文档内容
第 04 讲 解题技巧专题：平移和旋转中的常见类型
目录
【类型一 线段平移的综合问题】............................................................................................................................1
【类型二 三角形平移的综合问题】......................................................................................................................10
【类型三 长方形平移的综合问题】......................................................................................................................15
【类型四 线段绕某点旋转综合问题】..................................................................................................................19
【类型五 直角三角形绕点旋转综合问题】..........................................................................................................30
【类型六 等腰直角三角形绕点旋转综合问题】..................................................................................................39
【类型七 等边三角形绕点旋转综合问题】..........................................................................................................48
【类型一 线段平移的综合问题】
例题：（24-25八年级上·吉林松原·期中）如图，线段 相交于点 经过适当平移至
的位置，连接 、 ，当 时，求证： 是等边三角形．
【答案】见解析
【知识点】等边三角形的判定、利用平移的性质求解
【分析】本题考查了平移的性质和等边三角形的判定，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性
质可得 ， ，进而得到 ，再证明 ，即可得证．
【详解】证明：根据平移前后对应线段平行且相等，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形．
【变式训练】1．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知线段 两端点坐标 ， ，将 向下平移5个
单位得线段 ，其中点 的对应点为点 ．
(1)点 的坐标为______，线段 平移到线段 扫过的面积为______．
(2)若点 是 轴正半轴上的动点，连接 ．
①如图，线段 与线段 相交于点 ，三角形 的面积为 ，三角形 的面积为 ，试说明 与
，之间的数量关系；
②当 将四边形 的面积分成 两部分时，求点 的坐标．
【答案】(1) ，20
(2)① （或 ）；②点 坐标为 或
【知识点】坐标与图形、一次函数与几何综合、利用平移的性质求解
【分析】本题主要考查了平移的坐标变换，长方形的性质，坐标与图形，三角形的面积公式，清晰的分类
讨论的思想是解本题的关键．
（1）先根据线段 向下平移5个单位可得B的纵坐标减去5，横坐标不变，可得D的坐标，再求解
的长度，乘以平移距离即可得到平移后线段 扫过的面积；
（2）①用三角形的面积公式得出 ， ，即可得出结论；
②分 交线段 和交 两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，将 向下平移5个单位得线段 ，其中点 的对应点为点 ．
∴ ， ， ，
∴线段 平移到线段 扫过的面积为 ，
故答案为： ，20；
（2）解：①根据题意，得 ， ，
∴ ；
② 交线段 于E时，∵ 将四边形 的面积分成 两部分，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
设直线 解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ；
交线段 于F时，
∵ 将四边形 的面积分成 两部分，
∴ ，
∴ ，
解得 ，∴ ，
设直线 解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ；
综上，点 坐标为 或 ．
2．（23-24七年级下·广东广州·期末）已知在平面直角坐标系中有三点A(a,0)， ， ， ， ，
满足 ．
(1)若 ，将线段 向右平移 个单位，再向下平移2个单位得到线段 ，点 的对应点为 ，
点 是线段 上的一个动点，且三角形 的面积等于6，求点 的坐标；
(2)将线段 向右平移 个单位得到线段 ，点 的对应点为 ．
①若三角形 的面积小于4，求 的取值范围；
②已知点 ，连接 ，若线段 与线段 有公共点，请直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)① ，②
【知识点】利用平移的性质求解、坐标与图形、用一元一次不等式解决几何问题
【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性可得 ， ，从而 ，当 时，
， ， ，根据线段 平移得到线段 ，从而 ， ， ，连接 ， ，进而 ，表示出 的面积，列出方程即可求解；
（2）①延长 交x轴于H，根据平移得出点H的坐标，线段 向右平移 个单位得到线段 ，
则 ， ，分两种情况，根据图形的关系得出平移后的 面积，三角形 的
面积小于4列出不等式，即可得出结论；
（3）先得出当平移后得点C的对应点N在线段 上时，平移距离最小，当平移后得点B的对应点M在
线段 上时，平移距离最大，根据平移求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
