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第 04 讲 解题技巧专题：平移和旋转中的常见类型
目录
【类型一 线段平移的综合问题】............................................................................................................................1
【类型二 三角形平移的综合问题】......................................................................................................................10
【类型三 长方形平移的综合问题】......................................................................................................................15
【类型四 线段绕某点旋转综合问题】..................................................................................................................19
【类型五 直角三角形绕点旋转综合问题】..........................................................................................................30
【类型六 等腰直角三角形绕点旋转综合问题】..................................................................................................39
【类型七 等边三角形绕点旋转综合问题】..........................................................................................................48
【类型一 线段平移的综合问题】
例题：（24-25八年级上·吉林松原·期中）如图，线段 相交于点 经过适当平移至
的位置，连接 、 ，当 时，求证： 是等边三角形．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知线段 两端点坐标 ， ，将 向下平移5个
单位得线段 ，其中点 的对应点为点 ．
(1)点 的坐标为______，线段 平移到线段 扫过的面积为______．
(2)若点 是 轴正半轴上的动点，连接 ．①如图，线段 与线段 相交于点 ，三角形 的面积为 ，三角形 的面积为 ，试说明 与
，之间的数量关系；
②当 将四边形 的面积分成 两部分时，求点 的坐标．
2．（23-24七年级下·广东广州·期末）已知在平面直角坐标系中有三点A(a,0)， ， ， ， ，
满足 ．
(1)若 ，将线段 向右平移 个单位，再向下平移2个单位得到线段 ，点 的对应点为 ，
点 是线段 上的一个动点，且三角形 的面积等于6，求点 的坐标；
(2)将线段 向右平移 个单位得到线段 ，点 的对应点为 ．
①若三角形 的面积小于4，求 的取值范围；
②已知点 ，连接 ，若线段 与线段 有公共点，请直接写出 的取值范围．
3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为 ，
，将线段 向上平移12个单位，再向右平移9个单位，得到线段 ，点A、B的对应点分别是点
C、D．
(1)点C 的坐标为 ；点D 的坐标为 ；
(2)如图1，连接 、 、 ， ，点P 从A出发，以每秒3个单位的速度沿
向终点D匀速运动，设运动时间为t秒，连接 ，设 的面积为S，求S与t的关系式（不
要求写出t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，当点 P在线段 上且 时，连接 ，过点P作 交 于点 Q，点
E是直线 上一点，连接 、 ，若 的面积为136时，求点E的坐标．
【类型二 三角形平移的综合问题】例题：（2024·河北唐山·二模）如图，直线l上摆放着两个大小相同的直角三角尺，它们中较大锐角的度数
为 ．将三角尺 沿直线l向左平移到图中三角形 的位置，使点E的对应点 落在 上，P为
与 的交点．
(1)求 的度数；
(2)试说明： ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在直角三角形 中， ，将三角形
沿AB方向平移得到三角形 ．
(1)求 的度数．
(2)若 ，求CF的长．
2．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，在三角形 中， ， ， ．将三角
形 沿 向右平移，得到三角形 ， 与 交于点 ，连接 ．
(1)分别求 和 的度数；
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积；
(3)已知点 在三角形 的内部，三角形 平移到三角形 后，点 的对应点为 ，连接 ．
若三角形 的周长为 ，四边形 的周长为 ，请直接写出 的长度．
3．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知： ，在 中， ， ，点
在 上，边 在 上，在 中， ，边 在直线 上， ．(1)如图1，求 的度数；
(2)如图2，将 沿射线 的方向平移，当点 在 上时，求 度数；
(3)如图3，将 沿射线 的方向平移到 的位置，若点 是 的中点， ，则平移
的距离为_______ ．
(4)将 在直线 上平移，当以 、 、 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出 度
数．
【类型三 长方形平移的综合问题】
例题：（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，长方形 ， ， ，若将该长方形沿
AD方向平移一段距离，得到长方形EFGH，试问：
(1)长方形 与长方形 的面积是否相等？
(2)将长方形 平移多长距离，能使两长方形的重叠部分 的面积是 ？
【变式训练】
1．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图1，长方形 的边 在数轴上，O为原点，长方形
的面积为30， 边长为5．
(1)数轴上点A表示的数为__________；
(2)将长方形 沿数轴水平移动，移动后的长方形记为 ，移动后的长方形 与原长方形
重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S．
①当S恰好等于原长方形 面积的一半时，数轴上点 表示的数为__________；②设移动距离 ．
ⅰ）当 时， __________；
