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第 02 讲 图形的旋转(8 类热点题型讲练)
1．掌握旋转的概念，了解旋转中心，旋转角，旋转方向，对应点的概念及其应用；
2．掌握旋转的性质，应用概念及性质解决一些实际问题；(重点，难点)
3．能够根据旋转的性质进行简单的旋转作图．
知识点01 旋转的概念
（1）旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换.
点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角；
图形上点P旋转后得到点P’，这两个点叫作对应点.
（2）旋转三要素：①旋转方向；②旋转中心；③旋转角度
注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上.
知识点02 旋转的性质
旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与
旋转中心连线所成的角相等.
知识点03 确定旋转中心
确定旋转中心：由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直
平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点.
知识点04 旋转作图
旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向
旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形.
作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
（4）连接所得到的各对应点.
题型01 判断生活中的旋转现象
【例题】（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级校考期中）下列运动形式属于旋转的是（ ）
A．足球在地上的滚动 B．电梯的运行 C．热气球点火升空 D．
钟摆的摆动
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的定义，根据“在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的
运动叫做图形的旋转”即可解答．
【详解】解：A、足球在地上的滚动是旋转加上平移，不符合题意；
B、电梯的运行是平移，不符合题意；
C、热气球点火升空是平移，不符合题意；
D、钟摆的摆动是旋转，符合题意；
故选：D．
【变式训练】
1．（2023上·广西玉林·九年级统考期中）下列现象属于旋转的是（ ）
A．电梯的上下移动 B．飞机起飞后冲向空中的过程
C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
【答案】C
【分析】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的定义是解题的关键；因此此题可根据旋转的定义“把一个平
面图形绕着平面内某一点转动一个角度”进行求解即可．
【详解】解：A、B、D选项都不符合旋转的定义，而C选项符合旋转的定义，故C选项属于旋转现象；
故选C．
2．（2023上·福建福州·九年级校考阶段练习）下列生活中的实例是旋转的是（ ）
A．钟表的指针的转动 B．汽车在笔直的公路上行驶
C．传送带上，瓶装饮料的移动 D．足球飞入球网中
【答案】A
【分析】根据旋转变换和平移变换的定义逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、钟表的指针的转动，属于旋转变换，故此选项符合题意；
B、汽车在笔直的公路上行驶，属于平移变换，故此选项不符合题意；
C、传送带上，瓶装饮料的移动，属于平移变换，故此选项不符合题意；
D、足球飞入球网中，属于平移变换，故此选项不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了旋转和平移的概念，把一个图形绕着某个点旋转一定的角度，得到另一个图形，即为
旋转变换；把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，即为平移变换；熟练掌握此定义是解题的关键．
题型02 找旋转中心、旋转角、对应点
【例题】（2023上·天津东丽·九年级校联考期中）如图，P为正方形 内一点， ， 将绕
点C逆时针旋转得到 ，
(1)旋转中心是______．旋转角为______度．
(2)求 的长度．
【答案】(1)C；90
(2)
【分析】（1）根据旋转中心和旋转角的概念求解即可；
（2）根据旋转的性质可得 是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可求出 ．
【详解】（1）解：∵ 将绕点C逆时针旋转得到 ，
∴旋转中心是C，旋转角是 和 ，
∵在正方形 中 ，
∴旋转角为90度，
故答案为：C，90；
（2）解：由（1）知，旋转角是 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
【点睛】本题考查了旋转图形的概念和性质，勾股定理，准确识别旋转角是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁大连·九年级统考期中）如图，四边形 是正方形，E是 上的一点， 是
的旋转图形．(1)由 顺时针旋转到 ，旋转中心是________，旋转角的度数是________ ；
(2)连接 ，判断并说明 的形状．
【答案】(1)点 ；
