文档内容
九年级数学·下 新课标[北师]
第二章 二次函数
1.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变
量之间的数量关系.通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义,形成模型思想.
2.能用描点法画出二次函数的图象,并能根据图象对二次函数的性质进行分析,进一步积累研究函数性
质的经验,发展几何直观.
3.能用配方法将一般的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,由此得到二次函数图象的顶点坐标,
说出图象的开口方向,画出图象的对称轴.
4.能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解,理解一元二次方程与二次函数的关系.
5.能利用二次函数解决实际问题,对变量的变化情况进行初步讨论,提高应用意识.
6.会用待定系数法确定二次函数的表达式.
1.通过探索,使学生经历“观察发现——归纳猜想——灵活应用”的过程,体会由一般到特殊的探究方
法.进一步体会数形结合思想、函数思想、数学建模等思想方法的运用.
2.在具体的情境中去发现问题和提出问题,在合作交流中解决问题.
1.要使学生体验数学的文化价值,使学生感受数学美,培养学生利用运动变化的观点观察事物.
2.进一步树立科学的人生观、价值观和辩证唯物主义世界观.
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型,它既是其他学科研究时所采用的重要方法之
一,也是某些单变量最优化问题的数学模型,如本章中所提及的求最大利润、最大面积等实际问题.二次函
数的图象是抛物线,既是人们最为熟悉的曲线之一,同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用,如抛物线形
拱桥,抛物线形隧道等.和一次函数、反比例函数一样,二次函数还是一种非常基本的初等函数,对二次函数
的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验,为高中阶段继续学习函数做好铺
垫.
【重点】
1.二次函数的概念.
2.二次函数的图象与性质及其应用.
3.二次函数与一元二次方程的关系.【难点】
1.利用二次函数的图象与性质解决相关的实际问题.
2.利用二次函数的图象确定一元二次方程的近似根.
1.注重实际问题情境的创设,帮助学生形成模型思想.
九年级的数学学习抽象性逐渐增强,本章更体现了这一特点.由此,在数学中要创设丰富的实际问题情
境,使学生理解二次函数的意义,能够用二次函数表示实际问题,从而建立二次函数模型.
2.鼓励学生采用多种方法和方式体会二次函数的性质.
讨论二次函数的性质时要尽可能结合图象进行,建议运用多种教学形式,如小组活动、学生讲解等,使学
生养成从多个角度认识问题的习惯,进而比较全面准确地理解二次函数的性质.二次函数图象的平移问题是
教学中的难点,可以让学生将自己的思路表达出来,互相启发和借鉴,从而在多种理解方式中体会图象平移的
核心.
3.注重知识之间的联系.
教学中要注意数学思想方法的挖掘,关注知识之间的联系.在讨论二次函数图象的对称轴和顶点坐标时,
要尽量引导学生进行图象和图象之间、表达式和表达式之间的比较,进而建立图象和表达式之间的联系,以
实现对二次函数图象的对称轴和顶点坐标的理解.
4.引导学生积极思考.
本章内容是初中数学较难的一部分,学生在学习过程中难免会遇到困难,教师要设置适当的问题,引导学
生进行探索.在探索二次函数性质的几节课中,教学的速度要放慢,不必急于给出结论甚至应用,而是让学生
经历探索新知识的过程,从而真正将知识内化.在本章的学习中,都不要一味地加大计算的难度,部分实际问
题可鼓励学生使用计算器进行运算.
5.注重信息技术的应用.
在本章教学中,要尽可能利用信息技术手段,注重信息技术与本章内容的结合,以便有效地改变教与学的
方式,提高课堂教学的效益.例如,在研究二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系时,可以
在学生亲身画图、观察、想象等动手动脑活动的基础上,借助计算机、多媒体向学生展示更加丰富的函数
图象,这样不仅为学生理解和掌握相关内容提供更多的形象支持,同时也可以让学生获得视觉上的愉悦,增强
好奇心,激发学习兴趣.但不能用计算机、多媒体的演示完全取代学生的亲身实践活动.
1 二次函数 1课时
2 二次函数的图象与性质 4课时
3 确定二次函数的表达式 2课时
4 二次函数的应用 2课时
5 二次函数与一元二次方程 2课时
回顾与思考 1课时
1 二次函数1.经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题.
1.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变
量之间的数量关系.
2.让学生学习了二次函数的定义后,能够表示简单变量之间的二次函数关系.
3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题.
1.从学生感兴趣的问题入手,能使学生积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.
2.把数学问题和实际问题相联系,使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作
用.
3.通过学生之间互相交流合作,让学生学会与人合作,并能与他人交流思维的过程,培养大家的合作意识.
【重点】
1.经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
【难点】 列二次函数关系式表示简单变量之间的关系,并能利用尝试求值的方法解决实际问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习正比例函数、一次函数、反比例函数等函数的相关概念.
导入一:
课件出示:
观察下面的函数关系式:
(1)y=2x+5;(2)y=x2+5.
这两个函数关系式有什么相同点和不同点?
【师生活动】 复习正比例函数、一次函数、反比例函数等函数的相关概念.
【学生活动】 学生独立思考后小组交流,观察新函数的特征,尝试给新函数下定义.[设计意图] 通过与一次函数的对比,让学生初步感知二次函数的特征,让学生类比一次函数的概念构
建出二次函数的概念.
导入二:
课件出示:
赵州桥,又称大石桥、安济桥,是位于河北省赵县城南五里洨河上的一座石拱桥,是我国古代石拱桥的杰
出代表,其设计者是隋代杰出的工匠李春,建造于公元605年.赵州桥的设计构思和工艺的精巧,在我国古桥
中是首屈一指的,据世界桥梁的考证,像这样的敞肩拱桥,欧洲到19世纪中期才出现,比我国晚了一千二百多
年,赵州桥的雕刻艺术,包括栏板、望柱和锁口石等,其上狮象龙兽形态逼真,琢工的精致秀丽,不愧为文物宝
库中的艺术珍品.
问题
请同学们观察赵州桥的桥拱的形状,它的形状可以近似地看成一种函数图象,这和我们之前所学的函数
图象一样吗?
[设计意图] 通过视频,让学生再次了解赵州桥,在对学生进行爱国主义教育的同时,引出本节课的课题,
激发了学生的好奇心和探求新知的欲望.
[过渡语] 通过以前的学习,我们已经了解了一些函数,如:正比例函数、一次函数以及反比例函数,今天
我们再来探究一种新的函数.
一、体会函数的模型思想
结合课本给出的引例、做一做和想一想中的问题,设出未知数,列出关于x的函数关系式.
课件出示:
【引例】 某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量,
但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均
每棵树就会少结5个橙子.
师要求同学们认真分析题目,回答以下问题:
(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.
【学生活动】 独立思考,代表回答:
(1)自变量:橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等;因变量:橙子的个数、橙子
的质量等.
(2)如果设果园增种x棵橙子树,那么果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子.
(3)果园橙子的总产量y与x之间的关系式为y=(x+100)(600-5x)=-5x2+100x+60000.
【师生活动】 观察关系式y=-5x2+100x+60000中的y是不是x的函数,并对比所学的函数,感受它们的
相同点和不同点:根据函数的定义,y是x的函数,自变量x的最高次数是2,所以通过类比,猜想此函数为二次
函数.[设计意图] 利用学生熟悉的身边情境,小梯度地设计问题,逐步引导学生分析题目,列出关系式,提高学
生分析问题的能力,同时培养学生的建模能力.
[过渡语] 银行的储蓄利率是随时间变化的,也就是说,利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人
民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
【做一做】
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存
款额是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式.
【师生活动】 师生共同回忆与存款有关的知识:
1.银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说,利率是一个变量.
2.利息=本金×利率×期数(时间).
3.本息和=本金+利息.
【学生活动】 根据上面的提示,独立完成后,小组交流,得出关系式,代表展示.
解:y=100(x+1)2=100x2+200x+100.
观察y=100x2+200x+100与y=-5x2+100x+60000的相同点.
【学生活动】 通过观察,寻找它们的相同点,并与同伴相互交流,统一答案.
【教师点评】 自变量的最高次数都是2.
[设计意图] 通过对生活中熟悉情境的分析,让学生初步感知函数的模型思想,尝试归纳二次函数的概
念.
[过渡语] 通过下面几何背景的问题和代数背景的问题,让我们从丰富的现实背景中再次体会函数模
型的意义.
【想一想】
问题1
已知矩形的周长为40 cm,它的面积可能是100 cm2吗?可能是75 cm2吗?还可能是多少?你能表示这个
矩形的面积与其一边长的关系吗?
【师生活动】 师生先复习一元二次方程及其解法,然后由学生先独立解决,再小组交流,最后代表展示.
(40 )
解:(1)设其中一边长为x cm,则x -x =-x2+20x=100,
2
解得x=x=10.
1 2
(40 )
x -x =-x2+20x=75,
2
解得x=5,x=15.
1 2(40 )
这个矩形的面积与其一边长的关系为S=x -x =-x2+20x.
2
【教师点评】 只要和为20的两数都可以作为该矩形的长和宽,所以其面积还可以为64,51,36,….
问题2
两数的和是20,设其中一个数是x,你能写出这两数之积y的表达式吗?
【学生活动】 学生独立解答,同伴交流.
解:y=x(20-x)=-x2+20x.
[设计意图] 在几何和代数的背景中再次体会函数的模型,为下一步归纳总结二次函数的定义奠定良
好的基础.
二、二次函数的定义
【对比观察】 让学生再一次观察三个式子的共同点:(1)y=-5x2+100x+60000;(2)y=100x2+200x+100;
(3)y=-x2+20x.
【学生活动】 观察思考后,小组交流想法,组长发言:
共同特点是:①这些式子都是最高次数为2的函数;②表达式右边都是关于x的整式.
【教师引导】 类比一次函数与反比例函数的表达式,归纳出二次函数的定义及一般形式.
【师生总结】 二次函数的定义.
一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,则称y是x的
二次函数.
【师生活动】 探讨a≠0的原因.
[设计意图] 让学生通过观察、思考、分析等数学活动,从不同实际背景的实例中抽象出二次函数的
概念,使之经历概念的形成过程,培养其抽象思维和归纳概括的能力,感受从特殊到一般的数学思想方法,从
而突破本节课的难点.
[知识拓展] 理解二次函数概念的注意事项:①常数a≠0;②自变量x的最高次数为2;③等号的右边是
整式;④要确定二次函数的关系式,只要确定a,b,c的值就可以了.
三、二次函数的一般形式及自变量的取值范围
[过渡语] 类似于一元二次方程的一般形式,二次函数有一般形式吗?
(一)二次函数的一般形式
【思考】 二次函数的表达式y=ax2+bx+c中的a≠0, 系数b,c可以等于0吗?
【学生活动】 学生思考并交流,得出结论:系数b,c可以等于0.
【教师点评】
1.二次函数的一般形式:y=ax2+bx+c (a≠0,b≠0,c≠0).
2.系数a≠0,但是b,c都可以为0.
3.二次函数的几种不同表示形式:(1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0).(2) y=ax2+c (a≠0,b=0,c≠0).(3) y=ax2+bx
(a≠0,b≠0,c=0).(4)一般形式:y=ax2+bx+c (a≠0,b≠0,c≠0).
(二)二次函数自变量的取值范围
【议一议】 本节课的上述问题中,自变量能取哪些值?
学生讨论各题的取值范围.
【教师点评】 自变量的取值范围是函数的一个有机组成部分,今后除了解决最值问题外,一般不刻意
讨论自变量的取值范围.
[设计意图] 通过对二次函数一般形式的了解,进一步加深了学生对二次函数概念的理解,是对数学符
号语言应用能力的提升,同时强调了易错点.
1.二次函数的概念:形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c都是常数,a≠0)的函数.
2.理解二次函数概念的注意事项:(1)常数a≠0;(2)自变量x的最高次数为2;(3)等号的右边是整式;(4)要确
定二次函数的关系式,只要确定a,b,c的值就可以了.1.(2014·兰州中考)下列函数解析式中,一定为二次函数的是 ( )
A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c
1
C.s=2t2-2t+1 D.y=x2+
x
解析:A,y=3x-1是一次函数,故A错误;B,y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数,故B错误;C,s=2t2-2t+1是二次函数,
1
故C正确;D,y=x2+ 不是二次函数,故D错误.故选C.
x
2.已知二次函数y=1-3x+5x2,则其二次项系数a,一次项系数b,常数项c分别是 ( )
A.a=1,b=-3,c=5 B.a=1,b=3,c=5
C.a=5,b=3,c=1D.a=5,b=-3,c=1
解析:∵函数y=1-3x+5x2是二次函数,∴a=5,b=-3,c=1.故选D.
