文档内容
班级 姓名 学号 分数
第三章 概率的进一步认识单元测试（B 卷·提升能力）
（时间：60分钟，满分：100分）
一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2020·全国九年级单元测试）下列说法正确的是( )
A．“购买 张彩票就中奖”是不可能事件
B．“概率为 的事件”是不可能事件
C．“任意画一个六边形,它的内角和等于 ”是必然事件
D．从 中任取 个不同的数,分别记为 和 ,那么 的概率是
【答案】D
【分析】
根据必然事件、不可能事件、随机事件以及画出树状图求概率即可解答．
【详解】
解：A. “购买 张彩票就中奖”是随机事件，故选项A不满足题意；
B. “概率为 的事件”是随机事件，故选项B不满足题意；
C. 任意画一个六边形,它的内角和等于720°，则任意画一个六边形的内角和等于 是不可能事件，故选
项C不满足题意；
D.根据题意画出树状图如下：
∴共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，a2+b2>19的有4种结果
∴a2+b2 > 19的概率是 ，故选项D满足题意．
【点睛】
本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件以及画出树状图求概率，画出树状图求概率既是解答本题的关键，也是解答本题的难点．
2．某中学初三年级四个班，四个数学老师分别任教不同的班．期末考试时，学校安排统一监考，要求同
年级数学老师交换监考，那么安排初三年级数学考试时可选择的监考方案有（ ）种．
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【分析】
可分4个位置，对于每个位置做出可能的判断，列出树状图即可．
【详解】
设4个班级分别为A、B、C、D，相对应的4个老师分别为a，b，c，d，画树状图为：
由图中可以看出，共有9种情况．
故选B．
【点睛】
本题考查了用列树状图的方法解决问题，注意应去掉本班教师监考本班学生的排法.
3．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 ， ， ， ， ， ．掷两次骰子，设其朝上的
面上的两个数字之和除以 的余数分别是 ， ， ， 的概率为 ， ， ， ，则 ， ， ， 中最
大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
列树状图求出两个面朝上的所有情况，再求出它们的数字之和，然后除以4，得到余数为0，1，2，3的各
种情况，然后分别计算其概率进行比较即可．
【详解】
根据题意列树状图得：共有36种情况，两个数字之和除以4：
和是4、8、12时余数是0，共有9种情况，
和是5、9时余数是1，共有8种情况，
和是2、6、10时余数是2，共有9种情况，
和是3、7、11时余数是3，共有10种情况，
所以 ，
，
∴ .
故选D.
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法，此题由于是一枚骰子投两次，故可理解为两枚骰子投一次，熟练掌握树状
图法及概率公式是解题关键.
4．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④，随机地摸出一个小球，记录
后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号相同的有4种情况，
∴两次摸出的小球的标号相同的概率是： ．
5．（2021·全国九年级课时练习）现有A、B两枚均匀的骰子，用骰子A的点数为x，骰子B的点数为y的
方式来确定点 ，则各掷一次骰子所确定的点P落在已知抛物线 上的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
画树状图展示所有36种等可能的结果数，再利用二次函数图象上点的坐标特征，找出点 在抛物线
上的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：画树状图为：
共有36种等可能的结果数，点 在抛物线 上的结果数为（1，3），（2，4），（3，3）共3
种，
所以点 在已知抛物线 上的概率 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 ，再从中选出符合事件
或 的结果数目 ，然后利用概率公式求事件 或 的概率．
6．（2021·全国九年级专题练习）由两个可以自由转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游
戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色，下列说
法正确的是（ ）
A．两个转盘转出蓝色的概率一样大
B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了
C．游戏者配成紫色的概率为
D．先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同
【答案】C
【分析】
根据古典概率模型的定义和列树状图求概率分别对每个选项逐一判断可得．
【详解】
解：A、A盘转出蓝色的概率为 、B盘转出蓝色的概率为 ，此选项错误；
B、如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性不变，此选项错误；
C、画树状图如下：
由于共有6种等可能结果，而出现红色和蓝色的只有1种，
所以游戏者配成紫色的概率为 ，
D、由于A、B两个转盘是相互独立的，先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色
的概率相同，此选项错误；
故选：C．【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．在一个不透明的袋子中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．若小李
通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在 ．和 ，则该袋子中的白色球可能有(
)
A．6个 B．16个 C．18个 D．24个
【答案】B
【分析】
先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数，即可求出答案．
【详解】
解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，
∴摸到白球的频率为1-0.15-0.45=0.4，
故口袋中白色球的个数可能是40×0.4=16个．
故选：B．
【点睛】
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数
与总情况数之比．
8．将如图所示的两个转盘随意各转动一次，则得到的数字之和为3的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用树状图展示所有12种等可能的结果，然后求出数字之和为3的概率即可.
