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第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组（B 卷·能力提升练）
（时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案中是正确的，每小题2分，共20分）
1. 不等式 的解集在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
【分析】将已知解集表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式 的解集在数轴上表示正确的是 ．
故选： ．
【点评】考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来 ， 向右画； ，
向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个
数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“ ”，“ ”要用实心圆
点表示；“ ”，“ ”要用空心圆点表示．
2. 据气象台预报，2022年6月某日我区最高气温 ，最低气温 ，则当天气温 的变化范围是
A． B． C． D．
【分析】根据2022年6月某日我区最高气温 ，最低气温 得出答案即可．
【解答】解： 年6月某日我区最高气温 ，最低气温 ，
当天气温 的变化范围是 ，
故选： ．
【点评】本题考查了不等式的定义，注意： 的范围包括 和 ．3. 在下列数学表达式：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是不等式
的有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据不等式的定义逐个判断即可．
【解答】解：不等式有： ， ， ， ，共4个，
故选： ．
【点评】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号 ， ， ，
， 表示不等关系的式子，叫不等式．
4. 若 ，则下列不等式不一定成立的是
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的性质，对给出的选项逐一分析判断即可．
【解答】解： ． ， ，原变形正确，故此选项不符合题意；
． ，当 时， ，原变形不一定正确，故此选项符合题意；
． ， ，原变形正确，故此选项不符合题意；
． ， ，原变形正确，故此选项不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．不等式的基本性质：①不等式的两边
同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以
（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的
方向改变．
5. 下列数值是不等式 的解的是
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据 进行判断即可．
【解答】解：不等式 的整数解有1、0、 、 、
故选： ．【点评】本题考查不等式的解集，理解不等式 的解集的意义是正确判断的关键．
6. 据深圳气象台“天气预报”报道，今天深圳的最低气温是 ，最高气温是 ，则今天气温 的取
值范围是
A． B． C． D．
【分析】根据今天的最低气温是 可得： ，根据最高气温是 可得： ，再找出 的公共解
集即可．
【解答】解：根据今天的最低气温是 可得： ，
根据最高气温是 可得： ，
则气温范围是： ，
故选： ．
【点评】此题主要考查了由实际问题列不等式，关键是抓住关键词“不足”，“不少于”，“不大于”，
“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．
7. 若 ，那么下列式子错误的是
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的基本性质1，基本性质2和基本性质3，进行计算即可解答．
【解答】解： 、 ，
，
故 符合题意；
、 ，
，
故 不符合题意；
、 ，
，故 不符合题意；
、 ，
，
故 不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
8. 若 是关于 的一元一次不等式，则 的值为
A． B． C． D． 或
【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出 的值．
【解答】解：根据题意得： 且 ，
解得： ．
故选： ．
【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，掌握含有一个未知数，未知数的次数是 1的不等式，叫做一
元一次不等式是解本题的关键．
9. 下列式子是一元一次不等式的是
A． B． C． D．
【分析】只含有一次未知数，且未知数的最高次数为1的不等式叫一元一次不等式，根据一元一次不等式
的定义可直接判断求解．
【解答】解： ．此不等式含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
．此不等式最高次数是2次，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
．此不等式是一元一次不等式，故此选项符合题意；