3.已知二次函数y=x2+3x-5,当x=2时,y= .
解析:当x=2时,y=22+3×2-5=4+6-5=10-5=5.故填5.
4.(2014·安徽中考)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比
增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y= .
解析:∵一月份新产品的研发资金为a元,二月份起,每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,∴
二月份研发资金为a×(1+x),∴三月份的研发资金y=a×(1+x)×(1+x)=a(1+x)2.故填a(1+x)2.
1 二次函数
二次函数的定义:一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形
式,则称y是x的二次函数.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第30页随堂练习第1,2题.
2.教材第30页习题2.1第1,2题.
【选做题】
教材第31页习题2.1第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知函数:①y=3x-1;②y=3x2-1;③y=3x3+2x2;④y=2x2-2x+1.其中二次函数的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.二次函数y=x2+2x-7的函数值是8,那么对应的x的值是( )
A.3 B.5
C.-3或5 D.3或-5
3.已知y=(a+1)x2+ax是二次函数,那么a的取值范围是 .
4.一个边长为2 cm的正方形,将它的边长增加x cm后,增加的面积为y cm2,写出y与x的函数关系式:
.5.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元.为了扩大销售,增加赢利,商场决定采取适
当降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要赢利y元,
每件衬衫降价x元,请你写出y与x之间的关系式.
【能力提升】
6.某工厂一种产品的年产量是20件,如果每一年都比上一年的产品增加x倍,两年后产品的年产量y与x的
函数关系是 ( )
A.y=20(1-x)2
B.y=20+2x
C.y=20(1+x)2
D.y=20+20x2+20x
7.已知y=(m-1)xm2+2m-1是关于x的二次函数,则m的值是
.
8.已知函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1.
(1)若这个函数是一次函数,求m的值;
(2)若这个函数是二次函数,则m的值应怎样?
【拓展探究】
9.在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框,制成一面镜子.镜子的长与宽的比是2∶1.已知
镜面玻璃的价格是每平方米120元,边框的价格是每米30元,另外制作这面镜子还需加工费45元.设制作这
面镜子的总费用是y元,镜子的宽度是x m.(边框厚度忽略不计)
(1)求y与x之间的关系式;
(2)如果制作这面镜子共花了195元,求这面镜子的长和宽.
【答案与解析】
1.B(解析:①y=3x-1为一次函数;②y=3x2-1为二次函数;③y=3x3+2x2自变量最高次数为3,不是二次函数;
④y=2x2-2x+1为二次函数.故是二次函数的有2个.)
2.D(解析:根据题意,得x2+2x-7=8,即x2+2x-15=0,解得x=3或x=-5.)
3.a≠-1(解析:根据二次函数的定义可得a+1≠0,即a≠-1.)
4.y=x2+4x(解析:原边长为2 cm的正方形面积为2×2=4(cm2),边长增加x cm后边长变为(x+2)cm,则面积变为
(x+2)2 cm2,故y=(x+2)2-4=x2+4x.)
5.解:降价x元后的销量为(20+2x)件,单件的利润为(40-x)元,故可得利润y=(40-x)(20+2x)=2(40-x)
(10+x)=-2x2+60x+800(00时呢?
(4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?
(5)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴进行交流.
思路一
【师生活动】 要求学生认真观察图象,分组完成5个问题.
【学生活动】 先独立解决问题后与同伴交流,然后小组内统一答案.代表依次发言.
【教师点评】 二次函数y=x2的图象是一条抛物线,它的开口方向向上,且关于y轴对称.对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点,它是图象的最低点.
思路二
【教师明确】 二次函数的性质基本上从:开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值这五个方面
研究.
【师生活动】 根据对5个问题的探究,完成下面的表格.
二次函数y=x2的性质
函数表达式 y=x2
大致图象
开口方向 向上
对称轴 y轴(或直线x=0)
顶点坐标 原点(0,0)
当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0
增减性
时,y随x的增大而增大
最值 当x=0时,y有最小值,最小值是0
[设计意图] 让学生结合图象回答问题,在图象中找出答案,有助于理解和记忆,体会数形结合思想.此外,
通过小组交流解决问题,进一步培养了团结协作能力.
三、再探新知
[过渡语] 我们知道了二次函数y=x2的图象的形状,那么二次函数y=-x2的图象又是什么样的呢?
【做一做】 二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想,然后画出它的图象.它与二次函数y=x2的图
象有什么关系?与同伴进行交流.
【学生活动】 要求学生类比画y=x2图象的操作步骤,独立画出函数y=-x2的图象.代表板演.
【教师活动】 出示下面四种不同类型的图象,学生找出正确的图象,并指出其他图象的错误.
【师生总结】 画二次函数图象的注意事项:(1)列表时,选取的自变量的值,应以O为中心,左边取-1,-2,-3,右边对应取1,2,3(取互为相反数的一对数),
不要一边多,一边少,不对称.
(2)描点时要严格按照表中所列的对应值描点,绝对不能把点的位置描错.
(3)按自变量从小到大的顺序依次画线,连线时用光滑的曲线连接各点,不能用折线连接.
(4)图象是延伸的,不要画成有明确的端点.
【类比归纳】 类比y=x2的性质总结出y=-x2的性质.
函数表达式 y=-x2
大致图象
开口方向 向下
对称轴 y轴(或直线x=0)
顶点坐标 原点(0,0)
当x<0时,y随x的增大而增大;当
增减性
x>0时,y随x的增大而减小
最值 当x=0时,y有最大值,最大值是0
[设计意图] 利用类比的方法,让学生根据前面所作图象,用表格的形式归纳总结出二次函数y=-x2的图
象及性质,训练学生分析问题、解决问题的能力,并学会数学中最常用到的数学思想——类比思想.
[知识拓展] 二次函数y=x2的图象与二次函数y=-x2的图象的关系:(1)二次函数y=x2的图象与二次函数
y=-x2的图象关于x轴对称.(2)如果把两个图象看成一个图形,这个图形是中心对称图形,对称中心是坐标原
点.
1.二次函数y=x2与二次函数y=-x2的图象及其性质.
2.二次函数y=x2与二次函数y=-x2的图象的异同点.
1.下列说法正确的是 ( )
A.二次函数y=x2图象上的点,其纵坐标的值随着x值的增大而增大
B.二次函数y=-x2图象上的点,其纵坐标的值随着x值的增大而增大
C.二次函数y=x2与y=-x2的图象开口方向不同,其对称轴都是y轴,y值都随着x值的增大而增大
D.当x<0时,y=x2中y随x的增大而减小;当x>0时,y=-x2中y随x的增大而减小
解析:二次函数y=±x2的函数图象在对称轴左右两边的增减性是不一样的,所以A,B,C均不正确.故选D.
2.已知点A(2,a),B(b,9)在抛物线y=x2上,则a= ,b= .
解析:分别把x=2和y=9代入y=x2,解得a=4,b=±3.
答案:4 ±3
3.通过列表、描点、连线的方法画函数y=-x2的图象.
解:列表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
描点,连线,如图所示.第1课时
函数 y=x2 y=-x2
开口方
向上 向下
向
对称轴 y轴(或直线x=0)
顶点坐
原点(0,0)
标
最值 当x=0时,有最小值,为0 当x=0时,有最大值,为0
当x>0时,y随x的增大而增大; 当x>0时,y随x的增大而减小;当x<0
增减性
当x<0时,y随x的增大而减小 时,y随x的增大而增大
一、教材作业
【必做题】
教材第34页习题2.2第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.抛物线y=x2与y=-x2的关系是 ( )
A.开口方向不同,顶点相同,对称轴相同
B.开口方向不同,顶点不同,对称轴相同
C.开口方向相同,顶点相同,对称轴相同
D.开口方向相同,顶点不同,对称轴不同
2.如图所示,A,B分别为抛物线y=x2上两点,且线段AB⊥y轴,若AB=6,则直线AB的表达式为 ( )
A.y=3 B.y=6
C.y=9 D.y=36
3.函数y=x2与y=-x2的图象关于 对称,也可以认为函数y=-x2的图象是函数y=x2的图象绕
旋转得到.
4.若二次函数y=-x2的图象过A(-2,y),B(-1,y),C(5,y)三点,判断y,y,y 的大小关系.
1 2 3 1 2 3
【能力提升】
5.二次函数y=-x2和一次函数y=x-1在同一坐标系的大致图象为 ( )6.已知a<-1,点(a-1,y),(a,y),(a+1,y)都在函数y=x2的图象上,则 ( )
1 2 3
A.y︱-2︱,所以y0时,y随x的增大而增大. (3)当m=-1时,抛物线解析式为y=-x2,抛物线开
口向下,所以函数有最大值,是0.这时,当x>0时,y随x的增大而减小.1
9.解:函数图象如图所示,点A(-1,1),B(3,9),设直线y=2x+3与y轴的交点为C,则C(0,3),S =S +S =
△AOB △AOC △BOC 2
1 3 9
×3×1+ ×3×3= + =6.
2 2 2
本节课首先利用生活中学生所熟悉的抛物线图片,让学生感受到抛物线的美与实用性,激发了学生的学
习欲望与积极性,因而学生很投入.学生已经掌握了画函数图象的一般步骤(列表,描点,连线),为本节课的教
学奠定了良好的基础.本节课的一个难点是用光滑的曲线连接各点.初学时,学生会感觉有难度,往往会画成
折线,所以通过设置一些问题让学生进一步讨论交流:列表时注意对称取点,用光滑曲线连接各点,注意图象
的对称性等过程后就可以突破这一难点了.对于y=-x2的图象与性质,利用类比y=x2的图象与性质的方法进
行探究,取得了非常好的效果.最后可以利用表格形式让学生对本节课进行小结,目的是对本节课知识进行
回顾,同时也便于比较两个图象的异同.
在“用光滑的曲线连线”时老师没有进行演示,所以学生对光滑的理解不透彻,连出的图象成了折线.
利用几何画板或者课件进行演示二次函数图象的画法,让学生加深对“光滑”的理解.
习题2.2(教材第34页)
1.解:S=a2(a>0).
①列表如下:
1 3 5
a … 1 2 …
2 2 2
1 9 25
S … 1 4 …
4 4 4
②描点、连线,作出图象如图所示.2.解:点A在二次函数y=x2的图象上.B(2,-4),C(-2,4),D(-2,-4).点C在二次函数y=x2的图象上,点B,D都在二次
函数y=-x2的图象上.
本节课学生可以首先通过复习回顾画函数图象的步骤,然后利用这个步骤探究y=x2的图象,与所学过的
反比例函数图象类似,连线时要用光滑的曲线连接.性质的得出则可以利用数形结合思想,并通过与同伴交
流进行总结,重点从开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值这五个方面去掌握其性质.而对于二次函
数y=-x2的图象与性质,则可以类比二次函数y=x2的图象与性质进行探究.
如图所示,边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O,AD∥x轴,以O为顶点且过
A,D两点的抛物线与以O为顶点且过B,C两点的抛物线将正方形分割成几部分,则图中阴影部分的面积是
.
〔解析〕 根据图示及抛物线、正方形的性质不难判断出阴影部分的面积即为正方形面积的一半,即
1 1
S = S = ×2×2=2.故填2.
阴影 2 正方形 2
第 课时
1.会画y=ax2和y=ax2+c的图象,并能比较它们与y=x2的图象的异同,理解a与c对二次函数图象的影响.
2.能说出y=ax2+c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.1.经历探索二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象的画法和性质的过程,进一步获得将表格、表达式、图象
三者联系起来的经验.
2.通过画图活动,体验数形结合的数学思想.
1.通过图象的对称和平移发现数学的规律美.
2.在探究活动中,体验获得成功后的喜悦感.
【重点】 二次函数y=ax2,y=ax2+c的图象和性质以及两种函数图象的关系.
【难点】 由函数图象概括出y=ax2,y=ax2+c的性质,由性质来分析函数图象的形状和位置.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习y=±x2的图象和性质.
导入一:
观察下面的二次函数表达式:
1
(1)y=x2;(2)y=-x2;(3)y=-2x2;(4)y=3x2;(5)y= x2.
2
它们有什么共同点和不同点?(3)(4)(5)与我们学习过的(1)(2)又有什么不同点?