且 ，
∴ ， ，
∴ ．
当 时， ， ，
则 ， ， ，
∵将线段 向右平移 个单位，再向下平移2个单位得到线段 ，
∴ ， ， ，
如图，连接 ， ，
∴ ，
过点 作 轴于点G，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ， ， ，
∵
，
∴ ，解得 ，
∴ ．（2）解：由（1）有 ，
∴A(a,0)， ， ，
如图，延长 交x轴于H，
∵ ， ，
∴点B向下平移4个单位，再向左平移2个单位到点C，
又∵点C平移到x轴需要向下平移2个单位，
∴为保证点B到点C与点C到点H的方向一致，点C需要在向下平移2个单位的基础上再向左平移1个单
位到点H，
∴ ，
∵ ， ， ，
且线段 向右平移 个单位得到线段 ，
则 ， ，
当点N在点G左边时，作图，
，
∵三角形 的面积小于4，
∴ ，
解得： ，
当点N在点G右边时，，
∵三角形 的面积小于4，
∴ ，
∴ ，
综上所述：n的取值范围是 ；
②如图，若线段 与线段 有公共点，则当点C平移后得点N在线段 上时，平移距离最小，
∵ ， ，
∴点A向上平移7个单位，再向右平移7个单位到点F，
又∵点A平移到直线 需要向上平移2个单位，
∴为保证点A到点F与点A到点N的方向一致，点A需要在向上平移2个单位的基础上再向右平移2个单
位到点N，
∴ ，
又∵ ，
∴线段 向右平移4个单位，即 ；
如图，当点B平移后的对应点M在线段 上时，平移距离最大，∵点A向上平移7个单位，再向右平移7个单位到点F，
又∵点A平移到直线 需要向上平移6个单位，
∴为保证点A到点F与点A到点M的方向一致，点A需要在向上平移6个单位的基础上再向右平移6个单
位到点M，
∴ ，
又∵ ，
∴线段 向右平移6个单位，即 ；
综上所述，线段 与线段 有公共点，则 ．
【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，坐标与图形，平移的性质，三角形的面积公式，解不等
式，找出分界点是解本题的关键．
3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为 ，
，将线段 向上平移12个单位，再向右平移9个单位，得到线段 ，点A、B的对应点分别是点
C、D．
(1)点C 的坐标为 ；点D 的坐标为 ；
(2)如图1，连接 、 、 ， ，点P 从A出发，以每秒3个单位的速度沿
向终点D匀速运动，设运动时间为t秒，连接 ，设 的面积为S，求S与t的关系式（不
要求写出t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，当点 P在线段 上且 时，连接 ，过点P作 交 于点 Q，点
E是直线 上一点，连接 、 ，若 的面积为136时，求点E的坐标．
【答案】(1) ，
(2)当点P在 上时， ；当点P在 上时，(3) 或
【知识点】由平移方式确定点的坐标、函数解析式、坐标与图形
【分析】（1）根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加写出点C、D的坐标即可，
（2）分点P在 ， 上讨论即可；
（3）根据 的面积求出点P的横坐标，结合 ，求出Q的横坐标，根据中点坐标公式求出线
段 的中点坐标，则可求Q的坐标，然后利用割补法求出 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵点A、B的坐标分别为 ， ，将线段 向上平移12个单位，再向右平移9
个单位，得到线段 ，点A、B的对应点分别是点 C、D，
∴点C 的坐标为 ；点D 的坐标为 ，
故答案为： ， ；
（2）解：当点P在 上时，如图，
∵点C 的坐标为 ，点A、B的坐标分别为 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当点P在 上时，如图，
，
综上，当点P在 上时， ；当点P在 上时， ；（3）解：∵点 P在线段 上且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵平移，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴Q的横坐标为8，
∵点A、D的坐标分别为 ， ，
∴线段 中点坐标为 ，即 ，
∵Q在 上，
∴Q的坐标为 ，
∵ 的面积为136，
∴ ，
∴ ，
∴E的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了平移的性质，坐标与图形，三角形的面积，中点坐标公式等知识，明确题意，合理分
类讨论是解题的关键．
【类型二 三角形平移的综合问题】
例题：（2024·河北唐山·二模）如图，直线l上摆放着两个大小相同的直角三角尺，它们中较大锐角的度数
为 ．将三角尺 沿直线l向左平移到图中三角形 的位置，使点E的对应点 落在 上，P为
与 的交点．(1)求 的度数；
(2)试说明： ．
【答案】(1)
(2)详见解析
【知识点】利用平移的性质求解、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查的是平行线的性质，平移的性质，熟记平移的性质并灵活应用是解本题的关键；
（1）证明 ，可得 ；
（2）由平移的性质可得 ，再结合平行线的性质可得结论．
【详解】（1）解：由题意，得 ，
由平移的性质，得 ，
∴
（2）由（1）得 ， ．
由平移的性质，得 ，
∴ ， ，
即 ．
∴ ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在直角三角形 中， ，将三角形
沿AB方向平移得到三角形 ．
(1)求 的度数．
(2)若 ，求CF的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平移的性质求解
【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形内角和定理，注意：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，
会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；②连接各组对应点的线段平行且相等．（1）根据平移可得，对应角相等，由 的度数可得 的度数；
