习不等式的基本性质,学生可以解一些简单的不等式,这为学习本节内容打下了基础,但对不等式解集的含义及在数轴上的表示方法,还需在教学中引导学生做进一步
的学习探索.
教材创设了丰富的实际问题情境来引出不等式的解,进一步探索出不等式的解集,同时还要求在数轴上
把不等式的解集表示出来,渗透了数形结合的数学思想,发展了学生的符号感以及分析问题、解决问题的能
力.教材中设置的“议一议”意在引导学生回忆实数与数轴上的点的对应关系,认识数轴上的点是有序的,
实数是可以比较大小的,体现了新教材中知识循序渐进、螺旋上升的特点.
易错点 对不等式的解及解集的意义理解不透彻
下列结论中正确的有 ( )
①2是不等式x+1>2的解集;
②x<1是不等式x+2<3的解;
③x>3是不等式x-1>4的解集;
④不等式x+2>5的解有无数个,而它的解集只有一个.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
错解:D
错因分析:对不等式的解及解集的意义理解不透彻,二者容易混淆.①2是不等式x+1>2的一个解,不是它
的解集,解集应是所有解的全体,为x>1;②x<1是不等式x+2<3的解集,不是其中的一个解;③x>3不是不等式
x-1>4的解集,解集应为x>5;④是正确的.故选A.
正解:A
易错点 在数轴上表示不等式的解集时出错
将不等式x≥1的解集表示在数轴上.
错解:如下图所示.
错因分析:在数轴上表示不等式的解集时,易忽略实心圆点与空心圆圈的区别.解集x≥1包括边界点1,故
在数轴上表示1的点的位置上应该用实心圆点表示,而空心圆圈则表示解集中不包括x=1,所以这种表示方
法是错误的.
正解:如下图所示.
4 一元一次不等式
1.经历一元一次不等式概念的形成过程.
2.会解一元一次不等式,并能在数轴上表示其解集.
3.会利用一元一次不等式解决简单的实际问题,并初步感知实际问题对不等式解集的影响.1.培养学生自主探究、发现问题、分析问题、解决问题的思维习惯,积累利用一元一次不等式解决实
际问题的经验.
2.提高学生运用已有知识及生活经验解决问题的能力.
3.引导学生感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系.
通过引导学生主动探究、分析、解决实际问题,培养学生自主参与的学习态度与合作交流的学习方法,
并能使学生感受到成功的喜悦,培养学生发现生活、热爱生活的情感.
【重点】 一元一次不等式的解法和实际应用.
【难点】 一元一次不等式的应用.
第 课时
会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示其解集.
让学生经历一元一次不等式概念的形成过程,通过类比理解一元一次不等式的定义.
通过一元一次不等式的学习,提高学生的自主学习能力,激发学生的探究兴趣.
【重点】 掌握一元一次不等式的解法,并能将解集在数轴上表示出来.
【难点】 一元一次不等式的解法.
【教师准备】 多媒体课件、直尺.
【学生准备】 复习上一节不等式的解集的含义.
导入一:
【问题】 (1)不等式的三条基本性质是什么?(2)运用不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a(x≥a)”或“xx-5;
1 4 1 1
③ x-4<6; ④- x≥ + x.
3 5 3 5
(3)什么叫做一元一次方程?解一元一次方程的步骤是什么?
[设计意图] 通过一连串的问题,让学生回顾一元一次方程的概念、解一元一次方程的步骤,以及不等
式的意义、不等式的基本性质和不等式的解集的含义,为后面归纳一元一次不等式的概念及解法提供条件,
同时让学生体会等式与不等式之间所蕴含的特殊与一般的关系.
导入二:
在前面我们学习了不等式的基本性质和不等式的解、不等式的解集、解不等式的概念,并且知道了根
据不等式的基本性质,可以把一些不等式化成“x>a”或“xa”或“x30; (2)x+17<5x;
x 10
(3)x>5; (4) > .
0.02×100 4
这些不等式有哪些共同特点?
总结:这些不等式的左右两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式,
叫做一元一次不等式.
注意三个条件:未知数的个数,未知数的次数,不等式的左右两边都是整式.
[设计意图] 引导学生通过对上述不等式的观察、比较,发现其共同特征,结合一元一次方程的概念,学
生不难得出一元一次不等式的概念.让学生意识到不等式也可以像方程那样去研究,培养其化归、转化的意
识.
思路二
[过渡语] 只含有一个未知数,未知数的指数是一次,这样的方程叫做一元一次方程,那么类比一元一次
方程的概念,同学们能不能总结出一元一次不等式的概念?
类推:只含有一个未知数,未知数的最高次数是一次,这样的不等式叫做一元一次不等式.
下列不等式是一元一次不等式吗?
(1)2x-2.5≥15; (2)5+3x>240;
1
(3)x<-4; (4) >1.
x
(三个条件:未知数的个数,未知数的次数,不等式的两边都是整式.)
总结:不等式的左右两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式,叫
做一元一次不等式.
[设计意图] 引导学生用类比的方法自己总结出一元一次不等式的概念,并能总结出一元一次不等式
的基本特点.
二、例题讲解
[过渡语] 刚刚我们学习了什么是一元一次不等式,下面我们通过几个例题来学习一下一元一次不等
式的解法.
(教材例1)解不等式3-x<2x+6,并把它的解集表示在数轴上.
解:两边都加-2x,得3-x-2x<2x+6-2x.
合并同类项,得3-3x<6.
两边都加-3,得3-3x-3<6-3.合并同类项,得-3x<3.
两边都除以-3,得x>-1.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示:
x-2 7-x
(教材例2)解不等式 ≥ ,并把它的解集表示在数轴上.
2 3
解:去分母,得3(x-2)≥2(7-x),
去括号,得3x-6≥14-2x,
移项、合并同类项,得5x≥20,
两边都除以5,得x≥4.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示:
[设计意图] 通过师生共同探讨,经历去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1(即化为
“x>a”或“x1 B.3x-24<4
C.x2<2 D.4x-3<2y-7
解析:根据一元一次不等式的定义可知B正确.故选B.
x-3 2x+1
2.与不等式 < -1有相同解集的是 ( )
3 2
A.3x-3<(4x+1)-1
B.3(x-3)<2(2x+1)-1
C.2(x-3)<3(2x+1)-6
D.3x-9<4x-4
解析:根据不等式的基本性质可知C正确.故选C.
1 3
3.不等式 (1-9x)<-7- x的解集是 ( )
6 2
A.任意实数 B.全体正数
C.全体负数 D.无解
解析:根据不等式的基本性质解出不等式,可知此不等式无解.故选D.
4.不等式10(x-4)+x≥-84的非正整数解是 .解析:根据不等式的基本性质解出不等式,可知此不等式的解集为x≥-4.故符合题意的解为x=0,-1,-2,-3,-
4.故填0,-1,-2,-3,-4.
5.若(m-2)x2m+1-1>5是关于x的一元一次不等式,则该不等式的解集为 .
解析:根据不等式是一元一次不等式可得2m+1=1且m-2≠0,∴m=0,∴原不等式为-2x-1>5,解得x<-3.故填
x<-3.
6.已知2R-3y=6,要使y是正数,则R的取值范围是 .
2R-6 2R-6
解析:由2R-3y=6得y= ,再由y是正数可得 >0,解得R>3.故填R>3.
3 3
7.解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来.
(1)3(x+2)-8≥1-2(x-1);
x-3 x-5
(2) -1> .
2 3
解:(1)去括号,得:3x+6-8≥1-2x+2,
移项、合并同类项,得:5x≥5,
系数化成1,得:x≥1.
解集在数轴上的表示如图所示:
(2)去分母,得:3(x-3)-6>2(x-5),
去括号,得:3x-9-6>2x-10,
移项、合并同类项,得:x>5.
解集在数轴上的表示如图所示:
2x+3 x+1
8.求当x为何值时,代数式 - 的值分别满足以下条件:
2 3
(1)是非负数; (2)不大于1.
2x+3 x+1
解:(1)由题意得 - ≥0,
2 3
7
解得x≥- ,
4
7 2x+3 x+1
所以当x≥- 时,代数式 - 的值是非负数.
4 2 3
2x+3 x+1
(2)由题意得 - ≤1,
2 3
1
解得x≤- .
4
1 2x+3 x+1
所以当x≤- 时,代数式 - 的值不大于1.
4 2 3
第1课时
一、一元一次不等式的定义
二、例题讲解一、教材作业
【必做题】
教材第47页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第48页习题2.4的1,2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若关于x的方程5-a(1-x)=8x-(3-a)x的解是负数,则a的取值范围是 ( )
A.a<-4 B.a>5
C.a>-5 D.a<-5
{3x+ y=k+1,
2.若方程组 的解x,y满足x+y>0,则k的取值范围是 ( )
x+3 y=3
A.k>4 B.k>-4 C.k<4 D.k<-4
3.不等式2x-1≥3x-5的正整数解的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
x-7 3x-2
4.不等式 +1< 的负整数解有 ( )
2 2
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【能力提升】
x
5.不等式 -1>x与-2x-6>5a的解集相同,则a= .
2
6.若关于x的不等式x-1≤a有四个非负整数解, 则a的取值范围是 .
2 5k-1
7.当k 时,代数式 (k-1)的值不小于代数式1- 的值.
3 6
【拓展探究】
8.解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来:
x-1 x+2
(1)x- ≤2- ;
2 3
x x+8 x+1
(2)x- <1+ - .
2 6 3
{3x+2y=p+1,
9.若关于x,y的方程组 的解满足x>y,求p的取值范围.
4x+3 y=p-1
10.若2(x+1)-5<3(x-1)+4的最小整数解是方程x-mx=5的解,求代数式3m+8的值.
【答案与解析】
5-a
1.B(解析:解这个关于x的方程,得x= ,然后根据方程的解是负数,就可以得到一个关于a的不等式,即
5
5-a
<0,解得a>5.故选B.)
5
2.B(解析:根据方程组的特征可把两个方程直接相加,得到4x+4y=k+4,再结合x+y>0即可得到关于k的不等
k+4
式: >0,解得k>-4.故选B.)
4
3.D(解析:解不等式2x-1≥3x-5,得x≤4,则正整数解为1,2,3,4,共4个.故选D.)4.A(解析:先解出不等式,再找出符合题意的解.故选A.)
2 5a+6 5a+6 2
5.- (解析:先解出第一个不等式,得x<-2,再解第二个不等式,得x<- ,由题意得- =-2,解得a=-
5 2 2 5
2
.故填- .)
5
6.2≤a<3(解析:不等式x-1≤a的解集是x≤a+
1,又不等式有4个非负整数解,则这4个非负整数一定是0,1,2,3,所以3≤a+1<4,解得2≤a<3.故填2≤a<3.)
11 2 5k-1 11 11
7.≥ (解析:由题意得不等式 (k-1)≥1- ,解不等式得k≥ .故填≥ .)
9 3 6 9 9
8.解:(1)去分母,得:6x-3(x-1)≤12-2(x+2),去括号,得:6x-3x+3≤12-2x-4,移项、合并同类项,得:5x≤5,系数化成1,得:
x≤1.解集在数轴上表示略. (2)去分母,得:6x-3x<6+(x+8)-2(x+1),去括号,得:6x-3x<6+x+8-2x-2,移项,得:6x-3x-
x+2x<6-2+8,合并同类项,得:4x<12,系数化成1,得:x<3.解集在数轴上表示略.
{ x=p+5,
9.解:解这个关于x,y的方程组得 又x>y,所以p+5>-p-7,解得p>-6.
y=-p-7,
10.解:解不等式2(x+1)-5<3(x-1)+4,得x>-4,则不等式的最小整数解是x=-3.又x=-3是方程x-mx=5的解,将
8 8
x=-3代入方程,解得m= ,所以代数式3m+8的值为3× +8=16.
3 3
在一元一次不等式概念的教学中,通过让学生回顾、观察、思考、归纳得出一元一次不等式的概念,
发展了学生分析问题、解决问题的能力,提高了学生的学习能力.同时,让学生列举出前几节课中得到的一
元一次不等式,不仅让学生能准确识别一元一次不等式,而且可以让学生回味不等式的建模过程.
学生一节课下来还是少了练习的机会,对求解一元一次不等式的题目,课堂上需要更多的练习,从题目中
去反馈学习效果会显得更加适合.
类比解方程的方法得出不等式的解法,并比较其异同,在教学过程中不能急于求成,不要包办、代替学生
的活动,给学生充分的时间思考、交流,适时给予恰当的引导,再通过范例与学生共同经历解一元一次不等式
的过程.
随堂练习(教材第47页)
7
1.提示:(1)x<40. (2)x>-7. (3)x≤-8. (4)x> .(数轴表示略)
5
2.解:解不等式,得x≤5,则正整数解为1,2,3,4,5.