(2) 是等腰直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，正方形的性质，熟练利用旋转性质是解题关键．
（1）利用旋转性质得出旋转中心，利用旋转位置得出旋转角即可；
（2）利用旋转性质可得到 ，得到 ， ，根据正方形性质求出
，即可判定出 是等腰直角三角形．
【详解】（1）解：由图可知， 顺时针旋转到 ，旋转中心是点 ，旋转角是 ，
故答案为：点 ； ；
（2）如图：连接 ，
是等腰直角三角形，理由如下：
旋转得到 ，
，
， ，
四边形 是正方形，
，
，
，
即 ，
是等腰直角三角形．
2．（2023上·湖南永州·八年级校考开学考试）如图，在 中， ， ， ，
逆时针旋转一定角度后与 重合，且点C恰好成为 的中点．(1)旋转中心为点 ，并求出旋转角= 度；
(2)求出 的度数和 的长．
【答案】(1)A；130
(2) ，
【分析】（1）由“ 逆时针旋转一定角度后与 重合”可得旋转中心点，求出 即可得旋
转角；
（2）根据旋转的性质即可求解．
【详解】（1）解： ，
即 ，
逆时针旋转一定角度后与 重合，
∴旋转中心为点A，旋转的度数为130 ；
故答案为：A；130
（2）解： 逆时针旋转一定角度后与 重合，
， ， ，
，
∵点C恰好成为AD的中点，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的相关知识点．熟记相关结论进行几何推理是解题关键．
题型03 根据旋转的性质求解
【例题】（2023上·广东广州·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中， ， ，将△ABC绕
点A顺时针旋转 得到 ，则 ．【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握图形旋转不变性的性质是解题的关键．
先根据直角三角形的性质求出 的长，再由旋转的性质得出 ， ，根据勾股定理即
可得出结论.
【详解】 在Rt△ABC中， ， ，
，
将△ABC绕点A顺时针旋转 得到 ，
， ，
故答案为：
【变式训练】
1．（2023上·浙江·九年级专题练习）如图，将 绕点A按逆时针方向旋转 得到 ，连接 ，
若 ，则 的度数为 ．
【答案】15
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，平行线的性质，先由旋转的性质
得到 ，进而得到 ，再由平行线的性质
得到 ，即可得到答案．
【详解】解：∵将 绕点A按逆时针方向旋转 ，得到
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故答案为：15．
2．（2024上·广东肇庆·九年级统考期末）如图，将 绕点A旋转到 的位置，点E在 边上，
与 交于点G．若 ， ，则 ．
【答案】 /65度
【分析】根据旋转的性质可得， ， ，再根据等腰三角形的性质可得
，再利用三角形外角的性质求得 ，根据三角形内角和定理求得 ，
再根据对顶角相等求解即可．
【详解】解：由旋转的性质得， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查旋转的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握相
关性质是解题的关键．
题型04 求绕原点旋转90°点的坐标
【例题】（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）已知点 ，将点 绕原点 逆时针方向旋转
得点 ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．作
出图形，连接 ，过点A作 轴于H，过点B作 轴于 ，连接 ，然后根据点A的坐标求
出 ，再根据旋转的性质求出 ，然后写出点 的坐标即可．
【详解】解：如图，连接 ，过点A作 轴于H，过点B作 轴于 ，连接 ，∵ ，
，
∵将点 绕原点 逆时针方向旋转 得点 ，
，
∴点 ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2023上·北京西城·九年级校考期中）如图，将含有 角的直角三角板放置在平面直角坐标索中
在x轴上，若 ，将三角板绕原点O旋转 得到 ，则点A的对应点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形的变化—旋转，含 角的直角三角形的性质和勾股定理．过点A作
轴于点C，求出 ， 的长度是解题关键．
【详解】解：过点A作 轴于点C，
则 ， ，
∴ ，
即 ，∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．
2．（2023下·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，B点在第一象限，A点在x轴正半轴上，
，点B到x轴的距离是8，将 绕点O逆时针旋转 ，点B对应点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】过B作 于 ，过 作 轴于 ，构建 ，利用勾股定理得到
，即可得出答案．
【详解】过B作 于 ，过 作 轴于 ，
∴ ，
∴ ，
由旋转可知 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转、等腰三角形的性质、勾股定理，全等三角形的性质和判定等
知识，掌握这几个知识点的综合应用，其中作出辅助线证明三角形全等是解题关键．
题型05 求绕某点（非原点）旋转90°点的坐标
【例题】（2023上·全国·九年级期末）平面直角坐标系中， ， ，A为x轴上一动点，连接
，将 绕A点顺时针旋转 得到 ，当点A在x轴上运动， 取最小值时，点B的坐标为
．
【答案】