【详解】
画树状图如下：由树形图可知数字之和为3的可能有(1,2)、(2、1),两种，一共12种可能，故数字之和为3的概率为： .
故选：A.
【点睛】
此题考查列表法与树状图法，解题关键在于画出树状图.
9．（2021·北京九年级专题练习）新冠疫情发生以来，为保证防控期间的口罩供应，某公司加紧转产，开
设多条生产线争分夺秒赶制口罩，从最初转产时的陌生，到正式投产后达成日均生产100万个口罩的产能．
不仅效率高，而且口罩送检合格率也不断提升，真正体现了“大国速度”．以下是质监局对一批口罩进行
质量抽检的相关数据，统计如下：
抽检数量n/个 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000
合格数量m/个 19 46 93 185 459 922 1840 4595 9213
口罩合格率 0.950 0.920 0.930 0.925 0.918 0.922 0.920 0.919 0.921
下面四个推断合理的是（ ）
A．当抽检口罩的数量是10000个时，口罩合格的数量是9213个，所以这批口罩中“口罩合格”的概率是
0.921；
B．由于抽检口罩的数量分别是50和2000个时，口罩合格率均是0.920，所以可以估计这批口罩中“口罩
合格”的概率是0.920；
C．随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在0.920附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计
这批口罩中“口罩合格”的概率是0.920；
D．当抽检口罩的数量达到20000个时，“口罩合格”的概率一定是0.921．
【答案】C
【分析】
根据统计表中的数据和各个选项的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
A、当抽检口罩的数量是10000个时，口罩合格的数量是9213个，这批口罩中“口罩合格”的概率不一定是0.921，故该选项错误；
B、由于抽检口罩的数量分别是50和2000个时，口罩合格率均是0.920，这批口罩中“口罩合格”的概率
不一定是0.920，故该选项错误；
C、随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在0.920附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计
这批口罩中“口罩合格”的概率是0.920，故该选项正确；
D、当抽检口罩的数量达到20000个时，“口罩合格”的概率不一定是0.921，故该选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
10．（2020·全国八年级课时练习）罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛
的结果影响很大．如图是对某球员罚球训练时命中情况的统计：
下面三个推断：①当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以“罚球命中”的概率是0.822；②随
着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在0.812附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员
“罚球命中”的概率是0.812；③由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是0.809，所以“罚球命中”的
概率是0.809．其中合理的是（ ）
A．① B．② C．①③ D．②③
【答案】B
【分析】
根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而解答本题
【详解】
当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以此时“罚球命中”的频率是：411÷500＝0.822，但“罚
球命中”的概率不一定是0.822，故①错误；
随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在0.812附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员
“罚球命中”的概率是0.812．故②正确；
虽然该球员“罚球命中”的频率的平均值是0.809，但是“罚球命中”的概率不是0.809，故③错误．故选：B．
【点睛】
此题考查了频数和频率的意义,解题的关键在于利用频率估计概率.
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（2020·全国九年级单元测试）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三
种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆车向左转的概率为_______．
【答案】
【分析】
运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数，然后用概率公式解答即可．.
