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第 02 讲 图形的旋转
课程标准 学习目标
1．掌握旋转的概念，了解旋转中心，旋转角，旋转方向，对应
①旋转的概念
点的概念及其应用；
②旋转的性质
2．掌握旋转的性质，应用概念及性质解决一些实际问题；
③旋转作图
3．能够根据旋转的性质进行简单的旋转作图．
知识点01 旋转的概念（1）旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换.
点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角；
图形上点P旋转后得到点P’，这两个点叫作对应点.
（2）旋转三要素：①旋转方向；②旋转中心；③旋转角度
注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上.
【即学即练1】
1．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）下列现象中属于旋转的有（ ）个．
①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】判断生活中的旋转现象
【分析】本题考查了生活中的平移．根据平移和旋转的定义对各小题分析判断即可．
【详解】解：属于旋转的有③④⑤⑥，共4个．
故选：C
2．（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，将三角形 绕点A逆时针旋转一定角度
后得到三角形 ，则下列说法错误的是（ ）
A． 为旋转角，大小为 B． 为旋转角，大小为
C． D．旋转中心为点A
【答案】C
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解
【分析】本题主要考查了旋转的性质，理解旋转角成为解题的关键．根据旋转的性质逐项判断即可．
【详解】解：∵将三角形 绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形 ，
∴旋转角为： ， ，旋转中心为点A，
根据网格可知： ，
∴ ，故A、B、D正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，故C错误，符合题意．
故选：C．知识点02 旋转的性质
旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与
旋转中心连线所成的角相等.
【即学即练2】
1．（24-25九年级上·宁夏固原·期中）如图，已知四边形 是正方形，E、F分别是 和 的延长线
上的点，且 ，连接 、 、 ．
(1)填空： 可以由 绕旋转中心点 ，按顺时针方向旋转 度得到；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1) ， ；
(2)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、找旋转中心、旋转角、对应点、根据
旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，解题的关键在于理解旋转前
后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
（1）证明 ，得到 ，再根据旋转的定义即可解题；
（2）利用正方形性质和勾股定理得到 ，由（1）可知， ， ，最后利用三角
形面积公式求解，即可解题．
【详解】（1）解： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
，
观察图形可知 可以由 绕旋转中心点 ，按顺时针方向旋转 度得到，
故答案为： ， ；
（2）解： 四边形 是正方形， ，
，，
，
由（1）可知， ， ，
的面积为 ．
知识点03 确定旋转中心
确定旋转中心：由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直
平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点.
【即学即练3】
1．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在正方形网格中， 绕某点旋转一定的角度得到
，则旋转中心是点 ．（填“ ”或“ ”）
【答案】
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点
【分析】本题考查了找旋转中心，根据网格的特点找到 的垂直平分线的交点，即为所求
【详解】解：如图所示， 的垂直平分线的交点为 ，点 即为旋转中心
故答案为： ．
2．（23-24九年级上·天津河西·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，
，将线段 绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段 （旋转后A
与D重合，B与C重合），则这个旋转中心的坐标为 ．【答案】
【知识点】坐标与图形、找旋转中心、旋转角、对应点
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，根据点的坐标建立平面直角坐标系，点的坐标，掌握确定旋转中
心的方法：连接对应点的线段的垂直平分线的交点是旋转中心是解题的关键．根据确定旋转中心的方法：
连接对应点的线段的垂直平分线的交点是旋转中心，作出旋转中心，由坐标系写出旋转中心的坐标即可．
【详解】解：如图所示，旋转中心的坐标为 ．
故答案为： ．
知识点04 旋转作图
旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向
旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形.
作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
（4）连接所得到的各对应点.
【即学即练4】
1．（24-25七年级上·上海宝山·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度， 三
个顶点均在格点上，位置如图所示．(1)将 先向右平移1个单位，再绕点 按顺时针方向旋转90°后得到 ，试画出 ；
(2)在（1）的基础上，连接 、 ，四边形 的面积是__________．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】平移(作图)、利用平移的性质求解、画旋转图形
【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移和旋转的性质作图即可；
（2）根据矩形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图, 即为所求．
（2）解：四边形 的面积是
故答案为： ．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图， 的三个顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格的格
点上，点O为 外一点．(1)将 先向右平移4个单位长度得到 ，作出平移后的图形；
(2)将 绕点O顺时针旋转 得到 ，作出旋转后的图形；
(3) 可以看作是 经过什么变换得到的？
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】平移(作图)、画旋转图形、找旋转中心、旋转角、对应点
【分析】本题考查了平移作图，画旋转图形，旋转的性质；
（1）根据平移的性质找到 的对应点 ，顺次连接，即可求解；
（2）根据旋转的性质找到 的对应点 ，顺次连接，即可求解；
（3）连结 交于一点 ，根据图形可得 可以看作是 绕点 顺时针旋转
得到，即可求解．
【详解】（1）解：平移后的图形 如图所示．
（2）旋转后的图形 如图所示．（3）如图，连结 交于一点 ，
可以看作是 绕点 顺时针旋转 得到．
题型01 判断生活中的旋转现象
例题：（2025八年级下·全国·专题练习）下列物体的运动不是旋转的是（ ）
A．坐在摩天轮里的小朋友 B．正在走动的时针
C．骑自行车的人 D．正在转动的风车叶片
【答案】C
【知识点】判断生活中的旋转现象