【分析】分三种情况：当点 在 轴正半轴时；当点 在原点时；当点 在 轴负半轴时，利用三角形全
等的判定与性质、旋转的性质、两点间的距离公式，分别进行求解即可得到答案．
【详解】解：当点 在 轴正半轴时，如图，作 轴于 ，设 ，则 ， ，
， ，
， ，
将 绕 点顺时针旋转 得到 ， ，
， ，
，
，，
，
在 和 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
当点 在原点时，如图所示，
， ，
， ，
将 绕 点顺时针旋转 得到 ，
，
；
当点 在 轴负半轴时，如图，作 轴于 ，设 ，则 ， ，， ，
， ，
将 绕 点顺时针旋转 得到 ， ，
， ，
， ，
，
在 和 ，
，
，
， ，
，
点 在第四象限，
，
，
，
，
综上所述：当 时， 取到最小值，为 ，此时 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化—旋转，勾股定理，全等三角形的判定和性质，两点间的距离等知识，
解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想解题．【变式训练】
1．（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习） 在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺
时针旋转得到 ，则点P的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转；根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，据此可求
解．
【详解】解：点P位置如图所示，则点P的坐标是 ，
故答案为： ．
2．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）如图，点A的坐标为 ，点 是 轴正半轴上的一点，将线段
绕点A按逆时针方向旋转 得到线段 若点 的坐标为 ，则 点的坐标为 ．
【答案】【分析】过 作 轴于点 ，通过证得 ，得出 ， ，可
得点 的坐标，
【详解】解：过 作 轴于点 ，如图：
，
，
，
，
， ，
，
， ，
点A的坐标为 ，点 的坐标为 ，
， ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
线，构造全等三角形解决问题．
题型06 平面直角坐标系中旋转作图
【例题】（2024上·吉林松原·九年级校联考期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，
在方格纸中建立如图所示的平而直角坐标系， 的顶点都在格点上，已知点 ， ．(1)将 向右平移 个单位长度得到 ，请画出 ；
(2)将 绕点 顺时针旋转 ，画出所得的 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平移作图，旋转作图；
（1）根据题意将 向右平移 个单位长度得到 ；
（2）根据旋转的性质画出 ．
【详解】（1）如图， 即为所求．
（2）如图， 即为所求．
【变式训练】
1．（2023上·四川自贡·九年级校考期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， 的三个顶点 ， ， 均在格点上，
(1)画出将 向下平移4个单位长度得到的 ；
(2)画出 绕点C逆时针旋转 后得到的 ，并写出点 的坐标；
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析，点 的坐标
【分析】本题主要考查了作图 平移变换，旋转变换等知识，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
（1）根据平移的性质即可画出图形；
（2）根据旋转的性质即可画出图形，从而得出点 的坐标；
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）解：如图， 即为所求；
∴点 的坐标 ．
2．（2024上·陕西延安·九年级统考期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是单位1， 是格点三
角形．(1)画出将 向右平移2个单位得到的 ；
(2)画出将 绕点O顺时针方向旋转 得到的 ，并写出点 的坐标．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析，
【分析】（1）分别找到点 向右平移2个单位得到的对应点 ，顺次连接即可；
（2）分别找到点 绕点O顺时针方向旋转 得到的对应点 ，顺次连接即可得到所求
的 ，再写出点 的坐标即可；
此题考查了平移和旋转的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键．
【详解】（1）解：如解图， 即为所求；
（2）如图， 即为所求，点 的坐标为 ．
题型07 坐标与旋转规律问题
【例题】（2023上·山东淄博·八年级校考阶段练习）如图，在直角坐标系中，已知点 ， ，
对 连续作旋转变换，依次得到三角形（1），（2），（3），（4）…，则三角形（2019）的直角顶
点的坐标为 ．【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形变换—旋转规律型问题，解决本题的关键是找到循环节，确定循环的次数．
先用勾股定理求出 的长，从而得到 的周长为12，根据旋转变换可得 的旋转变换为每3次一
个循环，由于 ，由此可判断三角形（2019）与三角形（3）的状态一样，然后计算 即
可得到三角形（2019）的直角顶点坐标．
【详解】∵ ， ，