（2）根据平移可得，对应点连线的长度相等，由 的长可得 的长．
【详解】（1）解： 在 中， ， ，
，
由平移得， ；
（2）解：由平移得， ，
， ，
，
．
2．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，在三角形 中， ， ， ．将三角
形 沿 向右平移，得到三角形 ， 与 交于点 ，连接 ．
(1)分别求 和 的度数；
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积；
(3)已知点 在三角形 的内部，三角形 平移到三角形 后，点 的对应点为 ，连接 ．
若三角形 的周长为 ，四边形 的周长为 ，请直接写出 的长度．
【答案】(1) ，
(2)10
(3)
【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、利用平移的性质求解
【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
（1）由平移的性质可得 ， ， ， ，由两
直线平行同位角相等可得 的度数，由两直线平行内错角相等可得 ，然后根
据 即可得出 的度数；
（2）由平移的性质可得 ，结合 可得 ，再利用三角形的面积公式
即可求出图中阴影部分的面积；
（3）由平移的性质可得： ， ，依题意得 ，
，即 ，进而可得 ，即 ，据
此即可求出PP'的长度．【详解】（1）解：由平移的性质可得： ， ， ，
，
，
，
，
；
（2）解：由平移的性质可得： ，
∵ ，
，
又 ，
；
（3）解：由平移的性质可得： ， ，
的周长为 ，
，
又 四边形 的周长为 ，
，
即： ，
，
，
，
，
即：PP'的长度为6．
3．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知： ，在 中， ， ，点
在 上，边 在 上，在 中， ，边 在直线 上， ．
(1)如图1，求 的度数；
(2)如图2，将 沿射线 的方向平移，当点 在 上时，求 度数；
(3)如图3，将 沿射线 的方向平移到 的位置，若点 是 的中点， ，则平移
的距离为_______ ．
(4)将 在直线 上平移，当以 、 、 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出 度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) 或
【知识点】几何图形中角度计算问题、利用平移的性质求解、三角形内角和定理的应用、两直线平行同旁
内角互补
【分析】（1）根据平行线的性质可得 ，从而得出答案；
（2）根据三角形内角和定理首先求出 的度数，再根据 ，可得答案；
（3）设 ，则 ，根据平移的性质得 ，由 ，可得答案；
（4）分 或 两种情形，分别画出图形，从而得出答案．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ；
（2）由（1）知： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 度数为 ；
（3）∵点 是 的中点，
∴ ，
设 ，则 ，
∵将 沿射线 的方向平移到 '的位置， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（4）当 时，如图，
由（1）知： ，
∴ ，当 时，如图，
∵ ，
∴点 ， 重合，
∵ ，
∴ ，
由（1）知： ，
∴ ，
综上所述，当以点 ， ， 为顶点的三角形是直角三角形时， 度数为 或 ．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，平移的性质，三角形内角和定理，中点的定义，
角的和差关系等知识，得出 是解题的关键．
【类型三 长方形平移的综合问题】
例题：（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，长方形 ， ， ，若将该长方形沿
AD方向平移一段距离，得到长方形EFGH，试问：
(1)长方形 与长方形 的面积是否相等？
(2)将长方形 平移多长距离，能使两长方形的重叠部分 的面积是 ？
【答案】(1)
(2)
【知识点】利用平移的性质求解
【分析】本题主要考查了平移的性质：
（1）由平移的性质可得 ，据此根据图形面积之积的关系可得 ；
（2）由平移的性质可得 ，再根据长方形面积公式得到 ，则 ，据此可得答案．
【详解】（1）解：由平移的性质可得 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由平移的性质可得 ，
∵两长方形的重叠部分 的面积是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴将长方形 平移 ，能使两长方形的重叠部分 的面积是 ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图1，长方形 的边 在数轴上，O为原点，长方形
的面积为30， 边长为5．
(1)数轴上点A表示的数为__________；
(2)将长方形 沿数轴水平移动，移动后的长方形记为 ，移动后的长方形 与原长方形
重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S．
①当S恰好等于原长方形 面积的一半时，数轴上点 表示的数为__________；
②设移动距离 ．
ⅰ）当 时， __________；
ⅱ）D为线段 的中点，点E在线段 上，且 ，当点D表示的数是点E表示的数的2倍时，
求x的值．
【答案】(1)6
(2)①：3或9；②ⅰ）20；ⅱ）
【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、图形的平移
【分析】本题考查矩形的性质，数轴上点的特点；能够将数轴上的点与矩形的边长之间的关系联系起来是
解题的关键．
（1）由矩形的面积即可表示 点；（2）①分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，根据长方形面积公式求出 ，即可求解；
