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第 03 讲 类比归纳专题：求平面直角坐标系中的图形面积
(4 类热点题型讲练)
目录
【类型一 与面积有关的点的位置不定产生多解】................................................................................................1
【类型二 直接利用面积公式求图形的面积】........................................................................................................5
【类型三 利用补形法或分割法求图形的面积】..................................................................................................12
【类型四 与图形面积相关的点的存在性问题】..................................................................................................19
【类型一 与面积有关的点的位置不定产生多解】
例题：（23-24七年级上·河北邢台·期末）已知点 和点 两点，且直线AB与坐标轴围成的三角
形的面积等于12，则点A的坐标为 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 的坐标为 ，点 的
坐标为 ，点 的坐标为 ，其中 ， ， 满足方程组 ，连接 ， ， ，若
的面积等于 ，则 的值为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系 中，对于任意三点 ， ， 的“矩面积”，
给出如下定义：“水平底” ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高” ：任意两点纵坐标差的最大值，
则“矩面积” ．例如：三点坐标分别为 ， ， ，则“水平底” ，“铅垂
高” ，“矩面积” ．若 ， ， 三点的“矩面积”为 ，则 的值为
（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
3．（23-24七年级下·江西南昌·期中）已知点 ， ，点 在坐标轴上，且三角形 的面积是
2，则满足条件的点 的坐标为 ．4．（23-24七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系 中，已知三角形的三个顶点坐标分别是
， ， ，点P在y轴上，设三角形 和三角形 的面积相等，那么点P坐标是
．
【类型二 直接利用面积公式求图形的面积】
例题：如图，在平面直角坐标系中，点 、 的坐标分别为 ， ，且 ， 满足 ，
点 的坐标为 ．
(1)求 ， 的值；
(2)求 的面积．
【变式训练】
1.如图，在平面直角坐标系中，三角形 的边 在 轴上，且 ，顶点 的坐标为 ，顶点
的坐标为 ．
(1)画出所有符合条件的三角形 ，并写出点 的坐标；
(2)求三角形 的面积．2．（23-24七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系 中，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为
，过点 作直线 轴，垂足为C，交线段 于点D，过点A作 ，垂足为E，连接
．
(1)求 的面积；
(2)点P为直线 上一动点，当 时，求点P的坐标．
3．（2023春·河北廊坊·七年级校考期中）如图在平面直角坐标系中，已知 ， ， ，
其中a、b满足 ．
(1)求a、b的值；
(2)求 的面积；
(3)在x轴上求一点P，使得 的面积与 的面积相等．
4．（2023春·辽宁大连·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，
， ．(1)求三角形 的面积；
(2)设点 是 轴上一点，若 ，试求点 坐标；
(3)若点 在线段 上，求用含 的式子表示 ．
【类型三 利用补形法或分割法求图形的面积】
例题：（2023春·江西南昌·七年级校联考期中）如图，已知点 ， ， ，求三角形
的面积．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）已知平面直角坐标系中x轴与y轴交于点O，坐标系内两点
、 如图所示，连接 ，求三角形 的面积．2．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，已知 ， ， ， ．
(1)求四边形 的面积；
(2)在y轴上存在一点P，使三角形 的面积等于四边形 面积的一半，求P点的坐标．
3．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平面直角坐标系内有四个点： ， ，
， ．
(1)求三角形 的面积；
(2)求四边形 的面积；
(3)若点P在x轴上，直线 将四边形 的面积分成 两部分，求点P的坐标．
4．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 各顶点的坐标分别是 ，且 与x轴的交点E的坐标为 ，求这个四边形
的面积．
5．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，在直角坐标平面内，已知 ， ， ，线
段 经过原点O．
(1)求 的面积；
(2)在x轴上是否存在一点D，使 ，如果存在，求出点D的坐标，如果不存在说明理由．
【类型四 与图形面积相关的点的存在性问题】
例题：（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）如图1，在坐标系中，已知 ， ， ，连
接 交 轴于点 ， ， ．(1)请直接写出点 ， 的坐标， ______， ______；
(2)如图2， 、 分别表示三角形 、三角形 的面积，点 在 轴上，使 ，点
若存在，求 点纵坐标、若不存在，说朋理由；
(3)如图3，若 是 轴上方一点，当三角形 的面积为20时，求出 的值．
【变式训练】
1．（2023春·广东湛江·七年级校考期中）如图所示， ， ，点 在 轴上，且 ．
(1)求点 的坐标；
(2)求三角形 的面积；
(3)在 轴上是否存在点 ，使以 、 、 三点为顶点的三角形的面积为 ？若存在，请直接写出点 的
坐标；若不存在，请说明理由．
2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形 ，点 ，
， ，连接 ， ．(1)求三角形 的面积；
(2)请用含t的式子表示三角形 的面积，并写出t的取值范围；
(3)设 与线段 的延长线交于点D，当三角形 的面积与三角形 的面积相等时，求t的值及点
D的坐标．
3．（22-23七年级下·湖北黄冈·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ，
，且 ， 满足 ．现同时将点 ， 分别向上平移2个单位，再向左平移2个单位，
分别得到点 ， 的对应点 ， ，连接 ， ．
(1)请直接写出 的坐标__________， 的坐标__________；
(2)如图2，点 是线段 上的一个动点，点 是线段 的中点，连接 ， ，当点 在线段 上移
动时（不与 ， 重合），请找出 ， ， 的数量关系，并证明你的结论；
(3)在坐标轴上是否存在点 ，使 的面积与 的面积相等？若存在，直接写出点 的坐标；若
不存在，试说明理由．
4．（23-24七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系： 中，过点 分别作 轴， 轴的垂线，分别
交 轴， 轴于点 ， ．点 ， 在其所在的坐标轴上对应的数都是1．连接 ．(1)求三角形 的面积．
(2) 是 轴上一点，连接 ．
①若三角形 的面积等于三角 形的面积的一半，求 坐标．
②在①的条件下，若直线 交 轴正半轴于点 ，求三角形 的面积和三角形 的面积的比值．
