文档内容
1 两条直线的位置关系
第 2 课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解垂直是相交的特殊情况,理解垂线的
概念,会用三角板或量角器过一点画已知直 几何直观
线的垂线.
2.掌握点到直线的距离的概念,并会度量点
到直线的距离.掌握垂线的性质,并会利用所 几何直观、推理能力、应用意识
学知识进行简单的推理.
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点
对点小练
1.如图,O是直线AB上一点,OC⊥OD,∠BOC=20°,则∠AOD的大小是(C)A.20° B.30° C.70° D.80°
2.如图,BC⊥AC,BC=8 cm,AC=6 cm,AB=10 cm 那么点 B 到 AC 的距离是 8 cm,A,B
两点的距离是 10 cm .
3.如图,CB⊥AB,∠CBA与∠CBD的度数比是5∶1,则∠DBA= 72° .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 垂直的定义及应用(几何直观、运算能力)
【典例 1】如图,直线 AB,CD 相交于点 O,OE⊥CD,∠BOE=50°,射线 OF 平分
∠AOC,求∠AOF的大小.
【自主解答】因为OE⊥CD,所以∠EOD=90°,因为∠BOE=50°,所以∠BOD=40°,
因为∠BOD=∠AOC,所以∠AOC=40°,
因为射线OF平分∠AOC,所以∠AOF=∠COF=20°.
【举一反三】1.(2024·商丘模拟)如图是光的反射规律示意图,CO 是入射光线,OD 是反射光线,
法 线 EO⊥ AB,∠ COE 是 入 射 角 ,∠ EOD 是 反 射 角 ,∠ EOD=∠ COE. 若
∠AOC=2∠EOD,则∠COE的度数为(A)
A.30° B.40° C.45° D.60°
2.如图,OA⊥OB,若∠1=35°,则∠2的度数为 55° .
3.(2024·天津期中)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,垂足为O.
(1)若∠COE=35°,则∠AOD的度数为 °(直接写出结果);
(2)若∠AOD+∠COE=170°,求∠COE的度数.
【解析】(1)因为EO⊥AB,所以∠EOB=90°,
因为∠COE=35°,所以∠COB=∠COE+∠EOB=125°,所以∠AOD=∠COB=125°;答案:125
(2)因为∠AOD+∠COE=170°,
所以∠BOC+∠COE=170°,
所以∠BOE+∠COE+∠COE=170°,
所以∠BOE+2∠COE=170°,
因为∠BOE=90°,所以∠COE=40°.
【技法点拨】
垂直的两个应用
计算 垂直→90°角→互余,已知其中一角求另一角
若出现两组互余的角,利用同角或等角的余角相等,证明
证明
两个角相等.
重点2 垂线、垂线段的性质及应用(几何直观)
【典例2】(教材再开发·P37“尝试·交流”拓展)
已知直线BC及直线外一点A(如图),按要求完成下列问题:
(1)画出射线CA,线段AB,过C点画CD⊥AB,垂足为点D;
(2)比较线段CD和线段CA的大小,并说明理由;
(3)在以上的图中,互余的角为 ,互补的角为 .(各写出一对即可)
【自主解答】(1)如图:
(2)因为CD⊥AD,
所以CA>CD;
(3)因为∠DAC+∠DCA=90°,
所以∠DAC与∠DCA互余,
因为∠ADC+∠BDC=90°+90°=180°,
所以∠ADC与∠BDC互补.
答案:∠DAC,∠DCA(答案不唯一) ∠ADC,∠BDC
【举一反三】
1.(2024·合肥期中)过点 P 作 AB 的垂线 CD,下列选项中,三角板的放法正确的是
(C)
2.自来水公司为某小区 A 改造供水系统,如图沿路线 AO 铺设管道,与主管道 BO衔接(AO⊥BO),路线最短,工程造价最低,根据是(B)
A.两点之间,线段最短
B.垂线段最短
C.两点确定一条直线
D.经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
3.(2024·北京期中)如图,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=5,BC=3,则 BD 的长度的值可能是
4( 答案不唯一 ) ,依据是 垂线段最短 .
【技法点拨】
认识垂线及其性质的三点注意事项
1.线段和射线都有垂线.
2.点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数值,而垂线段是一个图形,对此要分
清楚.
3.在实际问题中,确定路径最短或最短距离问题时,首先将实际问题转化成数学问题,然后作出垂线,并求出具体数值.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4 分·运算能力、几何直观)如图,直线 AB,CD 相交于点 O,EO⊥AB 于点
O,∠EOC=35°,则∠BOD等于(C)
A.35° B.45° C.55° D.60°
2.(4分·应用意识)如图,现要在李庄附近建一高铁站,为了使李庄的人乘车最方便,
那么选高铁线上的点A来建高铁站,理由是(C)
A.两点之间,线段最短
B.两点确定一条直线
C.垂线段最短
D.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与这条直线垂直
3.(4 分·几何直观、应用意识)如图,点 P 是直线 a 外的一点,点 A,B,C 在直线 a 上,且PB⊥a,垂足是B,PA⊥PC.下列关于距离的语句:
①线段PB的长是点P到直线a的距离;
②PA,PB,PC三条线段中,PB最短;
③线段AC的长是点A到直线PC的距离;
④线段PC是点C到直线PA的距离.
其中正确的个数为 2 .
4.(8分·几何直观、应用意识)如图,C是河岸AB外一点.
(1)过点C修一条与河岸AB平行的绿化带(绿化带用直线l表示),请画图表示;
(2)现用水管从河岸 AB将水引到C处,问:从河岸AB上的何处开口,才能使所用的
水管最短?画图表示,并说明设计的理由.
【解析】(1)如图,过点C画一条平行于AB的直线l,则l为绿化带.
(2)如图,过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,从河岸 AB 上的点 D 处开口,才能使所用的水
管最短.设计的理由是垂线段最短.
