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第 03 讲 中心对称与简单的图案设计
课程标准 学习目标
1.掌握中心对称图形及中心对称的概念；理解他们的区别和联系，并会
①中心对称图形 判别出图形是否为中心对称图形；
②画中心对称 2.会画出给定条件的旋转对称图形或中心对称图形，会画出已知图形关
③图案设计 于已知点成中心对称的图形；
3.能利用平移和旋转设计简单的图案.
知识点01 中心对称
（1）中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这
两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
（2）中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图所示，△ABC与△A’B’C’关于点O对称.（3）中心对称与轴对称的区别与联系：
中心对称 轴对称
有一个对称中心 有一条对称轴
区别
图形绕对称中心旋转180° 图形沿对称轴翻折
旋转后与另一个图形重合 翻折后与另一个图形重合
联系 都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等
（4）中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形
中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形.
（5）确定对称中心的方法：
1.连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心；
2.连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心.
（6）中心对称作图
1.连接原图形的关键点与对称中心；
2.延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称
中心的距离相等；
3.将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形.
【即学即练1】
1．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图， 与 关于点 成中心对称，下列说法：
① ；② ；③ ；④ 与 的面积相等，其中正确的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【知识点】成中心对称、根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【分析】本题考查中心对称，根据“成中心对称的两个图形全等，对称点到对称中心的距离相等”即可判
断．
【详解】解： 与 关于点 成中心对称，
，
， ， 与 的面积相等，故①②④正确；
对称点到对称中心的距离相等，
，
故③正确；
综上可知，正确的有4个，
故选D．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点 ，
都在格点上．
(1)作出与 关于点 成中心对称的 ；
(2)连接 ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)8
【知识点】画已知图形关于某点对称的图形、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查了中心对称图形定义以及求三角形面积．
（1）根据题意结合中心对称图形定义，即可画出答案．
（2）根据图形结合三角形的面积公式即可求出答案．
【详解】（1）解：如图， 就是所要求作的三角形
．
（2）解： ．
知识点02 中心对称图形
（1）中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
（2）中心对称与中心对称图形的区别与联系：
中心对称 中心对称图形
针对两个图形 针对一个图形
两个图形位置上的关系 具有某种性质的一个图形
区别
对称点在两个图形上 对称点在一个图形上
对称中心在两个图形之间 对称中心在图形上或图形内部
如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称
联系
图形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．
【即学即练2】
1．（24-25九年级上·福建南平·期中）剪纸是中国最古老的民间艺术之一，被列入第一批国家非物质文化
遗产名录．以下几幅剪纸作品中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形的识别
【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重
合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是中心对称图形，故符合题意；
C、不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、不是中心对称图形，故D不符合题意．
故选：B．
知识点03 简单的图案设计
我们可以分别利用各种图形变换方法设计图案，也可以利用它们的组合进行图案设计.
(1)利用平移设计图案:先设计出基本图案，然后沿着一定的方向不断平移进行设计;
(2)利用轴对称设计图案:先设计出基本图案，然后通过不断翻折进行设计;
(3)利用旋转设计图案:先设计出基本图案，然后利用旋转知识，将基本图案绕着某点依次旋转进行设计;
(4)利用图形变换的组合设计图案:综合利用上面的图形变换进行图案设计.