．此不等式中 不是整式，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意．
故选： ．
【点评】本题主要考查一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．要注意：一元
一次不等式中必须只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，并且不等式左右两边必须是整式．
10. 关于 的不等式组 无解，则字母 的取值可以是A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据不等式组无解的条件确定出 的范围即可．
【解答】解： 关于 的不等式组 无解，
，
故选： ．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，弄清不等式组无解的条件是解本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 已知不等式 ， 的最小值是 ； ， 的最大值是 ，则 ．
【分析】解答此题要理解“ ”“ ”的意义，判断出 和 的最值即可解答．
【解答】解：因为 的最小值是 ， ；
的最大值是 ，则 ；
则 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了不等式的定义，解答此题要明确， 时， 可以等于2； 时， 可以等于 ．
12. 甲种蔬菜保鲜的适宜温度（单位： 是 ，乙种蔬菜保鲜的适宜温度是 ，将这两种蔬菜放在
一起同时保鲜，则保鲜的适宜温度 （单位： 的范围是 ．
【分析】根据“ ”，“ ”组成不等式组，解不等式组即可求解．
【解答】解：根据题意可知 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，关键是弄懂题意，列出不等式，根据不等式组解集的
确定规律：大小小大中间找确定出 的解集．
13. 假期里全家去旅游，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 ．【分析】根据题意写出车速的取值范围，写出一个车速即可．
【解答】解：设车速为 ，
则 ，
建议车速为 ．
故答案为：80（答案不唯一）．
【点评】本题考查了不等式的定义，根据题意写出车速的取值范围是解题的关键．
14. 若 ，且 ，则 的取值范围是 ．
【分析】根据不等式的基本性质，发现不等式的两边都乘 后，不等号的方向改变了，说明 是
负数，从而得出答案．
【解答】解：根据题意得： ，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，不
等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同
时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
15. 若 ，则 （填“ ”或“ ”或“ ” ．
【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【解答】解： ，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
16. 如果关于 的不等式组 无解，则常数 的取值范围是 ．【分析】根据不等式组解集的表示方法，可得答案．
【解答】解：由关于 的不等式组 无解，得
，
解得 ，
则常数 的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了不等式的解集，利用不等式组无解得出关于 的不等式解题关键．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17. 若不等式组 的解集是 ．
（1） 的取值范围是 ；
（2）试化简： ．
【分析】（1）根据不等式的解集的计算方法进行求解即可得出答案；
（2）根据（1）中 的取值范围，根据绝对值的意义进行化简即可得出答案．
【解答】解：（1） 不等式组 的解集是 ，
．
故答案为： ；
（2） ，
， ，
．
【点评】本题主要考查了不等式的解集及绝对值，熟练掌握不等式的解集的求法及绝对值的意义进行求解
是解集本题的关键．
18. （1）解： ；（2）解不等式组： ，并把它的解集表示在数轴上．
【分析】（1）利用加减消元法求解可得；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
【解答】解：（1）原方程组整理得 ，
② ① 得： ，
解得： ，
将 代入①得： ，
则方程组的解为 ；
（2）原不等式组化为 ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
则不等式组的解集为 ，
并把它的解集表示在数轴上
【点评】本题考查的是解二元一次方程组与一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间
找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．
19. （1）阅读理解“ ”的几何意义是：数 在数轴上对应的点到原点的距离，所以“ ”可理解为：
数 在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：
①“ ”可理解为 ；②请列举两个符号不同的整数，使不等式“ ”成立，列举的 的值为 ．
我们定义：形如“ ， ， ， ” 为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能