【分析】本题考查了生活中的旋转现象；旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋
转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键，根据旋转的定义解答即可．
【详解】解：A．坐在摩天轮里的小朋友，属于旋转，故不符合题意；
B．正在走动的时针，属于旋转，故不符合题意；
C．骑自行车的人，属于平移，故符合题意；
D．正在转动的风车叶片，属于旋转，故不符合题意；
故选：C．
【变式训练】1．（24-25九年级上·广西防城港·期中）下列运动形式属于旋转的是（ ）
A．荡秋千 B．射箭 C．立定跳远 D．晨跑运动
【答案】A
【知识点】判断生活中的旋转现象
【分析】本题考查了旋转“把一个平面图形绕平面内某一点 转动一个角度，叫做图形的旋转”，熟记旋
转的定义是解题关键．根据旋转的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、荡秋千，是属于旋转，则此项符合题意；
B、射箭，不属于旋转，则此项不符合题意；
C、立定跳远，不属于旋转，则此项不符合题意；
D、晨跑运动，不属于旋转，则此项不符合题意；
故选：A．
2．（24-25九年级上·浙江·期中）下列现象不是旋转的是（ ）
A．飞速旋转的电风扇 B．坐电梯从1楼到10楼
C．言言在荡秋千 D．关上教室门
【答案】B
【知识点】判断生活中的旋转现象
【分析】本题考查生活中的旋转现象，根据旋转的定义逐项判断，即可解题．
【详解】解：A、飞速旋转的电风扇，是旋转现象，不符合题意；
B、坐电梯从1楼到10楼，是平移现象，不是旋转现象，符合题意；
C、言言在荡秋千，是旋转现象，不符合题意；
D、关上教室门，是旋转现象，不符合题意；
故选：B．
3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）下列现象中不属于旋转的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断生活中的旋转现象
【分析】本题考查了判断生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的定义是解题的关键：旋转是围绕一点旋转一
定角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键．根据旋转的定义逐项分析判断即可得出答案．
【详解】
解：A. 属于旋转现象，故选项 不符合题意；
B. 属于旋转现象，故选项 不符合题意；
C. 属于旋转现象，故选项 不符合题意；
D. 属于平移现象，不属于旋转现象，故选项 符合题意；
故选： ．
题型02 找旋转中心、旋转角、对应点
例题：（23-24九年级上·河南新乡·期中） 是由 绕点C旋转得到的，且点D落在 边上，则
下列判断错误的是（ ）
A．旋转中心是点C B．
C． D．点D是 中点
【答案】D
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质说明线段或角相等
【分析】此题主要考查了旋转的性质．根据旋转的性质即可求解．【详解】解：∵ 是由 绕点C旋转得到的，且点D落在 边上，
∴旋转中心是点C， ， ，点D不一定 的中点，
∴A、B、C结论正确．
故选：D．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，将将 绕点 顺时针旋转一定角度得到 ，且点
落在线段 上
(1)旋转中心是点______，旋转角是________和_____；
(2)当旋转角为 时，求 的度数．
【答案】(1) ， ，
(2)
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解、等边对等角
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，
（1）根据旋转的性质即可得到结论；
（2）根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解： 将 绕点 顺时针旋转一定角度得到 ，
旋转中心是点 ，旋转角是 和 ，
故答案为： ， ， ；
（2） 将 绕点 顺时针旋转一定角度得到 ，
， ， ，
，
．
2．（23-24九年级上·天津·期中）如图，已知 为正方形 内一点， 经过旋转后到达 的位
置．(1)请写出旋转中心及旋转角的度数；
(2)若 ，求 的度数和 的长．
【答案】(1)旋转中心为点 ，旋转角的度数为90°；
(2) ， ．
【知识点】用勾股定理解三角形、找旋转中心、旋转角、对应点、全等三角形的性质、等腰三角形的性质
和判定
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理
（1）由旋转的性质可求解；
（2）由旋转的性质可得 ， ，由等腰直角三角形的性质以及勾股定理可求解．
【详解】（1）解： 经过旋转后到达 的位置，
∴旋转中心为点 ，旋转角的度数为90°；
（2） 经过旋转后到达 的位置
，
， ，
， ．
3．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，三角形 逆时针旋转一定角度后与三角形 重合，且点
在AD上．
(1)指出旋转中心；
(2)若 ， ，求出旋转的度数；
(3)若 ， ，则 的长是多少？为什么？
【答案】(1)旋转中心为点
(2)
(3) ，理由见解析
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用
【分析】（ ）结合图形找到旋转中心即可；
（ ）根据题意求得 的度数即可求得旋转角；
（ ）利用旋转的性质得到 ， 即可求得答案；
本题考查了旋转，三角形内角和定理，根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中
心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由图可得，旋转中心为点 ；（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴旋转的度数为 ；
（3）解：由旋转性质知： ， ，
．
题型03 根据旋转的性质求解
例题：（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，把 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到 ，点
落在边 上，若 ，则 °．
【答案】24
【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解、两直线平行内错角相等
【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，平行线的性质；先根据旋转得到 ，然后得到
的度数，然后根据平行线的性质得到 ，再根据角的和差解题即可．
【详解】解：由旋转可得 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：24．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·重庆巫山·期末）如图，在 中， ， ，将 绕点 按
逆时针方向旋转得到 ，此时点 恰好落在 边上，若点 与点 之间的距离为 ，则 的长
为【答案】
【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角
形
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，利用旋转的性质判定等
边三角形是解题的关键．
利用旋转的性质证出 为等边三角形，从而推出 为等边三角形，得到 ，即可通
过勾股定理求解．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵ 绕点 按逆时针方向旋转得到 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴∠ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
设 ，则 ，
∴在 中， ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
2．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，在 中， ， ，将 绕点 逆时针旋转