【即学即练3】
1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图
中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影．(1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形．
(2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形．
（请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
【答案】(1)图见解析；
(2)图见解析；
【知识点】设计轴对称图案、 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案
【分析】本题考查了利用轴对称和中心对称设计图案，掌握轴对称和中心对称图形的概念是解题的关键．
（1）根据轴对称图形的定义画出图形，同时保证非中心对称图形即可（答案不唯一）；
（2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可（答案不唯一）；
【详解】（1）组成一个轴对称图形而非中心对称图形如图所示，
（2）组成一个中心对称图形而非轴对称图形如图所示，
题型01 中心对称与中心对称图形的相关概念
例题：若两个图形成中心对称，则下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大
小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转 后必与另一个图形重
合．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D【分析】根据中心对称的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：∵两个图形成中心对称，
∴①对应点的连线必经过对称中心，正确；
②这两个图形的形状和大小完全相同，正确；
③这两个图形的对应线段一定相等，正确；
④将一个图形绕对称中心旋转 后必与另一个图形重合，正确．
综上所述：正确共4个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称，熟记中心对称的性质和概念是解题的关键．中心对称图形的定义：把一个
图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，
这个点就是它的对称中心．
【变式训练】
1．关于成中心对称的两个图形，下列说法中正确的是（ ）
①一定形状相同；②大小可能不等；③对称中心必在图形上；④对称中心必在对应点的连线上
A．①③ B．③④ C．①④ D．①③④
【答案】C
【分析】①成中心对称的图形全等，进行判断即可；②成中心对称的图形全等，进行判断即可；③对称中
心不一定在图形上；④根据中心对称是旋转 ，进行判断即可．
【详解】解：①成中心对称的图形全等，因此一定形状相同；故①正确；
②成中心对称的图形全等，因此大小一定相等；故②错误；
③对称中心不一定在图形上；故③错误；
④成中心对称，是旋转 ，因此对称中心必在对应点的连线上；故④正确；
综上正确的为：①④；
故选C．
【点睛】本题考查中心对称．熟练掌握成中心对称的两个图形全等，是解题的关键．
2．下列命题：①成中心对称的两个图形不一定全等；②成中心对称的两个图形一定是全等图形；③两个
全等的图形一定关于某点成中心对称；④中心对称表示两个图形之间的对称关系，中心对称图形是指某一
个图形所具有的对称性质．其中真命题的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】①成中心对称的两个图形一定全等；②成中心对称的两个图形一定是全等图形；③两个全等的图
形不一定关于某点成中心对称；④中心对称表示两个图形之间的对称关系，中心对称图形是指某一个图形
所具有的对称性质．
【详解】解：①成中心对称的两个图形一定全等；故①为假命题；
②成中心对称的两个图形一定是全等图形；故②为真命题；
③两个全等的图形不一定关于某点成中心对称；故③为假命题；
④中心对称表示两个图形之间的对称关系，中心对称图形是指某一个图形所具有的对称性质．故④为真命题；
综上：真命题有2个；
故选B．
【点睛】本题考查判断命题的真假．熟练掌握成中心对称的两个图形全等，以及中心对称图形的定义，是
解题的关键．
题型02 中心对称图形的识别
例题：（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）下列四家银行的标志中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形的识别
【分析】本题考查了中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转 ，如果旋转后的图形与另一个
图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义是解题关键．根据中心对称图
形的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、不是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、不是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、是中心对称图形，则此项符合题意；
故选：D．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·山西大同·期中）窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品是中心对称图形，
但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解
题的关键．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B、是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项符合题意；
D、是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项不符合题意；