习题2.4(教材第48页)1 5 19 9
1.提示:(1)x< . (2)x≤-2. (3)x> . (4)x< . (5)x≤-18. (6)x≥ .(数轴表示略)
2 4 3 2
2.解:共有两组:2,4,6;4,6,8.
3.解:有错误.错误之处:(1)去分母时,公分母漏乘“-1”项;(2)两边都除以-2时,不等号的方向没有改变.
本课时的教学内容是一元一次不等式的定义、解法及其解集的数轴表示,所以在教学中要注意让学生
经历将所给的不等式转化为简单不等式的过程,并通过学生的讨论、交流,使学生经历知识的形成和巩固过
程.在解不等式的过程中,与上节课联系起来,重视将解集表示在数轴上,从而指导学生体会用数形结合的方
法解决问题.
本课时的学习任务主要有两个:第一是让学生体会和经历一元一次不等式概念的形成过程;第二是让学
生会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示其解集,最终完成提高学生分析问题、解决问题的能力的
任务.
3x x 9 x-2+m
是否存在整数m,使关于x的不等式1+ > + 与x+1> 为同解不等式?
m m m 3
若存在,求出整数m和不等式的解集;若不存在,请说明理由.
解:假设存在符合条件的整数m.
x-2+m m-5
由x+1> ,解得x> .
3 2
3x x 9 2x 9-m
由1+ > + ,整理得 > ,
m m m m m
9-m
当m>0时,x> .
2
m-5 9-m
根据题意,得 = ,解得m=7.
2 2
把m=7代入两个已知不等式,
都解得解集为x>1,
3x x 9 x-2+m
因此存在整数m=7,使关于x的不等式1+ > + 与x+1> 为同解不等式,且不等式的解
m m m 3
集为x>1.
第 课时1.进一步熟练掌握一元一次不等式的解法.
2.利用一元一次不等式解决简单的实际问题.
通过分析实际问题中的不等关系,建立不等式模型,通过对不等式的求解解决实际问题,提高学生分析问
题和建立数学模型的能力.
通过利用一元一次不等式解决实际问题,使学生认识数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的
兴趣与信心.
【重点】 一元一次不等式的应用.
【难点】 将实际问题抽象成数学问题的思维过程.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习上一节一元一次不等式的解法.
导入一:
【问题】 解下列不等式,并把它们的解集分别表示在数轴上.
x x x x-2
(1) - <1; (2) ≥3+ .
2 3 5 2
[设计意图] 通过对这两个一元一次不等式的求解,让学生回顾解一元一次不等式的基本步骤以及在
数轴上表示解集的方法.
导入二:
师:上节课,我们学习了什么叫做一元一次不等式以及如何解一些简单的一元一次不等式,下面大家先回
忆一下.
生:不等式的左右两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式叫做一
元一次不等式.解一元一次不等式的一般步骤和解一元一次方程的一般步骤相似,大致有:①去分母;②去括
号;③移项、合并同类项;④系数化成1.
师:很好.在解不等式的过程中,有需要注意的问题吗?
生:有.在去分母时,公分母不要漏乘不等式的某一项;在去分母和系数化成1这两步中,如果不等式两边
同时乘或除以同一个负数,要注意改变不等号的方向.
1 1 1
师:非常棒.下面我们做一个练习检查一下大家的动手能力.解不等式: (x+15)≥ - (x-7).
5 2 3
生:解:去分母,得6(x+15)≥15-10(x-7),
去括号,得6x+90≥15-10x+70,
移项、合并同类项,得16x≥-5,5
两边都除以16,得x≥- .
16
师:做得很好.请再看这道题:判断下面解法的对错.
2x+1 5x-1
解不等式: - <2.
3 6
解:去分母,得2(2x+1)-5x-1<2,
去括号,得4x+2-5x-1<2,
移项、合并同类项,得-x<1,
两边都乘-1,得x>-1.
请大家先独立思考,再互相讨论,说出上面的解法有无错误,若有,请指出来.
生:第一,在去分母时,分子应作为一个整体,应加括号,即-(5x-1),而非-5x-1,第二,整数2也应乘公分母.
师:这位同学的分析很精彩,请大家改正.
生:解:去分母,得2(2x+1)-(5x-1)<12,
去括号,得4x+2-5x+1<12,
移项、合并同类项,得-x<9,
两边都乘-1,得x>-9.
师:刚才这位同学指出的错误也正是解此类不等式需要注意的问题,本节课我们要加以巩固.
[设计意图] 通过对这两个一元一次不等式的求解,让学生回顾解一元一次不等式的基本步骤和注意
事项,也为本节课的教学做准备,起到承上启下的作用.
一、利用一元一次不等式解决简单的实际问题
[过渡语] 同学们,我们学习了一元一次不等式的解法,下面我们利用一元一次不等式来解决一个简单
的实际问题.
某种商品进价为200元,标价300元出售,商场规定可以打折销售,但其利润率不能少于5%.请你帮助售
货员计算一下,这种商品最多可以按几折销售?
【师生活动】 教师引导学生先独立思考,再小组讨论,交流解决方法.
解:设这种商品可以按x折销售,
则300×0.1x-200≥200×5%,
解得x≥7.
答:这种商品最多可以按7折销售.
[设计意图] 通过学生之间的合作、交流,让学生体会不等式在解决实际问题时的作用,并且发展了学
生的合作、交流能力与数学语言的表达能力.
二、例题讲解
[过渡语] 刚刚我们用一元一次不等式解决了一个简单的实际问题,下面我们来学习有关不等式的应
用题.
(教材例3)一次环保知识竞赛共有25道题,规定答对一道题得4分,答错或不答一道题扣1分,在这次竞
赛中,小明被评为优秀(85分或85分以上),小明至少答对了几道题?
师:解不等式应用题也和解方程应用题类似,我们先回忆一下列方程解应用题应如何进行?
生:先审题,弄清题中的等量关系,再设未知数,用未知数表示有关的代数式,之后列出方程,解方程,最后检
验并写出答案.
师:分析本题中的数量关系:总的题量为25题,答对一题得4分,答错或不答一题扣1分,最后得分在85
分或85分以上,所以关系式应为:4×答对题数-1×答错题数≥85.请大家根据这个关系式自己写步骤.
生:解:设小明答对了x道题,则他答错和不答的共有(25-x)道题,根据题意,得4x-1×(25-x)≥85.解这个不等
式,得x≥22.所以,小明至少答对了22道题.
师:大家依据列方程解应用题的过程,对照上面解不等式应用题的步骤,总结一下两者的异同,给出解一
元一次不等式应用题的一般步骤.请互相交流.
生:第一步:审题,找出题中的不等关系;第二步:设未知数,用未知数表示有关代数式;
第三步:列不等式;
第四步:解不等式;
第五步:根据实际情况写出答案.
[设计意图] 进一步让学生体会不等式在解决实际问题时的作用,并且要结合实际问题的意义做出最
后的解答,同时也为学生的解题起了一个示范的作用.
[知识拓展] 1.解一元一次不等式的一般步骤:
(1)去分母(根据不等式的基本性质2或基本性质3),注意:勿漏乘不含分母的项;分子是两项或两项以上
的代数式时要加括号;若两边同时乘一个负数,则需注意不等号的方向要改变.
(2)去括号(根据整式的运算法则),注意:勿漏乘括号内的每一项;括号前面是“-”号时,括号内各项要变
号.
(3)移项、合并同类项(根据不等式的基本性质1和整式的运算法则).
(4)系数化成1(根据不等式的基本性质2或基本性质3).注意:两边同时除以未知数的系数时,要注意不
等号的方向是否需要改变.
2.解一元一次不等式应用题的步骤:
(1)审题,找出题中的不等关系;
(2)设未知数,用未知数表示有关代数式;
(3)列不等式;
(4)解不等式;
(5)根据实际情况写出答案.
1.解一元一次不等式的一般步骤及注意事项.
2.利用一元一次不等式解决一些实际问题.
第一步:审题,找出题中的不等关系;
第二步:设未知数,用未知数表示有关代数式;
第三步:列不等式;
第四步:解不等式;
第五步:根据实际情况写出答案.
1.小王家里装修,他去商店买灯,商店柜台里现有功率为100瓦的白炽灯和40瓦的节能灯,它们的单价
分别为2元和32元.经了解,这两种灯的照明效果和使用寿命都一样,已知小王所在地的电价为每千瓦时0.5
元,当这两种灯的使用寿命超过多长时间时,小王选择节能灯才合算?
解:设使用寿命为x小时时,选择节能灯合算,
依题意,可列不等式:
100 40
2+0.5× x>32+0.5× x,
1000 1000
解得x>1000.
答:当这两种灯的使用寿命超过1000小时时,小王选择节能灯才合算.
2.(2015·株洲中考)为了举办班级晚会,孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具,并买一些乒乓球拍做奖
品,已知乒乓球每个1.5元,球拍每个22元,如果购买金额不能超过200元,且买的球拍要尽可能多,那么孔明
应该买多少个球拍?
解:设购买球拍x个,依题意得:
1.5×20+22x≤200,
8
解得x≤7 ,
11
由于x取整数,故x的最大值为7.答:孔明应该买7个球拍.
3.某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆,其中轿车至少要购买3辆,轿车每辆7万元,面包车每辆
4万元,公司可投入的购车款不超过55万元.
(1)符合公司要求的购买方案有哪几种?
(2)如果每辆轿车的日租金为200元,每辆面包车的日租金为110元,假设新购买的这10辆车每日都可
租出,要使这10辆车的日租金收入不低于1500元,那么应选择(1)中的哪种购买方案?
解:(1)设轿车要购买x辆,那么面包车要购买(10-x)辆,
由题意得7x+4(10-x)≤55.
解得x≤5.
又因为轿车至少要买3辆,所以x≥3.
所以x=3,4,5.
所以购买方案有三种:
方案一:轿车购买3辆,面包车购买7辆;
方案二:轿车购买4辆,面包车购买6辆;
方案三:轿车购买5辆,面包车购买5辆.
(2)方案一的日租金为3×200+7×110=1370(元).
方案二的日租金为4×200+6×110=1460(元).
方案三的日租金为5×200+5×110=1550(元).
所以为保证日租金不低于1500元,应选择方案三.
4.某家电商场出售A型冰箱每台售价为2190元,每日耗电量为1千瓦时,而B型节能冰箱每台售价虽比
A型冰箱高出10%,但每日耗电量却为0.55千瓦时.现将A型冰箱打折出售,则商场至少打几折,消费者购买
A型冰箱才合算(按使用期限为10年,每年365天,每千瓦时电费为0.4元计算)?
解:设商场将A型冰箱打x折出售,消费者买A型冰箱合算,由题意得:
x
2190× +365×10×1×0.4≤2190(1+10%)+365×10×0.55×0.4.
10
解得x≤8.
答:家电商场将A型冰箱至少打八折,消费者购买才合算.
第2课时
一、利用一元一次不等式解决简单的实际问题
二、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第49页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第49页习题2.5的2,3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机,他现在已存有45元,计划从现在起以后每个月节省30
元,直到他至少有300元.设x个月后他至少有300元,则可以用于计算月数x的不等式是 ( )
A.30x-45≥300 B.30x+45≥300
C.30x-45≤300 D.30x+45≤300
2.初三的几位同学拍了一张合影做留念,已知冲一张底片需要0.80元,洗一张相片需要0.35元.在每位同学
得到一张相片、几位同学共用一张底片的前提下,平均每人分摊的钱不足0.5元,那么参加合影的同学人数
( )A.至多6人 B.至少6人
C.至多5人 D.至少5人
3.2x+1是不小于-3的负数,表示为 ( )
A.-3≤2x+1≤0 B.-3<2x+1<0
C.-3≤2x+1<0 D.-3<2x+1≤0
4.现用甲、乙两种运输车将46 t抗旱物资运往灾区,甲种运输车载重5 t,乙种运输车载重4 t,安排车辆不超
过10辆,则甲种运输车至少应安排 ( )
A.4辆 B.5辆 C.6辆 D.7辆
5.小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元,每个笔记本2元,她买了4个笔记本,则她最多可以买
笔的支数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【能力提升】
6.某试卷共有20道题,每道题选对得10分,选错或者不选扣5分,则至少要选对 道题,得分才能不少
于80分.
7.一个工程队原定在10天内至少要挖土600 m3,在前两天一共完成了120 m3,由于整个工程调整工期,要求
提前两天完成挖土任务,则以后几天内,平均每天至少要挖土多少立方米?
8.某厂原定计划年产某种机器1000台,现在改进了技术,准备力争提前超额完成,但开始的三个月内,由于工
人不熟悉新技术,只生产了100台机器,则以后每个月至少要生产多少台机器?
9.小明在上午8:20出发步行去春游,10:20小刚在
同一地点骑自行车出发,已知小明每小时走4千米,小刚要在11点前追上小明,则小刚的速度至少是多少?