使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）理解应用：根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
由上图可以得出：绝对值不等式 的解集是 或 ，绝对值不等式 的解集是 ．则：
①不等式 的解集是 ．
②不等式 的解集是 ．
【分析】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）；
（2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答．
【解答】解：（1）①由题意可得，“ ”可理解为数 在数轴上对应的点到原点的距离小于2．
故答案为：数 在数轴上对应的点到原点的距离小于2．
②使不等式“ ”成立的整数为 ，3（答案不唯一，合理即可）．
故答案为： ，3（答案不唯一，合理即可）．
（2）①不等式 的解集是 或 ．
故答案为： 或 ．
②不等式 的解集是 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
四、解答题：（第20题10分，第21题12分，共22分）
20. （1）【阅读理解】“ ”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“ ”可理解为：数 在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：
①“ ”可理解为 ；
②请列举两个符号不同的整数，使不等式“ ”成立，列举的 的值为 和 ．
我们定义：形如“ ”“ ”“ ”“ ” 为非负数）的不等式叫做绝对值不
等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
由如图可以得出：绝对值不等式 的解集是 或 ，
绝对值不等式 的解集是 ．
则：①不等式 的解集是 ．
②不等式 的解集是 ．
（3）【拓展应用】解不等式 ，并画图说明．
【分析】（1）①由题可知 可以理解为：数 在数轴上对应的点到原点的距离小于2；
②使不等式 成立的整数 有3， ；
（2）①根据题意可求 的解集为 或 ；
②根据题意可求 的解集为 ；
（3）根据绝对值的几何意义可得答案．
【解答】解：（1）①由题意可知 可以理解为：数 在数轴上对应的点到原点的距离小于2，
故答案为：数 在数轴上对应的点到原点的距离小于2；
②使不等式 成立的整数 有3， ，故答案为：3， ；
（2）①根据题意可求 或 ，
或 ，
故答案为： 或 ；
②根据题意可求 的解集为 ，
故答案为 ；
（3）根据绝对值的几何意义可知，不等式 的解集就是数轴上表示数 的点，到表示
与3的点的距离之和不小于4的所有 的值，
如下图可知，不等式 的解集是 或 ．
【点评】本题考查不等式的定义及数轴，理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组求
解是解题的关键．
21. 对于不等式 ，圆圆的解法如下：
解：原不等式可化为
去括号得
合并同类项得
所以原不等式的解为
圆圆的解法是否正确？如果不正确，请提供正确的解法．
【分析】方程前四步都有误，错误原因是：第一步方程两边都乘以6时，右边的1没有乘以6，导致后面
出错，写出正确的解答过程即可．
【解答】解：步骤①错误，导致后面错误，正确解法如下：
原不等式可化为 ，
去括号得 ，
合并同类项得 ，所以原不等式的解为 ．
【点评】此题考查了不等式的性质和解一元一次不等式的方法，熟练掌握不等式的性质和解一元一次不等
式的方法是解题的关键．
五、解答题：（本题12分）
22. 在数轴上有 ， 两点，其中点 所对应的数是 ，点 所对应的数是1．已知 ， 两点的距离小于
3，请你利用数轴．
（1）写出 所满足的不等式；
（2）数 ，0，4所对应的点到点 的距离小于3吗？
【分析】根据数轴上两点之间的距离为这两个数差的绝对值，列出不等式并解出结果．
【解答】解：（1）根据题意得： ，
得出 ，
（2）由（1）得：到点 的距离小于3的数在 和4之间，
在 ，0，4三个数中，只有0所对应的点到 点的距离小于3．
【点评】本题考查了数轴上两点之间的距离为两个数差的绝对值，以及解不等式，难度适中．
六、解答题：（本题12分）
23. 已知 ， ．
（1）用含 的代数式分别表示 ， ；
（2）当 时，求 的取值范围．
【分析】（1）直接利用已知将原式变形求出答案；
（2）利用 得出关于 的不等式求出答案．
【解答】解：（1）由 ，得 ，
由 ，得 ；
（2） ，
解得： ．
的取值范围为 ．【点评】此题主要考查了不等式的性质，直接将原式变形是解题关键．
七、解答题：(本题12分)
24. 我们定义，关于同一个未知数的不等式 和 ，两个不等式的解集相同，则称 与 为同解不等式．
（1）若关于 的不等式 ，不等式 是同解不等式，求 的值；
（2）若关于 的不等式 ，不等式 是同解不等式，其中 ， 是正整数，求 ，
的值；
（3）若关于 的不等式 ，不等式 是同解不等式，试求关于 的
不等式 的解集．
【分析】（1）利用题干中的同解不等式的定义求解；
（2）利用题干中的同解不等式的定义及整除定义求解；
（3）利用题干中的同解不等式的定义求出字母的取值，再解字母系数的不等式．
【解答】解：（1）解关于 的不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
由题意得： ，
解得： ．
（2）解不等式 得： ，
不等式 得： ，
，
，
， 是正整数，
为1或4或2，
， 或； ， 或 ， ．
（3）解不等式 得： ，解不等式 得： ，
，
，
，
，且 ，
，
的解为： ．
【点评】本题考查了不等式的性质及解不等式，理解新定义时解题的关键．
