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第 03 讲 类比归纳专题：求平面直角坐标系中的图形面积
(4 类热点题型讲练)
目录
【类型一 与面积有关的点的位置不定产生多解】................................................................................................1
【类型二 直接利用面积公式求图形的面积】........................................................................................................5
【类型三 利用补形法或分割法求图形的面积】..................................................................................................12
【类型四 与图形面积相关的点的存在性问题】..................................................................................................19
【类型一 与面积有关的点的位置不定产生多解】
例题：（23-24七年级上·河北邢台·期末）已知点 和点 两点，且直线AB与坐标轴围成的三角
形的面积等于12，则点A的坐标为 ．
【答案】 或
【知识点】坐标与图形
【分析】本题考查了坐标与图形．先求出 、 的长度，再利用三角形的面积列方程求出 的值，然后
写出点 的坐标即可．
【详解】解： 点 和点 两点，
， ，
直线 与坐标轴围成的三角形的面积等于12，
，
解得 ，
所以，点 的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 的坐标为 ，点 的
坐标为 ，点 的坐标为 ，其中 ， ， 满足方程组 ，连接 ， ， ，若
的面积等于 ，则 的值为（ ）A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】D
【知识点】坐标与图形
【分析】本题主要考查平面直角坐标系，根据题意可求得 ，然后分情况可得到
和 ，据此即可求得答案．
【详解】
，得
．
化简，得
．
可得
．
同理可得 ， ．
则 ．
如图①②时，可得
．
解得
．
如图③时，可得
．
解得．
综上所述， 或 ．
故选：D
2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系 中，对于任意三点 ， ， 的“矩面积”，
给出如下定义：“水平底” ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高” ：任意两点纵坐标差的最大值，
则“矩面积” ．例如：三点坐标分别为 ， ， ，则“水平底” ，“铅垂
高” ，“矩面积” ．若 ， ， 三点的“矩面积”为 ，则 的值为
（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】C
【知识点】坐标与图形
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，根据题意可以求得 的值，然后再对 进行讨论，即可求得 的值，
解题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题．
【详解】由题意可得，“水平底” ，
当 时， ，
则 ，
解得： ，
故点 的坐标为 ；
当 时， ，
故此种情况不符合题意；
当 时， ，
则 ，
解得： ，
故选： ．
3．（23-24七年级下·江西南昌·期中）已知点 ， ，点 在坐标轴上，且三角形 的面积是
2，则满足条件的点 的坐标为 ．
【答案】 或 或
【知识点】坐标与图形
【分析】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，根据点C位于不同的数轴分类讨论是解题的关键．
分点C在x轴上和y轴上两种情况求解．
【详解】解：若点C在x轴上，则 ，解得 ，
所以，点C的坐标为 或 ，
若点C在y轴上，则 ，
解得 ，
所以，点C的坐标为(0,4)或 ，
综上所述，点C的坐标为 或 或(0,4)，
故答案为： 或 或(0,4)．
4．（23-24七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系 中，已知三角形的三个顶点坐标分别是
， ， ，点P在y轴上，设三角形 和三角形 的面积相等，那么点P坐标是
．
【答案】 或
【知识点】坐标与图形
【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握点坐标的性质是解题关键．设点 坐标是 ，先分别求出三