【学生活动】 观察后,独立思考,分析相同点和不同点,并猜想未学的函数的图象和性质.
[设计意图] 通过对比二次函数表达式的不同点,引出新的问题,造成学生认知上的冲突,提高了学生探
究新知的学习兴趣.
导入二:
1
有研究表明,晴天在某段公路上行驶时,速度为v(km/h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式s= v2确
100
1
定;雨天行驶时,这一公式为s= v2.
50
问题
刹车距离s与速度v之间的关系是二次函数吗?它们的图象与y=x2,y=-x2的图象一样吗?
1 1
学生分析得出:s= v2和s= v2与y=x2,y=-x2它们都是二次函数,且都是只含二次项的二次函数,所以
100 50
它们有相同之处.又因为它们中的a值的不同,所以它们肯定还有区别.[设计意图] 通过学生生活中常见的汽车行驶的图片引出本节学习内容,由这些问题引发学生的思考,
使知识间的过渡自然、轻松、直观.
[过渡语] 上节课我们探究了y=±x2的图象和性质,本节课我们继续探究二次函数的图象与性质.
一、二次函数y=ax2的图象与性质
探究活动一:画二次函数y=2x2的图象
【师生活动】 回忆:画二次函数y=±x2的图象的步骤.
【学生活动】
(1)完成下表:
x
y
(2)在课本图2 - 4中画出y=2x2的图象.
【师生活动】 要求学生独立完成,同伴相互检查.教师巡视,对基础比较薄弱的学生进行指导,等学生
完成后出示下列问题:
(3)二次函数y=2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对
称轴和顶点坐标分别是什么?
【师生活动】 学生观察后分析,师生共同小结:
1.二次函数y=2x2的图象是抛物线.
2.二次函数y=2x2的图象与二次函数y=x2的图象的相同点:(1)开口方向相同,都向上.(2)对称轴都是y轴
(或直线x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大而减小;在y轴右侧,y值随x值的
增大而增大.(5)都有最低点,即原点.函数都有最小值.
3.二次函数y=2x2的图象与二次函数y=x2的图象的不同点:两个函数图象的开口大小不同,y=2x2的图象
在y=x2的图象的内侧,开口较小,它的函数值的增长速度较快.
【想一想】 在同一坐标系中作二次函数y=-x2和y=-2x2的图象,会是什么样?
1
探究活动二:画出y= x2的图象
2
1
【想一想】 在课本图2 - 4中画出y= x2的图象.
2【师生活动】 要求学生独立完成,同伴相互检查.教师巡视,对基础比较薄弱的学生进行指导,师课件
1
出示y= x2的图象供学生参考.
2
【问题】 它与二次函数y=x2,y=2x2的图象有什么相同和不同?
【学生活动】 生观察后小结:
1.相同点:(1)开口方向相同,都向上.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4)在y
轴左侧,y值随x值的增大而减小;在y轴右侧,y值随x值的增大而增大.(5)都有最低点,即原点.函数都有最小
值.
1 1
2.不同点:y= x2的图象在y=2x2和y=x2的图象的外侧,开口较大.y= x2中函数值的增长速度较慢.
2 2
【讨论】 通过观察,你能总结出二次函数y=ax2(a≠0)中,二次项系数a的作用吗?
【师生活动】 学生独立思考后,小组讨论,师参与到学生的讨论当中去.
【教师点评】 二次函数y=ax2(a≠0)中,二次项系数a的作用:(1)a确定了抛物线的开口方向:①a>0时,
开口向上;②a<0时,开口向下.(2)a确定了抛物线的开口大小:①︱a︱越大,开口越小,函数值变化得越快;②︱
a︱越小,开口越大,函数值变化得越慢.
[设计意图] 在探究过程中采用猜想、比较、方法选择等方法引导学生探究问题,从而提高学生分析
问题、解决问题的能力.理解二次函数中二次项系数a的作用,领会研究二次函数图象的方法,培养学生运用
数形结合与转化等数学思想方法解决问题的能力,提高运算和作图能力.
[知识拓展] 二次函数y=ax2的图象和性质:
1.当a>0时:(1)开口向上.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y
值随x值的增大而减小;在y轴右侧,y值随x值的增大而增大.(5)当x=0时,y =0.
最小
2.当a<0时:(1)开口向下.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y
值随x值的增大而增大;在y轴右侧,y值随x值的增大而减小.(5)当x=0时,y =0.
最大
二、二次函数y=ax2+c的图象与性质
[过渡语] 通过上面的探究我们知道了二次函数y=ax2的图象与性质,那么二次函数y=ax2+c的图象与
性质又是怎样的呢?
课件出示:
【做一做】 画二次函数y=2x2+1的图象,你是怎样画的?与同伴进行交流.
【师生活动】 要求学生在同一直角坐标系内作出函数y=2x2与y=2x2+1的图象.学生独立完成,课件
展示图象如下:
结合图象解决下面的问题:
【议一议】 二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的
开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
【学生活动】 学生观察思考后小结:
二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象的关系:1.相同点:(1)它们的图象都是抛物线,且形状相同,开口方向都向上.(2)它们都是轴对称图形,且对称轴都
是y轴.(3)在y轴左侧,y随x的增大而减小;在y轴右侧,y随x的增大而增大.(4)都有最低点,y都有最小值.
2.不同点:(1)它们的顶点不同:y=2x2的顶点在原点,顶点坐标为(0,0);y=2x2+1的顶点在y轴上,顶点坐标为
(0,1).(2)最小值不同,y=2x2的最小值为0,y=2x2+1的最小值为1.
【师生活动】 二次函数y=2x2-1的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系?学生类比y=2x2+1的图
象的性质进行小结,师生共同订正.
【师生小结】 二次函数y=2x2,y=2x2+1,y=2x2-1的图象之间的关系:二次函数y=2x2,y=2x2+1,y=2x2-1的
图象都是抛物线,并且形状相同,只是位置不同.将函数y=2x2的图象向上平移1个单位长度,就得到函数
y=2x2+1的图象;将函数y=2x2的图象向下平移1个单位长度,就得到函数y=2x2-1的图象.
[设计意图] 让学生作出完整的二次函数图象,通过类比学习,进一步体验二次函数的系数对图象的影
响.初步完成对二次函数性质的巩固与拓展,从图象直观理解函数图象之间的平移关系,培养学生的动态思
维和自觉学习的意识,顺其自然地完成本节课的学习任务.
[知识拓展]
1.二次函数图象的平移规律:y=ax2+c的图象可以看成是由y=ax2的图象整体上下移动得到的,当c>0时,
向上移动|c|个单位长度;当c<0时,向下移动|c|个单位长度.简记为:“上加下减”.
2.二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质:
开口 顶点
函数 对称轴 增减性 最值
方向 坐标
a>0时,开口向上; (1)a>0: a>0,y =0;
y=ax2 y轴 (0,0) 最小
a<0时,开口向下 x>0时,y随x的增大而增 a<0,y =0
最大
大;x<0时,y随x的增大而减小;
a>0时,开口向上; (2)a<0: a>0,y =c;
y=ax2+c y轴 (0,c) 最小
a<0时,开口向下 x>0时,y随x的增大而减 a<0,y =c
最大
小;x<0时,y随x的增大而增大
y=ax2+c与y=ax2的图象的 y=ax2+c的图象可以看成是由y=ax2的图象整体上下移动得到的,当
关系 c>0时,向上移动|c|个单位长度,当c<0时,向下移动|c|个单位长度
1.二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象及性质.
2.二次函数y=ax2和y=ax2+c图象的平移规律:“上加下减”.
1.下列函数中,当x>0时,y随x的增大而增大的是 ( )
A.y=-x+1 B.y=x2-1
1
C.y= D.y=-x2+1
x
解析:A,y=-x+1,一次函数,k<0,故y随着x的增大而减小,错误;B,y=x2-1(x>0),故图象在对称轴右侧,y随着x
1
的增大而增大,而在对称轴左侧(x<0),y随着x的增大而减小,正确.C,y= ,k=1>0,在每个象限里,y随x的增大
x
而减小,错误;D,y=-x2+1(x>0),故图象在对称轴右侧,y随着x的增大而减小,而在对称轴左侧(x<0),y随着x的增
大而增大,错误.故选B.
2.抛物线y=-2x2+1的对称轴是 ( )
1 1
A.直线x= B.直线x=-
2 2
C.y轴 D.直线x=2解析:抛物线y=-2x2+1的对称轴是y轴(或直线x=0).故选C.
3.如果抛物线y=(2-a)x2的开口方向向下,那么a的取值范围是 .
解析:因为抛物线y=(2-a)x2的开口方向向下,所以2-a<0,即a>2.故填a>2.
4.抛物线y=4x2与抛物线y=-4x2的图象关于 轴对称.
解析:抛物线y=4x2与抛物线y=-4x2的图象形状、大小、顶点坐标都一样,只是开口方向相反,所以它们
关于x轴对称.故填x.
1 1
5.在同一个直角坐标系中作出y= x2,y= x2-1的图象,比较它们的异同,并找出它们的关系.
2 2
解:列表:
x … -2 -1 0 1 2 …
1 1 1
y= x2 … 2 0 2 …
2 2 2
x … -2 -1 0 1 2 …
1 1 1
y= x2-1 … 1 - -1 - 1 …
2 2 2
描点、连线,图象如图所示.
由图象可知两个函数图象的开口大小、方向和对称轴相同,只有顶点的位置不同.
第2课时
二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象及性质.
开口 顶点
函数 对称轴 增减性 最值
方向 坐标
a>0时,开口向上; (1)a>0: a>0,y =0;
y=ax2 y轴 (0,0) 最小
a<0时,开口向下 x>0时,y随x的增大而增大;x<0 a<0,y =0
最大
时,y随x的增大而减小;
a>0时,开口向上; (2)a<0: a>0,y =c;
y=ax2+c y轴 (0,c) 最小
a<0时,开口向下 x>0时,y随x的增大而减小;x<0 a<0,y =c
最大
时,y随x的增大而增大
y=ax2+c与y=ax2的图象 y=ax2+c的图象可以看成是由y=ax2的图象整体上下移动得到的,当
的关系 c>0时,向上移动|c|个单位长度,当c<0时,向下移动|c|个单位长度
一、教材作业
【必做题】
1.教材第36页随堂练习第1,2题.
2.教材第36页习题2.3第1,2,3题.【选做题】
教材第36页习题2.3第4,5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·锦州中考)在同一坐标系中,一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是 ( )
2.如果将抛物线y=x2+2的图象向下平移1个单位长度,那么所得新抛物线的表达式是 ( )
A.y=x2-1 B.y=x2+2
C.y=x2+1D.y=x2+3
3.如图所示,四个函数图象对应的解析式分别是:①y=ax2,②y=bx2,③y=cx2,④y=dx2,则a,b,c,d的大小关系是
.
4.已知正方形的面积为y cm2,周长为x cm.
(1)请写出y与x的函数关系式;
(2)判断y是否为x的二次函数.
【能力提升】
k
5.(2015·宁夏中考)函数y= 与y=-kx2+k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是 ( )
x
6.已知抛物线y=ax2+c(a>0)过A(-3,y),B(-7,y),C(4,y)三点,把y,y,y 按从小到大的顺序排列为 .
1 2 3 1 2 3
7.已知抛物线y=ax2+n与抛物线y=-2x2的形状相同,且其图象上与x轴最近的点到x轴的距离为3.
(1)求a,n的值;
(2)在(1)的情况下,指出抛物线y=ax2的开口方向、对称轴及顶点坐标.
8.已知函数y=(m+2)xm2+m-4-1是关于x的二次函数,求:(1)满足条件的m值;
(2)m为何值时,抛物线的开口向下?并求出此时抛物线的对称轴;
(3)m为何值时,抛物线有最低点?并求出这个最低点的坐标.
【拓展探究】
9.抛物线y=2x2+n与直线y=2x-1交于点(m,3).
(1)求m和n的值;
(2)y=2x2+n与y=2x-1的图象还有其他交点吗?若有,请求出来;若没有,说明理由.
【答案与解析】
1.C(解析:当a<0时,二次函数图象的顶点在y轴负半轴,且开口向上,一次函数图象经过第一、二、四象限;当
a>0时,二次函数图象的顶点在y轴正半轴,且开口向上,一次函数图象经过第一、二、三象限.故选C.)