【详解】
解：如图：三辆车经过十字路口的情况有27种，至少有两辆车向左转的情况数为7种，
所以概率为： ．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查的是运用树状图求概率的公式，运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关
键．
12．哥哥与弟弟玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，将标有数字的一面
朝下，哥哥从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后弟弟从中任意抽取一张，计算抽得的两个数字
之和，若和为奇数，则弟弟胜；若和为偶数，则哥哥胜，该游戏对双方____．(填“公平”或“不公平”)
【答案】不公平【详解】
列树状图得：
共有9种情况，和为偶数的有5种，所以哥哥赢的概率是 ，那么弟弟赢的概率是 ，所以该游戏对双方
不公平．
点睛：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的
概率P（A）= ，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不
公平．
13．（2020·南昌市第十九中学九年级月考）某校在甲、乙两名同学中选拔一人参加襄阳广播电台举办“国
学风，少年颂”襄阳首届少年儿童经典诵读大赛.在相同的测试条件下，两人3次测试成绩（单位：分）如
下：
甲：79，86，82；乙：88，79，90．
从甲、乙两人3次的成绩中各随机抽取一次成绩进行分析，求抽到的两个人的成绩都大于80分的概率是
_______．
【答案】
【详解】
解：根据题意可知可抽到的结果为：79，88；79，79；79，90；86，88；86，79；86，90；82，88；82，
79；82，90；共9种可能，符合都大于80的可能为4中，所以抽到两个人的成绩都大于80的概率为
故答案为： ．
【点睛】
此题主要考查了概率的求法，解题关键是根据列举或列树状图的方法得到所有出现的可能，从中确定符合
条件的可能，然后根据概率的求法求解即可．
14．在平面直角坐标系中，作△OAB，其中三个顶点分别为O（0，0），B（1，1）A（x，y）（均为整数），则所作△OAB为直角三角形的概率是_______．
【答案】 ．
【解析】
如图，满足 均为整数的点A（x，y）共有25个，
由勾股定理和逆定理，可知有8点能使△OAB为直角三角形（图中黑点）．
∴所作△OAB为直角三角形的概率是 ．
15．（2021·全国七年级专题练习）六一期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外其余都相同的
散装塑料球共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱；搅
匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱……多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳
定在0.2附近，由此可以估计纸箱内有红球________个．
【答案】200
【分析】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出
等式解答．
【详解】
设红球的个数为x，根据题意得：
解得：x=200
故答案为：200．
考点：利用频率估计概率．
16．（2020·沈阳市第一二六中学九年级月考）在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除颜色不同外，其余都相同，其中有4个是白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回
盒中，大量重复上述实验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是___.
【答案】10
【分析】
利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频
率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】
∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.4，
∴ =0.4，
解得：n=10.
故答案为10.
【点睛】
此题考查利用频率估计概率，掌握运算法则是解题关键
17．（2020·全国八年级课时练习）由于各人的习惯不同，双手交叉时左手大拇指在上或右手大拇指在上是
一个随机事件(分别记为A，B)，曾老师对他任教的学生做了一个调查，统计结果如下表所示：
2012届 2013届 2014届 2015届 2016届
参与人数 106 110 98 104 112
B 54 57 49 51 56
频率 0.509 0.518 0.500 0.490 0.500
若曾老师所在学校有2 000名学生，根据表格中的数据，在这个随机事件中，右手大拇指在上的学生人数
可以估计为________名．
【答案】1000
【解析】试题解析：频率的平均数为：（0.509+0.518+0.5+0.49+0.5）÷5=0.5034≈0.5
2000×0.5=1000，
故右手大拇指在上的学生人数可以估计为1000名.
18．（2020·全国九年级课时练习）某水果公司以22元/千克的成本价购进1000kg苹果，公司想知道苹果
的损坏率，随机抽取若干进行统计，部分结果如下表：
草果总质量n（kg） 100 200 300 400 500 1000损坏苹果质量m（kg） 10.60 19.42 30.63 39.24 49.54 101.10
苹果损坏的频率
0.106 0.097 0.102 0.098 0.099 0.101
（结果保留小数点后三位）
根据此表估计这批苹果损坏的概率（精确到0.1），从而计算该公司希望这批苹果能获得利润23000元，则
销售时（去掉损坏的苹果）售价应至少定为_____元/千克．
【答案】50
【分析】
根据利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计苹果的损
坏概率为0.1；根据概率计算出在1000kg苹果中完好苹果的质量为：1000×0.9=900(kg)，设每千克苹果的销
售价为x元，然后根据“售价=进价+利润”列方程解答．
【详解】
解：根据表中的损坏的频率，当实验次数增多时，苹果损坏的频率越来越稳定在0.1左右，
所以苹果的损坏概率为0.1．
根据估计的概率可以知道，在1000kg苹果中完好苹果的质量为：1000×0.9＝900(kg)．
设每千克苹果的销售价为x元，则应有900x＝22×1000+23000，
解得x＝50．
答：出售苹果时每千克大约定价为50元可获利润23000元．
故答案为：50．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，根据频率估计概率列出方程是解决的关键．
三、解答题（共5小题，满分46分）
19．（9分）张三同学投掷一枚骰子两次，两次所投掷的点数分别用字母m、n表示
（1）求使关于x的方程x2﹣mx+2n=0有实数根的概率；
（2）求使关于x的方程mx2+nx+1=0有两个相等实根的概率．