角形 和三角形 的面积，再根据三角形 和三角形 的面积相等建立方程，解方程即可得答
案．
【详解】解：如图，由题意，设点 坐标是 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，三角形 的 边上的高为1，
∴三角形 的面积为 ，三角形 的面积为 ，
∵三角形 和三角形 的面积相等，
∴ ，
解得 或 ，则点 坐标是 或(0,3)，
故答案为： 或(0,3)．
【类型二 直接利用面积公式求图形的面积】
例题：如图，在平面直角坐标系中，点 、 的坐标分别为 ， ，且 ， 满足 ，
点 的坐标为 ．
(1)求 ， 的值；
(2)求 的面积．
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，即可求得 ， 的值；
（2）根据 ， 的值可以确定点 、 的坐标，进而求得 ， 的距离，即可求得 的面积．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
（2）解：∵ ， ，
∴点 ，点 ，
又∵点 ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质、绝对值、算术平方根的非负性以及三角形的面积公式，解题的关
键是：根据绝对值、算术平方根的非负性求出 ， 的值．
【变式训练】
1.如图，在平面直角坐标系中，三角形 的边 在 轴上，且 ，顶点 的坐标为 ，顶点的坐标为 ．
(1)画出所有符合条件的三角形 ，并写出点 的坐标；
(2)求三角形 的面积．
【答案】(1)点 或 ，图见解析；
(2)
【分析】（1）根据题意设点 ，再根据数轴上两点之间的距离公式即可解答；
（2）根据点 的纵坐标为 ， 即可解答．
【详解】（1）解：∵三角形 的边 在 轴上
∴设点 ，
∵ ，顶点 的坐标为 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 或 ，
∵顶点 的坐标为 ，
∴ 如图所示：（2）解：∵顶点 的坐标为 ，
∴点 的纵坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
即 的面积为 ．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，数轴上两点之间的距离公式，利用网格求三角形的
面积，掌握平面直角坐标系内点的坐标特征是解题的关键．
2．（23-24七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系 中，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为
，过点 作直线 轴，垂足为C，交线段 于点D，过点A作 ，垂足为E，连接
．
(1)求 的面积；
(2)点P为直线 上一动点，当 时，求点P的坐标．
【答案】(1)6
(2) 或
【知识点】坐标与图形
【分析】本题主要考查了坐标与图形：（1）先证明 轴， 再由点A和点B的坐标得到 ， ，据此根据三角形面积计
算公式求解即可；
（2）先求出 ， ，则 ， ，设 ， 再分点P在x轴上方
和x轴下方两种情况，画出对应的图形求解即可．
【详解】（1）解： 轴， ，
轴，
点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为
， ，
；
（2）解： 点 坐标为 ，
， ，
，
∴ ，
设 ，如图所示：
当点 在 轴上方时，则点P一定在点E上方，
∴
，
，
，
点 的坐标为 ；
当点 在 轴下方时，过点 作 轴于N，
∴
，
，
或 （舍去），
点 的坐标为： ；
点 的坐标为： 或 ．
3．（2023春·河北廊坊·七年级校考期中）如图在平面直角坐标系中，已知 ， ， ，
其中a、b满足 ．
(1)求a、b的值；
(2)求 的面积；
(3)在x轴上求一点P，使得 的面积与 的面积相等．
【答案】(1) ，
(2)
(3)【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性求解即可；
（2）由（1）可知点A、B的坐标，从而可求出 ，再根据三角形的面积公式计算即可；
（3）设 ，则 ，根据三角形的面积公式可求出 ，结合题意可列出关于x的
等式，解出x的值即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
解得： ， ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：设 ，
∴ ，
∴ ．
∵ 的面积与 的面积相等，
∴ ，
解得： 或 ，
∴点P的坐标为 或 ．
当点P的坐标为 时点B与点P重合，
∴点P的坐标为 ．
【点睛】本题考查非负数的性质，坐标与图形，绝对值方程的应用等知识．掌握绝对值和平方的非负性，