2.C(解析:∵抛物线y=x2+2的图象向下平移1个单位长度,∴所得抛物线的解析式为y=x2+2-1,即y=x2+1.故选
C.)
3.a>b>c>d(解析:由图易知a,b>0,c,d<0,由图象的开口大小知a>b,c>d,所以a>b>c>d.)
1 1 1 1
4.解:(1)∵正方形的周长为x cm,∴正方形的边长为 x cm,∴y与x的函数关系式为y= x× x= x2. (2)利
4 4 4 16
用二次函数的定义得出y是x的二次函数.
5.B(解析:由解析式y=-kx2+k可得抛物线对称轴为直线x=0.A,由双曲线的两支分别位于第二、四象限,可得
k<0,则-k>0,抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,本图象与k的取值相矛盾,故A
错误;B,由双曲线的两支分别位于第一、三象限,可得k>0,则-k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交
点在y轴的正半轴上,本图象符合题意,故B正确;C,由双曲线的两支分别位于第一、三象限,可得k>0,则-k<0,
抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,本图象与k的取值相矛盾,故C错误;D,由双
曲线的两支分别位于第一、三象限,可得k>0,则-k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的
正半轴上,本图象与k的取值相矛盾,故D错误.故选B.)
6.y0,∴抛物线开口向上,∵点A,B,C到对称轴的距离分别为
1 3 2
3,7,4,∴y,y,y 从小到大的排列顺序为y0时,开口向上; (1)a>0: a>0,y =0;
y=ax2 y轴 (0,0) 最小
a<0时,开口向下 x>0时,y随x的增大而增大;x<0时,y a<0,y =0
最大随x的增大而减小
(2)a<0:
x>0时,y随x的增大而减小;x<0时,y
随x的增大而增大
(1)a>0:
x>h时,y随x的增大而增大;x0时,开口向上; 直线 (h,0) 随x的增大而减小 a>0,y 最小 =0;
a<0时,开口向下 x=h (2)a<0: a<0,y =0
最大
x>h时,y随x的增大而减小;x0时,向右移动|h|个单位长度,当h<0时,向左移动|h|个单位长度,平移
的关系
规律:“左加右减”
[设计意图] 让学生经历独立画图、观察、探究的完整过程,能加深学生对函数性质的理解,培养学生
的动手能力、探究能力、归纳抽象能力.
二、二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
课件展示:
1 1
【想一想】 由二次函数y=2x2的图象,你能得到二次函数y=2x2- ,y=2(x+3)2,y=2(x+3)2- 的图象吗?你
2 2
是怎样得到的?与同伴进行交流.
【学生活动】 学生根据前面的探究,先独立思考,再与同伴交流.代表发言:
1 1
(1)将二次函数y=2x2的图象向下平移 个单位长度,就得到二次函数y=2x2- 的图象.
2 2
(2)将二次函数y=2x2的图象向左平移3个单位长度,就得到二次函数y=2(x+3)2的图象.
1
(3)将二次函数y=2x2的图象先向下平移 个单位长度,再向左平移3个单位长度(或先向左平移3个单
2
1 1
位长度,再向下平移 个单位长度),就得到二次函数y=2(x+3)2- 的图象.
2 2
【议一议】 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象有什么关系?
【师生活动】 学生小组交流后,代表发言,师生共同总结:
一般地,平移二次函数y=ax2的图象便可以得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象.因此,二次函数y=a(x-h)2+k
的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质:
抛物线 y=a(x-h)2+k(a>0) y=a(x-h)2+k(a<0)
顶点坐
(h,k) (h,k)
标
对称轴 直线x=h 直线x=h
开口方
向上 向下
向
在对称轴的左侧,y随着x的增 在对称轴的左侧,y随着x的增大
增减性 大而减小;在对称轴的右侧,y随 而增大;在对称轴的右侧,y随着x
着x的增大而增大 的增大而减小
最值 当x=h时,y =k 当x=h时,y =k
最小 最大
[设计意图] 让学生通过类比学习,利用数形结合进一步体验二次函数的系数对图象的影响,加强对二
次函数性质的巩固与拓展,从图象直观理解函数图象之间的平移关系,培养学生的动态思维和自觉学习的意
识,顺其自然地完成本节课的学习任务.[知识拓展]
1.二次函数图象之间的平移规律:“左右平移在括号,上下平移在末梢,左加右减须牢记,上加下减错不
了”.简记为“上加下减,左加右减”.
2.二次函数的关系式:y=a(x-h)2+k被称之为“顶点式”.
1.二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象.
2.二次函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k之间的关系.
3.二次函数图象之间的平移规律.
1.(2015·沈阳中考)在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象可能是 ( )
解析:二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象的顶点坐标为(h,0),它的顶点坐标在x轴上.故选D.
2.(2015·河池中考)将抛物线y=x2向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度后,所得抛物线的解
析式为 ( )
A.y=(x+2)2+3
B.y=(x-2)2+3
C.y=(x+2)2-3
D.y=(x-2)2-3
解析:∵将抛物线y=x2向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,∴平移后的抛物线的解析式为
y=(x-2)2+3.故选B.
3.(2014·长沙中考)抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是 .
解析:∵抛物线y=3(x-2)2+5,∴顶点坐标为(2,5).故填(2,5).
4.在二次函数y=-2(x-3)2+1中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是 .
解析:∵a=-2<0,∴二次函数图象开口向下,又对称轴是直线x=3,∴当x<3时,函数图象在对称轴的左边,y随
x的增大而增大.故填x<3.
1
5.画出函数y=- (x-1)2+2的图象,观察图象回答下列问题.
2
(1)求顶点坐标与对称轴;
(2)当x取何值时,y随x的增大而增大?当x取何值时,y随x的增大而减小?
(3)当x取何值时,函数有最大值或最小值,其值是多少?
解:如图所示.(1)顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1.
(2)当x<1时,y随x的增大而增大,当x>1时,y随x的增大而减小.
(3)当x=1时,二次函数有最大值,为2.
第3课时
1.y=a(x-h)2+k的图象与性质:
抛物线 y=a(x-h)2+k(a>0) y=a(x-h)2+k(a<0)
顶点 (h,k) (h,k)
对称轴 直线x=h 直线x=h
开口方
向上 向下
向
在对称轴的左侧,y随着x的 在对称轴的左侧,y随着x的
增减性 增大而减小;在对称轴的右 增大而增大;在对称轴的右
侧,y随着x的增大而增大 侧,y随着x的增大而减小
最值 当x=h时,有最小值,为k 当x=h时,有最大值,为k
2.二次函数图象的平移规律:上加下减,左加右减.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第38页随堂练习.
2.教材第39页习题2.4第1,2题.
【选做题】
教材第39页习题2.4第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知二次函数y=2(x-3)2+1.下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=-3;③其图象的顶
点坐标为(3,-1);④当x<3时,y随x的增大而减小.其中说法正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2015·攀枝花中考)将抛物线y=-2x2+1向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度所得的抛物线解
析式为 ( )
A.y=-2(x+1)2 B.y=-2(x+1)2+2
C.y=-2(x-1)2+2 D.y=-2(x-1)2+1
3.(2015·漳州中考)已知二次函数y=(x-2)2+3,当x 时,y随x的增大而减小.4.如图所示的是二次函数y=a(x+1)2+2图象的一部分,该图象在y轴右侧与x轴交点的坐标是 .
【能力提升】
5.(2015·益阳中考)若抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为 ( )
A.m>1 B.m>0
C.m>-1 D.-10,∴图象的开口向上,故错误;②图象的对称轴为直线x=3,故错误;③其图象的顶点坐标为
(3,1),故错误;④当x<3时,y随x的增大而减小,正确.综上所述,说法正确的为④,共1个.故选A.)
2.C(解析:∵抛物线y=-2x2+1向右平移1个单位长度,∴平移后解析式为y=-2(x-1)2+1,∴再向上平移1个单位长
度所得的抛物线解析式为y=-2(x-1)2+2.故选C.)
3.<2(解析:在y=(x-2)2+3中,a=1,∵a>0,∴开口向上,由于函数图象的对称轴为直线x=2,故当x<2时,y的值随着x
值的增大而减小;当x>2时,y的值随着x值的增大而增大.故填<2.)
4.(1,0)(解析:由y=a(x+1)2+2的图象可知对称轴为直线x=-1,根据对称性及图象在对称轴左侧与x轴交点为
(-3,0),知该图象在对称轴右侧与x轴交点的坐标是(1,0).)
{ m>0,
5.B(解析:由于y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,所以可得 所以m的取值范围为m>0.故选B.)
m+1>0,
6.18(解析:∵抛物线y=a(x-3)2+k的对称轴为直线x=3,且AB∥x轴,∴AB=2×3=6,∴等边三角形ABC的周长
=3×6=18.)
7.解:(1)抛物线的顶点坐标是(-1,0),对称轴为直线x=-1. (2)填表如下:
x … -7 -5 -3 -1 1 3 5 …
y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
(3)描点作图如下:8.解:(1)∵抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2),∴-2=a(1-3)2+2,解得a=-1. (2)由(1)得抛物线y=-(x-3)2+2的对称轴
为直线x=3,∴A(m,y),B(n,y)(m1+❑√2时,二次函数y=(x-1)2-2的函数值大于0.
10.解:(1)∵二次函数y=a(x-h)2+❑√3的图象经过原点O(0,0),A(2,0),∴抛物线的对称轴为直线x=1. (2)点A'是
该函数图象的顶点.理由如下:如图所示,作A'B⊥x轴于点B,∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到
1
OA',∴OA'=OA=2,∠A'OA=60°.在Rt△A'OB中,∠OA'B=30°,∴OB= OA'=1,∴A'B=❑√3OB=❑√3,∴点A'的坐标为
2
(1,❑√3),由(1)知h=1,∴点A'为抛物线y=a(x-1)2+❑√3的顶点.
本节课是对二次函数图象及性质的进一步探究,所以本节课画函数图象仍是重点.在教学过程中,给学
生留足了时间,让他们一边作图,一边发现,而不是教师直接给出图象让学生观察,进一步养成了学生自主发
现问题的良好习惯.在归纳二次函数性质的时候,充分相信学生,鼓励学生大胆用自己的语言进行归纳,因为学生自己的发现远远比老师直接讲解掌握的要深刻得多.对于学生,可能会归纳得比较片面或者没有找出关
键点,老师引导学生从多个角度进行考虑,并组织学生展开充分的讨论,从而分散了重点,突破了难点.
学生容易混淆所学的几种二次函数的图象,对各自的性质把握的也不是太清楚.
多利用课件给学生展示所学的几种二次函数在同一坐标系中的图象,让学生进行对比,加深印象.
随堂练习(教材第38页)
解:(1)二次函数y=-3(x+2)2的图象与二次函数y=-3x2的图象都是抛物线,并且形状相同,开口方向都向下,都是
轴对称图形,但对称轴和顶点坐标不同.函数y=-3(x+2)2的对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,0).将二次函数
y=-3x2的图象向左平移2个单位长度,就可以得到二次函数y=-3(x+2)2的图象. (2)当x<-2时,y随x的增大而
增大;当x>-2时,y随x的增大而减小.
习题2.4(教材第39页)
1.解:(1)开口向上,直线x=3,(3,-5). (2)开口向下,直线x=-1,(-1,0). (3)开口向下,直线x=0(y轴),(0,-1). (4)开口
向上,直线x=2,(2,5). (5)开口向上,直线x=-4,(-4,2). (6)开口向下,直线x=3,(3,0).
( 1) 2
2.解:二次函数y=-3 x- 的图象与二次函数y=-3x2的图象都是抛物线,并且形状相同,开口方向都向下,
2
( 1) 2 1
都是轴对称图形,但对称轴和顶点坐标不同.函数y=-3
x-
的图象的对称轴是直线x= ,顶点坐标为
2 2
(1 ) 1 ( 1) 2
,0 .将二次函数y=-3x2的图象向右平移 个单位长度,就可以得到二次函数y=-3 x- 的图象.
2 2 2
3.解:将二次函数y=2x2的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度就得到二次函数
y=2(x-1)2+3的图象.当x>1时,y值随x的增大而增大;当x<1时,y值随x的增大而减小.
4.提示:(1)答案不唯一.如:y=2(x-3)2+4和y=(x+5)2+8等.一般地,形如y=a(x-h)2+k(a>0,k≥0)的函数图象都不经过
第三、四象限. (2)答案不唯一.如:y=4(x+1)2+2,y=4(x+1)2-3.当a,h取值相同,k取值不同时,都符合要求.