【拓展探究】
10.学校图书馆有15万册图书需要搬迁,原准备每天在一个班级的劳动课上,安排一个小组的同学帮助搬运
图书,两天共搬了1.8万册.如果要求在一周内搬完,设每个小组搬运图书数相同,那么在以后5天内,每天至少
要安排几个小组?
【答案与解析】
1.B
2.B(解析:设参加合影的人数为x,根据平均每人分摊的钱不足0.5元,可列出不等式:0.5x>0.35x+0.8,解得x>5
1
,又x为整数,所以x的最小值为6.故选B.)
3
3.C
4.C(解析:设甲种运输车应安排x辆,则乙种运输车应安排(10-x)辆,由题意得5x+4(10-x)≥46,解得x≥6.故选C.)
1
5.D(解析:设可以买x支笔,则有3x+4×2≤21,解得x≤4 ,所以x可取的最大整数为4,即她最多可以买4支笔.
3
故选D.)
6.12(解析:设要选对x道题,则根据题意得10x-5(20-x)≥80,解得x≥12.故填12.)
7.解:设平均每天挖土x m3,由题意得(10-2-2)x≥600-120,解得x≥80.答:以后几天内,平均每天至少要挖土80
m3.
8.解:设以后每个月要生产x台机器,根据题意得(12-3)x≥1000-100,解得x≥100.答:以后每个月至少要生产
100台机器.
( 1) ( 1)
9.解:设小刚的速度是每小时x千米,由题意得
11-10
x≥
11-8
×4,解得x≥16.答:小刚的速度至
3 3
少是每小时16千米.
1.8 14
10.解:设每天安排x个小组,根据题意得5x× ≥15-1.8,解得x≥2 ,又x为整数,所以x可取的最小整数
2 15
为3.答:每天至少安排3个小组.本节课通过复习解一元一次不等式引入新的问题,学生通过对新问题的讨论、交流与研究,明确了学习
方法与注意事项,并为利用一元一次不等式解决实际问题做了铺垫.这样的程序符合学生的认知规律,教学
取得了不错的效果.适时地由学生自己合作、交流、归纳出一般性的方法,提高了课堂教学效率,同时学生
的自主学习能力得到培养,对于学生从整体上把握知识以及养成总结的习惯是大有帮助的.
在讲解例题时往往需要教师指出可能出现的问题,这样做虽然说出了易错点,但是毕竟不是学生自己犯
的错误,对学生来说印象不深刻,不能在以后的练习中加以避免.
本节课的重点是利用一元一次不等式解决实际问题,让学生体会数学与生活的紧密联系.教学内容对于
学优生来说并不难,但对于中等生和学困生来说难度就较大,应运用分步实施的方法,每一步首先让学生尝试
解决,然后师生探究方法,最后进行巩固练习.这样处理,对于中等生和学困生掌握不等式的应用是十分有利
的,对于落实“面向全体学生”这一理念是十分必要的.
随堂练习(教材第49页)
x
1.解:设可打x折,则有500× -400≥400×10%,解得x≥8.8.答:至多可打8.8折.
10
2.解:设还能买x根火腿肠,则有2x+3×5≤26,解得x≤5.5.又x为整数,所以x可取的最大整数为5.答:他最多还
能买5根火腿肠.
习题2.5(教材第49页)
15 45 1
1.解:(1)x<3. (2)x≥ . (3)x< . (4)x≥- .
2 8 3
2.解:设还能买x本辞典,根据题意,得65×20+40x≤2000,解得x≤17.5.又x为整数,所以x可取的最大整数为
17.答:最多还能买17本辞典.
8
3.解:设她还能买x支笔,根据题意,得2.2×2+3x≤21,解得x≤5 .又x为整数,所以x可取的最大整数为5.答:
15
她最多还能买5支笔.
4.解:设需要x名八年级学生参加活动,根据题意,得(60-x)×15+20x≥1000,解得x≥20.答:至少需要20名八年级
学生参加活动.
学生已经学习了一元一次不等式的概念和不等式的基本性质,知道解一元一次不等式的依据是不等式
的三个基本性质,会解简单的一元一次不等式,而且能在数轴上表示其解集.在方程与方程组的知识的学习过程中,学生已经经历了将生活中的数学现象抽象为数学问题或数学模
型的过程,获得并积累了解决实际问题的数学的经验,同时在以前的学习中学生已经有了很多合作学习的过
程,具备了一定的合作交流能力.
本节课的教学任务是用不等式解决简单的实际问题,难度不大,可以采用通过教师出示问题,学生自主学
习、互相交流、解决问题的方式处理,从而提高课堂教学效率.根据实际问题中的不等关系列不等式,对部
分学生来说还会有一定的困难,可以采用学生尝试解决、师生交流、总结方法、巩固运用等环节予以解决.
某校举行艺术节的文艺汇演,评出一等奖5个,二等奖10个,三等奖25个.学校决定给获奖的学
生发奖品,同一等次的奖品相同,并且只能从下表所列物品中选取一件.
小 运 笔
笛 舞 口 相 钢
奖品名 提 动 记
子 鞋 琴 册 笔
琴 服 本
单价/元 120 80 24 22 16 6 5 4
(1)如果获奖等次越高,奖品单价就越高,那么学校最少要花多少钱买奖品?
(2)学校要求一等奖奖品的单价是二等奖奖品单价的5倍,二等奖奖品的单价是三等奖奖品单价的4倍,
在总费用不超过1000元的前提下,有几种购买方案?花费最多的一种方案需多少钱?
解:(1)由题意,将一、二、三等奖的奖品定为相册、笔记本、钢笔即可,此时所需费用最少,为
5×6+10×5+25×4=180(元).
(2)设三等奖奖品的单价为x元,则二等奖奖品的单价为4x元,一等奖奖品的单价为20x元,
由题意可得5×20x+10×4x+25×x≤1000,
2
解得x≤6 ,又由表中数据可知x≥4,故x可取6,5,4.
33
故4x依次取24,20,16,20x依次取120,100,80.
再看表格中所提供各类奖品的单价,可知共有两种购买方案:
方案一:奖品单价依次为120元,24元,6元,即奖品依次为小提琴,笛子,相册,所需费用为990元;
方案二:奖品单价依次为80元,16元,4元,即奖品依次为运动服,口琴,钢笔,所需费用为660元.
花费最多的一种方案需990元.
5 一元一次不等式与一次函数
1.通过作函数的图象、观察函数的图象进一步理解函数的概念.
2.在具体问题中体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系.
3.进一步培养学生作函数图象及利用图象分析问题、解决问题的能力.
学生利用函数图象,通过小组合作交流,明确一次函数与一元一次不等式的关系.自主探究后明白利用
函数图象解不等式的具体方法.使学生在独立思考的基础上积极地参与对数学问题的讨论,从交流中获益,培养学生的合作意识,进而培
养学数学、用数学的意识.
【重点】 一元一次不等式与一次函数的联系.
【难点】 作函数图象,观察图象,明确函数与不等式的联系.
第 课时
1.了解一元一次不等式与一次函数的关系.
2.会根据题意列出函数关系式,画出函数图象,并利用不等关系进行比较.
1.通过一元一次不等式与一次函数的图象的结合,培养学生的数形结合意识.
2.通过观察图象培养学生利用数学知识解决实际问题的能力.
体验数、形是有效描述现实世界的重要手段,认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具,了解到数
学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
【重点】 了解一元一次不等式与一次函数之间的关系.
【难点】 根据题意列函数关系式,并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习一次函数的图象和一元一次不等式的解法.
导入一:
【问题】 (1)解一元一次不等式的步骤是什么?
(2)解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来:
①2x-5≥3x+4; ②10-4(x-3)≤2(x-1).
(3)什么是一次函数?一次函数有什么性质?怎样作一次函数的图象?[设计意图] 通过复习已学知识,为引入这一节新课做好准备,同时让学生体会一元一次不等式与一次
函数之间存在一定的联系.
导入二:
上一节我们类比一元一次方程的解法,根据不等式的基本性质,学习了一元一次不等式的解法,并利用一
元一次不等式解决了一些实际问题.本节课我们来学习一元一次不等式的其他解法.
[设计意图] 由“旧”引“新”,以原有的知识为基础,利用初中生的好奇心理,激发学生探究新知的兴
趣.
一、一元一次不等式与一次函数之间的关系
思路一
[过渡语] 我们利用一次函数的图象可求出相应的一元一次方程的解、一元一次不等式的解集.看下
面的问题.
函数y=2x-5的图象如图所示,观察图象回答下列问题:
(1)x取何值时,2x-5=0?
(2)x取哪些值时,2x-5>0?
(3)x取哪些值时,2x-5<0?
(4)x取哪些值时,2x-5>1?
问题分析:
5
(1)当y=0时,2x-5=0,解得x= .
2
5
所以当x= 时,2x-5=0.
2
(2)使2x-5>0的x的值,也就是函数值y大于0时所对应的x的值.从图象上看,当y>0时,在x轴上方的图
5 5
象上的任一点所对应的x的值都满足条件.当y=0时,有2x-5=0,解得x= ,当x> 时,图象位于x轴的上方,即
2 2
5
y>0,因此当x> 时,2x-5>0.
2
5
(3)同理可知,当x< 时,2x-5<0.
2
(4)使2x-5>1的x的值,也就是函数值y大于1时所对应的x的值.过点(0,1)作一条直线平行于x轴,这条
直线上方的图象上任一点对应的x的值都能使2x-5>1.这条直线与y=2x-5相交于一点B(3,1),则当x>3时,
2x-5>1.
[设计意图] 通过作函数图象、观察函数图象,进一步理解一次函数的有关知识,让学生从整体上感受
利用一次函数图象可以帮助解决一元一次方程、一元一次不等式的问题.
思路二[过渡语] 大家还记得一次函数吗?请举一个简单的例子.
生:如y=2x-5为一次函数.
师:在一次函数y=2x-5中,当y=0时,有方程2x-5=0;当y>0时,有不等式2x-5>0;当y<0时,有不等式
2x-5<0.由此可见,一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切联系,当函数值等于0时即为方程,
当函数值大于或小于某个值时即为不等式.下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数之间的关系.
函数y=2x-5的图象如图所示,观察图象回答下列问题:
(1)x取何值时,2x-5=0?
(2)x取哪些值时,2x-5>0?
(3)x取哪些值时,2x-5<0?
(4)x取哪些值时,2x-5>1?
问题分析:
5
(1)当y=0时,2x-5=0,解得x= .
2
5
所以当x= 时,2x-5=0.
2
(2)使2x-5>0的x的值,也就是函数值y大于0时所对应的x的值.从图象上看,当y>0时,在x轴上方的图
5 5
象上的任一点所对应的x的值都满足条件,当y=0时,有2x-5=0,解得x= ,当x> 时,图象位于x轴的上方,即
2 2
5
y>0.因此当x> 时,2x-5>0.
2
5
(3)同理可知,当x< 时,2x-5<0.
2
(4)使2x-5>1的x的值,也就是函数值y大于1时所对应的x的值.过点(0,1)作一条直线平行于x轴,这条
直线上方的图象上的任一点所对应的x的值都能使2x-5>1.这条直线与y=2x-5相交于一点B(3,1),则当x>3
时,2x-5>1.
[设计意图] 通过作函数图象、观察函数图象,进一步理解一次函数的有关知识,让学生从整体上感受
利用一次函数图象可以帮助解决一元一次方程、一元一次不等式的问题.
二、例题讲解
[过渡语] 刚刚我们探讨了一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系,下面我们看两个例题,看同
学们能不能解决.
(补充例题)如果y=-2x-5,那么当x取哪些值时,y>0?
解:首先要画出函数y=-2x-5的图象,如图所示:从图象上可知,图象在x轴上方时,图象上每一点所对应的y的值都大于0,而每一个y的值所对应的x
的值都在A点的左侧,由-2x-5=0,得x=-2.5,所以当x<-2.5时,y>0.
(教材做一做)兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9 m,然后自己才开始跑,已知弟弟每秒跑3 m,哥哥每秒跑4
m,列出函数关系式,画出函数图象,观察图象回答下列问题:
(1)何时弟弟跑在哥哥前面?
(2)何时哥哥跑在弟弟前面?
(3)谁先跑过20 m?谁先跑过100 m?
解:设哥哥跑的时间为x秒,哥哥跑过的路程为y m,弟弟跑过的路程为y m,
1 2
根据题意,得y=4x,y=3x+9,
1 2
画出函数图象如图所示:
由图象可知:
(1)当09时,哥哥跑在弟弟前面.
(3)弟弟先跑过20 m,哥哥先跑过100 m.
[设计意图] 感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系.
本节课讨论了一元一次不等式与一次函数的关系,并且能根据一次函数的图象求解不等式.
