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北师大版九年级上册第三章 概率的进一步认识 单元测试
一．选择题（共10小题）
1．（2021•济南）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”
“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选
到同一个宣传队的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
9 6 3 3
【答案】C
【解析】解：把“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种，
3 1
∴小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为 = ，
9 3
故选：C．
2．（2021•阜新）小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，
她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（ ）
1 2 1 5
A． B． C． D．
2 3 6 6
【答案】C
【解析】解：画树状图如图：
，
共有6个等可能的结果，恰好取到红色帽子和红色围巾的结果有1个，
1
∴恰好取到红色帽子和红色围巾的概率为 ，
6故选：C．
3．（2021•广州）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等
奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名
女学生的概率为（ ）
2 1 1 1
A． B． C． D．
3 2 3 6
【答案】B
【解析】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好抽到2名女学生的结果有6种，
6 1
∴恰好抽到2名女学生的概率为 = ，
12 2
故选：B．
4．（2021•河南）现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面
朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（
）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 8 10 12
【答案】A
【解析】解：把4张卡片分别记为：A、B、C、D，
画树状图如图：共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的结果有2种，
2 1
∴两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率为 = ，
12 6
故选：A．
5．（2021•安徽）如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以围成
一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点A的概率是（ ）
1 1 3 4
A． B． C． D．
4 3 8 9
【答案】D
【解析】解：将从左到右的三条竖线分别记作 a、b、c，将从上到下的三条横线分别记作 m、
n、l，列表如下，
ab bc ac
mn ab、mn bc、mn ac、mn
nl ab、nl bc、nl ac、nl
ml ab、ml bc、ml ac、ml
由表可知共有9种等可能结果，其中所选矩形含点A的有bc、mn；bc、ml；ac、mn；ac、ml这
4种结果，
4
∴所选矩形含点A的概率 ，
9
故选：D．
6．（2020•盘锦）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区 1000名九年级男生的
身高数据，统计结果如下：
身高x/cm x＜160 160≤x＜170 170≤x＜180 x≥180
人数 60 260 550 130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于 170cm的概率是（）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
【答案】C
550+130
【解析】解：样本中身高不低于170cm的频率= =0.68，
1000
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．
故选：C．
7．（2020•德阳）下列说法错误的是（ ）
A．方差可以衡量一组数据的波动大小
B．抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度
C．一组数据的众数有且只有一个
D．抛掷一枚图钉针尖朝上的概率，不能用列举法求得
【答案】C
【解析】解：方差可以衡量一组数据的波动大小，故选项A正确；
抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度，故选项B正确；
一组数据的众数有一个或者几个或者没有，故选项C错误；
抛掷一枚图钉针尖朝上的概率，不能用列举法求得，故选项D正确；
故选：C．
8．（2020•邵阳）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解
该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为 5m，宽为4m的长方形，将不规则图案
围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数
（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示
的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．6m2 B．7m2 C．8m2 D．9m2【答案】B
【解析】解：假设不规则图案面积为xm2，
由已知得：长方形面积为20m2，
x
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
20
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件 A发生的概率估计值，故由折
线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
x