对抛物线的平移规律把握不清.
1
把抛物线y= x2-1的图象先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到的抛物线
2
的解析式为 ( )
1 1
A.y= (x+1)2-3 B.y= (x-1)2-3
2 2
1 1
C.y= (x+1)2+1 D.y= (x-1)2+1
2 2【错解】 A
【错解分析】 抛物线的平移规律为:左加右减,上加下减,往往会误认为:右加左减,上加下减.
【正解】 B
1
【正解分析】 抛物线y= x2-1的顶点坐标为(0,-1),∵先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位
2
1
长度,∴平移后的抛物线的顶点坐标为(1,-3),∴得到的抛物线的解析式为y= (x-1)2-3.
2
已知二次函数y=-(x-2)2+4.
(1)填写表格,并在所给直角坐标系中描点,画出该函数图象.
x … …
y=-(x-2)2+4 … …
(2)填空.
①该函数图象与x轴的交点坐标是 .
②当x>2时,y随x的增大而减小;
③当x<0或x>4时,y<0;
④若将抛物线y=-(x-2)2+4的图象先向 平移 个单位长度,再向 平移
个单位长度后可得抛物线y=-x2.
解:(1)如下表.
x … 0 1 2 3 4 …
y=-(x-2)2+4 … 0 3 4 3 0 …
(2)①(4,0),(0,0) ④左 2 下 4(或下 4 左 2)
第 课时1.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.
2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题.
1.经历二次函数对称轴和顶点坐标公式的探究过程,提高学生知识的转化能力.
2.通过解决实际问题,训练学生把数学知识运用于实践的能力.
通过数学活动,产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯,锻炼克服困难的意志,建立学好数学的自信
心.
【重点】
1.掌握运用配方法把一般式转化成顶点式的方法.
2.能利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题.
【难点】 用配方法推导y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习配方法和二次函数顶点式的有关知识.
导入一:
某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价
x(元)满足一次函数关系:m=162-3x.请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间
的函数关系式.
学生分析数量关系:由题意,得每件商品的销售利润为(x-30)元,那么m件的销售利润为y=m(x-30).又
∵m=162-3x,∴y=(x-30)(162-3x),即y=-3x2+252x-4860.
问题
这个二次函数关系式:y=-3x2+252x-4860与我们前面学的形如y=a(x-h)2+k(顶点式)的形式一样吗?
[设计意图] 通过两种函数表达式的对比,让学生产生认知冲突,初步感知一般式与顶点式之间的关系,
为下面两者之间的转化打下了良好的基础.
导入二:神舟十号是中国神舟号系列飞船之一,主要由推进舱(服务舱)、返回舱、轨道舱和附加段组成.神舟十
号在酒泉卫星发射中心“921工位”,于2013年6月11日17时38分02.666秒,由长征二号F改进型运载
火箭(遥十)“神箭”成功发射.在轨飞行十五天左右,加上发射与返回,其中停留天宫一号十二天,共搭载三位
航天员——聂海胜、张晓光、王亚平.6月13日与天宫一号进行对接.6月26日回归地球.
如下图所示,某种火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+150t+10
表示.
问题
公式h=-5t2+150t+10和我们前面学过的二次函数的关系式一样吗?这样的函数的图象和性质又是怎样
的呢?
[设计意图] 通过一些图片的欣赏,让学生感受国家的强大,身为一名中学生应树立“少年强,中国强”
的意识,立志为建设强大的祖国努力学习.承接创设的问题情境,借助“火箭升空”问题引出本节课的内容,
使学生的学习更有针对性,做到有的放矢.
[过渡语] 我们已经学过的顶点式:y=a(x-h)2+k的最明显的特征是能直接看出开口方向、对称轴、顶点
坐标,所以探究二次函数的图象与性质时,最好把二次函数的表达式转化成顶点式.
一、探究一般式与顶点式的转化
问题
你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗?
【学生活动】 学生独立思考后,统一答案:研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质的关键是把二次函
数y=2x2-4x+5转化成y=a(x-h)2+k的形式.
【师生活动】 要求学生独立解决,师巡视,及时发现问题.代表展示,师生共同订正:
解:y=2x2-4x+5=2(x2-2x)+5=2(x2-2x+1)+5-2=2(x-1)2+3.
[设计意图] 通过学生复习顶点式y=a(x-h)2+k,增强学生利用顶点式的意识,学生自然而然地要把y=2x2-
4x+5转化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式,为下面例题的解决奠定了良好的基础.
二、探究一般形式的二次函数的性质
[过渡语] 我们了解了如何把一般式转化为顶点式,下面我们就运用这种方法求二次函数的相关性质.
求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.解析:根据上面的分析,要求y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标,首先要利用配方法把y=2x2-8x+7转化
成顶点式y=a(x-h)2+k的形式.
【学生活动】 要求学生先独立解决,然后同伴交流,相互订正.代表展示:
解:y=2x2-8x+7
=2(x2-4x)+7
=2(x2-4x+4)-8+7
=2(x-2)2-1.
因此,二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,-1).
【做一做】 确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标:
(1)y=3x2-6x+7; (2)y=2x2-12x+8.
【学生活动】 学生独立解答,代表展示,师生共同订正.
解:(1)y=3x2-6x+7=3(x2-2x)+7=3(x2-2x+1)+7-3=3(x-1)2+4.
因此,二次函数y=3x2-6x+7图象的对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,4).
(2)y=2x2-12x+8=2(x2-6x)+8=2(x2-6x+9)+8-18=2(x-3)2-10.
因此,二次函数y=2x2-12x+8图象的对称轴是直线x=3,顶点坐标为(3,-10).
[设计意图] 让学生在解题的过程中去总结、发现解决问题的方法和步骤,熟练掌握利用配方法求二
次函数图象的对称轴和顶点坐标的方法.
三、一般式y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标公式的推导
[过渡语] 你感觉利用上面的方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的方法好吗?如果每次都采取
“配方”,岂不是很麻烦?有没有更好的办法呢?下面我们就来一起探究形如y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数图
象的对称轴和顶点坐标.
求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.
【师生活动】 学生小组讨论后,代表说明解题思路和方法,师生共同解答.
解:把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方,得
y=ax2+bx+c
=a ( x2+ b x ) +c
a
=a [ x2+2· b x+ ( b ) 2 - ( b ) 2] +c
2a 2a 2a
( b ) 2 4ac-b2
=a x+ + .
2a 4a
b ( b 4ac-b2 )
因此,二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=- ,顶点坐标是 - , .
2a 2a 4a
【教师点评】
1.形如y=a(x-h)2+k的二次函数能够直接说出顶点坐标,所以我们把它叫做顶点式.
2.至此,整个初中阶段的所有的二次函数的形式我们就都讨论过了.
[设计意图] 引导学生利用自己所掌握的配方法的思想逐步把二次函数的一般式转化为顶点式,使学
生在推理转化的过程中体会不同形式之间的联系.感受数学的变换和迷人的魅力,从而更加喜欢数学.
四、一般式y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标公式的实际应用
[过渡语] 我们已经掌握了求二次函数图象的顶点坐标的方法,现在同学们就来在现实情境中检验一
下谁理解的更为透彻吧!【做一做】 如图所示,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状,按照图中的直角坐标系,左面的一条抛
9 9
物线可以用y= x2+ x+10表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称.
400 10
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少?
(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少?
你有哪些计算方法?与同伴交流.
解析:解决实际应用问题的关键是什么.
学生思考后回答:解决实际应用问题的关键是把实际问题转化为数学问题.
【教师活动】 提示学生本题可以运用不同的方法进行解答.
【学生活动】 学生讨论后,得出两种方法:(1)运用配方法转化成顶点式;(2)总结运用公式.
9 9
解法1:y= x2+ x+10
400 10
9
= (x2+40x)+10
400
9
= (x2+40x+400-400)+10
400
9
= (x+20)2+1.
400
∴对称轴为直线x=-20,顶点坐标为(-20,1).
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是1 m.
(2)两条钢缆最低点之间的距离是2×20=40(m).
9 9
解法2:这里a= ,b= ,c=10,
400 10
9
b 10
∴- =- =-20,
2a 9
2×
400
9 ( 9 ) 2 9
4× ×10-
4ac-b2 400 10 100
= = =1,
4a 9 9
4×
400 100
∴对称轴是直线x=-20,顶点坐标为(-20,1).
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是1 m.
(2)两条钢缆最低点之间的距离是2×20=40(m).
[设计意图] 让学生学会从数学角度提出问题、分析问题,并能综合运用所学知识和技能解决问题,发
展学生的应用意识,让学生进一步体会在实际问题中利用数学模型来解决实际问题的过程.
求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的方法:(1)配方法:y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k.
b ( b 4ac-b2 )
(2)公式法:①对称轴是直线x=- ;②顶点坐标是 - , .
2a 2a 4a
1.(2014·新疆中考改编)对于二次函数y=(x-1)2+2的图象,下列说法正确的是 ( )
A.开口向下
B.对称轴是直线x=-1
C.顶点坐标是(1,2)
D.与x轴有公共点
解析:二次函数y=(x-1)2+2的图象开口向上,顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1,抛物线与x轴没有公共
点.故选C.
c
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y= 在同一平面直角坐标
x
系中的大致图象为 ( )
b
解析:∵二次函数图象开口方向向上,∴a>0.∵对称轴为直线x=- >0,∴b<0.∵与y轴的正半轴相交,
2a
c
∴c>0,∴y=ax+b的图象经过第一、三象限,且与y轴的负半轴相交,反比例函数y= 的图象在第一、三象限,
x
只有B选项图象符合.故选B.
3.若抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10),则a-b+c= .
解析:将(-1,10)代入y=ax2+bx+c,得a-b+c=10.故填10.
4.某市政府大楼前广场有一喷水池,水从地面喷出,喷出水的路径是一条抛物线.如果以水平地面为x轴,
建立如图所示的平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:m)的一部分,则水喷出的最
大高度是 m.
解析:∵水在空中喷出的曲线是抛物线y=-x2+4x的一部分,∴喷水的最大高度就是水在空中喷出的抛物
线y=-x2+4x的顶点坐标的纵坐标,∵y=-x2+4x=-(x-2)2+4,∴顶点坐标为(2,4),∴水喷出的最大高度为4 m.故填4.
5.写出下面抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.1
(1)y=-2x2+6x; (2)y= x2+2x-3.
2
解:(1)y=-2x2+6x=-2(x2-3x)=-2 ( x2-3x+ 9) + 9 =-2 ( x- 3) 2 + 9 ,开口向下,对称轴是直线x= 3 ,顶点坐
4 2 2 2 2
(3 9)
,
标为 .
2 2
1 1 1 1
(2)y= x2+2x-3= (x2+4x)-3= (x2+4x+4)-2-3= (x+2)2-5,开口向上,对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,-5).
2 2 2 2
第4课时
求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的方法:
1.配方法:
一般式:y=ax2+bx+c 顶点式:y=a(x-h)2+k.
2.公式法:
二次函数y=ax2+bx+c:
b ( b 4ac-b2 )
①对称轴是直线x=- ;②顶点坐标是 - , .
2a 2a 4a
一、教材作业
【必做题】
1.教材第41页随堂练习.
2.教材第41页习题2.5第1,2,3题.
【选做题】
教材第41页习题2.5第4,5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表:
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … -3 -2 -3 -6 -11 …
则该函数图象的顶点坐标为 ( )
A.(-3,-3) B.(-2,-2)
C.(-1,-3) D.(0,-6)
2.(2015·黔西南中考改编)二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示,下列说法中错误的是 ( )
A.函数图象与y轴的交点坐标是(0,-3)B.顶点坐标是(1,-3)
C.函数图象过点(3,0),(-1,0)
D.当x<0时,y随x的增大而减小
3.(2015·常州中考)二次函数y=-x2+2x-3图象的顶点坐标是 .
4.已知抛物线y=-x2+2x+2.
(1)该抛物线的对称轴是直线 ,顶点坐标为 ;
(2)选取适当的数据填入下表,并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线;
x
y
(3)若该抛物线上两点A(x,y),B(x,y)的横坐标满足x>x>1,试比较y 与y 的大小.
1 1 2 2 1 2 1 2
【能力提升】
5.(2015·荆州中考)将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的
解析式为 ( )
A.y=(x-1)2+4 B.y=(x-4)2+4
C.y=(x+2)2+6 D.y=(x-4)2+6
6.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+c的图象不经过第 象限.