1.一次函数y=2x-4的图象与x轴的交点坐标为(2,0),则一元一次不等式2x-4≤0的解集为 ( )
A.x≤2 B.x<2
C.x≥2 D.x>2
解析:根据一次函数的图象可以求出不等式2x-4≤0的解集为x≤2.故选A.2.小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件,如果每支钢笔5元,每本笔记本2元,那么小明最多能买
支钢笔.
1
解析:设可买x支钢笔,则笔记本可买(30-x)本,由题意得5x+2(30-x)≤100,解得x≤13 .又x取整数,所以x
3
可取的最大值为13.故填13.
3.对于一次函数y=-3x+12,当x为何值时:
(1)y>0? (2)y=0? (3)y<0?
解:(1)令-3x+12>0,得x<4,
即当x<4时,一次函数y=-3x+12中的y>0.
(2)令-3x+12=0,得x=4,
即当x=4时,一次函数y=-3x+12中的y=0.
(3)令-3x+12<0,得x>4,
即当x>4时,一次函数y=-3x+12中的y<0.
4.一艘轮船以20 km/h的速度从甲港驶往160 km 远的乙港,2 h后,一艘快艇以40 km/h的速度也从甲
港驶往乙港.请你分别列出轮船和快艇行驶的路程与轮船行驶的时间之间的函数关系式,并画出函数图象,
观察图象回答下列问题:
(1)何时轮船行驶在快艇的前面?
(2)何时快艇行驶在轮船的前面?
(3)哪一艘船先驶过60 km?哪一艘船先驶过100 km?
解:设轮船行驶的路程为y km,快艇行驶的路程为y km,轮船行驶的时间为x h,
1 2
则有y=20x,y=40(x-2).画出函数图象如图所示:
1 2
{ y=20x, {x=4,
由 得 即两函数图象的交点为A(4,80).
y=40(x-2), y=80,
观察图象可得:
(1)轮船行驶4 h前,轮船行驶在快艇的前面.
(2)轮船行驶4 h后,快艇行驶在轮船的前面.
(3)轮船先驶过60 km,快艇先驶过100 km.
5.(2015·武汉中考)已知一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4).
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)求关于x的不等式kx+3≤6的解集.
解:(1)∵一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4),
∴4=k+3,∴k=1,
∴这个一次函数的解析式是y=x+3.
(2)由(1)得关于x 的不等式为x+3≤6,解得x≤3.
即关于x的不等式kx+3≤6的解集是x≤3.
6.已知y=5+x,y=-2x+2,当x取哪些值时,y>y?
1 2 1 2
解:根据题意得不等式5+x>-2x+2,
解得x>-1.即当x>-1时,y>y.
1 23
7.声音在空气中的传播速度(简称音速)y(m/s)与气温x(℃)之间满足关系式:y= x+331.求音速超过349
5
m/s时的气温满足什么条件.
3
解:根据题意得不等式 x+331>349,
5
解得x>30.
即音速超过349 m/s时的气温满足x>30.
8.某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个个体车主或一国营出租车公司签订月租车合同.设
汽车每月行驶x km,应付给个体车主的月费用为y 元,应付给国营出租车公司的月费用为y 元,y,y 分别与x
1 2 1 2
之间的函数关系图象(两条射线)如图所示,观察图象回答下列问题:
(1)每月行驶的路程在什么范围内时,租国营出租车公司的车合算?
(2)每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同?
(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2300 km,那么这个单位租哪家车合算?
解:由图象可知:
(1)每月行驶的路程小于1500 km 时,租国营出租车公司的车合算.
(2)当每月行驶的路程为1500 km时,租两家车的费用相同.
(3)如果每月行驶的路程为2300 km,那么这个单位租个体车主的车合算.
第1课时
一、一元一次不等式与一次函数之间的关系
二、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第50页随堂练习.
【选做题】
教材第51页习题2.6的2,3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知函数y=8x-11,要使y>0,则x应满足 ( )
11 11
A.x> B.x< C.x>0 D.x<0
8 82.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,当x<0时,y的取值范围是 ( )
A.y>0
B.y<0
C.-2y 时,x的取值范围是 ( )
1 2 1 2
A.x>5 B.x<5 C.x<-6 D.x>-6
4.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,当x<1时,y的取值范围是 ( )
A.-20;③当x<3 时,y
1
y,则x的取值范围是 .
9.已知关于x的不等式kx-2>0(k≠0)的解集是x<-3,则直线y=-kx+2与x轴的交点是 .
10.已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2,则直线y=-x+5与y=3x-3的交点坐标是 .
【拓展探究】
11.已知y=x+3,y=-x+2,求满足下列条件时x的取值范围.
1 2
(1)y y.
1 2
【答案与解析】
11
1.A(解析:由题意得要使y>0,则有8x-11>0,解得x> .故选A.)
8
2.D
3.C(解析:由题意得x-5>2x+1,解得x<-6.故选C.)
4.C(解析:先利用待定系数法求出一次函数的解析式,再根据一次函数与一元一次不等式的关系即可求得结
果.故选C.)
5.B(解析:∵函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,∴k<0,故①正确;∵y=x+a的图象与y轴交于负半轴,
1 2
∴a<0,故②错误;当x<3时,对于相应的x的值,y 的图象均在y 的图象上方,∴y>y,故③错误.故选B.)
1 2 1 26.m<4且m≠1(解析:根据一次函数的图象的性质知,若一次函数y=(m-1)x-m+4的图象与y轴的交点在x轴的
上方,则有-m+4>0且m-1≠0,解得m<4且m≠1.故填m<4且m≠1.)
4 4
7.>- <- (解析:解不等式5x+4>0和不等式5x+4<0即可.)
5 5
8.x<-5(解析:由2x-y=0,得y=2x,把y=2x代入x-5>y求解即可.)
9.(-3,0)
10.(2,3)
1
11.解:(1)∵y=x+3,y=-x+2,yy.
1 2
本节课在教学过程中注意引导学生初步体会从整体中把握部分的思维方法,渗透了函数、方程、不等
式思想和数形结合思想.
在小组学习过程中,没有给学生充分的独立思考的时间,交流时没有注意到每个学生都要发言.教师应
参与小组讨论,适时指导,使小组合作学习更具实效性.
教学过程中要为学生提供展示自己的平台,教师要善于发现学生分析问题、解决问题的独到见解和策
略的多样性以及思维的误区,及时给予激励性评价,组织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的求知态度.
随堂练习(教材第50页)
7
提示:当x< 时,y>y.
4 1 2
习题2.6(教材第51页)
7
1.提示:当x> 时,y0?
(2)x取哪些值时,-2x+8>0?
(3)x取哪些值时,2x-4>0与-2x+8>0同时成立?
(4)求出函数y=2x-4和y=-2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积.
1 2〔解析〕 (1)使2x-4>0成立的x的值,就是函数y=2x-4的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合;
1
(2)同理,使-2x+8>0成立的x的值,即为函数y=-2x+8的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合;(3)要找使
2
它们同时成立的x的值,即求这两个集合中的公共部分;(4)根据函数图象与x轴交点的坐标可求出三角形的
底边长,由两函数图象的交点坐标可求出底边上的高,从而可求出三角形的面积.
解:作出图象如图所示:
由图象可知:
(1)当x>2时,2x-4>0.
(2)当x<4时,-2x+8>0.
(3)当20与-2x+8>0同时成立.
(4)由2x-4=0,得x=2;
由-2x+8=0,得x=4.
所以AB=4-2=2.
{y=2x-4,
由 得两函数图象交点为C(3,2).
y=-2x+8
所以△ABC中AB边上的高为2.
1
所以S = ×2×2=2.即围成的三角形的面积为2.
△ABC 2
第 课时
进一步体会一元一次不等式在现实生活中的应用.
通过用不等式的知识解决实际问题,发展学生解决问题的能力.
把数学知识与现实生活相联系,让学生体会数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用,增
强学生学习数学的兴趣和积极性,从而更好地服务于社会.【重点】 利用不等式的有关知识解决现实生活中的实际问题.
【难点】 认真审题,找出题中的等量或不等关系,全面地考虑问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习一元一次不等式与一次函数的关系.
导入一:
上节课我们初步感知了一元一次不等式与一次函数的关系,并利用其解决了一些简单问题,今天我们继
续利用它们的关系来解决一些较为复杂的实际问题.首先请同学们完成下列问题:
(1)若y=-2x-2,y=3x+3,试确定当x取哪些值时,yy 时,150x>160x-160,解得x<16;
1 2当y16.
1 2
因为参加旅游的人数为10至25人,所以当x=16时,甲、乙两家旅行社的收费相同;当17≤x≤25时,选择
甲旅行社费用较少;当10≤x≤15时,选择乙旅行社费用较少.
师:由此看来,选哪家旅行社不仅与旅行社的优惠政策有关,而且还和参加旅游的人数有关,所以在以后
的生活中,大家一定不要想当然,而是要精打细算才能做到合理开支.
(补充例题)某书报亭开设两种租书方式:一种是正常租书,每册收费1元;另一种是会员卡租书,办卡费每
月12元,租书费每册0.4元.小军经常来该店租书,若每月租书数量为x册.
(1)写出正常租书方式每月应付金额y(元)与租书数量x(册)之间的函数关系式;
1
(2)写出会员卡租书方式每月应付金额y(元)与租书数量x(册)之间的函数关系式;
2
(3)小军采用哪种租书方式更合算?
解:(1)∵正常租书时,每册收费1元,
∴每月应付金额与租书数量之间的函数关系式为y=x.
1
(2)∵用会员卡租书时,租书费用为每册0.4元,每月还有办卡费12元,
∴每月应付金额与租书数量之间的函数关系式为y=0.4x+12.
2
(3)当y=y 时,x=12+0.4x,解得x=20;
1 2
当y>y 时,x>12+0.4x,解得x>20;
1 2
当y0,则 ( )
A.x>4 B.x<4 C.x>0 D.x<0
解析:由题意知-2x+8>0,解得x<4.故选B.
2.如图所示的是一次函数y=kx+b的图象,则当y<2时,x的取值范围是 ( )
A.x<1 B.x>1 C.x<3 D.x>3解析:由图象可知,当y<2时,x<3.故选C.
3.若一次函数y=3x+m-2的图象不经过第二象限,则m的取值范围是 ( )
A.m≤2 B.m≤-2 C.m>2 D.m<2
解析:由题意得其图象过第一、三象限或第一、三、四象限,则m-2≤0,即m≤2.故选A.
4.已知y=3x+2,y=-x-5,若y>y,则x的取值范围是 .
1 2 1 2
7 7
解析:由题意得3x+2>-x-5,解得x>- .故填x>- .
4 4
5.已知一次函数y=(a+5)x+3的图象经过第一、二、三象限,则a的取值范围是 .
解析:由题意得a+5>0,解得a>-5.故填a>-5.
1
6.一次函数y=kx+2中,当x≥ 时,y≤0,则y随x的增大而 .
2
(1 )
解析:由题意可得直线y=kx+2与x轴相交于点
,0
,代入函数解析式求得k=-4,因为k<0,所以y随x
2
的增大而减小.故填减小.
7.某边防局接到情报,在离海岸5海里处有一可疑船只A正向公海方向行驶,边防局迅速派出快艇B追
赶.如图所示,l ,l 分别表示两船相对于海岸的距离s(海里)与追赶时间t(分)之间的关系.
A B
(1)A,B哪个速度快?
(2)B能否追上A?
解:(1)由图象得l 过点(0,5),(10,7),
A
设l 的解析式为s=kx+b,
A 1 1
{ 1
{ 5=b, k = ,
则 解得 1 5
7=10k +b,
1 b=5.
1
所以s= x+5.
1 5
由图象得l 过点(0,0),(10,5),
B
设l 的解析式为s=kx.
B 2 2
1 1
则有5=10k,所以k= ,所以s= x.
2 2 2 2 2
因为k2
4.小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件,如果每支钢笔5元,每个笔记本2元,那么小明最多能买
支钢笔.
【能力提升】
5.甲有存款600元,乙有存款2000元,从本月开始,他们进行零存整取储蓄,甲每月存款500元,乙每月存款
200元.
(1)求甲、乙的存款额y,y(元)与存款月数x(月)之间的函数关系式;
1 2
(2)到第几个月时,甲的存款额超过乙的存款额?
6.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品,经市场调研发现,如果本月初出售,可获利10%,然后将本利再
投资其他商品,到下月初又可获利10%;如果下月初出售可获利25%,但要支付仓储费8000元.请你根据商场
的资金情况,向商场提出合理化建议,说明何时出售获利较多.
7.某市为鼓励居民节约用水,对每户用水按如下标准收费:若每户每月用水不超过8立方米,则每立方米按1
元收费;若每户每月用水超过8立方米,则超过的部分每立方米按2元收费.某用户7月份用水x立方米,缴纳
水费y元.
(1)求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;
(2)此用户要想每月水费不超过20元,那么每月的用水量最多不超过多少立方米?