②ⅰ）分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，根据长方形面积公式求解即可；
ⅱ）分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，分别表示出D、E表示的数，然后列方程求解即可．
【详解】（1）解：长方形 的面积为30， 边长为5．
，
点表示6；
故答案为：6；
（2）解：当向左移动时，如图，
，
，
移动后的 表示3；
当向右移动时，如图，
，
又
，
移动后 表示9，
故答案为：3或9；
②ⅰ）当向左移动时，如图，
，
，
当向右移动时，如图，，
，
综上， ，
故答案为：20；
ⅱ）由题意知：
为线段 的中点，点E在线段 上，且 ，
， ，
当向左移动时，如图，
，
表示的数为 ，E表示的数为 ，
根据题意，得 ，
解得 （不符合题意，舍去）；
当向右移动时，如图，
，
表示的数为 ，E表示的数为 ，
根据题意，得 ，
解得 ；综上， ．
【类型四 线段绕某点旋转综合问题】
例题：（24-25九年级上·重庆梁平·期末）在等边三角形中，点D为边 上的一点，连接 ．
(1)如图1，若 ， ，求 的长．
(2)如图2将线段 绕点A顺时针旋转 到 ，连接 交 于点F．求证： ；
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】（1）如图所示，过点D作 于H，求出 ，得到 ，利用勾股
定理得到 ，再证明 ，得到 ，则
；
（2）如图所示，在 上截取 ，连接 交 于T，证明 ，得到
， ，证明 ，由旋转的性质可得 ， ，进而推出
， ，则 ， ，由此证明 ，得到 ，即可证
明 ．
【详解】（1）解：如图所示，过点D作 于H，
∵ 是等边三角形，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图所示，在 上截取 ，连接 交 于T
∵ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
由旋转的性质可得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，含30度
角的直角三角形的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是关键．
【变式训练】
1．（2024·重庆·一模）在 中， ，D是平面内一点，连接 ．将 绕点A逆时针旋转一
定角度α（ ），得到 ，且满足 ，连接 ．
(1)如图1， ，D是 边上一点，求 的度数；
(2)如图2，D是平面内一点，F是 的中点，连接 ．猜想 与 存在怎样的数量关系？写出你的结
论，并证明；
(3)在（2）的条件下，若 ，在直线 上存在一点M，使以点A，E，F，M为顶点的四边形是锐角
为 的菱形，请直接写出 的值．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
(3)
【知识点】角度问题(旋转综合题)、线段问题(旋转综合题)、等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问
题
【分析】（1）根据旋转的性质得到 ， ，由 ， ，得到
，进而推出 ，结合 ，证明 ，得到
，由 即可得出结果；
（2）延长 到M，使得 ，连接 ，推出 ，证明 ，得到
，即可得出结论；
（3）证明 为等边三角形，再证明 ，得到 ，由 ，当 为菱
形的边时，推出点M与点C重合，进而得到 ，即 ，根据 ，推出
， 点是 的中点，根据 ，同理，当 为菱形对角线时，根据，即可得出结果．
【详解】（1）解：旋转的性质得到 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
；
（2）解：延长 到M，使得 ，连接 ，
A是 的中点，
F是 的中点，
是 的中位线，
，
， ，
，即 ，
，
， ，
，
，，
；
（3）解：如图，
，
，
，
为等边三角形，
，
当 为菱形的边时，
四边形 是锐角为 的菱形，
， ， ，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
点M与点C重合，
，
，
，
，，
，
；
当 为菱形的对角线时，点M在点 处，
四边形 是锐角为 的菱形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
综上， ．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，中位线的性质定理，等边三角形
的判定与性质，菱形的性质，求正切值，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键．
2．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期中）在等腰直角三角形 中， ，过点 作 ，
为直线 上一动点，将射线 绕点 逆时针旋转90°，交直线 于点 ，连接 ．(1)如图①，当点 在线段 上时，线段 ， ， 之间的数量关系为________；
(2)当点 在 的延长线上时，如图②；当点 在 的延长线上时，如图③，线段 ， ， 之间又
有怎样的数量关系？请写出你的结论，并选择一种情况给予证明．
【答案】(1)
(2)当点 在 的延长线上时， ；当点 在 的延长线上时，
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质
求解
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出 ， ，推得 ，
根据旋转的性质得出 ，根据等角的余角相等得出 ，根据两个角和它们所夹的边
分别对应相等的两个三角形全等可证明 ，根据全等三角形的对应边相等得出 ，故
，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得出 ，即可得出
；
（2）当点 在 的延长线上时，根据等腰直角三角形的性质得出 ， ，推得
，根据旋转的性质得出 ，根据等角的余角相等得出 ，根
据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明 ，根据全等三角形的对应