1 2 5
7.一名男生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是y=- x2+ x+ ,铅球运行
12 3 3
路线如图所示.
(1)求铅球推出的水平距离;
(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4 m.8.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),B(3,0),且过点C(0,-3).
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上,并写出平移后抛物线的解析式.
【拓展探究】
9.(2014·绍兴中考)若二次函数的二次项系数为1,则此二次函数可表示为y=x2+px+q,我们称[p,q]为此函数的
特征数,如函数y=x2+2x+3的特征数是[2,3].
(1)若一个函数的特征数为[-2,1],求此函数图象的顶点坐标.
(2)探究下列问题:
①若一个函数的特征数为[4,-1],将此函数的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,求得到
的图象对应的函数的特征数;
②若一个函数的特征数为[2,3],则此函数的图象经过怎样的平移,才能使得到的图象对应的函数的特征数为
[3,4]?
【答案与解析】
1.B(解析:∵x=-3和-1时的函数值都是-3,相等,∴二次函数图象的对称轴为直线x=-2,∴顶点坐标为(-2,-2).)
2.B(解析:A,∵y=x2-2x-3,∴当x=0时,y=-3,∴函数图象与y轴的交点坐标是(0,-3),故本选项说法正确;B,∵y=x2-
2x-3=(x-1)2-4,∴顶点坐标是(1,-4),故本选项说法错误;C,∵y=x2-2x-3,∴当y=0时,x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1,∴函
数图象过点(3,0),(-1,0),故本选项说法正确;D,∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴对称轴为直线x=1,又∵a=1>0,图象开口向
上,∴当x<1时,y随x的增大而减小,∴当x<0时,y随x的增大而减小,故本选项说法正确.故选B.)
3.(1,-2)(解析:∵y=-x2+2x-3=-(x2-2x+1)-2=-(x-1)2-2,∴顶点坐标是(1,-2).故填(1,-2).)
4.解:(1)x=1 (1,3) (2)填表及画抛物线如下:
x … -1 0 1 2 3 …
y … -1 2 3 2 -1 …
(3)因为在对称轴直线x=1右侧,y随x的增大而减小,又x>x>1,所以y0,c>0,故一次函数y=bx+c的图象不经过第四象限.)1 2 5
7.解:(1)当y=0时,- x2+ x+ =0,解得x=10,x=-2(不合题意,舍去),所以铅球推出的水平距离是10 m.
12 3 3 1 2
1 2 5 1 5 1 5 4 1
(2)y=- x2+ x+ =- (x2-8x+16-16)+ =- (x2-8x+16)+ + =- (x-4)2+3.当x=4时,y取最大值3,所以
12 3 3 12 3 12 3 3 12
铅球行进高度不能达到4 m,最高能达到3 m.
8.解:(1)∵抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),∴可设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3),把C(0,-3)代入,得3a=-3,解得
a=-1,故抛物线解析式为y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3.∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,∴顶点坐标为(2,1). (2)答案不唯
一,如:先向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为y=-x2,平移后抛物线的
顶点为(0,0),落在直线y=-x上.
9.解:(1)由题意可得出y=x2-2x+1=(x-1)2,∴此函数图象的顶点坐标为(1,0). (2)①由题意可得出:
y=x2+4x-1=(x+2)2-5,∴将此函数的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后,得到y=(x+1)2-
4=x2+2x-3的图象,∴图象对应的函数的特征数为[2,-3]. ②∵一个函数的特征数为[2,3],∴函数解析式为
( 3) 2 7
y=x2+2x+3=(x+1)2+2.∵一个函数的特征数为[3,4],∴函数解析式为y=x2+3x+4= x+ + ,∴将原函数的图
2 4
1 1
象先向左平移 个单位长度,再向下平移 个单位长度就可以得到.
2 4
本节课的内容较多,整体上难度较大,所以需要学生比以往的课更要集中精力,所以上课伊始就设计一些
情境,吸引了学生的注意力,充分调动学生学习的热情,并对学生进行爱国主义教育,以达到触动学生心灵的
目的,从而更好地进入学习状态.本节课的重点是用配方法求二次函数图象的对称轴及顶点坐标,对学生来
说会感觉有难度,所以可以要求学生在上课前对配方法进行复习,以简化配方法的难度.通过对实际应用题
的解答让学生初步体会二次函数在实际生活中的运用,再次感悟数学源于生活又服务于生活.
在学生归纳二次函数性质的时候,由于引导不力,学生归纳得比较片面或者没有找出关键点.
教师要注意引导学生从多个角度进行考虑,而且要组织学生展开充分的讨论,对大家的观点集中考虑,这
样有利于训练学生的归纳能力.
随堂练习(教材第41页)
解:(1)直线x=3;(3,-15). (2)直线x=8;(8,1). (3)直线x=1.25;(1.25,-1.125). (4)直线x=0.75;(0.75,9.375).
习题2.5(教材第41页)
1.解:(1)开口向上,对称轴:直线x=2,顶点坐标为(2,5). (2)开口向上,对称轴:直线x=1,顶点坐标为(1,-3). (3)开
口向上,对称轴:直线x=1,顶点坐标为(1,-1). (4)开口向下,对称轴:直线x=-6,顶点坐标为(-6,27).
2.解:y=x2-2x+1=(x-1)2,将二次函数y=(x-1)2的图象向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度就得到二
次函数y=(x+2)2+2的图象.y=(x+2)2+2=x2+4x+6,所以b=4,c=6.这条抛物线的开口向上,对称轴为直线x=-2,顶
点坐标为(-2,2).3.解:∵h=-5t2+150t+10=-5(t2-30t-2)=-5[(t-15)2-227]=-5(t-15)2+1135.∴当t=15时,h =1135,即经过15 s时,火箭
最大
到达它的最高点,最高点的高度是1135 m.
4.解:(1)当0≤x<13时,学生的接受能力逐渐增强;当13≤x≤30时,学生的接受能力逐渐降低. (2)经过13 min,
学生的接受能力最强.
9 9 9
5.提示:y= (x-20)2+1,即y= x2- x+10.
400 400 10
1.由于本节课的重点是利用配方法把二次函数的一般式y=ax2+bx+c转化成顶点式y=a(x-h)2+k,所以课
前对一元二次方程中配方法知识的复习就显得尤为重要.
2.本节课整体难度较大,只靠学生自己的能力达不到最好的效果,所以要引导学生积极、主动地与其他
同学进行合作交流,并加强对配方法的巩固练习,为公式法的得出奠定良好的基础.
3.对于公式法的推导,由于难度较大,所以可以采用师生合作的方式共同完成.
已知:二次函数y=-x2+2x+3.
(1)求抛物线的对称轴和顶点坐标.
(2)画出函数图象.
(3)根据图象:
①写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围;
②写出当-20),试用含x的代数式表示BC的长(包括门);
(2)请你判断谁的说法正确,为什么?
【答案与解析】
1.A(解析:∵水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x的一部分,∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线
y=-x2+4x的顶点的纵坐标,∵y=-x2+4x=-(x-2)2+4,∴顶点坐标为(2,4),∴喷水的最大高度为4 m.故选A.)
2.C(解析:设BC=x m,则AB=(16-x)m,矩形ABCD的面积为y m2,根据题意得y=(16-x)x=-x2+16x=-(x-8)2+64,当
x=8时,y =64,则所围成矩形ABCD的最大面积是64 m2.故选C.)
最大
3.75(解析:设垂直于墙的边长为x m,则平行于墙的边长为27+3-3x=30-3x(m),则总面积为x(30-
3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75(m2),故饲养室的最大面积为75 m2.故填75.)
4.20(解析:s=20t-5t2=-5(t-2)2+20,所以s的最大值为20.故填20.)
5.C(解析:设AE=AH=CF=CG=x,四边形EFGH的面积是S.由题意,得BE=DG=60-x,BF=DH=40-x,则
1 1
S =S = x2,S =S = (60-x)(40-x),所以四边形EFGH的面积为S=60×40-x2-(60-x)(40-
△AHE △CGF 2 △DGH △BEF 2
x)=-2x2+100x=-2(x-25)2+1250(00,∴当t=3时,S取得最小值.)
7.解:已知抽屉底面宽为x cm,则底面长为180÷2-x=(90-x)cm.∵90-x≥x,∴00,∴x<36,∴04,所以货运卡车能通过隧道. (2)如图(2)所示,货运卡车在隧道内的位置为
4 4 4 4
1 1
矩形MNPQ,则MQ=NP=RL=2 m,MN=PQ=4 m,当x=2时,y=- x2+4=- ×22+4=3,3+2>4,所以货运卡车能通过
4 4
隧道.
1
4.提示:(1)设函数表达式为y=ax2,则B(10,y),D(5,y),根据题意,得y-y=3.所以52a-102a=3,解得a=- . (2)
1 2 2 1 25
35
=7(h),0.25×7=1.75<3,所以该船按原来速度行驶,可以安全通过此桥.
51.求解实际应用问题的关键是把实际问题转化为数学问题,利用二次函数求最值问题实际就是把实际
问题抽象为数学问题,即二次函数问题;求最值的关键是把一般式转化为顶点式,这是学习时要重点把握的两
点.
2.要熟练运用用二次函数知识解决实际问题的基本思路和方法.首先设出一个量,然后用相似三角形的
性质表示另一个量,再用数学的方式表示它们之间的关系,得到二次函数表达式(顶点式),最后要检验结果的
合理性.
求最值时,忽略自变量的取值范围
1
如图所示,一座拱形桥的桥拱是抛物线,抛物线在平面直角坐标系中的表达式可以用y=- x2+
2
3
x+2表示,当-1≤x≤0时,桥拱离水面的最大高度是 ( )
2
A.3.125 B.4
C.2 D.0
【错解】 A
【错解分析】 忽略了自变量的取值范围为-1≤x≤0,误认为顶点的纵坐标3.125就是其最大
高度.
【正解】 C
【正解分析】 由图象可知,当x<1.5时,y随x的增大而增大,∵-1≤x≤0,∴当x=0时,函数有最大值,为2.
王明的爷爷用一段长30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18 m,这个矩形的长、
宽各为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少?
〔解析〕 设菜园宽为x m,则长为(30-2x)m,由面积公式写出S与x的函数关系式,然后利用二次函数
的最值的知识可得出菜园的最大面积及取得最大面积时矩形的长和宽.
解:设矩形的宽为x m,面积为S m2,
根据题意得S=x(30-2x)=-2x2+30x=-2(x-7.5)2+112.5,
所以当x=7.5时,S有最大值,最大值为112.5.
30-2x=30-15=15.
故当矩形的长为15 m,宽为7.5 m时,矩形菜园的面积最大,最大面积为112.5 m2.
[解题策略] 本题主要考查二次函数的应用,关键在于找出等量关系列出方程求解,另外应注意配方法
求最大值在实际问题中的应用.
第 课时1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受
数学的应用价值.
2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大
(小)值,发展解决问题的能力.
1.经历销售中最大利润问题的探究过程,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的
作用.
2.发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.
1.体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心.
2.认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和人类发展的作用.
【重点】
1.探索销售中最大利润问题,从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.
2.引导学生将简单的实际问题转化为数学问题,并运用二次函数知识求出实际问题的最大(小)值,从而
得到解决某些实际生活中最大(小)值问题的思想方法.
【难点】 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数知识解决某些实
际生活中的最大(小)值问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习关于销售的相关量之间的关系及二次函数最值的求法.
导入一:
【引入】 如果你是某企业老总,你最关心的是什么?是的,当然是利润,因为它是企业生存的根本,并且
每个企业都想在限定条件内获得更大利润.本节课我们就来探究形如最大利润的问题.
[设计意图] 开门见山,直入正题,让学生对本节课所要了解的知识一目了然,使他们的学习更有针对性.
导入二:
请同学们思考下面的问题:
某工厂生产一种产品的总利润L(元)是产量x(件)的二次函数L=-x2+2000x-10000,则产量是多少时总利
润最大?最大利润是多少?学生分析数量关系:求总利润最大就是求二次函数L=-x2+2000x-10000的最大值是多少.
即L=-x2+2000x-10000=-(x2-2000x+10002-10002)-10000=-(x-1000)2+990000.
∴当产量为1000件时,总利润最大,最大利润为99万元.
【引入】 显然我们可以通过求二次函数最大值来确定最大利润,你能利用这种思路求解下面的问题
吗?