90°得到 ，当点 的对应点 恰好落在AB边上时，则 ， 的长为 ．【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、等边对等角
【分析】此题考查了旋转的性质以及勾股定理，先根据旋转的性质得出 ， ，
， ， ，根据等腰直角三角形的性质可得 ，进
而勾股定理求得 ，得出 ，进而在 中，勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵将 绕点 逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ，
连接 ，
在 中， ，
在 中，
∴ ，
在 中，
故答案为： ， ．
3．（24-25九年级上·天津武清·期末）如图，在 中， ， ， ，将 绕点
A逆时针旋转，使点C落在 边上的点E处，点B落在点D处，连接 ．
（1） 的长为 ；
（2） 的长为 ．【答案】 10
【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题关键．由勾股定理可得 ，由
旋转的性质，得出 ， ， ， ，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）在 中， ， ， ，
；
故答案为：10；
（2）由旋转的性质可知， ， ， ， ，
， ，
，
故答案为： ．
题型04 求旋转对称图形的旋转角度
例题：（24-25九年级上·辽宁营口·期末）2024年6月30日，由中国船舶自主研发的18兆瓦中速全集成海
上风电机组在营口华能仙人岛热电厂成功完成吊装，标志着创造风轮直径260米、单机功率18兆瓦“两个
全球第一”纪录的风电机组即将在我市投入商业化应用．如图所示的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来
的图案重合，则至少要旋转（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求旋转对称图形的旋转角度
【分析】本题考查了利用旋转设计图案，旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，
与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．该
图形被平分成 部分，因而每部分被分成的圆心角是 ，并且圆具有旋转不变性，因而旋转 度的整
数倍，就可以与自身重合．
【详解】解：如图所示的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转
故选：B．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图所示的剪纸图片旋转一定角度后与自身重合，则这个角度至少
是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求旋转对称图形的旋转角度
【分析】本题考查了求旋转对称图形的旋转角度．根据正五角形的对称性，用 除以 5 计算即可得解．
【详解】 ，
∴旋转的角度角度至少 ．
故选B．
2．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）把图中的风车图案绕着中心O旋转，旋转后的图案与原来的
图案重合，旋转角的度数至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求旋转对称图形的旋转角度
【分析】本题考查了旋转对称图形，即把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种
图形叫做旋转对称图形，旋转的角度叫旋转角．根据旋转对称图形的定义求解即可．
【详解】解：观察发现，该图形可以平分成四部分，即旋转 的整数倍，可与原来的图案重合，
旋转角的度数至少为 ，
故选：C．
3．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．如下图2中的图案
可以由图1中的基本图案以点 为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角 ，依次旋转四次形成，则旋转
角 的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【知识点】求旋转对称图形的旋转角度
【分析】本题考查了旋转和正多边形的外角．根据旋转后的图形可知，旋转后的图形内部是一个正五边形，
所以旋转角应为正五边形外角的正整数倍，然后判断选项即可．
【详解】解：由图可知旋转后的图形内部是正五边形，
∴ （ 且 为正整数），
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴不可能是 ，
故选：A．
题型05 求绕原点旋转90°点的坐标
例题：（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图，点 的坐标为(2,3)，将线段 绕点 顺时针旋转 ，点
的对应点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标
【分析】本题考查了旋转的性质．根据题意作 轴， 轴，证 即可求解．
【详解】解：如图所示：作 轴， 轴，
由题意得： ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 的坐标为 ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上， ，点A到x
轴的距离为4，将 绕点O逆时针旋转 ，得到 ，则点 的坐标是 ．
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质说明线段或角相等、用勾
股定理解三角形、求绕原点旋转90度的点的坐标
【分析】过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，先求出 ，再证明
，于是可得 ， ，从而求出点 的坐标．
【详解】解：如图，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
，
，点 到 轴的距离为4，
，
，
将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，
， ，
，
，，
，
， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化 旋转，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知
识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点A，B的坐标分别为 ， （），将 绕点
A按逆时针方向旋转 得到 ，则格点 的坐标 ．
【答案】
【知识点】画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标
【分析】本题考查了图形和坐标，旋转的性质．根据旋转定义作出图形即可解题．
【详解】解： 如图所示，
点 的坐标为 ，
故答案为： ．
3．（2023九年级·河南驻马店·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，直角三角板 的顶点C与原点
重合，直角边 放在x轴上， ，顶点 ，点M为 边的中点，将直角三角板 绕点
O旋转 后点M的对应点 的坐标是 ．【答案】 或
【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，分顺时针旋转90度和逆时针旋转90度两种情况，求出
A、B对应点的坐标，再根据两点中点坐标公式求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
①当线段 绕点 逆时针旋转 后点 的对应点为 ，
∴
∵点 为线段 的中点，
∴点 为线段 的中点，
点 的坐标 ．
②当线段 绕点 顺时针旋转 后点 的对应点为 ，如图，
同理可得点 的坐标 ．
综上所述：点 的坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．题型06 求绕某点（非原点）旋转90°点的坐标
例题：（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）在平面直角坐标系中， ，线段 的中点绕