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）画树状图展示所有可能的结果数，然后根据判别式的意义找出满足△=m2-8n≥0的结果数，然后根据概率公式求解；（2）根据判别式的意义找出满足△=n2-4m=0的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
（1）画树状图为：
∵共有36种等可能的结果数，其中满足△=m2﹣8n≥0的结果数为10，
∴使关于x的方程x2﹣mx+2n=0有实数根的概率= = ；
（2）满足△=n2﹣4m=0的结果数为2，
所以使关于x的方程mx2+nx+1=0有两个相等实根的概率= = ．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事
件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了判别式的意义．
20．（9分）（2020·全国九年级课时练习）在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注
数字1、2、3、，现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的横坐标；将球放回
袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的纵坐标．
（1）写出点M坐标的所有可能的结果；
（2）求点M在直线y＝x上的概率；
（3）求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率．
【答案】（1）(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(3，3)；（2） ；
（3） ．
【详解】
（1）列表得：1 2 3
1 (1，1) (1，2) (1，3)
2 (2，1) (2，2) (2，3)
3 (3，1) (3，2) (3，3)
∴点M坐标的所有可能的结果有九个：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，
2)、(3，3)．
（2）P（点M在直线y＝x上）＝P（点M的横、纵坐标相等）＝ ＝ ．
（3）列表如下：
1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
∴P（点M的横坐标与纵坐标之和是偶数）＝ ．
21．（9分）某小区为改善生态环境，实行生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分成三类：厨房垃圾、可回
收垃圾和其他垃圾，分别记为m，n，p，并且设置了相应的垃圾箱，“厨房垃圾”箱，“可回收垃圾”箱
和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C．
(1)若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率；
(2)为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了小区三类垃圾箱中总共1 000吨生活垃圾，数据
统计如下(单位：吨)：
A B C
m 400 100 100
n 30 240 30
p 20 20 60
请根据以上信息，试估计“厨房垃圾”投放正确的概率．
【答案】(1) ；(2) .【详解】
试题分析：（1）根据题意画出树状图，由树状图可知总数为9，投放正确有3种，进而求出垃圾投放正确
的概率；
（2）由题意和概率的定义易得所求概率．
试题解析：(1)画树状图如下：
共有9种等可能的结果数，其中垃圾投放正确的结果数为3，所以垃圾投放正确的概率为 ＝ .
(2) ＝ ，所以估计“厨房垃圾”投放正确的概率为 .
22．（9分）（2020·浙江九年级期末）小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．
为了知道它的面积，他在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向图形内掷石子，且记录如下：
掷石子次数石子落在的区域ABC 50次 150次 300次
石子落在圆内（含圆上）的次数m 14 43 93
石子落在阴影内的次数n 19 85 186
（1）随着次数的增多，小明发现m与n的比值在一个常数k附近波动，请你写出k的值．
（2）请利用学过的知识求出封闭图形ABC的大致面积．
【答案】（1） ；（2）3π．
【分析】
（1）根据次数越多，频率越稳定，用300次时石子落在圆内（含圆上）的次数 石子落在阴影内的次数
即可得答案.（2）根据石子落在圆内和石子落在阴影内的次数的关系求出圆的面积约占封闭图形ABC面积
的比例即可求出封闭图形ABC的大致面积.
【详解】（1）根据统计表，可得石子落在圆内的概率与落在阴影部分的概率之比k= = ；
（2）石子落在圆内和石子落在阴影内的次数关系，随着试验次数的增多，逐渐趋向于为1：2，
所以圆的面积约占封闭图形ABC面积的 ，
因为S =π，
圆
所以封闭图形ABC的面积约为3π．
【点睛】
本题考查的是利用频率计算概率在实际生活中的运用，关键是得到阴影与圆的比；用规则图形来估计不规
则图形的比是常用的方法．
23．（10分）（2020·潮州市潮安区雅博学校九年级一模）为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了
“读好书，助成长”的活动，并计划购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，
并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生，两幅统计图中的m＝ ，n＝ ．
（2）已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？
（3）学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者（2男1女）中随机选送2人参赛，请用
列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率．
【答案】（1）200 ， ；（2）1224人；（3）见解析， .
【分析】
（1）用喜欢阅读“A”类图书的学生数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用喜欢阅读“B”类图书的
学生数所占的百分比乘以调查的总人数得到m的值，然后用30除以调查的总人数可以得到n的值；
（2）用3600乘以样本中喜欢阅读“A”类图书的学生数所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出被选送的两名参赛者为一男一女的结果数，然后根据概
率公式求解．
【详解】解：（1） ，
所以本次调查共抽取了200名学生，
，
，即 ；
（2） ，
所以估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有1224人；
（3）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中被选送的两名参赛者为一男一女的结果数为4，
所以被选送的两名参赛者为一男一女的概率 ．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A
或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