边相等得出 ，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得出 ，故
，即可得出 ；当点 在 的延长线上时，根据等腰直角三角形
的性质得出 ， ，推得 ，根据旋转的性质得出 ，推
得 ，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明 ，
根据全等三角形的对应边相等得出 ，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得出
，故 ，即可得出 ；
【详解】（1）解：∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∵ ，
故 ，∵将射线 绕点 逆时针旋转90°，交直线 于点 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
故 ，
在 中， ，
即 ．
故答案为： ．
（2）解：当点 在 的延长线上时， ；
证明：∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∵ ，
故 ，
∴ ，
∵将射线 绕点 逆时针旋转90°，交直线 于点 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
故 ，即 ．
当点 在 的延长线上时， ，
证明：∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∵ ，
故 ，
∵将射线 绕点 逆时针旋转90°，交直线 于点 ，
∴ ，
故 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
故 ，
即 ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，
勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
3．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）如图，在 中， 是 中点，将线段AB绕点 顺时针旋
转 得到 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，且 ，连接 ．
(1)按题意补全图形，求证： ．
(2)若 ，设 与AB交于点 ，且点 为线段 的中点，连接 、CF．
直接写出 的度数 ；延长 、 交于点 ，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析；
(2) ； ，理由见解析．
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、根据旋
转的性质求解
【分析】 首先延长AD到 ，使 ，连接 ，则 ，利用 可证
，根据全等三角形的性质可证 ，利用 可证 ，根据全
等三角形的性质可证结论成立；
由 可知 ， ，利用 证明 ，根据全等三角形的性质
可证 ，
，所以可证 是等边三角形，根据等边三角形的性质可知 的度数；
由 可知 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得 ，根据 、
，把 、 、 用含 的式子表示出来，然后再利用四边形内角和
定理求出 的度数，再利用含30°角的直角三角形的性质得到线段 与 的数量关系．
【详解】（1）
证明：补全图形如图所示，
延长AD到 ，使 ，连接 ，则 ，
是 中点，
，
在 和 中， ，
，
， ，
根据旋转的性质可得： ， ，
，，
，
，
，
在 和 中， ，
，
， ，
；
（2）
解： 由 可知 ， ，
是 中点，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：60°；
，理由如下，
由 可知 是等边三角形，
，
，，
， ，
，
，
， ，
，
，
为直角三角形，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的
性质、四边形的内角和定理．解决本题的关键是利用倍长中线法作辅助线构造全等三角形，再利用全等三
角形的性质找边和角之间的关系．
【类型五 直角三角形绕点旋转综合问题】
例题：（24-25九年级上·全国·期中）已知 是一张直角三角形纸片，其中 ， ，
小亮将它绕点 逆时针旋转β后得到 ， 交直线 于点 ．
(1)如图1，当 时， 所在直线与线段 有怎样的位置关系?请说明理由．
(2)如图2，当 时，求 为等腰三角形时的度数．
【答案】(1)互相垂直，见解析
(2) 或 或
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据旋转的性质求解【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，应用分类讨论思想和等腰三角形
的性质是解决问题的关键；
（1）由旋转的性质可判断直线 与线段 垂直；
（2）根据旋转的性质得 ，分类讨论：当 时，根据等腰三角形的性质得
，即 ；当 时，根据等腰三角形的性质得 ，然后根据三
角形内角和可计算出 ，即 ；当 时，根据等腰三角形的性质得
，然后根据三角形内角和可计算出 ，即 ．
【详解】（1）解： 与 互相垂直，理由如下：
， ，
，
，
由旋转的特质，得 ，
，
，
与 互相垂直．
（2）解：根据旋转的性质得 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，
，
，
即 ；
当 时， ，
，
即 ．
综上所述， 的度数为 或 或 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知在 和 中，
，将 绕着点C旋转．(1)如图1，若线段 与线段 相交于点F， ，求证： ．
(2)如图2，连接 ，直线 交直线 于点G，若 是以 为腰的等腰三角形，求 的长．
(3)在 绕点C旋转过程中，试探究B，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角
形 的面积；若不能，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2) 为 或 ．