旋转 后对应点的坐标为 ．
【答案】 或
【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定和性质，先求得线段 的中点 ，然后分
类讨论，画出图形，结合图形，即可求解．
【详解】解：∵ ，设 为 的中点，
∴ ，
如图所示，当 绕点 逆时针旋转 得到 ，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 即
当 绕 顺时针旋转 时，同理可得
故答案为： 或 ．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中， 由 绕点 旋转
得到，则点 的坐标为 ．【答案】
【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转中心在对应点连线的中垂线上，画出 的中垂线，得到点 的
横坐标，设出 点坐标，根据 ，列出方程进行求解即可．
【详解】解：∵ 由 绕点 旋转得到，
∴ ，
∵ ，
∴点 的横坐标为： ，
设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
故答案为： ．
2．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在直角坐标系中，已知 ， ．将线段
绕点A顺时针旋转 得到 ，则点B的坐标是 ．
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、
坐标与图形综合
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化 旋转，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
分别过点 和点 作 轴的垂线，垂足分别为 和 ，由旋转的性质可得 ， ，进而
可得 ，利用 可证得 ，然后利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：如图，分别过点 和点 作 轴的垂线，垂足分别为 和 ，
，
由旋转的性质可知， ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
又 ， ，
， ，
，
点 的坐标为 ，
故答案为： ．
3．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图， 的顶点坐标分别为 ， ， ．如果将
绕 点顺时针旋转 ，得到△ ，那么点 的对应点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，过点C作 轴，分别过
作直线 的垂线，垂足分别为D、E，则 ，由旋转的性质可得
，则可证明 ，再证明 得到
，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点 作 轴，分别过 作直线 的垂线，垂足分别为 、 ，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
题型07 求绕原点旋转一定角度的点的坐标
例题：（24-25九年级上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，点 先向右平移2个单位，再向上平移3
个单位，得到A点，再把A点绕原点旋转 得到B点，那么B点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】由平移方式确定点的坐标、求绕原点旋转一定角度的点的坐标
【分析】本题考查点的平移和中心对称的性质，设 ，由平移得 ，再利用旋转可得 ，
，即可得解．
【详解】解：设点 的坐标为 ，
点 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到A点，
∴ ，
把 点绕原点旋转 得到 点，∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·广东江门·期中）将含有 角的直角三角板 如图放置在平面直角坐标系中，
在x轴上，若 ，将三角板绕原点O逆时针旋转 ，则点A的对应点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、求绕原点旋转一定角度的点的坐标、化为最简二次根式、用勾股定理
解三角形
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，先由含
30度角的直角三角形的性质和勾股定理推出 ，由旋转的性质可得 ，
再求出 ，进而得到点 在y轴上，据此可得答案．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∴点 在y轴上，
∴点 的坐标为 ，
故答案为 ．
2．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，线段 与x轴正方向的夹
角为 ，且 ，若将线段 绕点O旋转 得到线段 ，则此时点 的坐标为 ．【答案】 或
【知识点】含30度角的直角三角形、求绕原点旋转一定角度的点的坐标、用勾股定理解三角形
【分析】过点 作 轴于点B，根据旋转的性质可得 ， ，利用平角的定义
得出 ，解直角 ，求出 ， ，进而得到点 的坐标．
此题考查的是旋转的性质，平角的定义，解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解决此题关键．
【详解】解：如图1，将线段 绕点O沿逆时针方向旋转 线段 ，
过点 作 轴于点B，
， ，
，
在直角 中， ， ，
，
∴ ，
点 的坐标为 ．
如图2，将线段 绕点O沿顺时针方向旋转 到线段 ，
过点 作 轴于点B，
， ，．
在直角 中， ， ，
，
∴ ，
点 的坐标为 ．
综上，点 的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
3．（2024·黑龙江牡丹江·一模）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限， ，
，将 绕点O旋转，使点B落在x轴上，则此时点A的坐标为 ．
【答案】 或
【知识点】含30度角的直角三角形、求绕原点旋转一定角度的点的坐标、等边对等角、用勾股定理解三角
形
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，等边对等角，勾股定理， 含30度角的直角三角形的性
质，分当点F在x轴正半轴时，当点F在x轴负半轴时，过点E作 于H，根据旋转的性质得到
，据此利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出点E的坐标
即可得到答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
设点A的对应点为点E，点B的对应点为F，
如图所示，当点F在x轴正半轴时，过点E作 于H，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
如图所示，当点F在x轴负半轴时，同理可得 ；
综上所述，当点B落在x轴上，此时点A的坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
题型08 平面直角坐标系中旋转作图
例题：（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为
1， 三个顶点的坐标分别为 ， ，
(1) 的长等于________．(2)请画出把 向左平移2个单位得 ，并写出点 的坐标；
(3)请画出把 绕原点 旋转 得到 ，并写出点 的坐标．
【答案】(1)
(2)见解析，
(3)见解析，
【知识点】平移(作图)、画旋转图形、已知两点坐标求两点距离、由平移方式确定点的坐标
【分析】本题考查作图 平移变换、旋转变换，熟练掌握平移、旋转变换的性质是解答本题的关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）将 三个顶点向左平移2个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可，然后写出坐标即可；
（3）作出A、B、C绕原点 旋转 得到的对应点 、 、 ，顺次连接即可，然后写出坐标即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ ；