故选： C．
2．（24-25九年级上·吉林·期末）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九
号航天员乘组将在轨完成多项科学技术实验研究，包括出舱活动，并且首次将舱内智慧飞行器带到空间站．
下列有关航天的4个图标图案中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形的识别
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，掌握其概念，图形结合分析是解题的关键．
中心对称图形是指把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能够与另一个图形重合，则是中心对称轴图形，
由此即可求解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C ．
3．（24-25八年级上·山东烟台·期末）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析
即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图
形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合题意；
D．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选C．题型03 求关于原点对称的点的坐标
例题：（24-25九年级上·重庆巫山·期末）平面直角坐标系中，点 与点 关于原点对称，则点 的
坐标为
【答案】
【知识点】求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标的特征；根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数解答即
可．
【详解】解：点 与点 关于原点对称，则点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的特征，熟练掌握相关知识是解题关键．根据“平面直角坐标
系中任意一点 ，关于原点的对称点是 ，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解
答即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是 ．
故答案为： ．
2．（24-25九年级上·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是
．
【答案】
【知识点】求关于原点对称的点的坐标
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点 ，关于原点对称点的特性是横纵坐标变成相反数即可求出
答案．
【详解】解： 根据原点对称的点的坐标的特点，
点 关于原点对称的点的坐标是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系点的坐标对称，解题的关键在于熟练掌握相关坐标特性．
3．（24-25九年级上·北京西城·期末）在平面直角坐标系 中，点 关于原点的对称点是 ．
【答案】
【知识点】求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数。
根据“平面直角坐标系中任意一点 ，关于原点的对称点是 ，即关于原点的对称点，横纵坐
标都变成相反数”解答．
【详解】根据关于原点对称的点的坐标的特点，
∴点 关于原点过对称的点的坐标是 ．
故答案为：
题型04 已知两点关于原点对称求参数
例题：（24-25九年级上·广东韶关·期末）在平面直角坐标系中，点 与点 关于原点对
称，则 的值为 ．
【答案】 /
【知识点】加减消元法、求关于原点对称的点的坐标
【分析】根据坐标与原点对称得到横纵坐标互为相反数列出方程即可求解．
本题考查了坐标的对称特征：关于原点对称时横坐标、纵坐标都互为相反数；根据对称特征列方程组是解
题关键．
【详解】∵点 与点 关于原点对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点为 ，则
．
【答案】
【知识点】有理数的乘方运算、求关于原点对称的点的坐标
【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出 ， 的值是解题关键．直接利用两个点关于
原点对称时，它们的坐标符号相反，进而得出 ， 的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】解： 点 关于原点对称的点为 ，
， ，
则 ．
故答案为： ．2．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）若点 与点 关于原点对称，则
．
【答案】
【知识点】求关于原点对称的点的坐标
【分析】此题主要考查了关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，正确得出 ， 的值是解题关键．
直接利用关于原点对称点的坐标性质得出 ， 的值，即可求解．
【详解】解： 点 与点 关于原点对称，
， ，
则 ；
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）在平面直角坐标系中，已知点 与点 关于原点对称，则
．
【答案】
【知识点】求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题主要考查了两个点关于原点对称的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的两个点，横
坐标、纵坐标分别互为相反数．
根据两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标符号相反，进而可得 的值．
【详解】解： 点 与点 关于原点对称，
， ，
，
故答案为： ．
题型05 已知中心对称图形求对称中心的坐标
例题：（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中， 与