8.甲、乙二人均沿同一方向在同一直线上行进,如图所示,OA,BA分别表示甲、乙两名学生运动过程中路程
s(米)与时间t(秒)之间的函数关系图象.根据图象回答下列问题:
(1)出发时乙在甲前面多少米处?
(2)如果甲、乙二人所行路程记为s ,s ,试写出s ,s 与t的关系式;
甲 乙 甲 乙
(3)在什么时间段内甲走在乙的前面?在什么时间段内甲走在乙的后面?在什么时间甲、乙二人相遇?
【拓展探究】
9.为了加快教学手段的现代化,某校计划购置一批电脑,已知甲公司的报价是每台5800元,优惠条件是购买
10台以上,则从第11台开始按报价的70%计算;乙公司的报价也是每台5800元,优惠条件是每台均按报价的
85%计算.假如你是学校有关方面负责人,在电脑品牌、质量、售后服务等完全相同的前提下,你如何选择?
请说明理由.
10.某市移动通讯公司开设了两种通讯业务:“全球通”使用者先缴50元月基础费,然后每通话1分钟,再付
0.4元;“神州行”使用者不缴月基础费,每通话1分钟,付话费0.6元(这里均指市内通话).若一个月市内通话
时间为x分钟,两种通讯方式的费用分别为y 元和y 元.
1 2
(1)写出y,y 与x的关系式;
1 2
(2)一个月通话时间为多少分钟时,两种通讯方式的费用相同?
【答案与解析】
1.B(解析:观察OA这条折线段可以发现每一部分线段的斜率并不是越来越大,即该同学的速度并不是越来
越快.故选B.)
x
1200× -800
2.B(解析:设可以打x折,则由题意可得 10 ≥5%,解得x≥7,所以最多可以打7折.故选B.)
800
3.A1
4.13(解析:设小明可以买x支钢笔,则由题意得5x+2(30-x)≤100,解得x≤13 ,所以x可取的最大整数为13.故
3
填13.)
2
5.解:(1)y=600+500x,y=2000+200x. (2)由y>y,得600+500x>2000+200x,解得x>4 ,又x应取整数,所以x可
1 2 1 2 3
取的最小整数为5,即到第5个月时甲的存款额超过乙的存款额.
6.解:设商场投入资金为x元,如果本月初出售,到下月初共可获利y 元,如果下月初出售,可获利y 元.则
1 2
y=10%x+(1+10%)x·10%=0.1x+0.11x=0.21x;y=25%x-8000=0.25x-8000.当y=y,即0.21x=0.25x-8000时,
1 2 1 2
x=200000.当y>y,即0.21x>0.25x-8000时,x<200000.当y200000.所以若商场投
1 2 1 2
入资金为20万元,则两种销售方式获利相同;若商场投入资金少于20万元,则第一种销售方式获利较多;若投
入资金多于20万元,则第二种销售方式获利较多.
7.解:(1)分两种情况:y=x(0≤x≤8),y=8×1+(x-8)×2=2x-8(x>8). (2)此用户想每月水费不超过20元,那么每月用
水量可超过8立方米,则有2x-8≤20,解得x≤14,即每月用水量最多不超过14立方米.
13
8.解:(1)乙在甲前面12米处. (2)s =8t,s =12+ t. (3)由图象可看出,当t>8时,甲走在乙前面,当020.②若乙公
司优惠,则4060x+17400>4930x,解得x<20.③若两公司一样优惠,则4060x+17400=4930x,解得x=20.所以当购
置电脑少于20台时,选乙公司较优惠;当购置电脑正好20台时,两公司同样优惠;当购置电脑多于20台时,选
甲公司较优惠.
10.解:(1)由题意得y=50+0.4x,y=0.6x. (2)当y=y,即50+0.4x=0.6x时,x=250,即当一个月通话时间为250分
1 2 1 2
钟时,两种通讯方式的费用相同.
这堂课让学生感受到数学与生活实际相结合的魅力,充分体现了数学是解决现实问题的重要工具,教师
角色定位准确,在学生自己分析、实践、探究、总结等活动的基础上加以引导,培养了学生发现问题、提出
问题和解决问题的能力.
学生虽然已经接触过一些和例题相类似的应用问题,但在本节需要借助函数关系建立不等式,因此和例
题类似的这类应用问题对学生来说有一定难度,需要教师耐心引导.
教学过程中要充分发展学生的思维,及时发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区,适
时引导.通过小组合作学习与评价,帮助学生形成积极主动的求知态度.
随堂练习(教材第52页)解:设该公司参观者中有女士x人,选择购买女士五折票所需要的费用为y 元,选择购买团体票所需要的费用
1
为y 元,则y=30×0.5x+30×(40-x)=-15x+1200,y=30×40×0.8=960.由y=y 解得x=16,由y>y 解得x<16,由y16,所以当女士人数不足16人时,购买团体票合算;当女士人数等于16人时,两种方案所需费用相同;
当女士人数多于16人时,购买女士五折票合算.
习题2.7(教材第53页)
1.提示:(1)当宣传材料超过300份时,选择甲公司比较合算. (2)当宣传材料少于300份时,选择乙公司比较合
算. (3)当宣传材料正好为300份时,两公司收费相同.
2.解:设购买电脑x台,甲商场的收费为y 元,乙商场的收费为y 元,则y=6000+6000×(1-25%)
1 2 1
(x-1)=4500x+1500;y=6000×(1-20%)x=4800x.(1)当y5,故当购买电脑超过5
2 1 2
台时,甲商场更优惠. (2)当y>y 时,4500x+1500>4800x,解得x<5,故当购买电脑少于5台时,乙商场更优惠.
1 2
(3)当y=y 时,4500x+1500=4800x,解得x=5,故当购买5台电脑时,两家商场的收费相同.
1 2
3.提示:(1)y=0.58x,y=0.28x+600. (2)公路运输运送的牛奶多;铁路运输运费较少.
1 2
某学校需刻录一批电脑光盘,若到电脑公司刻录,每张需8元(包括空白光盘带);若学校自刻,除
租用刻录机需120元外,每张还需成本4元(包括空白光盘带),则刻录这批电脑光盘,到电脑公司刻录费用省,
还是自刻费用省?请说明理由.
解:设需刻录x张光盘,到电脑公司刻录需y 元,自刻需费用y 元,
1 2
则y=8x,y=120+4x.
1 2
当y=y 时,有8x=120+4x,解得x=30;
1 2
当y>y 时,有8x>120+4x,解得x>30;
1 2
当yx+1; (2)x+8<4x-1;
2x+5
(3)2x+3≥x+11; (4) -1<2-x.
3
[设计意图] 复习一元一次不等式的解法,既复习了旧知识,又为新课做了铺垫.这几个练习由浅入深,也
可充分调动各层次学生的学习积极性.
导入二:
回顾:解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来.
(1)2x+3>5; (2)6x-5≤1.
探索:用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水,估计积存的污水在1200吨到1500吨
之间,那么大约需要多长时间才能将污水抽完?
分析:设需要x分钟才能将污水抽完,那么总的抽水量为30x吨.由积存的污水在1200吨到1500吨之间,
可得1200≤30x≤1500.
[设计意图] 通过一个具体的问题引入一元一次不等式组的概念,学生在研究这一具体问题时,自然感
知到要解决的问题同时满足两个约束条件,而这两个约束条件都是不等式,这样引入不等式组的概念比较自
然.
一、一元一次不等式组的有关概念
思路一
[过渡语] (针对导入一)对比方程组的概念,你能将上述不等式进行组合吗?你能将它们的解集表示在
同一条数轴上吗?你能给你所组成的形如“方程组”的式子取个名字吗?{2x-1>x+1,①
如:
x+8<4x-1.②
你能求出这个一元一次不等式组的解集吗?如果把每个不等式的解集都在同一条数轴上表示出来,你可
以看出它们的公共部分吗?你能写出这个一元一次不等式组的解集吗?
总结:(1)一元一次不等式组的概念:一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一
个一元一次不等式组.
(2)一元一次不等式组的解集的概念:一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元
一次不等式组的解集.
(3)解不等式组的概念:求不等式组解集的过程,叫做解不等式组.
思路二
[过渡语] 同学们,我们来看下面的问题,看看大家能不能解决.
某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月.如果每月比计划多烧5吨煤,那么取暖用煤总量将超过100吨;如
果每月比计划少烧5吨煤,那么取暖用煤总量不足68吨.若该校计划每月烧煤x吨,则x满足怎样的关系式?
师:这是一个实际问题,请大家先理解题意,弄清已知条件和未知元素,从而确定用哪一个知识点来解决
问题,即先把实际问题转化为数学问题,再求解.
生:已知条件有:取暖时间为4个月,未知量是计划每月烧煤的吨数x,当每月比原计划多烧5吨煤时,每月
实际烧煤(x+5)吨,这时总量4(x+5)>100;当每月比原计划少烧5吨煤时,实际每月烧(x-5)吨煤,这时总量
4(x-5)<68.即根据题意,得4(x+5)>100,① 且4(x-5)<68,② 未知数x同时满足①②两个条件,把①②两个不等
{4(x+5)>100,
式合在一起,就组成一个一元一次不等式组,记作
4(x-5)<68.
师:从上面的形式中,大家能否根据方程组的概念来类推出一元一次不等式组的概念呢?请互相讨论.
生:可以.一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组.
师:大家要注意定义中的“几个”是指两个或两个以上.大家能猜想一下这个一元一次不等式组的解集
吗?
生1:既然不等式组是几个不等式的组合,所以其解集应是每个不等式的解集的组合,解不等式①,②,得
x>20,x<22,所以不等式组的解集为所有大于20的数和所有小于22的数,即为全体实数.
师:大家同意他的观点吗?
生2:不同意,不等式组的解集不是每个不等式的解集的组合,而是每个不等式的解集的公共部分.
师:非常正确,请大家用类比推理的方法叙述不等式组的解集的概念.
生:一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集.
总结:(1)一元一次不等式组的概念:一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一
个一元一次不等式组.
(2)一元一次不等式组的解集的概念:一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元
一次不等式组的解集.
(3)解不等式组的概念:求不等式组解集的过程,叫做解不等式组.
[设计意图] 通过师生之间的讨论和交流,让学生自己总结出概念,可以让学生对新知识有一个更加深
刻的印象.
二、例题讲解
[过渡语] 刚刚我们学习了一元一次不等式组的相关概念,下面我们根据例题来总结一下如何解一元
一次不等式组.
{2x-1>-x,①
(教材例1)解不等式组: 1
x<3.②
2
1
解:解不等式①,得x> ,
3解不等式②,得x<6,
在同一条数轴上表示不等式①②的解集,如图所示:
1
因此,原不等式组的解集为 b):
{x>a, {xb xb,
图所示).
{x>a,
(3)若未知数的取值比大数还大,比小数还小,即 则不等式组无解,即没有公共部分(如图所示).
x3 {x>3
A. B.
x>2 x<2
{x<3 {x<3
C. D.
x>2 x<2
答案:C
2.在数轴上从左至右的三个数为a,1+a,-a,则a的取值范围是 ( )
1
A.a< B.a<0
2
1
C.a>0 D.a<-
2
答案:D
{x+1≤0,
3.不等式组 的解集在数轴上表示(如图所示)为 ( )
2x+3<5
答案:C
4.若y同时满足y+1>0与y-2<0,则y的取值范围是 .
答案:-1x
A.x>1 B.x<2
C.1≤x≤2 D.12; 1- (x-1)<0.5.
4
3 10
解:(1) 2x-1,
25
解:解集为- ≤x<3,在数轴上表示略.整数解为2,1,0,-1.
4
第1课时
一、一元一次不等式组的有关概念
二、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第55页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第55页习题2.8的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
{3x+1>0,
1.不等式组 的整数解有 ( )
2x<5
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.在平面直角坐标系内,点P(2x-6,x-5)在第四象限,则x的取值范围为 ( )
A.31;②x>4;③x<2;④2-x>-1.从这四个不等式中取两个,构成正整数解是2的不等式组的组合
是 ( )
A.①与② B.②与③
C.③与④ D.①与④
{4x+3m=2,
4.方程组 的解x,y满足x>y,则m的取值范围是 ( )
8x-3 y=m
9 10 19 10
A.m> B.m> C.m> D.m>
10 9 10 19
【能力提升】
{x2m-1
{ x
>1,
6.(2015·珠海中考改编)不等式组 2 的解集是 .
1-x>-2
{x>2,
7.不等式组 的解集为x>2,则a的取值范围是 .
x>a
{x-a<1,
8.若不等式组 的解集为-13
{ 4a-x>1,
9.若不等式组 无解,则a的取值范围是 .
x+2a-5>0【拓展探究】
10.解下列不等式组:
(1)2x<1-x≤x+5;
{3(1-x)<2(x+9),
(2) x-3 x+4
- ≤-14.
0.5 0.2
2x+1 1-2x
11.求同时满足不等式6x-2≥3x-4和 - <1的整数x的值.