利用数形结合的思想是解题关键．
4．（2023春·辽宁大连·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，
， ．(1)求三角形 的面积；
(2)设点 是 轴上一点，若 ，试求点 坐标；
(3)若点 在线段 上，求用含 的式子表示 ．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】（1）根据三角形的面积公式解答即可；
（2）根据三角形的面积公式和坐标特点得出方程解答即可；
（3）根据 ，进行计算即可解答．
【详解】（1）解： ， ， ，
， ，
；
（2）解：设点 是 轴上一点，坐标为 ，
， ，
，
，
即 ，
解得： 或 ，
或 ；
（3）解：如图，连接 ，，
， ，
， ，
，
， ，
，
点 在第三象限，
， ，
，
整理得： ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．
【类型三 利用补形法或分割法求图形的面积】
例题：（2023春·江西南昌·七年级校联考期中）如图，已知点 ， ， ，求三角形
的面积．
【答案】18【分析】方法一：如图，作长方形 ，由 可得答案；
方法二：如图，过点B作 轴，并分别过点A和点C作 的垂线，垂足分别为点E，F，由
可得答案；
方法三：如图，过点A作 轴，并分别过点C和点B作 的垂线，垂足分别为点D，E，由
可得答案．
【详解】解：方法一：如图，作长方形 ，
则
．
方法二：如图，过点B作 轴，并分别过点A和点C作 的垂线，垂足分别为点E，F．
∴ ， ， ， ， ，
∴
．
方法三：如图，过点A作 轴，并分别过点C和点B作 的垂线，垂足分别为点D，E．
∴ ， ， ， ， ，
∴
．
【点睛】本题考查的是网格三角形的面积，坐标与图形，熟练的构建与网格三角形面积相关的长方形与梯
形是解本题的关键．
【变式训练】1．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）已知平面直角坐标系中x轴与y轴交于点O，坐标系内两点
、 如图所示，连接 ，求三角形 的面积．
【答案】
【知识点】坐标与图形
【分析】本题主要考查坐标与图形，平面直角坐标系的特点，图形结合分析，是解题的关键．
如图所示，作 轴，作 轴，由此可得 的值，根据
，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∴ 的面积为 ．
2．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，已知 ， ， ， ．(1)求四边形 的面积；
(2)在y轴上存在一点P，使三角形 的面积等于四边形 面积的一半，求P点的坐标．
【答案】(1)20
(2)P点的坐标 或 ．
【知识点】坐标与图形
【分析】此题主要考查了多边形面积及坐标系的基础知识，解题关键是熟练掌握基础图形面积公式．
（1）观察图形，用分割法求解，分别过 、 两点作 轴的垂线，将图形分割为两个直角三角形和一个直
角梯形，再根据直角三角形和直角梯形的面积公式求面积和即可；
（2） 点的纵坐标到原点的距离就是 的 边上的高，根据（1） 点到原点的距离，再根据 点分
别在 轴正负半轴，写出 点的坐标即可．
【详解】（1）解：分别过 、 两点作 轴的垂线，垂足分别为 、 ，如下图：
∵ ， ， ， ，
∴ ， ， ， ， ，
则
；
（2）解：设 的 边上的高为 ，由 ，
得： ，
解得 ，
又∵ 点在 轴上，
∴P点的坐标 或 ．
3．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平面直角坐标系内有四个点： ， ，
， ．(1)求三角形 的面积；
(2)求四边形 的面积；
(3)若点P在x轴上，直线 将四边形 的面积分成 两部分，求点P的坐标．
【答案】(1)3
(2)9
(3) 或
【知识点】坐标与图形
【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积的计算，解题的关键是数形结合，用分割法求出不规则图
形的面积，再进行计算是解本题的关键．
（1）根据 ， ，得出 ， ，利用三角形面积公式求出结果即可；
（2）作 轴于点E，利用割补法求出四边形 的面积即可；
（3）先求出 的面积，分两种情况：当 时， ，当
， ，求出 的值，进而可得 的值，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解：作 轴于点E，如图所示：
∵ ， ．
∴ ， ， ， ，∴ ，
，
∴ ；
（3）解： ，
∵ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
解得： ，
∴点 的坐标为(1,0)；
当 时， ，
∴ ，
解得： ，
∴点 的坐标为 ；
综上所述，点 的坐标为(1,0)或 ．