的顶点都在格点上，且 与 关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是
．
【答案】【知识点】判断中心对称图形的对称中心
【分析】本题考查了中心对称图形的性质，正确理解中心对称图形的性质是解题的关键．根据中心对称图
形中，对应点连线被对称中心平分，即得答案．
【详解】如图，连接 ， ，相交于点E，点E即为对称中心，
则对称中心点E的坐标是 ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图， 和 关于点P成中心对称，则点P坐标是
．
【答案】
【知识点】坐标与图形、判断中心对称图形的对称中心
【分析】根据图形找出 和 中一对对应点的坐标，则对应点连线的中点必为对称中心．
【详解】解：由图可知，点 ， ，
∴ 的中点坐标是 ，即 ，
则点P坐标是 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了中心对称图形，熟练掌握对称中心的求法是解题的关键．
2．（22-23九年级上·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系 中， 经过中心对称变换得到
，那么对称中心的坐标为 ．【答案】
【知识点】判断中心对称图形的对称中心
【分析】对应点连线的中点即时对称中心的坐标，以此来求解即可．
【详解】解： 的中点坐标是 ，
故答案是： ．
【点睛】本题考查了中心对称变换，掌握根据对应点找出对称中心的方法是求解的关键．
3．（23-24九年级上·河北·单元测试）如图，将 绕点 旋转 得到 ，设点A的坐标为
，则点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】判断中心对称图形的对称中心
【分析】本题考查中心对称，坐标与图形的性质等知识．根据将 绕点 旋转 得到 ，
可知这两个三角形关于 中心对称，设 ，利用中点坐标公式计算即可得到答案．
【详解】解：设 ，
由题意 ，即 为 的中点，
， ，则有 ，
解得 ，∴ ，
故答案为： ．
题型06 根据中心对称的性质求面积、长度、角度
例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图， 与 关于点 成中心对称，则下列结论中不
成立的是（ ）
A． B．
C．点 与点 关于点 对称 D．
【答案】B
【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质．根据中心对称的性质解决问题即可．
【详解】解： 与 关于点 成中心对称，
，点 与点 关于点 对称， ，
故A、C、D正确；无法根据已知条件得到 ，故 错误．
故选：B．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图， ， ， ， 与 关于点C
成中心对称，则 的长是 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、根据中心对称的性质求面积、长度、角度、利用二次根式的性质化简
【分析】此题主要考查了中心对称以及勾股定理，利用中心对称的性质得出 ， ，
再利用勾股定理得出 的长，即可得出答案．
【详解】解：∵ 与 关于点C成中心对称，
∴ ， ，
∴ ，∴在 中， ，
∴ ．
故答案为： ．
2．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中， 的两点的坐标分别为
、 ，将线段AB绕某点旋转 得到线段CD．若点 的对应点 的坐标为 ，则点
的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形、根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【分析】本题考查了坐标与图形，中心对称图形的性质，设旋转中心为点 ，点 的坐标为 ，利用
中点坐标公式可得 ，进而可求出点 的坐标，掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
【详解】解：设旋转中心为点 ，点 的坐标为 ，
∵将线段AB绕某点旋转 得到线段CD，点 的对应点 的坐标为 ，
∴点 的坐标为 ，即 ，
∵点 的对应点为点 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·山东德州·期中）如图， 是等腰三角形 的底边中线， ， ，
与 关于点C中心对称，连接 ，则 的长是 ．【答案】
【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，勾股定理，根据等腰三角形的性质可得 ，
，根据 与 关于点C中心对称，可得 ， ，
，再根据勾股定理可得 的长．理解相关图形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵ 是等腰三角形 的底边中线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 与 关于点C中心对称，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
题型07 画已知图形关于某点对称的图形
例题：（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在 的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作
图．
(1)如图1，作出 关于点O对称的 ；
(2)如图2， 旋转得到 ，标出旋转中心点P．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、画已知图形关于某点对称的图形
【分析】本题考查了作中心对称图形，利用图形旋转的性质作图，熟练掌握相关作图知识是解题的关键．
（1）作出点A关于点O的对称点D，连结 ， ，即得答案；
（2）图形旋转的性质，分别作 ， 的中垂线，两线的交点即为所求．
【详解】（1）解：如图， 就是所求作的三角形；（2）解：如图，点P就是所求作的点．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），
的顶点均在格点上，请结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