3 2
7-x 3+4x
{ ≥ -4,
2 5
12.求不等式组 的非负整数解.
5
x+5(4-x)≥2(4-x)
3
【答案与解析】
1.C(解析:分别求出不等式组中两个不等式的解集,找出解集的公共部分,确定出不等式组的解集,找出解集中
的整数解的个数即可.故选C.)
{2x-6>0,
2.A(解析:根据第四象限内点的坐标的特征得 解得34;B.②与③无解;C.③与④的解集是x<2;D.①与④的解集是1y可得到 > ,解得m> .故选D.)
4-7m 4 3 19
y= ,
3
5.m≥2(解析:∵不等式组无解,∴m+1≤2m-1,解得m≥2.故填m≥2.)
6.25-2a,
1
10.解:(1)-2≤x< . (2)x>-3.
3
2 2x+1 1-2x 7
11.解:解不等式6x-2≥3x-4,得x≥- ;解不等式 - <1,得x< .所以同时满足两不等式的x的值
3 3 2 10
2 7
满足- ≤x< ,所以整数x的值为0.
3 10
69
12.解:解不等式组可得其解集为x≤ , 所以不等式组的非负整数解为0,1,2,3,4,5.
13充分利用数形结合思想来求各个不等式解集的公共部分,即求一元一次不等式组的解集,从而突破了本
课的难点,这是本课最突出的亮点.
在对整节课的时间把握上有所欠缺,致使拖堂,当然这也存在着经验不足,没有预先设计的问题.还应更
注重细节,讲究规范,强调反思.
在对本节课系统的回顾、梳理过程中,教师要适时给予恰当引导,发展学生分析问题和解决问题的能力,
并给学困生提供更多发言的机会.
随堂练习(教材第55页)
1 7
1.提示:(1) 4. (3)21.
2 3
2.提示:不等式组的解集是组成该不等式组的每一个不等式的解集的公共部分,所以,每一个不等式的解集不
一定是其组成的不等式组的解集.
3.提示:a≤3.
4.解:设大约要用x小时才能将这堆石料装完,根据题意,得1800≤50x≤2200,解得36≤x≤44.答:大约要用36至
44小时才能将这堆石料装完.
在本章前面几节课的学习中,学生已经学习了一元一次不等式的概念,掌握了解一元一次不等式的基本
技能.在相关知识的学习过程中,学生会利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题,感受到了不等式在
生活中的广泛应用,同时在以前的数学学习中,学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习
的经验,具备了一定的合作与交流的能力,学生已初步掌握了类比思想、化归思想和数形结合思想,认识到类
比、化归和数形结合思想在思考、解决数学问题中的优越性,这对本课的学习是有益的,但还要注意加强学
生学习的主动性和探究性.
一元一次不等式组是从已有的知识构建出发,遵从情境引入的理念,灵活地、创设性地处理教材的一节
课.我们知道求未知数取值范围的问题是普遍存在的,在涉及两个以上数量间的大小关系的问题中,不等式
组是解决这些问题的有力工具,因此必须学会求解一元一次不等式组,可见本节课在这一章中具有举足轻重
的地位.
本课时教学应为学生提供个性化的学习时间和空间,鼓励学生利用类比思想和数形结合思想自主探究,
合作交流,大胆表述,满足学生多样化的学习要求.此外,二元一次方程组与一元一次不等式组两者之间既有
联系又有差异,因此,在教学中一要注重类比,做好从方程组到不等式组的迁移;二要重视化归、数形结合等
数学思想方法的渗透.第 课时
1.会解由两个或两个以上一元一次不等式组成的不等式组,并能用数轴求得解集;
2.总结解一元一次不等式组的步骤及情形.
通过总结解一元一次不等式组的步骤,培养学生的类比推理能力和不完全归纳能力.
1.培养学生独立思考的习惯,加强运算的熟练性与准确性.
2.培养学生的合作交流意识与创新意识,为学生在今后的生活和学习中更好地运用数学做准备.
【重点】 巩固解一元一次不等式组.
【难点】 讨论求不等式组解集时出现的所有情况,并能清晰地阐述自己的观点.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习上一节一元一次不等式组的解法.
导入一:
现有两根木条a和b,a长7 cm,b长3 cm,如果要再找一根长为x cm的木条,用这三根木条钉成一个三角
形木框,请动手试一试:
(1)当x等于14时,能与a和b钉成三角形木框吗?
(2)当x等于9时,能与a和b钉成三角形木框吗?
(3)当x等于4时,能与a和b钉成三角形木框吗?
(4)在什么条件下,长度为3 cm,7 cm,x cm的三条线段可以围成三角形?
[设计意图] 引导学生进行操作、观察、发现,激发学生的好奇心和求知欲,让学生亲自动手,亲身体验,
使学生理解x并不是可以取任意值,要围成三角形,x的取值有一定的限制,让学生深深感受到数学与生活实
际是密不可分的.
导入二:
上节课我们已经学习了如何解由两个一元一次不等式组成的不等式组,本节课我们将继续加强解法的
熟练性和准确性,同时还要全面地对所有解的情况进行总结.
[设计意图] 直接引入课题,开门见山,引起学生的注意,有利于后面的教学.例题讲解
[过渡语] 同学们,下面我们来研究由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的四种情形.
(补充例题)解下列不等式组.
{
x+1
>1, {3x-24x+1;
7x-8<9x;
{5x-2>3(x+1),
{3x-1>11,
(3) 1 3 (4)
x-1<7- x; 2x<6.
2 2
师:在做这组练习题之前,我们先回忆一下求一元一次不等式的解集和一元一次不等式组的解集的步骤.
生:解一元一次不等式的步骤大致为:去分母,去括号,移项、合并同类项,系数化成1.要注意的是在去分
母和系数化成1这两步中,不等号的方向是否改变.解一元一次不等式组的步骤:分别求出组成不等式组的每
个一元一次不等式的解集,在同一条数轴上确定它们的公共部分,从而得出不等式组的解集.
师:很好.下面请同学们先自己独立完成这四个不等式组的求解.
{
x+1
>1,①
生1:(1) 2
7x-8<9x.②
解:解不等式①,得x>1,
解不等式②,得x>-4.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集如图所示:
所以,原不等式组的解集是x>1.
{3x-24x+1.②
3
解:解不等式①,得x< ,
2
4
解不等式②,得x< .
3
在同一条数轴上表示不等式①②的解集如图所示:
4
所以,原不等式组的解集是x< .
3{5x-2>3(x+1),①
生3:(3) 1 3
x-1<7- x.②
2 2
5
解:解不等式①,得x> .
2
解不等式②,得x<4.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集如图所示:
5
所以,原不等式组的解集是 11,①
生4:(4)
2x<6.②
解:解不等式①,得x>4.
解不等式②,得x<3.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集如图所示:
所以,原不等式组无解.
师:大家做得非常棒,下面大家认真观察一下这四组解,你发现了什么?
教师引导学生从每个不等式的解集,到这个不等式组的解集认真观察,互相交流,找出规律.
{x>1,
(1)由 得x>1;
x>-4
3
{x< ,
2 4
(2)由 得x< ;
4 3
x<
3
{ 5
x> , 5
(3)由 2 得 4,
(4)由 得无解.
x<3
生1:由(1)得,两个不等式的解集中不等号都是大于号,在不等式组的解集中,数值取1和-4中比较大的数
1,不等号取大于号.
生2:由(2)得,两个不等式的解集中不等号都是小于号,在不等式组的解集中不等号取小于号,而数值取
4 3 4
和 中比较小的数 .
3 2 35 5
生3:由(3)得,两个不等式的解集中不等号有大于号也有小于号,数值 <4,并且是x> ,x<4,不等式组的
2 2
5
解集中x取大于小数且小于大数的数,即 4,x<3,即x应取大于4且小于3
的数,而这样的数根本不存在,所以原不等式组无解.
师:大家分析得非常精彩,基本上说明了情况,下面我再系统地给大家做一下总结:
由两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形,设aa,
(1)不等式组 的解集是x>b;
x>b
{xa,
(3)不等式组 的解集是ab
这是用式子表示,也可以用语言简单表述为:同大取大;同小取小;大小小大取中间;大大小小是无解.
一元一次不等式组解集的表示方法及记忆规律:
不等式
解集 用数轴表示 口诀
组(aa,
x>b 同大取大
x>b
{xa,
大小小大
ab 是无解
1.下列不等式组中,是一元一次不等式组的是 ( )
{ x>2 {x+1>0
A. B.
x<-3 y-2<0
{ 3x-2>0 {3x-2>0
C. D.
(x-2)(x+3)>0 2<3
解析:B中含有两个未知数x,y;C中化简后x的最高次数是2;D中不等式2<3没有未知数x.故选A.
2.下列说法正确的是 ( )
{x>3,
A.不等式组 的解集是55{x>-2,
B.不等式组 的解集是-3-3
解析:A中不等式组的解集是x>5;B,D中不等式组无解.故选C.
{ 2
x>- ,
3.不等式组 3 的最小整数解为 ( )
x-4≤8-2x
A.-1B.0 C.1 D.4
2
解析:不等式组的解集为- m
答案:m<2
第2课时
例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第58页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第59页习题2.9的1,2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
{x-2>0,
1.不等式组 的解集是 ( )
x-3<0
A.x>2 B.x<3
C.24(x-1),
2.(2015·恩施中考)关于x的不等式组 的解集为x<3,那么m的取值范围为 (
x3 C.m<3 D.m≥3
3.小宝和爸爸,妈妈三人在操场上玩跷跷板,爸爸体重为69千克,坐在跷跷板的一端,体重只有妈妈一半的小
宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端,这时爸爸的一端仍然着地.后来小宝借来一副质量为6千克的哑铃加在
他和妈妈坐的一端,结果爸爸被跷起,那么小宝的体重可能是 ( )
A.23.2千克 B.23千克
C.21.1千克 D.19.9千克
【能力提升】
{x-a>2,
4.若不等式组 的解集是-10
{3x+2>2(x-1),
5.不等式组 的解集为 .
x+8>4x-1
{x +x =a ,
1 2 1
6.在关于x,x,x 的方程组 x +x =a , 中,已知a>a>a,请将x,x,x 按从大到小的顺序排列起来.
1 2 3 2 3 2 1 2 3 1 2 3
x +x =a
1 3 3
【拓展探究】
7.为节约用电,某学校于本学期初制定了详细的用电计划.如果实际每天比计划多用2度电,那么本学期用电
量将会超过2530度;如果实际每天比计划少用2度电,那么本学期用电量将不会超过2200度.若本学期的在
校时间为110天,则学校每天计划用电量在什么范围内?
8.某宾馆底层客房比二楼少5间,某旅游团有48人,若全安排在底层,每间住4人,则房间不够;每间住5人,则
有房间没有住满5人;若全安排在二楼,每间住3人,则房间不够;每间住4人,则有房间没有住满4人.求该宾
馆底层有客房多少间.
【答案与解析】
1.C
{x<3,
2.D(解析:解不等式组,可得 又不等式组的解集为x<3,所以m≥3.故选D.)
x69,
b b
4.1(解析:先解不等式组,得a+22(x-1)得x>-4,解不等式x+8>4x-1得x<3,所以不等式组的解集为-4a>a,所以x-x= (a+a-a)-
1 2 3 3 2 2 3 1 1 2 1 3 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 2 1 3 2 2
(a+a-a)=a-a<0,所以xx,所以x2530,
7.解:设学校每天计划用电量为x度,依题意,得 解得213.
2.提示:该校计划每月烧煤20~22 t(不含20 t和22 t).
习题2.9(教材第59页)
6 3
1.提示:(1)x<-10. (2)-1≤x<3. (3)x<-10. (4)- ≤x≤ .
5 4
2.解:由题意得3<1-a<1-2a,解得a<-2.
{ 2x+1≥1,
3.解:(答案不唯一) 其解集为0≤x≤8.
-3x+24≥0,
{
a+1
{
a+1
{2x-a<1, x< , =1, { a=1,
4.解:由 得 2 因为其解集为-13 b=-2,
x>3+2b. 3+2b=-1,
(a+1)(b-1)=2×(-3)=-6.
复习题(教材第61页)
1.a>0 a<0
17 23 7
2.提示:(1)x<-2. (2)x>-1. (3)x<-12. (4)x≥4. (5)x≤- . (6)x>6. (7)x<- . (8)x>- .(数轴表示略)
7 7 16
3.解:(1)x+1<0. (2)x2≥0. (3)2x-(-3)<0. (4)10≤5a-3≤20.5
4.提示:(1)-3- . (2)x=- . (3)x<- .
3 3 3
6.提示:正整数解为1,2,3,…,12.
7.提示:(1)-1≤x<2. (2)x≥-1.