[设计意图] 让学生通过对导入问题的解答,进一步强化将实际问题转化为数学模型的意识,使学生感
受到“何时获得最大利润”就是在自变量取值范围内,此二次函数何时取得最大值问题.
[过渡语] 数学来源于生活,生活中处处有数学,下面我们继续运用二次函数解决实际问题——最大利
润问题.
一、利用二次函数解决最大利润问题
服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经
销5000件,并且表示单价每降价0.1元,愿意多经销500件.
请你帮助分析,厂家批发单价是多少时可以获利最多?
思路一
教师引导学生思考下面的问题:
1.此题主要研究哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
生审题后回答:批发价为自变量,所获利润为因变量.
2.此题的等量关系是什么?
3.若设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元,请完成下面的填空题:
(1)销售量可以表示为 ;
(2)每件T恤衫的销售利润可以表示为 ;
(3)所获利润与批发价之间的关系式可以表示为 .
4.求可以获得的最大利润实质上就是求什么?
【师生活动】 教师启发学生依次探究问题,根据引导要求学生独立解答后,小组交流,共同解决所发现
的问题.
解:设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元.
(
13-x)
由题意得y=
5000+500×
(x-10)
0.1
=(70000-5000x)(x-10)
=-5000(x-12)2+20000.
∴当x=12时,y =20000.
最大
∴厂家批发价是12元时可以获利最多.
思路二
【思考】 此题还有其他的解法吗?可以不直接设批发价吗?
【师生活动】 学生进行小组讨论,师巡视并参与到学生的讨论之中去.组长发言,师生共同订正.
解:设降价x元,该服装厂获得的利润为y元.( x )
则y=
5000+500×
(13-10-x)
0.1
=(5000+5000x)(3-x)
=-5000(x-1)2+20000,
∴当x=1时,y =20000.
最大
13-1=12.
∴厂家批发价是12元时可以获利最多.
【教师点评】 在利用二次函数解决利润的问题时,可以直接设未知数,也可以间接设未知数.
[设计意图] 让学生回顾列一元二次方程解决“每件商品的销售利润×销售这种商品的数量=总利
润”这种类型的应用题,做好知识的迁移,为下一环节的教学做好准备,以便降低学生接受知识的难度.
[过渡语] 通过上面的探究,相信你已经掌握了利用二次函数解决最大利润问题的方法,试试能不能解
决下面的问题.
课件出示:
(教材例2)某旅馆有客房120间,每间房的日租金为160元时,每天都客满.经市场调查发现,如果每间客
房的日租金增加10元,那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素,旅馆将每间客房的日租金提高到
多少元时,客房日租金的总收入最高?
〔解析〕 此题的等量关系是:客房日租金总收入=提价后每间房的日租金×提价后所租出去的房间数.
如果设每间房的日租金提高x个10元,那么提价后每间房的日租金为(160+10x)元,提价后所租出去的房间
数为(120-6x)间.
解:设每间房的日租金提高10x元,则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为y元,
则y=(160+10x)(120-6x),
即y=-60(x-2)2+19440.
∵x≥0,且120-6x>0,
∴0≤x<20.
当x=2时,y =19440,
最大
这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元),
因此,每间客房的日租金提高到180元时,客房总收入最高,最高收入为19440元.
[设计意图] 让学生通过对例题的解答,进一步熟悉和掌握本课所学知识,拓宽知识面,使其解题能力和
应用能力得到进一步提升.
二、利用二次函数图象解决实际问题
课件出示:
【议一议】 还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到表示增种橙子树的数量
x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000.
问题(1):利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.
请同学们在课本第49页图2-11中画出二次函数y=-5x2+100x+60000的图象.
要求:同伴合作,画出图象.
师课件出示函数图象,供学生参考.问题(2):增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?
看一看:从图象中你们可以发现什么?增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?请同学
们开始小组讨论交流.
学生积极思考,合作交流.
请代表展示他们的讨论成果:
结论1:当x<10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加;当x=10时,橙子的总产量最大;当x>10时,
橙子的总产量随增种橙子树的增加而减少.
结论2:由图象可知,增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵,都可以使橙子总
产量在60400个以上.
能力提升:在分析的过程中,用到了什么数学思想方法?
学生迅速得出:用到了数形结合的数学思想方法.
[设计意图] 让学生绘制该二次函数图象,并利用图象进行直观分析,体会数形结合的思想方法,并感受
自变量的取值范围.
用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关
系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.
1.某商店经营2014年巴西世界杯吉祥物,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-
x2+24x+2956.则获利最多为 ( )
A.3144元 B.3100元
C.144元 D.2956元
解析:利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956,∴y=-(x-12)2+3100.∵-1<0,∴当x=12时,
y有最大值,为3100.故选B.
2.某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,床位可全部租出;若每床每晚收费提高2元,则减少10张
床位租出;若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了
投资少而获利大,每床每晚收费应提高 ( )
A.4元或6元 B.4元
C.6元 D.8元
解析:设每床每晚收费应提高x个2元,获得利润为y元,根据题意得y=(10+2x)(100-
( 5) 2
10x)=-20x2+100x+1000=-20 x- +1125.∵x取整数,∴当x=2或3时,y最大,当x=3时,每床收费提高6元,
2
床位最少,即投资少,∴为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高6元.故选C.
3.某产品进货单价为90元,按100元一件出售时,能售500件,如果这种商品每涨1元,其销售量就减少
10件,为了获得最大利润,其单价应定为 .
解析:设应涨价x元,则所获利润为y=(100+x)(500-10x)-90×(500-10x)=-10x2+400x+5000=-10(x2-
40x+400)+9000=-10(x-20)2+9000,可见当涨价20元,即单价为100+20=120元时获利最大.故填120元.4.(2014·沈阳中考)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整
数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为 元.
解析:设最大利润为w元,则w=(x-20)(30-x)=-(x-25)2+25.∵20≤x≤30,x为整数,∴当x=25时,w有最大值,为
25.故填25.
5.每年六、七月份,南方某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售,运
输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/千克,假设不计其他费用.
(1)水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本?
(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(千克)与销售单价x(元)之间满足关系:m=-10x+120,那
么当销售单价定为多少时,每天获得的利润w最大?
解:(1)设购进荔枝k千克,荔枝售价定为y元/千克时,水果商才不会亏本,
由题意,得y·k(1-5%)≥(5+0.7)k.
∵k>0,∴95%y≥5.7,∴y≥6.
∴水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本.
(2)由(1)可知,每千克荔枝的平均成本为6元,
由题意得w=(x-6)m=(x-6)(-10x+120)=-10(x-9)2+90,
∵a=-10<0,∴当x=9时,w有最大值.
∴当销售单价定为9元时,每天可获利润w最大.
第2课时
用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关
系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第49页随堂练习.
2.教材第50页习题2.9第1,2题.
【选做题】
教材第50页习题2.9第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.学校商店销售一种练习本所获得的总利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=-2(x-2)2+48,则下
列叙述正确的是 ( )
A.当x=2时,利润有最大值48元
B.当x=-2时,利润有最大值48元
C.当x=2时,利润有最小值48元
D.当x=-2时,利润有最小值48元
2.一件工艺品进价为100元,按标价135元售出,每天可售出100件.若每降价1元出售,则每天可多售出4件.
要使每天获得的利润最大,每件需降价 ( )
A.5元 B.10元
C.12元 D.15元
3.某民俗旅游村为接待游客住宿需要,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费100元时,床位可全
部租出.若每张床位每天收费提高20元,则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位
提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是 元.
4.(2015·营口中考)某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时,平均
每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为 元时,该服装店平
均每天的销售利润最大.
【能力提升】5.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(单位:万元)与销售量x(单
位:辆)之间分别满足:y=-x2+10x,y=2x,若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利
1 2
润为 ( )
A.30万元 B.40万元
C.45万元 D.46万元
6.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促
销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天
的房租等固定成本共24元,为了减少库存,该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低
( )
A.0.2元或0.3元 B.0.4元
C.0.3元 D.0.2元
7.某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元)与每天销售量y(件)之间满足
如图所示的关系.
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式.若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天
获得的利润最大?最大利润是多少?
8.(2015·汕尾中考)九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下
表:
售价/(元/件)… 100 110 120 130
月销量/件… 200 180 160 140
已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.
(1)请用含x的式子表示:
①销售该运动服每件的利润;
②月销量.
(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大?最大利润是多少?
【拓展探究】
9.(2015·舟山中考)某企业接到一批粽子生产任务,按要求在15天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只6元,
为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x满足下列关系式:
{ 54x(0≤x≤5),
y=
30x+120(5200+ ,∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3
1 2 0.1 0.1
元.)
{130k+b=50,
7.解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),由所给函数图象可知 解得
150k+b=30,
{k=-1,
故y与x的函数关系式为y=-x+180. (2)∵y=-x+180,∴W=(x-100)y=(x-100)(-x+180)=-
b=180,
x2+280x-18000=-(x-140)2+1600.∵a=-1<0,∴当x=140时,W =1600,∴售价定为140元/件时,每天获得的利润最
最大
大,最大利润为1600元.
8.解:(1)①销售该运动服每件的利润是(x-60)元.②设月销量w与x的关系式为w=kx+b,由题意得
{100k+b=200, {k=-2,
解得 ∴w=-2x+400.∴月销量为(-2x+400)件. (2)由题意得y=(x-60)
110k+b=180, b=400,
(-2x+400)=-2x2+520x-24000=-2(x-130)2+9800,∴售价为130元时,当月的利润最大,最大利润是9800元.
9.解:(1)设李明第n天生产的粽子数量为420只,由题意可知30n+120=420,解得n=10.答:第10天生产的粽子
数量为420只. (2)由图象得当0≤x≤9时,p=4.1;当9≤x≤15时,设p=kx+b,把点(9,4.1),(15,4.7)代入,得
{9k+b=4.1, {k=0.1,
解得 ∴p=0.1x+3.2.①当0≤x≤5时,w=(6-4.1)×54x=102.6x,当x=5时,w
15k+b=4.7, b=3.2, 最大
=513(元);②当50 Δ=0 Δ<0
x=
1
-b-❑√b2-4ac
2a b
一元二次方程
ax2+bx+c=0 x 2 = x 1 =x 2 =- 2a 没有实数根
-b+❑√b2-4ac
2a
图象与x轴只有
图象与x轴有两 一个交点,为
二次函数 图象与x轴没
y=ax2+bx+c 个 (x 交 ,0) 点 ,(x ,分 ,0) 别为 ( - b ,0 ) 有交点
1 2 2a
[过渡语] 通过上面的探究,我们了解了当y=0时,二次函数与一元二次方程之间的关系,当y≠0时呢?又
如何解答呢?
课件出示:
【想一想】 在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60 m?你是如何知道的?
思路一
由图象可知:当h=60 m时,直线h=60与函数h=-5t2+vt+h 的图象有两个交点,分别为(2,60)和(6,60),因此,
0 0
当小球离开地面2 s和6 s时,高度都是60 m.
思路二
解:在式子h=-5t2+vt+h 中,当h=0,v=40,h=60时,
0 0 0 0
有-5t2+40t=60,
即t2-8t+12=0,
解得t=2,t=6.
1 2
因此,当小球离开地面2 s和6 s时,高度都是60 m.
[设计意图] 通过这两个实际问题使学生进一步理解和掌握二次函数和一元二次方程之间的关系,同
时利用两种不同的方法进行求解,体现了解题方法的灵活性,同时也使学生进一步感受到数形结合的解题思
想,也可以体会两种解题方法的不同之处和内在联系.
二次函数与一元二次方程之间的关系:1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相
对应,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实
数根.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
1.下列二次函数的图象与x轴有两个交点的是 ( )
A.y=-x2+2x-5 B.y=-2x2-8x-11
C.y=3x2-6x+1 D.y=4x2+24
解析:利用Δ进行判定,选项A,B,D的Δ都小于0,对于选项C,Δ=36-4×3=24>0,∴函数图象与x轴有两个
交点,故C正确.故选C.
2.二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示,则m的值是 ( )
A.-8B.8
C.±8D.6
m
解析:由图象可知,抛物线与x轴只有一个交点,∴Δ=m2-4×2×8=0,解得m=±8.∵对称轴为直线x=-
2×2
<0,∴m>0,∴m的值为8.故选B.
3.二次函数y=x2-mx+3的图象与x轴的交点如图所示,根据图中信息可得到m的值是 .