，
，
的周长 ，
观察发现 每连续3次旋转后与原来状态一样，
，
∴三角形（2019）与三角形（3）的状态一样，
∴三角形（2019）的直角顶点的横坐标为 ，
∴三角形（2019）的直角顶点的坐标为 ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将 绕点 顺时针旋转到
的位置，点 、 分别落在点 、 处，点 在 轴上，再将 绕点 顺时针旋转到
的位置，点 在 轴上，将 绕点 顺时针旋转到 的位置，点 在 轴上，依次进
行下去…，若点 、 ，则点 的横坐标为 ．
【答案】
【分析】可求 ， ， ， ，可得当 为偶数时，，当 为奇数时， ，即可求解．
【详解】解：由题意得
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当 为偶数时，
，
当 为奇数时，
当 时，，
，
故答案∶
【点睛】本题考查了动点坐标规律，找出规律是解题的关键你．
2．（2023下·广西·七年级广西大学附属中学校考期中）如图，已知点 ，将长方形ABOC沿x轴正
方向连续翻转241次，点A依次落在点 ， ， ，…， 的位置，则 的坐标是 ．
【答案】
【分析】先求出 ， ， ， ， ，找到规律求解．
【详解】解：由题意得：从A开始翻转，当旋转到 时，A回到矩形的起始位置，所以为一个循环，故坐
标变换规律为 次一循环．
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
，
， ， ， ，
当 时，即 ，解得 ，
横坐标为 ，纵坐标为 ，
则 的坐标 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查图形的旋转变换，解题关键是找到图形在旋转的过程中，点坐标变化规律进而求解．
题型08 旋转综合题——几何变换
【例题】（2023上·北京朝阳·九年级校考期中）如图，在 中， ，点 为 边上
一点（不与点 重合），连接 ，将 绕点 逆时针旋转得到 ．(1)若 ，写出旋转角及其度数；
(2)当 度数变化时， 与 之间存在某种不变的数量关系．请你写出结论并证明．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质得出旋转角为 ；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出 ，
，即可求解；
【详解】（1）当 时，
，
∵ 旋转得到 ，其中 旋转到 .
∴旋转角为 ；
（2）∵ ，
，
∵ 旋转得到 ，
，
，
即 ，
，
即 ，
；
【点睛】该题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解答该题的关键是掌握旋
转的性质．
【变式训练】
1．（2023上·河南濮阳·八年级统考期中） 已知：如图 1， 中， ，D、E分别
是 、 上的点， 不难发现 、 的关系．(1)将 绕A 点 旋转到图2 位 置时，写出 、 的 数量关系 ；
(2)当 时，将 绕 A 点 旋转到图3 位置．
①猜想 与 有什么数量关系和位置关系?请就图3 的情形进行证明；
②当点 C、D、E 在同一直线上时，直接写出 的度数 ．
【答案】(1)
(2)① ， ，证明见解析，② 或
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．
（1）证明 ，即可作答；
（2）①同理先证明 ，即有 ， ，在 和 中，根据
， ，即有 ，则有 ，问题得解；②分两种情况：
第一种：当点 C、D、E 在同一直线上，且点D在线段 上时，第二种：当点 C、D、E 在同一直线上，
且点E在线段 上时，画出图形，结合在等腰 中， ，以及 ，即可作答．
【详解】（1）∵ ，
即 ，
在 和 中， ， ， ，
∴
∴ ；
（2）① ， ，
证明：如图， 交 于点F，交 于点M，
∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中， ， ， ，
∴
∴ ， ，
在 和 中，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
因此 ， ；
②如图，
当点 C、D、E 在同一直线上，且点D在线段 上时，如图I所示，
在等腰 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当点 C、D、E 在同一直线上，且点E在线段 上时，如图II所示，
在等腰 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故 的度数为： 或 ．
2．（2023上·湖北黄冈·九年级统考期中）如图， 和 都是等腰直角三角形，
．(1)【猜想】如图1，点 在 上，点 在 上，线段 与 的数量关系是______，位置关系是
______；
(2)【探究】：把 绕点 旋转到如图2的位置，连接 ， ，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)【拓展】：把 绕点 在平面内自由旋转，若 ， ，当A， ， 三点在同一直线
上时，直接写出 的长．
【答案】(1) ，
(2)（1）中的结论成立，理由见解析
(3) 或
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出 ，得出 ，再用 ，
即可得出结论；
（2）先由旋转得出 ，进而判断出 ，得出 ，进而得
出 ，即可得出结论；
（3）分两种情况，①当点E在线段 上时，过点C作 于M，求出 ，再用勾股定理求出 ，
即可得出结论；
②当点E在线段 的延长线上时，过点C作 于N，求出 ，再由勾股定理求出根据勾股定理