综上有： =0.35，解得x＝7．
20
故选：B．
9．（2020•广西）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条
路径，则它获得食物的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 4 3 2
【答案】C
【解析】解：由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选
择一条路径，
观察图可得：第一次选择，它有3种路径；第二次选择，每次又都有2种路径；
两次共6种等可能结果，其中获得食物的有2种结果，
2 1
∴获得食物的概率是 = ，
6 3
故选：C．
10．（2020•东营）如图．随机闭合开关K 、K 、K 中的两个，则能让两盏灯泡L 、L 同时发光的
1 2 3 1 2
概率为（ ）1 1 2 1
A． B． C． D．
6 2 3 3
【答案】D
【解析】解：画树状图，如图所示：
随机闭合开关 K 、K 、K 中的两个有六种情况：闭合 K K ，闭合 K K ，闭合 K K ，闭合
1 2 3 1 2 1 3 2 1
K K ，闭合K K ，闭合K K ，
2 3 3 1 3 2
能让两盏灯泡L 、L 同时发光的有两种情况：闭合K K ，闭合K K ，
1 2 2 3 3 2
2 1
则P（能让两盏灯泡L 、L 同时发光）= = ．
1 2
6 3
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．（2021•河池）从﹣2，4，5这3个数中，任取两个数作为点P的坐标，则点P在第四象限的概
1
率是 ．
3
1
【答案】
3
【解析】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，它们是：（﹣2，4），（﹣2，5），（4，﹣2），（4，5），（5，4），（5，﹣2），
其中点P在第四象限的结果数为2，即（4，﹣2），（5，﹣2），
2 1
所以点P在第四象限的概率= = ．
6 3
1
故答案为 ．
3
12．（2021•镇江）一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都
相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红），则放入的红球
个数为 3 ．
【答案】3
【解析】解：假设袋中红球个数为1，
此时袋中有1个黄球、1个红球，
搅匀后从中任意摸出两个球，P（摸出一红一黄） ＝1，P（摸出两红） ＝0，不符合题意．
假设袋中的红球个数为2，
列树状图如下：
由图可知，共有6种情况，其中两次摸到红球的情况有2种，摸出一红一黄的有4种结果，
4 2 2 1
∴P（摸出一红一黄）= = ，P（摸出两红）= = ，不符合题意，
6 3 6 3
假设袋中的红球个数为3，
画树状图如下：
由图可知，共有12种情况，其中两次摸到红球的情况有6种，摸出一红一黄的有6种结果，
6 1
∴P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红）= = ，符合题意，
12 2
所以放入的红球个数为3，故答案为：3．
13．（2021•湖北）不透明的布袋中有红、黄、蓝3种只是颜色不同的钢笔各1支，先从中摸出1支，
记录下它的颜色，将它放回布袋并搅匀，再从中随机摸出1支，记录下颜色，那么这两次摸出的
2
钢笔为红色、黄色各一支的概率为 ．
9
2
【答案】
9
【解析】解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果，两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的结果有2种，
2
∴两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的概率为 ，
9
2
故答案为： ．
9
14．（2021•贺州）盒子里有4张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字2，3，4，
5．从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的概
1
率是 ．
3
1
【答案】
3
【解析】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的结果有4种，
4 1
∴两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的概率为 = ，
12 3
1
故答案为： ．
315．（2021•贵阳）贵阳市2021年中考物理实验操作技能测试中，要求学生两人一组合作进行，并
随机抽签决定分组．有甲、乙、丙、丁四位同学参加测试，则甲、乙两位同学分到同一组的概
1
率是 ．
3
1
【答案】
3
【解析】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有4种，
4 1
∴甲、乙两位同学分到同一组的概率为 = ，
12 3
1
故答案为： ．
3
16．（2021•聊城）有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有等边三角形、平行四
边形、菱形和圆，将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上
1
的图形都既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ．
6
1
【答案】
6
【解析】解：等边三角形是轴对称图形，平行四边形是中心对称图形，菱形和圆既是轴对称图
形，又是中心对称图形，
把印有等边三角形、平行四边形、菱形和圆的四张卡片分别记为：A、B、C、D，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，所抽取的卡片正面上的图形都既是轴对称图形，又是中心对称图形的
结果有2种，2 1
∴所抽取的卡片正面上的图形都既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率为 = ，
12 6
1
故答案为： ．
6
三．解答题（共8小题）
17．（2021•宁夏）2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达
峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成
四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常