(1)作出 关于原点O成中心对称的 ，并直接写出点 的坐标；
(2)若 是由 绕着某点旋转得到的，则这个点的坐标为______．
【答案】(1)作图见解析，
(2)
【知识点】坐标系中的旋转、画两个图形的对称中心、画已知图形关于某点对称的图形
【分析】本题主要考查作图-旋转变换、旋转的性质、中心对称的性质等知识点，熟练掌握中心对称的性质
是解题的关键．
（1）根据中心对称的性质作图即可解答；
（2）如图：连接 ，并分别作线段 的垂直平分线，相交于点P，则 是由 绕着
点P逆时针旋转 得到的，然后得到点P的坐标即可．
【详解】（1）解：如图： 即为所求．由图可得： ．（2）解：如图：连接 ，并分别作线段 的垂直平分线，相交于点P，则 是由
绕着点P逆时针旋转 得到的，
∴这个点的坐标为 ．
故答案为： ．
2．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点 的坐标分别为
A(−2,0)， ， ．
(1)将 平移后得到 ，若点 对应的点 的坐标为 ，画出平移后的 ；
(2)画出 关于 轴对称的 ；(3)画出 关于原点 成中心对称的 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】画轴对称图形、画已知图形关于某点对称的图形、平移(作图)
【分析】此题考查了平移、中心对称、轴对称的作图．
（1）根据点 对应的点 的坐标为 ，得到平移规律，找到 平移后的对应点 ，顺次连接
即可得到答案；
（2）分别找到 关于 轴对称的对应点 ，顺次连接即可；
（3）分别找到 关于原点 成中心对称的对应点 ，顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）如图所示， 即为所求，
（3）如图所示， 即为所求，3．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图， 的顶点坐标分别为 ， ， ．
(1)画出 关于原点O中心对称的 ；
(2)将 向上平移3个单位得到 ，直接写出 顶点的坐标；
(3)点P 是 某条边上的一点，直接写出点P在 边上的对应点 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2) ， ，
(3)
【知识点】求关于原点对称的点的坐标、由平移方式确定点的坐标、画已知图形关于某点对称的图形、已
知图形的平移，求点的坐标
【分析】本题主要考查作图-平移变换，中心对称图形，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）先作出点A、B、C的对应点 、 、 ，然后顺次连接即可；
（2）根据平移的特点，直接写出 顶点的坐标即可；
（3）点P ，得出 上的对应点坐标为 ，然后再根据平移得出 的坐标即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求作的三角形．（2）解：∵ ， ， ， 与 关于原点对称，
∴ ， ， ，
∵将 向上平移3个单位得到 ，
∴ ， ， ；
（3）解：∵点P 在 上对应点的坐标为 ，
又∵将 向上平移3个单位得到 ，
∴点P在 边上的对应点 的坐标为 ．
题型08 在方格中补画图形使之成为中心对称图形
例题：（22-23九年级上·四川广安·期中）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网
格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上
阴影：
(1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（至少画出两种）
(2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（画出一种）
【答案】(1)见解析
(2)见解析【知识点】设计轴对称图案、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形
【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案、利用旋转设计图案，正确掌握相关定义是解题关键．
（1）直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案；
（2）直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案．
【详解】（1）解：如图所示（画出两种即可）：
（2）如图所示（画出一种即可）：
【变式训练】
1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均
为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中
按下列要求作图．
(1)在图①中，作 ，使E在格点上，且 与 成轴对称；
(2)在图②中，作 ，使E、F均在格点上，且 与 成中心对称；
(3)在图③中，作 ，使E、F均在格点上，且 是 绕着点B顺时针方向旋转 后的图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】画旋转图形、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形、画轴对称图形
【分析】本题考查了作图-旋转变换，轴对称，中心对称，解决本题的关键是掌握旋转变换，轴对称，中心
对称的性质．
（1）根据轴对称图形的特点作出图形即可；
（2）根据中心对称图形的特点作出图形即可；
（3）根据旋转对称图形的特点作出图形即可．
【详解】（1）解：如图①， 即为所作：（2）解：如图②， 即为所作：
（3）解：如图③， 即为所作：
2．（2024·贵州贵阳·一模）已知图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5
个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取小等边三角形涂上阴影：
(1)在图1中，选取2个小等边三角形，使得7个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．