4．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 各顶点的坐标分
别是 ，且 与x轴的交点E的坐标为 ，求这个四边形
的面积．
【答案】
【知识点】坐标与图形
【分析】本题主要考查了坐标与图形，过点 作 轴的垂线 ，过点 ，点 分别作 轴的垂线 ，
分别与直线 交于点 ，根据 进行求解即可．【详解】解：如图，过点 作 轴的垂线 ，过点 ，点 分别作 轴的垂线 ，分别与直线 交
于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ．
5．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，在直角坐标平面内，已知 ， ， ，线
段 经过原点O．
(1)求 的面积；
(2)在x轴上是否存在一点D，使 ，如果存在，求出点D的坐标，如果不存在说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
【知识点】坐标与图形
【分析】本题考查了求平面直角坐标系中三角形的面积；
（1）由 ，即可求解；（2）设 ，由三角形面积得 ，即可求解；
能根据点的坐标表示出三角形面积是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得
；
（2）解：设 ，
，
解得： 或 ，
的坐标为 或 ．
算．
【类型四 与图形面积相关的点的存在性问题】
例题：（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）如图1，在坐标系中，已知 ， ， ，连
接 交 轴于点 ， ， ．
(1)请直接写出点 ， 的坐标， ______， ______；
(2)如图2， 、 分别表示三角形 、三角形 的面积，点 在 轴上，使 ，点
若存在，求 点纵坐标、若不存在，说朋理由；
(3)如图3，若 是 轴上方一点，当三角形 的面积为20时，求出 的值．
【答案】(1) ， ；
(2)存在，12或 ；
(3) 或 ．
【分析】（1）根据立方根的性质，算术平方根的性质可得a，b的值，即可求解；（2）设P点纵坐标为 ，然后分两种情况讨论：当 在 上方时，当在 下方时，结合
，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当 在 右侧时，当 在 左侧时，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ；
故答案为： ，
（2）解：存在，
设P点纵坐标为 ．
当 在 上方时， ，
，
， ，
∴ ，解得： ；
当在 下方时， ，
，
，
， ，
∴ ，解得： ．
综上： 点纵坐标为12或 ．
（3）解：当 在 右侧时， ，
过 左 轴于 ，连接 ，
∴，
∵三角形 的面积为20，
∴ ，
；
当 在 左侧时， ，
过 左 轴于 ，连接 ，
，
∵三角形 的面积为20，
∴ ，
；
综上所述， 的值为12或 ．
【点睛】本题主要考查了立方根的性质，算术平方根的性质，坐标与图形，利用分类讨论思想解答是解题
的关键．
【变式训练】
1．（2023春·广东湛江·七年级校考期中）如图所示， ， ，点 在 轴上，且 ．(1)求点 的坐标；
(2)求三角形 的面积；
(3)在 轴上是否存在点 ，使以 、 、 三点为顶点的三角形的面积为 ？若存在，请直接写出点 的
坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 或 ；
(2) ；
(3)存在， 或
【分析】（1）分点 在点 的左边和右边两种情况解答；
（2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（3）利用三角形的面积公式列式求出点 到轴的距离，然后分两种情况写出点 的坐标即可．
【详解】（1）如图，
当点 在点 的右边时， ，
当点 在点 的左边时， ，
所以 的坐标为 或 ；
（2） 的面积 ，
答： 的面积为 ；
（3）设点 到 轴的距离为 ，
则 ，
解得 ，
当点 在 轴正半轴时， ，
当点 在 轴负半轴时， ，
综上所述，点 的坐标为 或
【点睛】本题考查了点的坐标的确定，三角形的面积公式，分类讨论，坐标轴上两点间的距离公式等有关知识；能求出符合条件的点的坐标是解此题的关键．
2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形 ，点 ，
， ，连接 ， ．
(1)求三角形 的面积；
(2)请用含t的式子表示三角形 的面积，并写出t的取值范围；
(3)设 与线段 的延长线交于点D，当三角形 的面积与三角形 的面积相等时，求t的值及点
D的坐标．
【答案】(1)
(2) ，
(3) ，
【知识点】坐标与图形、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）由坐标可得， 轴， 轴，根据 计算即可；