了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
（1）参加这次调查的学生总人数为 4 0 人；
（2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是 108 ° ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、
碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男
生和1名女生的概率．
【解析】解：（1）参加这次调查的学生总人数为6÷15%＝40（人），
故答案为：40；
12
（2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是360°× =108°，
40
故答案为：108°；
（3）C类别人数为40﹣（6+12+4）＝18（人），补全图形如下：
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果数为8，
8 2
∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率 = ．
12 3
18．（2021•内江）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱
情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计
图．
请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取 2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【解析】解：（1）这次被调查的学生人数为15÷30%＝50（名）；
（2）喜爱“体育”的人数为50﹣（4+15+18+3）＝10（名），
补全图形如下：
10
（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有3000× =600（名）；
50
（4）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 ﹣﹣﹣ （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）
乙 （甲，乙） ﹣﹣﹣ （丙，乙） （丁，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） ﹣﹣﹣ （丁，丙）
丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ﹣﹣﹣
所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，
2 1
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为 = ．
12 6
19．（2021•黔西南州）为引导学生知史爱党、知史爱国，某中学组织全校学生进行“党史知识”
竞赛，该校德育处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、
一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）德育处一共随机抽取了 40 名学生的竞赛成绩；在扇形统计图中，表示“一般”的扇
形圆心角的度数为 108 ° ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1400名学生，估计该校大约有多少名学生在这次竞赛中成绩优秀？
（4）德育处决定从本次竞赛成绩前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取 2名同学参加全市
“党史知识”竞赛，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
【解析】解：（1）德育处一共随机抽取的学生人数为：16÷40%＝40（名），
则在条形统计图中，成绩“一般”的学生人数为：40﹣10﹣16﹣2＝12（名），
12
∴在扇形统计图中，成绩“一般”的扇形圆心角的度数为：360°× =108°，
40
故答案为：40，108°；
（2）把条形统计图补充完整如下：
10
（3）1400× =350（名），
40
即估计该校大约有350名学生在这次竞赛中成绩优秀；
（4）画树状图如图：共有12种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有2种，
2 1
∴恰好选中甲和乙的概率为 = ．
12 6
20．（2021•西宁）某校在“庆祝建党100周年”系列活动中举行了主题为“学史明理，学史增信，
学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛．设竞赛成绩为x分，若规定：当x≥90时为优秀，
75≤x＜90时为良好，60≤x＜75时为一般，现随机抽取30位同学的竞赛成绩如表：
98 88 90 72 100 78 95 92 100 99
84 92 75 100 85 90 93 93 70 92
78 89 91 83 93 98 88 85 90 100
（1）本次抽样调查的样本容量是 3 0 ，样本数据中成绩为“优秀”的频率是 0. 6 ；
（2）在本次调查中，A，B，C，D四位同学的竞赛成绩均为100分，其中A，B在九年级，C在
八年级，D在七年级，若要从中随机抽取两位同学参加联盟校的党史知识竞赛，请用画树状图
或列表的方法求出抽到的两位同学都在九年级的概率，并写出所有等可能结果．
【解析】解：（1）本次抽样调查的样本容量是30，样本数据中成绩为“优秀”的频率是18÷30
＝0.6，
故答案为：30，0.6；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，抽到的两位同学都在九年级的结果有2种，即BA，AB，
2 1
∴抽到的两位同学都在九年级的概率为 = ，
12 6
所有等可能结果为：AB（BA）、AC（CA）、AD（DA）、BC（CB）、BD（DB）、CD
（DC）．
21．（2021•绵阳）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了党史知识竞赛．某年级随机选出
一个班的初赛成绩进行统计，得到统计图表，已知在扇形统计图中D段对应扇形圆心角为72°．分段 成绩范围 频数 频率
A 90～100 a m