(2)在图2中，选取3个小等边三角形，使得8个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】设计轴对称图案、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形
【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案以及利用旋转设计图案，正确掌握相关图形的性质是解题关
键．
（1）直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案；
（2）直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案．
【详解】（1）解：轴对称图形如图1所示；（答案不唯一）（2）解：中心对称图形如图2所示（答案不唯一）
3．（23-24七年级下·吉林长春·期末）图①、②、图③均是 的正方形网格．每个小正方形的顶点称为
格点，点 和 的顶点 、 、 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求
作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中， 的边 与网格线交于点 ，画出 ，使 与 关于 所在的直线
成轴对称，并确定点 的对称点 ．
(2)在图②中画出 ，使 与 关于点 成中心对称．
(3)在图③中，点 在网格线上，且不在格点上，在线段 上确定点 ，使 ．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【知识点】画轴对称图形、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形
【分析】本题考查作图-轴对称变换、中心对称，熟练掌握轴对称的性质、中心对称的性质是解答本题的关
键．
（1）根据轴对称的性质作图可得 与网格线的交点为点 ．
（2）根据中心对称的性质作图即可．
（3）连接 并延长，交 于点 ，则点 即为所求．
【详解】（1）解：如图， 和点 即为所求．（2）解：如图， 即为所求．
（3）解：如图，连接 并延长，交 于点 ，则点 即为所求．
一、单选题
1．（24-25九年级上·天津滨海新·期末）下列各点中与点 关于原点对称的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解答本题的关键．
关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得答案．
【详解】解：与点 关于原点对称的是 ．
故选：B．2．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）平行四边形、等边三角形、正方形、圆、长方形中，是轴对称图形
但不是中心对称图形的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿
对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 度后与原图重合．根据轴对称图形与中
心对称图形的概念求解．
【详解】解：平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，
等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，
正方形、长方形、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，
故选：A．
3．（24-25九年级上·甘肃定西·期末）剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，甘肃定西的剪纸艺
术是民间剪纸艺术的代表之一，它源远流长，古朴自然，寓意深刻，具有重要的民俗价值．在下列剪纸图
案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形的识别
【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能
够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所
以不是中心对称图形；
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：D．
4．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图， 与 关于点 成中心对称，连接 、 ，以下
结论错误的是（ ）
A．
B．C．
D． 与 关于点 成中心对称
【答案】B
【知识点】中心对称图形的识别、判断中心对称图形的对称中心、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查的是中心对称的性质，根据中心对称的性质逐一分析各选项即可．
【详解】解：∵ 与 关于点 O 成中心对称，
∴ ， ， ，故A不符合要求；B符合要求；
∵ ， ， ，
∴
∴ ，故C不符合题意；
∴ 与 关于点 成中心对称，故D不符合要求；
故选：B．
5．（2024·浙江湖州·模拟预测）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．已知如
图所示的“正方形”是由七块七巧板拼成的正方形（相同的板规定序号相同）．现从七巧板取出四块（序
号可以相同）拼成一个小正方形（无空隙不重叠），则无法拼成的序号为（ ）
A．②③④ B．①③⑤ C．①②③ D．①③④
【答案】A
【知识点】 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案
【分析】由题意画出图形可求解。
【详解】B选项拼图如下：
C选项拼图如下：D选项拼图如下：
故选：A．
【点睛】本题考查几何图形的想象能力，注意同一个序号的图形有两个时，两个都可以使用．
二、填空题
6．（24-25七年级下·全国·单元测试）若两个图形成中心对称，有下列说法：①对应点的连线必经过对称
中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中
心旋转 后必与另一个图形重合．其中正确的有 ．（填序号）
【答案】①②③④
【知识点】成中心对称