(3) 的面积为： 或 或 或 ．
【知识点】二次根式的除法、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解
【分析】（1）先证明 ，可得 ，再证明 ，可得 ，从而可
得结论；
（2）求解 ，证明 ， ，如图，当 时，证明
即可，如图，当 时，过 作 于 ，证明 ，求解 ，
再进一步可得答案；
（3）如图，当 时，过 作 于 ，交 于 ，过 作 于 ，证明
， ， 是 的垂直平分线，可得 ，进一步可得 ，求解
， ，从而可得答案；如图，当 ，此时 共线，
进一步求解面积即可，如图，当 ，过 作 ，而 ，同理： ，
，可得 ，进一步求解面积即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
如图，当 时，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图，当 时，过 作 于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上： 为 或 ．
（3）解：如图，当 时，过 作 于 ，交 于 ，过 作 于 ，∴ ， ，
由旋转可得： ，
∴ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同（2），可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图，当 ， ，
此时 共线，
∴ ，而 ，∴ ，
如图，当 ， ，
此时 共线，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
如图，当 ，
过 作 ，而 ，
同理： ， ，
由旋转可得： ，
∴ ，
∴ ，
综上： 的面积为： 或 或 或4．
【点睛】本题考查的是平行线间的距离，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，二次根式的运算，
等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关
键．
2．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）在 中， ， 是直角三角形，且 ．
将 绕点A逆时针旋转一定角度得到 ，其中点D的对应点是点G，连接 并延长交 于点
H，连接 ．(1)如图1，当点D在边 上时，求证 ；
(2)如图2，当点D在 内部时，直接写出 的大小，并证明．
【答案】(1)见解析
(2) ，证明见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、根据三线合一证明、根据旋转的
性质求解
【分析】（1）利用余角的性质得 ，证明 得 ，
，再用三角形的外角得到 ，即可证明结论成立；
（2）在 上截取 ，同（1）可证 ，最后利用等腰三角形三线合一可得结论．
【详解】（1）如图1，在 上截取 ，
∵ ，
∴ ，
∵把 绕点A逆时针旋转一定角度得到 ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图2，在 上截取 ，
同（1）可证 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了同角或等角的余角相等，三角形外角的性质，全等三角形的性质和判定，以及等腰三
角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图①，直角三角形 与直角三角形 的斜边在同一直线上，
， ， ， 平分 ，将 绕点 按逆时针方向旋转，
如图②，记 为 ，在旋转过程中：
(1)当 __________°时， ，当 ___________°时， ；
(2)如图③，当顶点C在 的内部时，边 、 分别交 、 的延长线于点M、N．
①求出此时 的度数范围；
② 与 的度数和是否变化？若不变，请直接写出 与 的度数和；若变化，请说明理由．
【答案】(1)4，94
(2)① ；② 与 度数的和不变为 ，理由见解析
【知识点】根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的
有关计算【分析】（1）当 时，则 ，得出 ，即可得出结果；当 时，
，如图，得出： ，即可得出结果；
（2）①由已知得出 ， ，推出 ，当点C在 边上时， ，解得
，当点C在 边上时， ，从而可得出结果； ②连接 ，由三角形内角和定理得出
，同理由三角形内角和定理得出 ，从而
可得出结论；
【详解】（1）解：∵ ，
∴当 时， ，
而 ，
∴ ，
解得： ；
当 时，则 ，如图，
此时 ， 而 ，
∴ ，
解得： ；
故答案为：4，94．
（2）①∵ ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
当点C在 边上时， ，
解得： ，
当点C在 边上时， ，
∴当顶点C在 内部时， ；
② 与 度数的和不变； 理由如下：连接 ，如图所示：在 中，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
即 ，
∴ ；
即 ．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的有关计算、三角形内角和定理、旋转的性质知识，合理选
择三角形后利用三角形内角和定理建立等量关系是解决问题的关键．
【类型六 等腰直角三角形绕点旋转综合问题】
例题：（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知 和 是两个全等的等腰直角三角形，
．
(1)如图1， 和 分别与边 交于点 ，过点 作 ，且使 ，连接 ，求证：
① ；
② ；
(2)如图2， 与边 交于点 ， 与 的延长线交于点 ，请探究 和 之间的数量关系，
并说明理由．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2) ，证明见解析
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】（1）①由 是等腰直角三角形和 ，可以得到 ， ，