B 80～89 20 b
C 70～79 c 0.3
D 70分以下 10 n
注：90～100表示成绩x满足：90≤x≤100，下同．
（1）在统计表中，a＝ 5 ，b＝ 0. 4 ，c＝ 1 5 ；
（2）若该年级参加初赛的学生共有2000人，根据以上统计数据估计该年级成绩在90分及以上
的学生人数；
（3）若统计表A段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1
名男生和1名女生的概率．
【解析】解：（1）总人数为：10÷（72÷360）＝50（人），
∴b＝20÷50＝0.4，c＝50×0.3＝15（人），
∴a＝50﹣（20+15+10）＝5（人），
故答案为：5，0.4，15；
（2）由题意得：成绩在90～100之间的人数为5，
随机选出的这个班级总人数为50，
设该年级成绩在90～100之间的人数为y，
y 5
则 = ，
2000 50
解得：y＝200，
（3）由（1）（2）可知：A段有男生2人，女生3人，
记2名男生分别为男1，男2；记3名女生分别为女1，女2，女3，
选出2名学生的结果有：
男1男2，男1女1，男1女2，男1女3，男2女1，
男2女2，男2女3，女1女2，女1女3，女2女3，共10种结果，并且它们出现的可能性相等，
其中包含1名男生1名女生的结果有6种，
6 3 3
∴P= = ，即选到1名男生和1名女生的概率为 ．
10 5 5
22．（2021•日照）为庆祝中国共产党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织
学生参加《党史知识》测试（满分100分）．为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级
中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
七年级：86 88 95 90 100 95 95 99 93 100
八年级：100 98 98 89 87 98 95 90 90 89
整理数据：
成绩x（分） 85＜x≤90 90＜x≤95 95＜x≤100
年级
七年级 3 4 3
八年级 5 a b
分析数据：
统计量 平均数 中位数 众数
年级
七年级 94.1 95 d
八年级 93.4 c 98
应用数据：
（1）填空：a＝ 1 ，b＝ 4 ，c＝ 92. 5 ，d＝ 9 5 ；
（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；
（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2
名．现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，
求恰好抽到同年级学生的概率．
【解析】解：（1）a＝1，b＝4，
八年级成绩按由小到大排列为：87，89，89，90，90，95，98，98，98，100，
90+95
所以八年级成绩的中位数c= =92.5，
2
七年级成绩中95出现的次数最多，则d＝95；
故答案为1，4，92.5，95；4
（2）200× =80，
10
估计八年级测试成绩大于95分的人数为80人；
（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果，其中两同学为同年级的结果数为8，
8 2
所以抽到同年级学生的概率= = ．
20 5
23．（2021•盘锦）某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌
握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩
（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8 8
众数 a 7
中位数 8 b
优秀率 80% 60%
（1）填空：a＝ 8 ，b＝ 8 ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明
理由（写出一条即可）．
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或
画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．【解析】解：（1）由众数的定义得：a＝8，
八年级抽取学生的测试成绩的中位数为8（分），
故答案为：8，8；
（2）七年级的学生党史知识掌握得较好，理由如下：
∵七年级的优秀率大于八年级的优秀率，
∴七年级的学生党史知识掌握得较好；
（3）500×80%+500×60%＝700（人），
即估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为700人；
（4）把七年级获得10分的学生记为A，八年级获得10分的学生记为B，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，
6 1
∴被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为 = ．
12 2
24．（2021•朝阳）为了迎接建党100周年，学校举办了“感党恩•跟党走”主题社团活动，小颖喜
欢的社团有写作社团、书画社团、演讲社团、舞蹈社团（分别用字母 A，B，C，D依次表示这
四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片正面，然后将这四张卡片
背面朝上洗匀后放在桌面上．
1
（1）小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团D的概率是 ；
4
（2）小颖先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母不放回，再从剩下的卡片中随机抽取
一张卡片，记录下卡片上的字母，请用列表法或画树状图法求出小颖抽取的两张卡片中有一张
是演讲社团C的概率．【解析】解：（1）∵共有4种可能出现的结果，其中是舞蹈社团D的有1种，
1
∴小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团D的概率是 ，
4
1
故答案为： ；
4
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，其中有一张是演讲社团C的有6种，
6 1
∴小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团C的概率是 = ．
12 2