【分析】本题考查了中心对称图形的定义及性质，理解并掌握中心对称图形的定义和性质是解题的关键．
中心对称图形是指在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转 后，能与另一个图形重合，那么这两个图
形关于这个点成中心对称，这个点称为对称中心；成中心对称的两个图形全等；连接中心对称图形上每一
对对称点的线段都经过对称中心，且被对称中心平分；由此即可求解．
【详解】解：①对应点的连线必经过对称中心，正确；
②这两个图形的形状和大小完全相同，正确；
③这两个图形的对应线段一定相等，正确；
④将一个图形绕对称中心旋转 后必与另一个图形重合，正确．
∴正确的有①②③④，
故答案为：①②③④ ．
7．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标是 ，若
点 与点 关于原点 对称，则 ．
【答案】
【知识点】求关于原点对称的点的坐标、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号
相反特点求出 ， ，然后代入 进行求解即可，解题关键是掌握关于原点对称点的坐标规律．
【详解】解：∵点 与点 关于原点 对称，点 的坐标为 ，点 的坐标是 ，∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
8．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知 与 关于某点中心对称，若对称点 ，C的坐标分
别是 ， ，则对称中心的坐标是 ．
【答案】
【知识点】判断中心对称图形的对称中心
【分析】根据中心对称的性质，对应点连线的中点即为对称中心，据此求解．
【详解】解：∵对称点 ，C的坐标分别是 ， ，
∴对称中心的坐标是 ，即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化 中心对称，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
9．（2024·北京海淀·模拟预测）小明将图案 绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，
设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度 的最小值为 ．
【答案】60°/60度
【知识点】 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案
【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案的知识．根据旋转的定义确定两个对应点的位置，求得与 点
连线的夹角即可求得旋转角度．
【详解】解：如下图，当经过一次循环后点 旋转至点 的位置上，
∴ ．
故答案为： ．
10．（2024八年级上·甘肃兰州·专题练习）如图所示是一个坐标方格盘，你可操纵一只遥控机器蛙在方格盘上进行跳步游戏，机器蛙每次跳步只能按如下两种方式（第一种：向上、下、左、右可任意跳动 格或
格；第二种跳到关于原点的对称点上）中的一种进行．若机器蛙在点 ，现欲操纵它跳到点
，请问机器蛙至少要跳 次．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索、求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题考查了中心对称，根据题意得到可以先向右跳三步，再向下跳一步，然后跳到关于原点的对
称点即可到达，据此即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：若机器蛙在点 ，根据跳步游戏规则，可以先向右跳三步，再向下跳一步，然后跳到
关于原点的对称点即可跳到点 ，这个路径步数最少，共 步，
故答案为： ．
三、解答题
11．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图， 是 的边 上的中线．
(1)画出以点D为对称中心且与 成中心对称的三角形（不要求尺规作图）
(2)若 ， ，求 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】确定第三边的取值范围、画已知图形关于某点对称的图形、全等三角形的性质
【分析】本题考查了作中心对称图形，三角形三边关系，全等三角形的性质；
（1）延长 到 ，使 ，连接 ，则 即为所求；
（2）根据中心对称的性质得出 ，得出 ， ，再根据三角形三边关系
求解即可．【详解】（1）解：如图所示的 即是符合条件的三角形．
（2）解：由（1）知， 和 关于点D对称，
由中心对称的性质可知： ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，即
∴ ，
即 ．
12．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）图1和图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，已有两个小菱形
涂上了阴影，请你在图1中再将1个小菱形涂上色，在图2中再将3个小菱形涂上色，使两个图形中的涂
色部分均为中心对称图形．（两个图形中各补出一种情况即可）
【答案】见解析
【知识点】中心对称图形的识别
【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义画出图形即可．
【详解】如图所示．
如图所示．
13．（23-24九年级上·河北保定·期中）如图，D是 边 的中点，连接 并延长到点E，使，连接 ．
(1) 和 ___________成中心对称；
(2)已知 的面积为4，则 的面积是 ___________．
【答案】(1)
(2)8
【知识点】根据三角形中线求面积、中心对称图形的识别
【分析】本题考查了中心对称图形及三角形的中线，掌握中心对称图形及三角形的中线的性质是解题的关
键．
（1）根据点A和点E成中心对称，C点和点B成中心对称，即可求解；（2）根据 是 的中线，
得到 ，根据D是 边 的中点，得到 ，
【详解】（1）根据中心对称图形的性质可得；
和 成中心对称，
故答案为： ；
（2）由（1）得： 和 成中心对称，
∴线段 是 的中线，
∴ ，
∵D是 边 的中点，
∴ ，
故答案为：8．