得 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ 和 都是等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
，
，
∵ ，
，
故答案为： ；
（2）解：（1）中结论仍然成立，
理由：由旋转知， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①当点E在线段 上时，如图3，过点C作 于M，
∵ 是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
，
，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，在 中，
；
②当点D在线段 上时，如图4，过点C作 于N，
∵ 是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
，
，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，
在 中，
；
综上， 的长为 或 ．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和
性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
一、单选题
1．（2024上·安徽合肥·九年级统考期末）垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效
处置的一种科学管理方法.你认识垃圾分类的图标吗？请选出其中的旋转对称图形（ ）A．可回收物 B．有害垃圾
C．厨余垃圾 D．其他垃圾
【答案】A
【分析】本题考查了旋转对称图形，正确记忆相关概念是解题关键．如果某一个图形围绕某一点旋转一定
的角度（小于 ）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，由此即可判断．
【详解】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转一定的角度（小于 ）后能与原图形重
合，所以都是旋转对称图形；
选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转一定的角度（小于 ）后能与原图形重合，
所以不是旋转对称图形．
故选：A．
2．（2024上·河北唐山·七年级统考期末）如图， 绕点O逆时针旋转 ，得到 ，若 ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，确定旋转角 以及旋转前后对应角相等 是
解题关键．
【详解】解：由题意得： ， ，
∴ ，
故选：C
3．（2024上·江西上饶·九年级统考期末）如图，将一块含有 的直角三角板 （假定 ，
）绕顶点A逆时针旋转 得到 ，则 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据题意得
到 ，得到 ，即可得到答案．
【详解】解：依题意得 ，
， ，
，
．
故选B．
4．（2024上·广东肇庆·九年级统考期末）如图，将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，那么
的对应点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，由线段 绕点 顺时针旋
转 得到线段 可以得出 ， ，作 轴于 ， 轴于 ，就可以得出
，就可以得出 ， ，由 的坐标就可以求出结论．
【详解】解： 线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
， ．
作 轴于 ， 轴于 ，
．，
，
．
在 和△ 中，
，
，
∴ ， ．
∵ ，
， ，
， ，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，点的坐标的运用，正确作出辅
助线并证得 是解决问题的关键．
5．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，已知 中， ， ，将 绕
点逆时针旋转 得到 ，以下结论：① ，② ，③ ，④
，正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】D
【分析】本题考查了旋转性质的应用，三角形内角和定理和等边对等角，根据旋转的性质可得，
， ， ，再根据旋转角的度数为 ，然后利用三角形内
角和定理和等边对等角逐项求解判断即可．
【详解】① 绕 点逆时针旋转 得到 ，
，故①正确；
② 绕 点逆时针旋转 ，
．
，．
，
．
∴ ，故②正确；
③在 中，
， ，
．
．
与 不垂直，故③不正确；
④在 中，
， ，
．
，故④正确．
①②④这三个结论正确．
故选：D．
二、填空题
6．（2023上·山西吕梁·九年级统考期末）如图，在 中，以点A为旋转中心，将 逆时针旋转
，得到 ，若点D在线段 的延长线上，则 的大小为 ．
【答案】 /39度
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质；掌握旋转的性质，是解题的关键．
根据旋转的性质，得到 ， ，利用等边对等角，进行计算即可．
【详解】解：根据旋转的性质，可得：
， ，
故答案为： ．
7．（2023上·安徽淮南·九年级统考期末）如图将 绕点 旋转 得到 ，设点 的坐标
为 ，则A的坐标为 ．【答案】
【分析】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点 、 关于点 成中心对称
是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方．设点 的坐标是 ，根据旋转变换的