（2）如图所示， 即为所求；
∴ ；
（3）如图所示， 即为所求；∴ ．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知 三个顶点的坐标分别为
， ， ．
(1)请画出 关于x轴对称的 ，并写出 ， ， 的坐标；
(2)将 绕点O逆时针旋转 得到 ，请画出 ，并写出 ， ， 的坐标．
【答案】(1)见解析， ， ， ；
(2)见解析， ， ，
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、求绕原点旋转90度的点的坐标、画旋转图形
【分析】本题考查的是作图-轴对称变换、旋转变换，掌握变换规律是解题的关键．
（1）由轴对称的性质先确定 的坐标，然后再描点、连线即可，再写出 ， ， 的坐标；
（2）由旋转的性质先确定 ， ， 的坐标，然后再描点、连线即可，再写出 ， ， 的坐标．
【详解】（1）解：如图， 即为所求； ， ，（2）解：如图， 即为所求； ， ， ．
2．（23-24九年级上·新疆哈密·期末）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别是
．
(1)将 以点B为旋转中心旋转 ，画出旋转后对应的 ；
(2)平移 ，若A的对应点 的坐标为 ，画出平移后的 ；
(3)若将 绕某一点旋转可以得到 ，请直接写出旋转中心的坐标．
【答案】(1)图见解析(2)图见解析
(3)
【知识点】平移(作图)、画旋转图形、已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【分析】本题考查坐标与图形的变换—旋转与平移：
（1）根据旋转的性质，画出 即可；
（2）根据平移的性质，画出 即可；
（3）根据旋转的性质，确定旋转中心即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）∵A的对应点 的坐标为 ，
故将 沿着 轴，向上平移4个单位得到 ；
如图， 即为所求；
（3）如图，点 即为旋转中心坐标为： ．3．（24-25九年级上·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ，
， ．
(1)将 绕点C顺时针旋转 得到 （点B的对应点是点 ），则 的坐标为 ；
(2)请画出 绕原点O顺时针旋转 后得到的 （点A，B，C的对应点分别是点 ， ，
）．
【答案】(1)
(2)画图见解析
【知识点】画旋转图形、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标
【分析】本题考查的是画旋转图形，求解旋转对应点的坐标；
（1）先画出 绕点C顺时针旋转 得到 ，再写出其坐标即可；
（2）分别确定 绕原点O顺时针旋转 后的对应点 ，再顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图， 即为旋转后的线段，∴ ．
（2）解：如图， 即为所求：
题型09 坐标与旋转规律问题
例题：（24-25九年级上·甘肃天水·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形 绕点O顺时针旋转
后，得到正方形 ，以此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形 ．如果点C坐标
为(0,2)，那么点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与旋转规律问题【分析】本题考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点 对应点的坐标，发现规律即可解决问题．
根据正方形的运动发现点 的对应点的坐标按旋转后点 的对应点的坐标按 ， ， ，
， ， ， ， 循环出现，据此即可得到答案．
【详解】解： 四边形 是正方形，且点C坐标为(0,2)，
点 的坐标为 ，则 ，
点 的坐标为 ，
依次类推，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，
由此可见，旋转后点 的对应点的坐标按 ， ， ， ， ， ，
， 循环出现，
由 ，得到点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 ，点 ，连接 ，
将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，再将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连
接 ，……，绕点 连续旋转24次得到线段 ，那么线段 的长度为 ．【答案】3
【知识点】坐标与旋转规律问题
【分析】根据旋转的性质，得到线段 每旋转4次，回到初始位置，即可求出旋转24次线段 的位置，
即可求解，
本题考查了，旋转的性质，坐标与图形，解题的关键是：熟练掌握旋转的性质．
【详解】解：由题意可得，线段 每旋转4次，回到初始位置，
∵ ，
∴线段 与线段 重合，点 与点 重合，
∴ ，
故答案为：3．
2．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，将 绕点A顺时针旋转到
的位置，点B，O分别落在点 ， 处，点 在x轴上，再将 绕点 顺时针旋转到 的位置，
点 在x轴上，将 绕点顺时针旋转 的位置，点 在x轴上……依次进行下去．若点
， ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】根据旋转的性质求解、坐标与旋转规律问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查坐标与图形的变化 旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发
现规律，利用规律解决问题．首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现， 、 、 ，由
图象可知点 在 轴上 ， ，根据这个规律可以求得 的坐标．
【详解】解：由图象可知点 在 轴上，
， ， ，
，
， ， ， ，
， ，
，，
．
故答案为: ．
3．（24-25八年级上·全国·期末）将 按如图方式放在平面直角坐标系中，其中 ，
，顶点 的坐标为 ，将 绕原点逆时针旋转，每次旋转 ，则第 次旋转结束时，
点 对应点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与旋转规律问题
【分析】本题主要考查图形的旋转规律，坐标与图形，掌握题中规律是解题的关键．根据
得 ，由 绕原点逆时针旋转，每次旋转 ，每旋转6次回到原位，
可知第2025次旋转结束时，相当于 由此位置旋转 ，进而可求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 绕原点逆时针旋转，每次旋转 ，每旋转6次回到原位，
∴ ，
∴第2025次旋转结束时，相当于 由此位置旋转 ，
∴第2025次旋转结束时，点 对应点与点A关于原点对称，
∴点 对应点的坐标为 ．
故答案为： ．
题型10 旋转综合题——几何变换
例题：（24-25九年级上·北京西城·期末）如图， 中， ， ，点 是边 上一点，
连接 ，将 绕点 旋转得到 ，点 ， ， 在同一条直线上，延长 交 于点 ．
(1)求 的度数；(2)若 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、等边对等角、三线合一
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是：
（1）根据旋转的性质得出 ，则 ，结合 可得出 ，
即可求解；
（2）根据全等三角形的性质得出 ， ，则可求出 ，
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出 ，则 ，根据等角对等
边可得出 ，然后根据三线合一即可得证。
【详解】（1）解：∵将 绕点 旋转得到 ，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
（2）证明：∵ ，
∴ ， .
∵ ，
∴ ，
∴ .
∵ 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ .
【变式训练】
1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图①，将一副直角三角尺中的两个直角叠放在一起，其中
， ， ， ，现按住直角三角尺 不动，将直角三角尺
绕点 按顺时针方向旋转，图②为旋转过程中的某一位置，当 三点再一次共线时停止旋转，记 ．
(1)当 时，求直线 与直线 相交所成角的大小；
(2)当 时，求k的值；
(3)当 时，求k的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】三角板中角度计算问题、根据旋转的性质求解、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，三角形外角的性质，旋转的性质，掌握旋转的性质，角的和
差计算是解题的关键．
（1）当 时， ，设直线 与直线 交于点 ，则有
，根据三角形外角的性质即可求解；
（2）根据题意，分类讨论：当 在 的左侧时， ，
；当 在 的右侧时， ，不符合题意；由此即可求解；
（3）当 在 的左侧时， 与 相交，所以当 时， 在 的右侧，
则 ， ，由此即可求解．
【详解】（1）解：当 时， ，设直线 与直线 交于点 ，
则直线 与直线 相交所成的锐角为 ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：当 在 的左侧时，∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ；
当 在 的右侧时， ，
∵当 三点再一次共线时停止旋转，
∴该种情况不符合题意．
（3）解：当 在 的左侧时， 与 相交，
∴当 时， 在 的右侧，
则 ，
∴ ，
∴ ，即 ．
2．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图1是一种装饰物件的摆动装置， 在地面上，支架 是底边
为 的等腰直角三角形，摆动臂 可绕点 旋转，摆动臂 可绕点 旋转， ，
．(1)在旋转过程中．
①当 、 、 三点在同一直线上时， 的长为 ；
②当 、 、 三点是同一个直角三角形的三个顶点时，求 的长．
(2)若摆动臂 由三角形 外顺时针旋转 到三角形内，点 的位置由 外的点 转到其内的点
处，连接 ，如图2，此时 ， ，求 的长．
【答案】(1) 或 ； 或 ；
(2) ．
【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、线段的和与差
【分析】（ ） 分当 在 上时和当 在 延长线上时两种情况，由线段和差即可求解；
当 为直角顶点时，当 直角顶点时，当 为直角顶点时三种情况，然后根据勾股定理即可求解；
（ ）连接 ，由旋转性质可知： ， ，证明 ，再根据“
”证明 ，则 ，再通过勾股定理求出 即可；
本题考查了线段和差，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关
键．
【详解】（1）解： ∵ 、 、 三点在同一直线上，
∴由题意可知，当 在 上时， ，
当 在 延长线上时， ，
故答案为： 或 ；
当 为直角顶点时， ；
当 直角顶点时， ；
当 为直角顶点时，不存在；
（2）解：如图，连接 ，
由旋转性质可知： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴由勾股定理得： ，
∴ ．
3．（24-25八年级上·山东东营·期末）【基础回顾】
（1）如图1，E是正方形 中 边上任意一点，以点A为中心，将 顺时针旋转 后得到
，若连接 ，则 的形状为 ；
【类比探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，设 与 相交于点P，在 上取点Q，使 ，连接 ，猜
想 与 的数量关系，并给予证明；
【联想拓展】
（3）如图3，在 中， ， ，点P在 上，求 ， ，
之间存在的数量关系．
【答案】（1）等腰直角三角形；（2） ，证明见解析；（3）
【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形
【分析】（1）由旋转的性质得到 ， ，结合正方形性质得到 ，即可解题；
（2）结合旋转的性质证明 ，利用全等三角形性质即可证明 与 的数量关系；
（3）将 逆时针旋转 后得到 ，连接 ，得到 是等腰直角三角形．再结合旋转的性
质和勾股定理求解，即可解题．
【详解】解：（1）由旋转的性质可知， ， ，
四边形 为正方形，
，
，
的形状为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）答： ，
证明： 将 顺时针旋转 后得到 ，， ．
又 ，
．
．
（3）将 逆时针旋转 后得到 ，连接 ，
则 是等腰直角三角形．
由旋转的性质可知： ， ．
，
，
．
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形性质，全等三角形性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，勾
股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
一、单选题
1．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带上的物品的移动；③
钟摆的运动；④荡秋千运动．属于旋转的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】判断生活中的旋转现象、生活中的平移现象
【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后求解．
【详解】解：①地下水位逐年下降，是平移现象；
②传送带上的物品的移动，是平移现象；
③钟摆的运动，是旋转现象；
④荡秋千运动，是旋转现象．属于旋转的有③④共2个．
故选：B．
2．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，将 绕点 逆时针旋转至 ，使 ，若
，则旋转角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角．也考查了平行线的性质．先根据平行线的性质得到 ，再根据旋转的性质得到
， 等于旋转角，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出 ，从而得到旋
转角的度数．
【详解】解： ，
，
绕点 逆时针旋转至 ，
， 等于旋转角，
，
，
即旋转角的度数是 ．
故选：B．
3．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）如图是中国共产主义青年团团旗，是中国共产主义青年团的象征和
标志．旗面为红色、象征革命胜利；左上角图案由黄色五角星和黄色圆圈组成、象征中国青年一代紧密团
结在中国共产党周围．如果将左上角图案绕某点 旋转角 后所得到的图形与原图形重合，则旋转角 的
值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求旋转对称图形的旋转角度【分析】本题考查旋转对称图形，熟知正多边形的对称性是解题的关键．
根据五角星的对称性即可解决问题．
【详解】解：由题知，若将五角星的五个外面的顶点连接起来，将得到一个正五边形．
∵ ，
∴当五角星绕其中心旋转 整数倍的度数后，会与原图形重合．
， ，
∴旋转角 的值不可能是 ．
故选：A．
4．（重庆市渝中区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，
绕旋转中心顺时针旋转 后得到 ，则旋转中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、坐标系中的旋转
【分析】本题考查了中心对称图形、点坐标与图形，熟练掌握旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的