14．（24-25九年级上·广西防城港·期中）已知：如图，在同一平面内， 和 关于点 对称．
(1)请在图中画出 ；
(2)指出图中的对称中心是哪个点？
(3)若点 是平面直角坐标系的原点，且点 的坐标为 ，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1)见解析(2)点
(3)
【知识点】画已知图形关于某点对称的图形、求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题考查了作中心对称图形和关于原点对称的点坐标变化规律，
（1）根据对称点所连线段都经过对称中心．而且被对称中心平分即可作图；
（2）由对称中心定义即可得出结论；
（3）根据关于原点对称的点横纵坐标均为原坐标相反数即可得出答案．
【详解】（1）解：如图， 为所求．
（2）如图，点 即是对称中心；
（3）点 的坐标为 ， 是点 关于原点的中心对称；
∴
15．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，
的顶点均在格点上．
(1)将 绕点A顺时针旋转 ，得到 （点 ， 分别是B，C的对应点），在图中画出
；
(2)在图中画出 关于点O中心对称的 （点 ， 分别是B，C的对应点），点 的坐标是 ；
(3)在（1）、（2）的基础上，我们发现点 ， 关于某点中心对称，则对称中心的坐标是 ．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析，点 的坐标是(3)(2,0)．
【知识点】画旋转图形、画已知图形关于某点对称的图形、判断中心对称图形的对称中心、求关于原点对
称的点的坐标
【分析】本题考查旋转作图，中心对称，点的坐标，熟练掌握利用旋转的性质作图是解题的关键．
（1）根据旋转的性质，分别是作出点A、B、C旋转后的对应点 ，再连接即可；
（2）根据中心对称的性质，分别是作出点 绕点 逆时针旋转 后的对应点 ，再连
接 即可，根据点 位置，写出点 坐标即可；
（3）连接 ，交 轴于 ，根据中心对称的性质，求出 的中点 的坐标即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求作的三角形；
（2）解：如图， 即为所求作的三角形；
由 的位置可得：点 的坐标是 ；
（3）解：如图，连接 ，交 轴于 ，由图可得： 为对称中心，坐标为(2,0)．
17．如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标为 ， ， ， 各顶点的坐标
为 ， ， ．
(1)在图中作出 关于 轴对称的图形 ；
(2)若 与 关于点 成中心对称，则点 的坐标是______；
(3)在 轴上找一点 ，使得 最小，并写出 点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果）
【答案】(1)作图见解析
(2)
(3)作图见解析，
【分析】（1）由题意确定点 ， ， 的位置，再连线即可；
（2）根据中心对称的性质求解即可；
（3）作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴的交点即为所求的点 ．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解： 由 与 关于点 成中心对称，如图所示，则 与 是对称点，
， ，
点的横坐标为 ，纵坐标为 ，即点 的坐标为 ，
故答案为： ；
（3）解：如图所示：
点 即为所求， ．
【点睛】本题考查作图 轴对称变换、轴对称 最短路线问题、中心对称，熟练掌握轴对称与中心对称的
性质是解答本题的关键．
18．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两
点 ， 、 ， 的对称中心的坐标为 ， ．
观察应用：(1)如图，在平面直角坐标系中，若点 、 的对称中心是点 ，则点 的坐标为 ；
(2)另取两点 、 ．有一电子青蛙从点 处开始依次关于点 、 、 作循环对称跳动，即
第一次跳到点 关于点 的对称点 处，接着跳到点 关于点 的对称点 处，第三次再跳到点 关于点
的对称点 处，第四次再跳到点 关于点 的对称点 处， 则点 、 的坐标分别为 、 ．
拓展延伸：
(3)求出点 的坐标，并直接写出在 轴上与点 ，点 构成等腰三角形的点的坐标．
【答案】(1)点 的坐标为
(2) 、 的坐标分别为 ， ；
(3) ； 或 或 或 ．
【分析】（1）直接利用题目所给公式即可求出点A的坐标；
（2）根据题目所给公式求出 ， ， 的坐标，依此类推即可求出 的坐标；
（3）根据所求出的坐标可得 的坐标和 的坐标相同， 的坐标和 的坐标相同，即每6次为一个周期
进行循环，利用这个规律即可求出点 的坐标；然后分情况讨论，根据等腰三角形的性质求出在 轴上
与点 ，点 构成等腰三角形的点的坐标．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴点 的坐标为 ；
（2）解：∵ ， ，
∴ 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即 ，
∵ ，
∴ 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即 ，
∵ ，
∴ 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即 ，同理可得： ， ， ， ，
即点 、 的坐标分别为 ， ，
故答案为： ， ；
（3）解： ， ， ， ， ， ， ，
；
的坐标和 的坐标相同， 的坐标和 的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环，
，
的坐标与 的坐标相同，即 ；
∴ ，
设 轴上与点 、点 构成等腰三角形的点为点D，
当 时，点D坐标为 或 ；
当 时，
∵ ，
∴ ，点D坐标为 ；
当 时，点D在 的垂直平分线上，
∴点D与原点重合，点D坐标为 ；
综上，在 轴上与点 、点 构成等腰三角形的点的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，中心对称的性质，规律型—点的坐标，等腰三角形的判定和性质，勾股
定理等知识，此题是一个阅读材料的题目，读懂题目，灵活运用题目所给公式是解题的关键．