对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可．
【详解】解：根据题意，点 、 关于点 对称，
设点 的坐标是 ，
则 ， ，
解得 ， ，
点 的坐标是 ．
故答案为： ．
8．（2024上·辽宁大连·九年级统考期末）如图，将 绕点A顺时针旋转一定的角度得到 ，此
时点 恰在边 上，若 ， ，则 的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得 ， ，即可求解．
【详解】解：∵将 绕点A顺时针旋转一定的角度得到 ，
， ，
， ，
，
故答案为：3．
9．（2024上·天津宁河·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，点 ，点 ，把 绕点 逆
时针旋转，得 ，点 旋转后的对应点为 ， ．如图，当点 落在边 上时，旋转角的大小为 ，点 的坐标为 ．
【答案】 /45度
【分析】本题考查了坐标与图形、旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，由点 ，点
得出 ，从而得出 是等腰直角三角形，由勾股定理可得 ，当点 落在边
上时，由旋转的性质可得： ， ，求出 即可得出答案，
熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解： 点 ，点 ，
，
是等腰直角三角形，
， ，
当点 落在边 上时，由旋转的性质可得： ， ，
旋转角的大小为 ， ，
点 的坐标为 ，
故答案为： ， ．
10．（2024上·辽宁盘锦·九年级校考期末）如图， ， ， ， ，
点D为 的中点，点E在 的延长线上，将 绕点D顺时针旋转 度 得到 ，当
是直角三角形时， 的长为 ．
【答案】10或
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，旋转的性质．根据勾股定理可求出 ，先根据
全等三角形的性质和旋转的性质，得到 ，从而得到 ．再分情况讨论：①当 时；②当 时，利用勾股定理分别求解，即可得到答案．利用分类讨论的思想解
决问题是解题关键．
【详解】解： ， ， ，
由勾股定理得： ，
，
，
绕点D顺时针旋转得到 ，
，
点D为 的中点，
，
①当 时，
，
，
；
②当 时，
在 中， ，
在 中， ，
综上可知， 的长为10或 ．故答案为：10或 ．
三、解答题
11．（2023上·重庆忠县·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，
．
(1)将 绕坐标原点O顺时针旋转 为 ，写出点 、 、 的坐标，并在图中作出 ；
(2)求 的面积．
【答案】(1)图见解析， ， ， ，
(2)
【分析】本题考查作图 旋转变换，在网格图中求三角形的面积，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质可得点 、 、 的坐标，画图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求．点 、 、 ．
（2）解： 的面积为 ．
12．（2024上·湖北武汉·九年级统考期末）如图，点E是正方形 内一点，连接 ，将绕点B顺时针旋转90°到 的位置（ ），连接 ．
(1)判断 的形状为 ；
(2)若 ， ， ，求 的度数．
【答案】(1)等腰直角三角形
(2)
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理逆定理．
（1）根据旋转的性质，得到 ，即可得出结论；
（2）勾股定理求出 ，再利用勾股定理逆定理得到 ，即可得出结论．
掌握旋转的性质，是解题的关键．
【详解】（1）解：∵将 绕点B顺时针旋转90°到 的位置，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）∵旋转，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
13．（2024上·湖北武汉·九年级统考期末）如图，在 中， ，将 绕点C顺时针旋
转 得到 ，延长 交 于点F．(1)直接写出 的度数；
(2)若 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握旋转前后对应边相等，对应角相等，
正确画出辅助线，构造等腰三角形是解题的关键．
（1）根据旋转的性质得出 ，结合 得出 ，即可得出结论；
（2）连接 ，根据旋转的性质得出 ， ，则 ，进而得出
，则 ，根据三线合一得出 ，即可求证 ．
【详解】（1）解：∵ 绕点C顺时针旋转 得到 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：连接 ，
∵ 绕点C顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．14．（2023上·陕西渭南·九年级统考期末）如图，将一个钝角 （其中 ）绕点 顺时针旋
转得 ，使得 点落在 的延长线上的点 处，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查了旋转的性质、平行线的判定与性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定与性
质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由旋转的性质可得 ， ，从而得出 ， 为等
边三角形，由等边三角形的性质可得 ，即可推出 ；
（2）由平行线的性质结合旋转的性质可得 ，再由三角形内角和定理进行计算即可．