，得到 ，由 可以证明 ；
②由①知 ，则 ， ，证明 ．再证明
，则 ，在 中， ，根据勾股定理，得
，等量代换后即可得到结论；
（2）将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，则 ，由旋转性质可得 ，，证明 ，即可得到 ， ，可得
，由勾股定理可得 ，等量代换后即可得到结论．
【详解】（1）证明：①∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ．
②由①知 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，由勾股定理得 ，
∴ ．
（2）解： ，证明如下：
如图，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，则 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，
添加辅助线构造全等是解题的关键．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·吉林·期中）已知： 和 都是等腰直角三角形， ．
(1)如图①E在 上，点D在 上时，线段 与AD的数量关系是______，位置关系是______；
(2)把 绕点C旋转到如图②的位置，连接 ，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)在 绕点C在平面内旋转过程中，若 ， ，当A，E，D三点在同一直线上时，则
AE的长是______．
【答案】(1) ，
(2)成立，理由见解析；
(3) 或
【知识点】化为最简二次根式、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出 ， ，得出 ，再用 ，即
可得出结论；
（2）先由旋转的性质得出 ，进而判断出 ，得出 ，
， 与 交于 ， 与 交于 ，利用全等的性质和对顶角相等进而得出
，即可得出结论；（3）分两种情况，①当点 在线段 上时，过点 作 于 ，求出 ，再
用勾股定理求出 ，利用线段的加减即可得出结论；
②当点 在线段 上时，过点 作 于 ，求出 ，再由勾股定理求出根据勾股
定理得 ，利用线段的加减即可得出结论．
【详解】（1）解： 和 都是等腰直角三角形，
， ，
，
，
点 在 上，点 在 上，且 ，
，
故答案为： ， ；
（2）成立．理由如下：
如图②， 与 交于 ， 与 交于 ，
由题意可知： ，
，
，
在 与 中，
，
，
， ，
又 ， ，
在 中，
，
，
，所以（1）中的结论仍然成立；
（3）当点 在线段 上时，如图③，过点 作 于 ，
是等腰直角三角形，且 ，
，
，
，
在 中， ，
，
；
②当点 在线段 上时，如图④，过点 作 于 ，
是等腰直角三角形，且 ，
，
，
，
在 中， ，
，
，
综上， 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
2．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）已知 和 都是等腰直角三角形， ．
(1)如图1：连 ，求证： ；
(2)如图1：求证： ；
(3)若将 绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段
与 交点为H，若 ，求出线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) 或
【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综
合（SAS）
【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得到， ， ，得到
，即得 ；
（2）设直线 与直线 交于点C，根据 ，得到 ，根据三角形外角性质
得到 ，即得 ；
（3）根据等腰直角三角形性质得到 ，根据 ， ，点A，M，N恰好在同一条直
线上，得到 ，得到 ，根据勾股定理得到 ，即得 ．
【详解】（1）∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
（2）设直线 与直线 交于点C，
由（1）知， ，
∴ ，
∴，
∴ ；
（3）∵ ，
∴ ，
由（2）知， ，
∵ ，点A，M，N恰好在同一条直线上，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
或 ．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和全等三角形综合．熟练掌握等腰直角三角形性质，全等三角形
的判定和性质，三角形外角性质，旋转性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键．
3．（23-24八年级上·海南儋州·期末）如图1，把两个大小不同的等腰直角三角形 ， 如图所示
摆放，使得点D、A、B在同一直线上，连结 ， ．(1)求证： ；
(2)如图2，将 绕着点A顺时针旋转某个角度后，使得点B、C、E在同一直线上， 与 交于点
O．
①求证： ；
②求证： ；
③连结 ，如图3，若 ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析；③1
【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、根据等边对等角证明、二次根式的乘法
【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明 即可；
（2）①先证明 ，即可证明 ，②如图，由 可得
，再结合角的和差运算可得结论；③证明 ，求解
如图，过点A作 于点F，求解 ， ，
再利用割补法求解面积即可．
【详解】（1）证明：∵ 和 是等腰直角三角形
∴ ， ，
在 和 中，
∴ ；
（2）①∵ ，
∴
即
在 和 中，
∴ ，
②如图，∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
又∵
∴ ，
∴ ，
∴
③∵ ，
∴
又∵ ，
∴
又∵ ，
∴
如图，过点A作 于点F，