（2）连接 ，分两种情况：当点B在 左侧时，点B在 右侧时，分别画出图形，根据面积关系求
解即可；
（3）先求出 ，结合（2）得到的关系建立方程，求出 的值，再结合面积求出点D的坐标．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴
（2）连接 ，当点B在 左侧时，如图所示，当 时，解得：
此情况t的取值范围是 ；
当点B在 右侧时，如图所示，
此情况t的取值范围是 ；
综上可得： ；
（3）法一：如图，当 与 延长线相交时，∵
∴
∴ ， ， ，
∴
∴ ，
此时，点B位于 的左侧
∴
解得： ，
∴ ；
法二：设
当 与 延长线相交时，如图所示，
∵
∴
设 ，则∵ ， ，
，则
此时，点B位于 的左侧
∴
解得：
此时点B坐标是（ ，2）则 =
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查坐标与图形的面积，与坐标轴平行的点的坐标特征，三角形的面积公式，根据坐标特征
求出面积是解题的关键．
3．（22-23七年级下·湖北黄冈·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ，
，且 ， 满足 ．现同时将点 ， 分别向上平移2个单位，再向左平移2个单位，
分别得到点 ， 的对应点 ， ，连接 ， ．
(1)请直接写出 的坐标__________， 的坐标__________；
(2)如图2，点 是线段 上的一个动点，点 是线段 的中点，连接 ， ，当点 在线段 上移
动时（不与 ， 重合），请找出 ， ， 的数量关系，并证明你的结论；
(3)在坐标轴上是否存在点 ，使 的面积与 的面积相等？若存在，直接写出点 的坐标；若
不存在，试说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在；点M的坐标为 或 或 或【知识点】坐标与图形、根据平行线的性质探究角的关系、利用算术平方根的非负性解题、利用平移的性
质求解
【分析】本题考查了实数的非负性，平行线的性质，平移规律，分类思想，熟练掌握实数的非负性，平行
线的性质，平移规律是解题的关键．
（1）由非负数的性质即可求解；
（2）过点P作 ，利用平行线的性质即可得三角的关系；
（3）分点M在x轴上与M在y轴上两种情况考虑即可．
【详解】（1）解：由于 ，且 ，
所以 ，
即 ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）解： ；
证明如下：
如图，过点P作 ，
；
点 ， 分别向上平移2个单位，再向左平移2个单位，分别得到其对应点 ， ，
，
，
；
；
而 ，
；
（3）解：存在；
①当点M在x轴上时，
由平移知， ， ，
；
设点M坐标为 ，则 ，
，解得： 或 ，
故 或 ；
②当点M在y轴上时，设 ，
则 ， ，
，
解得： 或 ，
即 或 ；
综上，点M的坐标为 或 或 或 ．
4．（23-24七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系： 中，过点 分别作 轴， 轴的垂线，分别
交 轴， 轴于点 ， ．点 ， 在其所在的坐标轴上对应的数都是1．连接 ．
(1)求三角形 的面积．
(2) 是 轴上一点，连接 ．
①若三角形 的面积等于三角 形的面积的一半，求 坐标．
②在①的条件下，若直线 交 轴正半轴于点 ，求三角形 的面积和三角形 的面积的比值．
【答案】(1)三角形 的面积为
(2)①点 的坐标为 或 ；②三角形 的面积和三角形 的面积的比值为
【知识点】坐标与图形
【分析】该题主要考查了坐标与图形，解答的关键是掌握图形的特点．
（1）根据题意确定 ， ， ，再根据面积计算公式计算即可；
（2）①根据三角形 的面积为 ，结合三角形 的面积等于三角 形的面积的一半，确定
，即可解答；
②设点 的坐标为 ，根据直线 交 轴正半轴于点 ，确定点 的坐标为 ，从而确定点 的位置，根据三角形 的面积=三角形 的面积+三角形 的面积解出 ，即可表示三角形 的
面积，再表示三角形 的面积，即可解答．
【详解】（1）由题可知 ， ， ，
，
三角形 的面积为 ；
（2）①∵ 是 轴上一点，
∴三角形 的面积为 ，
∵三角形 的面积等于三角形 的面积的一半，
三角形 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 是 轴上一点，
∴ 或 ，
∴点 的坐标为 或 ；
②设点 的坐标为 ，
∵直线 交 轴正半轴于点 ，
∴点 的坐标为 ，此时点 的位置如图所示，
∴ ， ，
∴三角形 的面积为 ，
三角形 的面积为 ，
三角形 的面积为 ，∵三角形 的面积=三角形 的面积+三角形 的面积，
∴ ，
解得： ，
∴点 的坐标为 ，
∴ ，
∴三角形 的面积为 ，
三角形 的面积为 ，
∴三角形 的面积和三角形 的面积的比值为 ．