ⅱ）D为线段 的中点，点E在线段 上，且 ，当点D表示的数是点E表示的数的2倍时，
求x的值．
【类型四 线段绕某点旋转综合问题】
例题：（24-25九年级上·重庆梁平·期末）在等边三角形中，点D为边 上的一点，连接 ．
(1)如图1，若 ， ，求 的长．
(2)如图2将线段 绕点A顺时针旋转 到 ，连接 交 于点F．求证： ；
【变式训练】
1．（2024·重庆·一模）在 中， ，D是平面内一点，连接 ．将 绕点A逆时针旋转一
定角度α（ ），得到 ，且满足 ，连接 ．
(1)如图1， ，D是 边上一点，求 的度数；
(2)如图2，D是平面内一点，F是 的中点，连接 ．猜想 与 存在怎样的数量关系？写出你的结
论，并证明；
(3)在（2）的条件下，若 ，在直线 上存在一点M，使以点A，E，F，M为顶点的四边形是锐角
为 的菱形，请直接写出 的值．
2．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期中）在等腰直角三角形 中， ，过点 作 ，
为直线 上一动点，将射线 绕点 逆时针旋转90°，交直线 于点 ，连接 ．(1)如图①，当点 在线段 上时，线段 ， ， 之间的数量关系为________；
(2)当点 在 的延长线上时，如图②；当点 在 的延长线上时，如图③，线段 ， ， 之间又
有怎样的数量关系？请写出你的结论，并选择一种情况给予证明．
3．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）如图，在 中， 是 中点，将线段AB绕点 顺时针旋
转 得到 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，且 ，连接 ．
(1)按题意补全图形，求证： ．
(2)若 ，设 与AB交于点 ，且点 为线段 的中点，连接 、CF．
直接写出 的度数 ；
延长 、 交于点 ，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
【类型五 直角三角形绕点旋转综合问题】
例题：（24-25九年级上·全国·期中）已知 是一张直角三角形纸片，其中 ， ，
小亮将它绕点 逆时针旋转β后得到 ， 交直线 于点 ．
(1)如图1，当 时， 所在直线与线段 有怎样的位置关系?请说明理由．
(2)如图2，当 时，求 为等腰三角形时的度数．【变式训练】
1．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知在 和 中，
，将 绕着点C旋转．
(1)如图1，若线段 与线段 相交于点F， ，求证： ．
(2)如图2，连接 ，直线 交直线 于点G，若 是以 为腰的等腰三角形，求 的长．
(3)在 绕点C旋转过程中，试探究B，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角
形 的面积；若不能，请说明理由．
2．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）在 中， ， 是直角三角形，且 ．
将 绕点A逆时针旋转一定角度得到 ，其中点D的对应点是点G，连接 并延长交 于点
H，连接 ．
(1)如图1，当点D在边 上时，求证 ；
(2)如图2，当点D在 内部时，直接写出 的大小，并证明．
3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图①，直角三角形 与直角三角形 的斜边在同一直线上，
， ， ， 平分 ，将 绕点 按逆时针方向旋转，
如图②，记 为 ，在旋转过程中：(1)当 __________°时， ，当 ___________°时， ；
(2)如图③，当顶点C在 的内部时，边 、 分别交 、 的延长线于点M、N．
①求出此时 的度数范围；
② 与 的度数和是否变化？若不变，请直接写出 与 的度数和；若变化，请说明理由．
【类型六 等腰直角三角形绕点旋转综合问题】
例题：（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知 和 是两个全等的等腰直角三角形，
．
(1)如图1， 和 分别与边 交于点 ，过点 作 ，且使 ，连接 ，求证：
① ；
② ；
(2)如图2， 与边 交于点 ， 与 的延长线交于点 ，请探究 和 之间的数量关系，
并说明理由．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·吉林·期中）已知： 和 都是等腰直角三角形， ．
(1)如图①E在 上，点D在 上时，线段 与AD的数量关系是______，位置关系是______；
(2)把 绕点C旋转到如图②的位置，连接 ，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)在 绕点C在平面内旋转过程中，若 ， ，当A，E，D三点在同一直线上时，则
AE的长是______．
2．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）已知 和 都是等腰直角三角形， ．(1)如图1：连 ，求证： ；
(2)如图1：求证： ；
(3)若将 绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段
与 交点为H，若 ，求出线段 的长．
3．（23-24八年级上·海南儋州·期末）如图1，把两个大小不同的等腰直角三角形 ， 如图所示
摆放，使得点D、A、B在同一直线上，连结 ， ．
(1)求证： ；
(2)如图2，将 绕着点A顺时针旋转某个角度后，使得点B、C、E在同一直线上， 与 交于点
O．
①求证： ；
②求证： ；
③连结 ，如图3，若 ，求 的面积．
【类型七 等边三角形绕点旋转综合问题】
例题：（24-25八年级上·浙江杭州·期中）（1）如图1，已知点B、A、D在同一条直线上， 和
都是等边三角形，连结 、 交于点O，且分别交 、 于点F、G．求证： ；
（2）若将图1中的 绕点A旋转，得到图2，使得点B、A、D不在同一条直线上， 和 都
是等边三角形， 的度数变化吗？若不变，请求出 的度数；若变化，请说明理由；
（3）如图3，在 中， ， ， ，以 为边向外作等边 ，直接写出
的长．【变式训练】
1．（24-25九年级上·河南周口·期中）（1）问题发现
如图1， 和 都是等边三角形，点B，C，D在同一直线上，连接 ，直线 与 相交
于点F．填空：
①线段 与 之间的数量关系为_________；
② 的度数为_________．
（2）拓展探究
当 绕点C逆时针旋转到图2的位置时，（1）中的两个结论是否还成立？请根据图2的情形给出证明．
（3）问题解决
已知 ， ，若 绕点C逆时针旋一周，当点E位于线段 的垂直平分线上时，请直接
写出 的面积．
2．（23-24八年级上·四川眉山·期末）问题发现：如图1， 是等边三角形，点 是边 上的一点，
过点 作 交 于 ，则线段 与 有何数量关系？
拓展探究：如图2，将 绕点A逆时针旋转角 ，上面的结论是否仍然成立？
如果成立，请就图中给出的情况加以证明．
问题解决：如果 的边长等于 ， ，直接写出当 旋转到 与 所在的直线垂直时
的长．