垂直平分线上是解题关键．找出线段 和 的垂直平分线的交点即可得．
【详解】解：由题意可知，线段 和 的垂直平分线的交点即为旋转中心．
∵如图，线段 的垂直平分线为直线 ，线段 的垂直平分线是边长为3的正方形的一条对角线所
在直线，其与 轴的交点为 ，
∴旋转中心的坐标是 ，
故选：B．
5．（24-25九年级上·天津河北·期末）如图，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，点 的对应
点分别为点 ，若点 在一条直线上，连接 ，则下列说法正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：旋转前、后的图形全等．根据旋转的性质得到
，则 ， ，逐项进行推导即可得到答案．
【详解】解：由旋转可得， ，
∴ ，
又∵点 在一条直线上，
∴ ，
故选项A正确；
∵
∴ ∴
，
∴ 不一定成立，故选项B不成立，
∵ ， 不一定等于 ，
故选项C不正确；
无法证明 ，故选项D不正确；
故选：A
二、填空题
6．（24-25七年级上·上海·期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以
（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着 （填“顺”或“逆”）时针方向旋转 度．
【答案】 脚跟 顺 90
【知识点】判断生活中的旋转现象
【分析】本题考查了旋转的相关概念，掌握旋转的相关概念，结合生活经验解决问题是解题的关键．根据
旋转的相关概念，结合生活经验即可解答．
【详解】解：在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以脚跟为旋转中心，沿着
顺时针方向旋转90度．
故答案为：脚跟；顺；90．7．（23-24九年级上·重庆梁平·期末）如图，直线 与x轴、y轴分别交于A，B两点，把 绕
点A按逆时针旋转 后得到 ，则点 的坐标是 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化——旋转．利用一次函数图象上点
的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出 的长，结合旋转的性质，可得出 的长，
再结合点A的坐标，即可求出点B 的坐标．
1
【详解】解：当 时， ，
∴点B的坐标为 ，
∴ ；
当 时， ，
解得： ，
∴点A的坐标为 ，
∴ ．
由旋转可知： ，
∴点 的坐标是 ，即 ．
故答案为： ．
8．（2024九年级·全国·竞赛）将点 绕坐标原点按逆时针方向旋转 后得到点 ，点 的坐标是
．
【答案】
【知识点】求绕原点旋转一定角度的点的坐标
【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，等腰直角三角形的性质，作 轴于 ，由题意得
，由旋转的性质可得 ， ，则 ，从而得出 是等腰
直角三角形，即可得出 ，从而得出答案．
【详解】解：如图，作 轴于 ，， 点 的坐标为 ，
，
将点 绕坐标原点按逆时针方向旋转 后得到点 ，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
点 的坐标是 ，
故答案为： ．
9．（湖南省益阳市2024-2025学年上学期期末考试九年级数学试题）如图，在 中， ，
， ，将 绕点 顺时针旋转60°得到 ，点 ， 的对应点分别为 ， ，
延长 交 于点 ，则 的长为 ．
【答案】 /
【知识点】含30度角的直角三角形、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，由旋转可得 ，
， ，即得 ，进而得到 ，得到 ，再利
用勾股定理求出 即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：设 相交于点 ，
由旋转可得， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
10．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，三角形 的底边 与等腰直角三角形 的直角边
重合，保持三角形 不动，等腰直角三角形 绕直角顶点 按顺时针旋转，已知
，若在旋转的过程中，旋转角度不大于 且三角形 与三角形 有一条
边平行，则 的度数为 ．
【答案】 或 或 或
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质
【分析】根据顺时针方向，分 ， ， ， 计算解答即可．
【详解】解：∵ ，等腰直角三角形 ，
∴ ；
如图①中，当 时，
∴ ，
∴ ；②如图②中，当 时，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
③如图③中，当 时，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
④如图④中，当 时，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
综上所述，满足条件的 的值为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，分类思想，熟练
掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
三、解答题
11．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图， 经过旋转后到达 的位置，点 落在AB的延长线
上， ．(1)直接写出旋转中心；
(2)若 相交于点 ，求 的度数；
【答案】(1)旋转中心为点 ；
(2) ．
【知识点】三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解、对顶角相等
【分析】（ ）根据旋转的概念即可求解；
（ ）设 相交于 点，根据对顶角线段可得 ，由旋转性质可知 ，最后由
三角形的内角和定理即可求解；
本题考查了旋转的性质，对顶角相等，三角形的内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得：旋转中心为点 ；
（2）解：设 相交于 点，
∴ ，
∵ 经过旋转后到达 的位置，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
12．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点坐标分别是
， ， ．
(1)将 绕点 逆时针旋转 后得到 ，请画出 ，并写出 中 的坐标为
（_______，_______）；
(2)连接 ，求 的面积．【答案】(1)画图见解析，
(2)4
【知识点】画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标
【分析】本题考查旋转的知识，解题时注意旋转方向和旋转角度，掌握以上知识是解题的关键；
（1）将三个顶点分别绕原点逆时针旋转后得到其对应点，再首尾顺次连接即可得到旋转后的图形 ，
然后可以得到 的坐标；
（2） 在一个 的正方形中，求出正方形的面积减去3个小三角形面积即可得到 的面积；
【详解】（1）解：分别连接 、 、 ，然后分别逆时针旋转 即可得到点 、 、
，然后连接 、 、 ，
如图： ，
∴ ；
（2）
解：如图 ，
∵ 在一个 的正方形中，
∴ ；
13．（24-25九年级上·甘肃定西·期末）如图，在 中， ， ， ，将
绕点 顺时针旋转 后得到 ，且点 ， ， 在同一条直线上，连接 ．(1)求 的值；
(2)求 的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直
角三角形
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余得出 ，进而根据旋转的性质得出
，根据等边对等角得出 ，再根据三角形内角定理得出旋转