8.(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)✕ (6)✕
9.(1)> (2)< (3)< (4)> (5)< (6)<
10.B
11.(1)< (2)> (3)>
7
12.解:设甲旅行社收费y 元,乙旅行社收费y 元,根据题意,得y=500×2+500× x,即y=350x+1000;y=500×
1 2 1 10 1 2
8
(x+2),即y=400x+800.当y>y 时,解得x<4;当y=y 时,解得x=4;当y4.故当两位家长带领少
10 2 1 2 1 2 1 2
于4名学生去旅游时,选择乙旅行社;当带领4名学生去旅游时,选择两家旅行社都可以;当带领超过4名学生
去旅游时,选择甲旅行社.
13.解:设超市购进这批水果的总质量为p千克,每千克进价为q元.(1)最终销售额为p(1-5%)·q(1+5%)=pq·[1-
(5%)2](元).因为pq[1-(5%)2]0,则a<-7.
2 2
15.解:设招聘A工种的工人x人,则招聘B工种的工人(150-x)人,根据题意,得150-x≥2x,解得x≤50.所付工资
总额为1500x+3000×(150-x)=450000-1500x,因为-1500<0,所以当x=50时,所付工资总额最少.即当招聘A工种
工人50人时,可使每月所付的工资总额最少.
16.提示:(1)> = > = (2)任意两个数的平方和大于或等于这两个数乘积的2倍,当且仅当这两个数相等
时取等号,即a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号). (3)因为(a-b)2≥0,即a2-2ab+b2≥0,所以a2+b2≥2ab.
某县响应“建设环保节约型社会”的号召,决定资助部分村镇修建一批沼气池,使农民用到经
济、环保的沼气能源.幸福村共有264户村民,政府补助村里34万元,不足部分由村民集资.修建A型、B型
沼气池共20个.两种型号沼气池每个修建费用、可供使用户数、修建用地情况如下表所示:
修建费用 可供使用 占地面积
沼气池
(万元/个) 户数(户/个) (m2/个)
A型 3 20 48
B型 2 3 6
政府相关部门批给该村沼气池修建用地708 m2.设修建A型沼气池x个,修建两种型号沼气池共需费用
y万元.
(1)用含有x的代数式表示y;
(2)不超过政府批给修建沼气池的用地面积,又要使该村每户村民都能用上沼气的修建方案有几种?
(3)若平均每户村民集资700元,能否满足所需费用最少的修建方案?
解:(1)y=3x+2(20-x)=x+40.
(2)由题意可得:{20x+3(20-x)≥264,①
48x+6(20-x)≤708,②
解不等式①得x≥12,
解不等式②得x≤14.
∴不等式组的解集为12≤x≤14.
由题意可知x是正整数,
∴x的取值为12,13,14.
即有3种修建方案:
方案一:修建A型沼气池12个,B型沼气池8个;
方案二:修建A型沼气池13个,B型沼气池7个;
方案三:修建A型沼气池14个,B型沼气池6个.
(3)由(1)知y=x+40,y随x的增加而增加,
要使费用最少,则x=12.
∴最少费用为y=x+40=52(万元).
村民集资与政府补助共计:700×264+340000=524800(元),
524800>520000,
∴每户集资700元能满足所需要费用最少的修建方案.
火车站有某公司待运的甲种货物1530吨,乙种货物1150吨,现计划用50节A,B两种型号的车
厢将这批货物运至北京,已知每节A型车厢的运费是0.5万元,每节B型车厢的运费是0.8万元;甲种货物35
吨和乙种货物15吨可装满一节A型车厢,甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型车厢,要安排A,B
两种车厢的节数,共有哪几种方案?请你设计出来,并说明哪种方案的运费最少.
解:设A型车厢用x节,则B型车厢用(50-x)节,根据题意,得:
{35x+25(50-x)≥1530,
15x+35(50-x)≥1150.
解这个不等式组,得28≤x≤30.
由题意知x应为整数,所以x可取28,29,30.
因此运送方案有三种:
(1)安排A型车厢28节,B型车厢22节;
(2)安排A型车厢29节,B型车厢21节;
(3)安排A型车厢30节,B型车厢20节.
设运费为y万元,则y=0.5x+0.8(50-x)=40-0.3x.
当x=28时,y=31.6;
当x=29时,y=31.3;
当x=30时,y=31.
因此,选第三种方案,即安排A型车厢30节,B型车厢20节时运费最少.
1.掌握不等式的基本性质,理解不等式(组)的解及解集的含义,会解简单的一元一次不等式(组),并能在数
轴上表示其解集.
2.能够用一元一次不等式(组)解决一些简单的实际问题.3.体会不等式、函数、方程之间的联系.
通过梳理本章内容,进一步体会模型思想及类比的思想方法.
合作学习,从不同的角度思考问题、解决问题,体会学习数学的价值,增进对数学的理解,增强学好数学
的信心.
【重点】 会解一元一次不等式和一元一次不等式组.
【难点】 体会数形结合思想.
专题一 一元一次不等式的定义与性质
【专题分析】
本专题的知识是一元一次不等式的基础内容,单独考查时以选择题或填空题为主,也常以综合性题目为
载体进行考查.
下列式子中,是一元一次不等式的有 ( )
x 1 x x-1 3x+2
①3x-1≥4;②2+ >6;③3- <6;④ >0;⑤ - <3;⑥x+xy≥y2 ;⑦x>0.
3 x π 6 2
A.5个 B.4个 C.6个 D.3个
〔解析〕 此题考查的是本章最基础的知识,所以一定要掌握好一元一次不等式的定义和性质.一元一
次不等式,首先只含有一个未知数,其次未知数的次数为一次,再次必须是用不等号连接的代数式,最后要求
不等号左右两边是整式.由此可知式子①②④⑤⑦是一元一次不等式.故选A.
[方法归纳] 一元一次不等式的概念含有三个要点:①用不等号连接;②不等号两边都是关于未知数的
整式;③只含有一个未知数,且未知数的最高次数为1.
【针对训练1】 若(m+1)x|m|+2>0是关于x的一元一次不等式,则m等于 ( )
A.±1 B.1 C.-1 D.0
〔解析〕 ∵(m+1)x|m|+2>0是关于x的一元一次不等式,∴m+1≠0且|m|=1,解得m=1.故选B.
专题二 解一元一次不等式
【专题分析】
本专题的知识是中考命题的重点之一,主要考查一元一次不等式的解法和在数轴上表示一元一次不等
式的解集,一般以选择题和填空题的形式出现.有时也与方程知识综合起来考查,命题以中等难度的解答题
为主,题型在设计的时候会不断追求创新.
解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来:
(1)3[x-2(x-2)]>x-3(x-2);y-2 7
(2)2(y+1)+ > y-1.
3 2
〔解析〕 解不等式首先利用不等式的基本性质对不等式进行化简,在化简过程中需注意:移项时移动
的项要变号;去括号时,括号前若为负号,则括号内各项要变号;把不等式整理成axb的形式后,不等
号两边同时除以a时,注意不等号的方向是否改变.
解:(1)去括号,得3x-6x+12>x-3x+6,
移项、合并同类项,得-x>-6,
系数化成1,得x<6.
在数轴上表示解集如图所示.
(2)去分母,得12(y+1)+2(y-2)>21y-6.
去括号,得12y+12+2y-4>21y-6.
移项、合并同类项,得-7y>-14.
系数化成1,得y<2.
在数轴上表示解集如图所示.
[方法归纳] 解不等式一定要把握好基础:不等式的基本性质;移项变号;去括号、添括号法则.熟练掌握
并利用这些基础解题,保证准确率.
2x-5 3x+1 2
【针对训练2】 解不等式 ≤ - ,并把解集在数轴上表示出来.
6 4 3
〔解析〕 解一元一次不等式时要注意:去分母时公分母不要漏乘其中某一项,尤其是没有分母的项;移
项时不要忘了改变所移那一项的符号;运用不等式的基本性质时,要注意不等号的方向是否改变.在数轴上
表示不等式的解集时,要记住“大于向右画,小于向左画,有等号用实心点,无等号用空心圈”.
2x-5 3x+1 2
解: ≤ - ,
6 4 3
去分母,得2(2x-5)≤3(3x+1)-8,
去括号,得4x-10≤9x+3-8,
移项,得4x-9x≤3-8+10,
合并同类项,得-5x≤5,
系数化为1,得x≥-1.
所以这个不等式的解集为x≥-1.
解集在数轴上的表示如图所示.
专题三 一元一次不等式的实际应用
【专题分析】
用一元一次不等式解决实际问题是中考的热点之一,中考中经常与函数、方程等知识结合在一起进行
考查,题的难度差异较大.
(益阳中考)“二广”高速在益阳境内的建设正在紧张地进行,现有大量沙石需要运输.“益安”
车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆,全部车辆运输一次能运输110吨沙石.
(1)求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆;
(2)随着工程的进展,“益安”车队需要一次运输沙石165吨以上,为了完成任务,准备新增购这两种卡车
共6辆,车队有多少种购车方案?请你一一写出.〔解析〕 (1)根据“益安”车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆,全部车辆运输一次能运输110
吨沙石列出方程组,解之即可;(2)利用“益安”车队需要一次运输沙石165吨以上得出不等式,进而求出购车
方案.
解:(1)设“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车分别有x辆、y辆.
{ x+ y=12, {x=5,
根据题意得 解得
8x+10 y=110, y=7.
∴“益安”车队载重量为8吨的卡车有5辆,10吨的卡车有7辆.
(2)设载重量为8吨的卡车增购了z辆,则载重量为10吨的卡车增购了(6-z)辆.
依题意得8(5+z)+10(7+6-z)>165,
5
解得z< .由题意得z≥0且z为整数,
2
∴z=0,1,2,相应地,6-z=6,5,4.
∴车队共有3种购车方案:
①载重量为8吨的卡车不购买,10吨的卡车购买6辆;
②载重量为8吨的卡车购买1辆,10吨的卡车购买5辆;
③载重量为8吨的卡车购买2辆,10吨的卡车购买4辆.
[方法归纳] 一元一次不等式的应用情况很多,但解所有题目的关键在于:在理解题意的基础之上,找准
表示不等关系的语句,根据不等关系列出不等式,再利用不等式的性质解出不等式,使问题得以解决.
【针对训练3】 某公司为了扩大经营,决定购进6台机器用于生产某种活塞,现有甲、乙两种机器供
选择,其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示,经过预算,本次购买机器所耗资金不能
超过34万元,则按该公司的要求可以有几种购买方案?
甲 乙
价格(万元/台) 7 5
每台日产量(个) 100 60
〔解析〕 本题主要考查对不等式知识的应用能力.解决本题的关键是理解题中的条件和要求,并做出
符合题意的解答.
解:设购买甲种机器x台,则购买乙种机器(6-x)台.
根据题意得7x+5(6-x)≤34,解得x≤2.
由题意知x是整数,且x≥0,所以x可取0,1,2.
故该公司按要求可以有三种购买方案,即:
方案一:不购买甲种机器,购买乙种机器6台;
方案二:购买甲种机器1台,购买乙种机器5台;
方案三:购买甲种机器2台,购买乙种机器4台.
专题四 一元一次不等式组的定义和解法
【专题分析】
本专题是一元一次不等式解法的延伸,解一元一次不等式组的关键是正确找到相关不等式解集的公共
部分,中考中单独考查解法主要集中在选择题上,更多的是结合不等式的实际应用综合考查.
下列不等式组中,一元一次不等式组有 ( )
{1
{ x>0, {x+π>-2, +2<3, {ab<-5, {m+2m+2≥0,
① ② ③ x ④ ⑤
2x+5<-1; 3-x<0; a+b>0; m-2n-2≤0.
x-5>4;
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
〔解析〕 利用一元一次不等式组的定义解决问题.一元一次不等式组是由几个关于同一未知数的一
元一次不等式组成的,由此可知①②是一元一次不等式组.故选B.
{-x<0,
【针对训练4】 (1)不等式组 的解集是 .
2x-1<0{3x+2>2(x-1),
(2)不等式组 的解集是 .
4x-3≤3x-2
〔解析〕 注意先将不等式组中的每个不等式的解集求出来,然后在同一条数轴上找出它们解集的公
共部分.
1
〔答案〕 (1)02
2 2
A.m>- B.m≤
3 3
2 2
C.m> D.m≤-
3 3
{x-2m<0,①
〔解析〕 本题主要考查了一元一次不等式组解集的确定方法. 解不等式①,得
x+m>2.②
2
x<2m;解不等式②,得x>2-m,因为不等式组有解,所以2m>2-m,所以m> .故选C.
3
专题五 不等式(组)中字母取值(范围)的确定
【专题分析】
已知一个不等式(组)的解集,求其中待定字母的取值(或取值范围)是近几年中考中经常涉及的问题.由于
这类问题综合性强、灵活性高,所以经常以选择题、填空题等小题形式进行考查.