【详解】（1）证明：由旋转的性质可得 ， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
15．（2024上·甘肃武威·九年级校联考期末）如图，在 中，点 在 边上， ，将线段 绕点旋转到 的位置，使得 ，连接 、 与 交于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（ ）证明 即可求证；
（ ）由 ， 得到 ，再根据 得到 ，由
三角形的外角性质即可求出 的度数；
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，
掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵将线段 绕 点旋转到 的位置，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
16．（2024上·浙江台州·九年级统考期末）如图，在 中， ，将 绕点C顺时针旋转得到 ，旋转角为 ， ， 分别交 于点F，G，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ．
①求 的长；
②连接 ， ， ，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②5
【分析】（1）根据旋转性质和三角形的内角和定理可证得结论；
（2）①利用平行线的性质和含30度角的直角三角形的性质求得 ，再根据旋转性质得到
，然后利用勾股定理求解即可；
②过E作 交 延长线于M，利用含30度角的直角三角形的性质求得 ，根据勾股
定理求得 ， ，由 求解即可．
【详解】（1）证明：由旋转性质，得 ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，即 ；
（2）解：①由旋转性质得 ， ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
②如图，过E作 交 延长线于M，
则 ， ，
∴ ，
∴ ， ，∵ ，
∴
．
【点睛】本题考查旋转性质、平行线的性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理、勾股
定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
17．（2024上·陕西西安·七年级校考期末）如图，已知 中， ，将 沿着射线 方向平
移得到 ，其中点A、点B、点C的对应点分别是点D、点E、点F，且 ．
(1)如图①，如果 ， ，那么平移的距离等于______；（请直接写出答案）
(2)如图②，将 绕着点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，如果 ， ，求 的面
积；
(3)如图③，在（2）题的条件下，分别以 ， 为边向外作正方形，正方形的面积分别记为 ， ，且
满足 ，如果平移的距离等于 ，求出 的面积．
【答案】(1)
(2) 的面积为
(3) 的面积为
【分析】本题主要考查图形的变换，理解图形的平移，图形旋转的性质，掌握梯形，三角形面积的计算方
法是解题的关键．
（1）根据图形平移，线段的关系即可求解；
（2）根据图形的旋转，图形之间线段的关系，结合梯形，三角形面积的计算方法即可求解；
（3）根据正方形的面积的计算方法可得 ，再根据 可算出 ，结合
（2）中计算 的面积的方法即可求解．
【详解】（1）解：根据题意， ，
∴平移的距离为 ，故答案为： ；
（2）解：根据题意，如图所示，
∴ ， ， ，
根据题意， ，
∴四边形 是直角梯形，
∴ ， ，
∴
，
∴ 的面积为 ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴由（2）可知 的面积为 ，
∴当平移的距离等于 时， ， ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
18．（2024上·广东清远·七年级统考期末）三角形 和三角形 的顶点 互相重合， ，
， ， ．(1)如图1，当 与 重合， 时， ；
(2)如图2，三角形 固定不动，将三角形 绕点 旋转，使点 落到 的延长线上，当 ，
且射线 平分 时，求 的度数；
(3)三角形 固定不动，将三角形 绕点 旋转，当 且射线 平分 时，求 ．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据已知条件，结合角度之间的关系计算即可；
（2）连接 ，利用三角形的内角和定理得出 ，再由角平分线定理得出 ，再根据等腰
三角形的性质得出 ，由平角为 得出 ，最后再利用三角形的内角和定理求出 即可；
（3）分两种情况，当点E在线段 上面时，根据题意得 ，由
，即可求得；当点E在线段 下面时，可得 ，由
即可求得．
【详解】（1）解：∵当 与 重合， ， ，
∴ ，
故答案为∶ ．
（2）连接 ，如下图：
∵ ， ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∵点 落到 的延长线上，
∴ ，
∴ ；
（3）①当点E在线段 上面时，如图，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
则 ；
②当点E在线段 下面时，如图，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
则 ；
故 为 或 ．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质、等腰三角形的性质三角形内角和定理和旋转所成角度，解题的关键是分类讨论思想的应用和应用角平分性质．