角，即可求解；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质得出 ，进而根据 得出 ，
根据 ，即可求解．
【详解】（1）解： ，
由旋转得 ，
点 在同一条直线上，
，
，
旋转角的度数是 ，即 ，
的值为120．
（2） ，
，
由（1）知 ，
，
，
的长为6．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形
的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．14．（24-25九年级上·北京密云·期末）如图，在下面正方形网格中小正方形的边长为 ， ， ， 都是
格点（小正方形的顶点），将 绕点 顺时针旋转90°得到 ，点 ，点 的对应点分别为 ，
．
(1)补全图形；
(2)求 长；
(3) ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】勾股定理与网格问题、画旋转图形、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查作旋转图形、勾股定理与网格问题，
（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）利用勾股定理计算即可．
（3）在线段 的延长线上取点 ，根据网格的特点可得 ，即可求解．
【详解】（1）解：如图， 即为所求．
（2）解：
（3）在线段 的延长线上取点 ，
由图可得， ，
∴ ．
故答案为： ．
15．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是， ， ．
(1)将 以点C为旋转中心旋转 ，画出旋转后对应的 ；
(2)平移 ，若点A的对应点 的坐标为 ，画出平移后对应的 ；
(3)若将 绕某一点旋转可以得到 ；请直接写出旋转中心的坐标；
(4)在 轴上找一点 ，使 最短，直接写出 点坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)
【知识点】平移(作图)、找旋转中心、旋转角、对应点、写出直角坐标系中点的坐标、线段问题(轴对称综
合题)
【分析】本题考查了旋转、平移作图，轴对称的性质，坐标与图形；
（1）根据旋转的性质找到 的对应点，顺次连接，即可求解；
（2）根据平移的性质找到 的对应点，顺次连接，即可求解；
（3）连接旋转前后的对应点即可找出旋转中心；
（4）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则点 即为所求点，根据坐标系写出点的坐标，
即可求解．
【详解】（1）解： 即为所求（2）解：如图所示， 即为所求
（3）解：点 即为所求，（4）解：如图所示，点 即为所求，
16．（24-25九年级上·北京东城·期末）如图，在平面直角坐标系 中，点A，B，C的坐标分别为 ，
，(2,1)，将 绕点P逆时针方向旋转得到 ，点A的对应点 的坐标为 ，点B的
对应点 的坐标为(−3,2)．(1)点P的坐标是 ；（填写正确的选项）
A． B．(0,1) C．
(2)画出旋转后的 ，并写出 的坐标是 ；
(3)线段 的延长线与线段 交于点M，直接写出 的度数.
【答案】(1)A
(2)图见解析，
(3)
【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、全等的性质和SAS综合（SAS）、画旋转图形
【分析】此题考查了坐标与图形-旋转变换，旋转的性质，寻找旋转中心，全等三角形的判定与性质，解题
的关键是理解题意，画出图形，结合有关性质正确求解．
（1）线段 ， 的垂直平分线的交点P即为所求；
（2）根据要求作出图形，根据图形可得 坐标；
（3）根据旋转的性质，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，旋转中心P的坐标为 ，
故选：A．
（2）解：如图， 即为所求作，点 坐标为(−2,3)，
故答案为：(−2,3)；
（3）解：由旋转的性质可得， ， ，
∴
∴ ，又 ，
∴ ，
则 ．17．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）如图，已知正方形 的边长为 ，点 在 边上，（点
不与点 、 重合）， ， ，连接 ，将 绕顶点 顺时针旋转一个角度后与
重合（点 的对应点记作点 ），连接 ，设 交 于点 ．
(1) 绕点B旋转的旋转角是______度； 是______三角形．
(2)若 的面积为20， 的面积为6，求 、 的值．
(3)求 的长（结果用含 、 的代数式表示）．
【答案】(1) ；等腰直角
(2) ，
(3)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、整式的混合运算
【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、乘法公式等知识，熟练掌
握旋转的性质是解答的关键．
（1）根据旋转的性质得 ， ，则 ，进而可判断 的形状；
（2）由旋转性质得到 ，根据梯形和三角形的面积公式列等式，结合乘法公式解方程求解即可；
（3）根据梯形和三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵将 绕顶点 顺时针旋转一个角度后与 重合，
∴ ， ，则 ，
∴ 是等腰直角三角形，
故答案为： ；等腰直角
（2）解：由旋转性质得 ， ，根据题意， ，
又 ，
∴ ，即 ，又 ，
∴ ，
∴ （负值舍去），又 ，
解得 ， ，或 ， ，
∵ ，
∴ ， ；
（3）解：根据题意， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ．
18．（24-25八年级上·山东济南·期末）阅读下面材料：
我遇到这样一个问题：如图1，在正方形 中，点 、 分别为 、 边上的点， ，
连接 ，求证： 我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集
中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是
将 绕点 顺时针旋转 得到 （如图 ），此时 即是 ．
请回答：在图2中， 的度数是______．
参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在直角梯形 中， ， ， ， 是 上一点，
若 ， ，求 的长度．
（2）如图4， 中， ， ，以 为边作正方形 ，连接 ．当 ______时，线段 有最大值，并求出 的最大值．
【答案】 ；（1） ；（2） ，CD最大值为
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解、三角形三边关系的应用、用勾股定理
解三角形
【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系属于综合题，仔细审题，理解题意是
解决问题的关键．
阅读材料：根据旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得 ，然后求出
，再根据 计算即可得解；
过点A作 交 的延长线于点 ，可得四边形 是正方形，然后设 ，根据上面的结
论表示出 ，再求出 、 ，然后在 中，利用勾股定理列式进行计算即可得解；
过点 作 ，取 ，连接 ， ，由勾股定理可求 的长，由 可证
，可得 ，由三角形的三边关系可得．
【详解】解：阅读材料：
根据旋转 ，
， ，
， ，
，即 ；
过点 作 交 的延长线于点 ，
， ，
，
，
四边形 是正方形，
，
根据上面结论，可知 ，
设 ，
，
，
，
，
，，
，
解得： ，
故 ；
过点 作 ，取 ，
连接 ， ，
，
，
，
又 ， ，
，
，
线段 有最大值时，只需 最大即可，
在 中， ，
当 、 、 三点共线时，
取最大值，此时 ，
在等腰直角三角形 中 ， ，
，
，
最大为： ，此时 ，
故答案为： ．