又∵ 是等腰直角三角形
∴ ，
∴
∴在 中，
∴
∴【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，二
次根式的乘法运算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
【类型七 等边三角形绕点旋转综合问题】
例题：（24-25八年级上·浙江杭州·期中）（1）如图1，已知点B、A、D在同一条直线上， 和
都是等边三角形，连结 、 交于点O，且分别交 、 于点F、G．求证： ；
（2）若将图1中的 绕点A旋转，得到图2，使得点B、A、D不在同一条直线上， 和 都
是等边三角形， 的度数变化吗？若不变，请求出 的度数；若变化，请说明理由；
（3）如图3，在 中， ， ， ，以 为边向外作等边 ，直接写出
的长．
【答案】（1）见解析；（2） 的度数不变， ；（3）
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质
求解
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到 ， ， ，求得
，根据全等三角形的判定定理得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到 ， ， ，求得 ，根
据全等三角形的性质得到 ，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（3）以 为边在 的外部作等边三角形 ，得到 ， ，由（2）知，
，根据全等三角形的性质得到 ，过E作 交 的延长线于F，根据直角三
角形的性质得到 ， ，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 与 中，
，∴ ；
（2）解： 的度数不变，
∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：以 为边在 的外部作等边三角形 ，
∴ ， ，
由（2）知， ，
∴ ，
过E作 交 的延长线于F，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，含30度角直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．明确题意，添加合适的辅助线，构造等边三角形和全等三角形是解题关键．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·河南周口·期中）（1）问题发现
如图1， 和 都是等边三角形，点B，C，D在同一直线上，连接 ，直线 与 相交
于点F．填空：
①线段 与 之间的数量关系为_________；
② 的度数为_________．
（2）拓展探究
当 绕点C逆时针旋转到图2的位置时，（1）中的两个结论是否还成立？请根据图2的情形给出证明．
（3）问题解决
已知 ， ，若 绕点C逆时针旋一周，当点E位于线段 的垂直平分线上时，请直接
写出 的面积．
【答案】（1）① ，②60°；（2）成立，见解析；（3） 的面积为 或 ．
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质、根据旋转的性
质求解
【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时
证明三角形全等是关键．
（1）利用等边三角形的性质证明 ，结合三角形的外角就可以得出结论；
（2）同（1）中方法证明 ，得出 ， ，再根据三角形的内角和得出
；
（3）分两种情况讨论，画出图形，利用线段垂直平分线的性质，根据三角形的面积公式，即可得出结论．
【详解】（1）解： 是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
即 ，
在 和 中，，
，
， ，
，
且 ，
；
（2）（1）中结论仍成立，
是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
即 ，
，
， ，
，
且 ，
；
（3）分两种情况讨论，
①如图，由（2）知 ，
∴ ，
∵点E位于线段 的垂直平分线上，∴ ， ，
∴ ，
∴ 在同直线上，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的面积为 ；
②如图，由（2）知 ，
∵点E位于线段 的垂直平分线上，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴点D也在线段 的垂直平分线上，
∴ ，
∴ 的面积为 ；
综上， 的面积为 或 ．
2．（23-24八年级上·四川眉山·期末）问题发现：如图1， 是等边三角形，点 是边 上的一点，
过点 作 交 于 ，则线段 与 有何数量关系？
拓展探究：如图2，将 绕点A逆时针旋转角 ，上面的结论是否仍然成立？
如果成立，请就图中给出的情况加以证明．问题解决：如果 的边长等于 ， ，直接写出当 旋转到 与 所在的直线垂直时
的长．
【答案】问题发现： ；拓展探究：仍成立，理由见详解；问题解决： 的长为 和7．
【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质
【分析】问题发现：如图1，由平行线分线段成比例定理可得： ；
拓展探究：如图2，证明 ，得 ；
问题解决：分两种情况：①如图3，在直角三角形中，根据 角所对的直角边等于斜边的一半求出 ，
由勾股定理求出 ，得出 ，从而计算出 的长．
②如图4，求 的长和 的长，根据勾股定理在 中求 的长，所以 ．
本题考查了三角形的几何变换，掌握等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【详解】解：问题发现：如图1， ，
理由是：
是等边三角形，
，
，
，
；
拓展探究：结论仍然成立，
由图1得， 是等边三角形，
，
由旋转得： ，
∵
，
；
问题解决：当 旋转到 与 所在的直线垂直时，有两种情况：
①如图3，
是等边三角形， ，
，
，
过 作 ，垂足为 ，，
， ，
，
，
．
②如图4，同理得： ，
，
是等边三角形，
，
， ，
，
，
，
，
在 中， ，
，
综上所述， 的长为 和7．