如果关于x的不等式 (a+1)x>a+1的解集为x<1,那么a的取值范围是 ( )
A.a>0 B.a<0 C.a>-1 D.a<-1
〔解析〕 对原不等式及其解集进行比较可以发现在不等式的变形过程中,运用了不等式的基本性质
3,因此有a+1<0,所以a<-1.故选D.
【针对训练6】 若关于x的不等式x-m≥-1的解集如图所示,则m等于 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
〔解析〕 解不等式x-m≥-1,得x≥m-1.由数轴知该不等式的解集为x≥2,所以m-1=2,所以m=3.故选D.{x+2a>4,
已知不等式组 的解集是04-2a,
{x+2a>4, 5+b
〔解析〕 解不等式组 得
5+b
其解集只能是4-2a2,则m的取值范围是( )
x>m+1
A.m≤2 B.m≥2 C.m≤1 D.m>1
〔解析〕 解不等式x+9<5x+1,得x>2,它与x>m+1是同向不等式.由不等式组的解集是x>2和不等式
组解集的确定法则“同大取大”,可知m+1≤2,从而有m≤1.故选C.
[方法归纳] 已知一个不等式(组)的解集,求其中待定字母的取值(范围)的解题规律与方法:①结合性质,
直接求解;②求出解集,对照求解;③借助数轴,分析求解;④正面繁难,反面求解; ⑤巧妙转化,构造求解;⑥依据
口诀,简捷求解.
专题六 用一元一次不等式组解决生活中的实际问题
【专题分析】
用一元一次不等式组解决生活中的实际问题是中考历年的必考点之一,尤其是利用不等式组确定最佳
方案、获得最大收益、确定最优途径等已经成为中考的热点,本专题的知识也常与方程、函数等知识综合
命题,成为中考的压轴题.
某市果农收获荔枝30吨,香蕉13吨,现计划租用甲、乙两种货车共10辆,将这批水果全部运往
深圳,已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨,乙种货车可装荔枝、香蕉各2吨.
(1)该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案?请你帮助设计出来;
(2)若甲种货车每辆要付运输费2000元,乙种货车每辆要付运输费1300元,则该果农应选择哪种方案使
运输费最少?最少运输费是多少?
〔解析〕 本题是一个最优方案设计问题,因此可以建立不等式组模型来解决问题.本题中的不等关系:
10辆甲、乙两种货车运送荔枝、香蕉的运货总量至少要分别达到30吨、13吨.
解:(1)设安排甲种货车x辆,则安排乙种货车(10-x)辆,
{4x+2(10-x)≥30,
根据题意,可得
x+2(10-x)≥13.
解得5≤x≤7.
由题意得x应为整数,所以x=5,6,7.
所以车辆安排有三种方案:
方案一:甲种车、乙种车各安排5辆;
方案二:甲种车安排6辆,乙种车安排4辆;
方案三:甲种车安排7辆,乙种车安排3辆.
(2)方案一需运输费:2000×5+1300×5=16500(元).
方案二需运输费:2000×6+1300×4=17200(元).
方案三需运输费:2000×7+1300×3=17900(元).
所以选择方案一可使运输费最少,最少运输费为16500元.
【针对训练8】 八(2)班有50名学生,老师安排每人制作一件A型或B型的陶艺品,学校现有甲种制作
材料36千克,乙种制作材料29千克,制作A,B两种型号的陶艺品用料情况如下表所示,设制作B型陶艺品x
件.需甲种材料 需乙种材料
1件A型陶艺品 0.9千克 0.3千克
1件B型陶艺品 0.4千克 1千克
(1)求x的取值范围;
(2)请你根据学校现有材料,写出八(2)班制作A型和B型陶艺品的件数.
〔解析〕 分析题意可发现制作两种型号的陶艺品的材料已给出限制,所用材料不能超过这个限制,因
此我们就可以根据材料的限制来列出本题的不等式组.
解:(1)由题意得制作A型陶艺品(50-x)件,
{0.9(50-x)+0.4x≤36,
则有
0.3(50-x)+x≤29.
解得18≤x≤20.
(2)由(1)知18≤x≤20,又由题意知x为整数,
所以x=18,19,20,所以50-x=32,31,30.
所以八(2)班制作A型和B型陶艺品的件数有三种可能:
①制作A型陶艺品32件,B型陶艺品18件;
②制作A型陶艺品31件,B型陶艺品19件;
③制作A型陶艺品30件,B型陶艺品20件.
【针对训练9】 某企业为了适应市场经济需要,决定进行人事结构的调整,该企业现有生产型企业人
员100人,平均每人全年可创产值a万元,现欲从中分流出x人去从事服务型行业,假设分流后,继续从事生产
型行业的人员平均每人全年创造产值可增加20%,而分流从事服务型行业的人员平均每人可创造产值3.5a
万元,如果要保证分流后该厂生产型行业的全年总产值不少于分流前生产型行业的全年总产值,而服务型行
业的全年总产值不少于分流前生产型行业的全年总产值的一半,试确定分流后从事服务型行业的人数.
〔解析〕 解题时注意抓住题中的关键字眼,如“大于”“小于”“不大于”“不少于”等.解不等式
应用题的步骤与列方程解应用题的步骤类似,需要注意的是,解不等式(组)所得的结果首先是一个解集,还要
从解集中找出符合题意的答案,通常考虑不等式的正整数解.
解:设分流后从事服务型行业的人数为x人,
{
(100-x)(1+20%)a≥100a,
依题意得 1
3.5ax≥ ×100a.
2
2 2
解这个不等式组,得14 ≤x≤16 .
7 3
由题意得x为正整数,所以x的取值为15或16.
答:从事服务型行业的人数为15人或16人.
[方法归纳] 一元一次不等式组在实际生活中有着广泛的应用,不等式应用题一般叙述较多,对学生阅
读理解、分析问题的能力要求较高.解此类实际问题时,需从题目中捕捉描述不等关系的词语,如:不足、至
少、不少(多)于、不超过、不低于等,并用不等式组将它们表示出来,通过解不等式组找出符合题意的解.有
的题目中没有出现表示不等关系的关键词,不等关系比较含蓄,需要学生从题意中分析得到.同学们要通过
读题审题寻找不等或等量关系、解的特殊性等,准确把握题目提供的信息,列出不等式组来寻找解题的突破
口.
专题七 数形结合思想
【专题分析】
数形结合是一种将代数和几何结合在一起研究并解决问题的重要的思想方法.在本章的学习中充分体
现了这种思想,如在数轴上表示不等式的解集,利用数轴求不等式组的解集等.
若关于x的不等式3x-2a≤-2的解集如图所示,则a的值是 .2a-2 2a-2
〔解析〕 解不等式3x-2a≤-2,得x≤ ,而由数轴可知不等式的解集为x≤-1,故 =-1,解得
3 3
1 1
a=- .故填- .
2 2
[解题策略] 本题先把字母a看成常数,求出不等式的解集,再结合数轴给出的不等式的解集,构造出关
于a的一元一次方程,从而求得a的值.
{3 1
x+1>x- ,
【针对训练10】 不等式组 2 2 的解集在数轴上表示(如图所示)正确的是 (
3-x≥2
)
〔解析〕 由原不等式组得-30;③x=1;④x2-x;⑤x≠-2;⑥x+2>x-1.其中不等式有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.下列判断正确的是 ( )
a
A.a> B.a2>a
3
C.a>-a D.a2≥0
{1-x≤0,
3.(2015·潜江中考)不等式组 的解集在数轴上表示(如图所示)正确的是 ( )
3x-6<0
4.下列不等式中,解集不同的是 ( )
A.5x>10与3x>6
B.6x-9<3x+6与x<5
C.x<-2与-14x>28
D.x-7<2x+8与x>15
5.下列说法正确的是 ( )
A.4是不等式2x>-8的一个解
B.x=-4是不等式2x<-8的解集
C.不等式2x>-8的解集是x>4
D.不等式2x>-8的解集是x<-46.若关于x的一元一次方程4x-m+1=3x-1的解是负数,则m的取值范围是 ( )
A.m=2 B.m>2
C.m<2 D.m≤2
7.如果x<0,那么下列结论正确的是 ( )
A.x=-x B.x>-x
C.x<-x D.以上都不对
2+x 2x-1
8.不等式 > 的变形过程:①去分母,得5(2+x)>3(2x-1);②去括号,得10+5x>6x-3;③移项、合并同
3 5
类项,得-x>-13;④系数化为1,得x>13.其中错误的步骤是 ( )
A.① B.② C.③ D.④
a
{x<- ,
2
9.若a<0,则不等式组 的解集是 ( )
a
x<-
3
a a
A.x<- B.x<-
2 3
a a
C.x< D.x<
2 3
{3x+4>0,
10.不等式组 的整数解的个数是( )
-2x+3>0
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题4分,共32分)
11.已知a>b,用“>”或“<”号填空.
(1)a+2 b+2;2-a 2-b;
(2)3a 3b;-3a+1 -3b+1.
12.商店购进一批文具盒,进价为每个4元,零售价为每个6元,为促销决定打折销售,但利润率仍然不能低于
20%,那么该文具盒最多可打 折销售.
13.在平面直角坐标系内,点P(m-3,m-5)在第四象限中,则m的取值范围是 .
14.若3”“<”或“=”)
{ 1
- x≥2,
15.不等式组 2 的解集是 .
11-x>1-3x
1 1
16.不等式-4 3(x+1),
21.(10分)求不等式组 x-2 3 的整数解.
<7- x
2 2
22.(10分)(2014·舟山中考)某汽车专卖店销售A,B两种型号的新能源汽车.上周售出1辆A型车和3辆B型
车,销售额为96万元;本周已售出2辆A型车和1辆B型车,销售额为62万元.
(1)每辆A型车和B型车的售价各为多少万元?
(2)甲公司拟向该店购买A,B两种型号的新能源汽车共6辆,购车费不少于130万元,但不超过140万元,则有
哪几种购车方案?
23.(10分)(2015·广东中考)某电器商场销售A,B两种型号的计算器,两种计算器的进货价格分别为每台30元,
40元.商场销售5台A型号和1台B型号计算器,可获利润76元;销售6台A型号和3台B型号计算器,可获
利润120元.
(1)求商场销售A,B两种型号计算器的销售价格分别是多少元(利润=销售价格-进货价格);
(2)商场准备用不超过2500元的资金购进A,B两种型号计算器共70台,则最少需要购进A型号的计算器多
少台?
24.(12分)(2015·荆州中考)荆州素有“鱼米之乡”的美称,某渔业公司组织20辆汽车装运鲢鱼、草鱼、青鱼
共120吨去外地销售,按计划20辆汽车都要装运,每辆汽车只能装运同一种鱼,且必须装满,根据下表提供的
信息,解答以下问题.
鲢鱼 草鱼 青鱼
每辆汽车载鱼量(吨) 8 6 5
每吨鱼获利(万元) 0.25 0.3 0.2
(1)设装运鲢鱼的车辆为x辆,装运草鱼的车辆为y辆,求y与x之间的函数关系式;
(2)在(1)的条件下,如果装运每种鱼的车辆都不少于2辆,那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大?求出最
大利润.
【答案与解析】
1.C(解析:用不等号连接的式子叫做不等式.可知①②⑤⑥是不等式.故选C.)
2.D
3.D(解析:解不等式组得1≤x<2.由数轴知D正确.故选D.)
4.D(解析:A.5x>10⇒x>2,3x>6⇒x>2,解集相同,故A错误;B.6x-9<3x+6⇒x<5,与x<5解集相同,故B错误;
C.-14x>28⇒x<-2,与x<-2解集相同,故C错误;D.x-7<2x+8⇒x>-15,与x>15解集不同,故D正确.故选D.)
5.A(解析:A.因为2x>-8的解集为x>-4,所以4是不等式2x>-8的一个解,正确;B.不等式2x<-8的解集为x<-4,
错误;C.不等式2x>-8的解集是x>-4,错误;D.不等式2x>-8的解集是x>-4,错误.故选A.)
6.C(解析:本题首先要解这个关于x的方程,求出方程的解为x=m-2,根据解是负数,可以得到一个关于m的不
等式m-2<0,由此可求出m的取值范围.故选C.)
7.C(解析:如果x<0,那么-x>0,因为正数大于负数,所以x<-x.故选C.)8.D(解析:解不等式组的依据是不等式的基本性质,尤其要注意当运用不等式的基本性质3时,即若不等式的
两边同时除以一个负数时,不等号的方向要改变.故选D.)
9.B
4 3
10.C(解析:先解出不等式组的解集为- < (2)> <
x
12.8(解析:设可以打x折销售,由题意,得6× -4≥4×20%,解得x≥8.故填8.)
10
13.3(解析:因为30,4-x>0,所以(x-3)(4-x)>0.故填>.)
15.-5-2.所以不等式组的解集为-23(x+1),得x> .由 <7- x,得x<4.所以不等式组的解集为