解析:∵抛物线y=x2-mx+3过点(1,0),∴1-m+3=0,∴m=4.故填4.
4.已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,求关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解.
解:根据图象可知,二次函数y=-x2+2x+m的部分图象经过点(3,0),所以该点适合y=-x2+2x+m,代入,
得-9+2×3+m=0,解得m=3.把m=3代入一元二次方程-x2+2x+m=0,得-x2+2x+3=0,解得x=3,x=-1.
1 2
第1课时
1.二次函数与一元二次方程之间的关系:
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对
应,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数
根.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.一、教材作业
【必做题】
1.教材第52页随堂练习.
2.教材第52页习题2.10第1,2题.
【选做题】
教材第53页习题2.10第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.抛物线y=-3x2-x+4与x轴的交点个数是 ( )
A.3 B.2
C.1 D.0
2.(2015·苏州中考)若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,则关于x的方程
x2+bx=5的解为 ( )
A.x=0,x=4 B.x=1,x=5
1 2 1 2
C.x=1,x=-5 D.x=-1,x=5
1 2 1 2
3.抛物线y=x2-3x与x轴的交点坐标为 .
【能力提升】
1
4.(2014·东营中考)若函数y=mx2+(m+2)x+ m+1的图象与x轴只有一个交点,那么m的值为 ( )
2
A.0 B.0或2
C.2或-2 D.0,2或-2
5.(2015·陕西中考)下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断,正确的是 ( )
A.没有交点
B.只有一个交点,且它位于y轴右侧
C.有两个交点,且它们均位于y轴左侧
D.有两个交点,且它们均位于y轴右侧
6.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为( )
A.-3 B.3
C.-6 D.9
a+5
7.(2014·株洲中考)如果函数y=(a-1)x2+3x+ 的图象经过平面直角坐标系的四个象限,那么a的取值范围
a-1
是 .
8.已知二次函数y=2x2-mx-m2.
(1)求证:对于任意实数m,该二次函数图象与x轴总有公共点;
(2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A,B,且A点坐标为(1,0),求B点坐标.
9.(2015·宁波中考)已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),其中m是常数.
(1)求证:不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点;
5
(2)若该抛物线的对称轴为直线x= .
2
①求该抛物线的函数解析式;
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.【拓展探究】
10.(2015·荆州中考)已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0.
(1)求证:无论k取任何实数,方程总有实数根;
(2)当抛物线y=kx2+(2k+1)x+2与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数时,若P(a,y),Q(1,y)是此抛
1 2
物线上的两点,且y>y,请结合函数图象确定实数a的取值范围;
1 2
(3)已知抛物线y=kx2+(2k+1)x+2恒过定点,求出定点坐标.
【答案与解析】
1.B(解析:令y=0,得到-3x2-x+4=0,即3x2+x-4=0,∴Δ=1-4×3×(-4)=49>0,∴-3x2-x+4=0有两个不相等的实数根,即
抛物线y=-3x2-x+4与x轴有两个交点.)
b
2.D(解析:∵对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,∴- =2,解得b=-4,解方程x2-4x=5,得x=-1,x=5.故选
2 1 2
D.)
3.(3,0),(0,0)(解析:令y=0,则x2-3x=0,解得x=3或x=0.所以抛物线y=x2-3x与x轴的交点坐标是(3,0),(0,0).故填
(3,0),(0,0).)
1
4.D(解析:分为两种情况:①当函数是二次函数时,∵函数y=mx2+(m+2)x+ m+1的图象与x轴只有一个交点,
2
(1 )
∴Δ=(m+2)2-4m· m+1 =0且m≠0,解得m=±2;②当函数为一次函数时,m=0,此时函数解析式是y=2x+1,其
2
图象与x轴只有一个交点.故选D.)
5.D(解析:当y=0时,ax2-2ax+1=0,∵a>1,∴Δ=(-2a)2-4a=4a(a-1)>0,ax2-2ax+1=0有两个根,其对应的函数图象与x
-2a 1
轴有两个交点,又x+x=- =2>0,xx= >0,∴这两个交点均位于y轴右侧.故选D.)
1 2 a 1 2 a
b2
6.B(解析:∵抛物线的开口向上,顶点的纵坐标为-3,∴a>0,- =-3,即b2=12a,∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实
4a
数根,∴Δ=b2-4am≥0,即12a-4am≥0,即12-4m≥0,解得m≤3,∴m的最大值为3.)
a+5
7.a<-5(解析:∵函数y=(a-1)x2+3x+ 的图象经过平面直角坐标系的四个象限,∴此函数一定是二次函数,其
a-1
a-1≠0,
{
a+5
9-4(a-1)· >0,
图象与x轴有两个交点,且两个交点必在y轴两侧,∴
a-1
解得a<-5.故填a<-5.)
a+5
<0,
(a-1)2
8.(1)证明:当二次函数图象与x轴相交时,2x2-
mx-m2=0,Δ=(-m)2-4×2×(-m2)=9m2.∵m2≥0,∴9m2≥0,∴对于任意实数m,该二次函数图象与x轴总有公共点. (2)
解:把(1,0)代入二次函数关系式,得0=2-m-m2,∴m=-2,m=1,当m=-2时,二次函数关系式为y=2x2+2x-4,令y=0,
1 2
得2x2+2x-4=0,解得x=1或x=-2,∴二次函数图象与x轴的两个公共点的坐标是(1,0),(-2,0).又∵A点坐标为
( 1 )
(1,0),∴B(-2,0),当m=1时,同理可得B
- ,0
.
29.(1)证明:y=(x-m)2-(x-m)=x2-(2m+1)x+m2+m,∵Δ=(2m+1)2-4(m2+m)=1>0,∴不论m为何值,该抛物线与x轴一定
-(2m+1) 5
有两个公共点. (2)解:①∵x=- = ,∴m=2,∴抛物线解析式为y=x2-5x+6. ②设抛物线沿y轴向
2 2
上平移k(k>0)个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点,则平移后抛物线解析式为y=x2-5x+6+k,∵
1 1
抛物线y=x2-5x+6+k与x轴只有一个公共点,∴Δ=52-4(6+k)=0,∴k= ,即把该抛物线沿y轴向上平移 个单位
4 4
长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.
10.(1)证明:①当k=0时,方程为x+2=0,∴x=-2,方程有实数根,②当k≠0时,∵Δ=(2k+1)2-4k×2=(2k-1)2≥0,∴无论k
1
取任何实数,方程总有实数根. (2)解:令y=0,则kx2+(2k+1)x+2=0,解关于x的一元二次方程,得x=-2,x=- .∵
1 2 k
二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数,∴k=1,∴该抛物线解析式为y=x2+3x+2,
如图所示,由图象得到:当y>y 时,a>1或a<-4. (3)依题意得kx2+(2k+1)x+2-y=0恒成立,即k(x2+2x)+x-y+2=0
1 2
{x2+2x=0, {x=0, {x=-2,
恒成立,则 解得 或 ∴该抛物线恒过定点(0,2),(-2,0).
x- y+2=0, y=2 y=0.
通过本节课的学习,重点要让学生体会到函数与方程之间的内在联系,所以在教学中重点训练学生观察
图象的能力,以便找出图象与x轴交点的个数,并判断一元二次方程根的情况,充分感受数形结合的数学思想.
为了提高课堂效率,对于“议一议”采取了分组讨论、合作解决的方式,让学生在分组的同时,还能体会到合
作的重要性.为加深学生对本节课知识的印象,围绕着教学目标精心挑选题目,由基础题到提高题,再到中考
题,通过不断地训练,让学生在“做”中“思”,来加深理解,然后再将这种理解应用到解题中去,以此不断提
高学生的解题技能.
由于时间有限,安排以找规律的方式引入交点式时,没有深入地进行说理,致使少数学生浮于表面,不能
真正理解而对结论产生混淆.
本节课学生完全有能力探索出二次函数与一元二次方程之间的关系,所以再教时,要大胆放手让学生去
观察,去发现,给他们更大的思考空间.随堂练习(教材第52页)
解:(1)略. (2)当t=1时,h=-4.9×12+19.6×1=14.7(m);当t=2时,h=-4.9×22+19.6×2=19.6(m). (3)方
程-4.9t2+19.6t=0的根的实际意义是踢出后经过多长时间足球距地面的高度为0 m.方程-4.9t2+19.6t=14.7的
根的实际意义是踢出后经过多长时间足球距地面的高度为14.7 m.图象表示略.
习题2.10(教材第52页)
1 1
1.解:(1)令y=0,得 x2-x+3=0,∵Δ=b2-4ac=(-1)2-4× ×3<0,∴此方程无实数根,即此二次函数的图象与x轴无交
2 2
点.作图略. (2)令y=0,得-2x2+20x-49=0,∵Δ=b2-4ac=202-4×(-2)×(-49)=400-392=8>0,∴此方程有两个实数根,分
❑√2 ❑√2 ( ❑√2 ) ( ❑√2 )
别为x=5+ ,x=5- ,∴图象与x轴的交点坐标为 5+ ,0 和 5- ,0 .作图略.
1 2 2 2 2 2
2.解:因为Δ=b2+4>0,所以y=x2+bx-1的图象与x轴相交,有两个交点.
3.解:方程x2-6x+4=1的根是抛物线y=x2-6x+4与直线y=1的交点的横坐标,图略.
1+❑√21 1-❑√21
4.提示:设两个函数图象相交,则交点横坐标满足-x2+3x+4=2x-1.解得x= ,x= ,故交点坐标
1 2 2 2
1+❑√21 1-❑√21
为 ,
❑√21
, ,-
❑√21
.
2 2
1.本节课的重点是探究二次函数和一元二次方程两者之间的关系,所以复习二次函数的图象的性质和
一元二次方程的解法是学生课前必做的功课.
2.数形结合思想是学好本节知识的关键,所以学生要进一步加强观察二次函数图象的能力,要多看、多
察、多思.
3.要求学生在与其他同学的合作交流中逐步发现二次函数和一元二次方程之间的关系,养成及时归纳
总结的好习惯,并要加强练习,对所学知识进行巩固拓展.
已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴都没有公共点;
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?
〔解析〕 (1)求出根的判别式,即可得出答案.(2)先化成顶点式,根据顶点坐标和平移的性质即可得出
答案.
证明:(1)∵Δ=(-2m)2-4×1×(m2+3)=4m2-4m2-12=-12<0,
∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数解,
即不论m为何值,该函数的图象与x轴都没有公共点.
解:(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3,
把函数y=(x-m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x-m)2的图象,它的顶点坐标是
(m,0),
此时这个函数的图象与x轴只有一个公共点,
∴把函数y=x2-2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公
共点.[解题策略] 本题考查了二次函数图象和x轴的交点问题,根的判别式,平移的性质,二次函数的图象与
几何变换的应用,主要考查学生的理解能力和计算能力,题目比较好,有一定的难度.
第 课时
1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
2.进一步发展估算能力.
1.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验.
2.利用图象法求一元二次方程的近似根,重要的是让学生懂得这种求解方法的思路,体验数形结合思想.
通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根,进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元
二次方程的根的关系,提高估算能力.
【重点】 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,能够利用二次函数的图象求一元二次方
程的近似根.
【难点】 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根并且估算.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习二次函数的图象和性质及一元二次方程的解.
导入一:
如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个
根是1.6,那么另外一个根是多少?学生分析:由抛物线可知其对称轴为直线x=3,∵抛物线是轴对称图形,∴抛物线与x轴的两个交点关于直
线x=3对称,设关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x,x,那么两根满足
1 2
2×3=x+x,∵x=1.6,∴x=4.4.
1 2 1 2
【问题】 关于这个问题,我们是利用抛物线的对称轴估计一元二次方程的根,如果不知道对称轴又该
如何估计一元二次方程的根呢?
[设计意图] 通过图象求一元二次方程根的过程,让学生初步感知一元二次方程的根与二次函数图象
与x轴交点之间的关系,为新知的探究打下了良好的基础.
导入二:
1
2015年6月6日第七届女足世界杯在加拿大开幕,在6月21日举行的 决赛中,中国队以1∶0小胜喀麦
8
隆队晋级8强,前锋9号王珊珊打入全场唯一进球,为中国队闯入8强立下了赫赫战功.张明同学研究了比赛
中王珊珊的一次挑球过人时足球的运动轨迹,作出了如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象.
【师生活动】 引导学生观察图象,然后利用这个函数图象估算出对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的
近似根.
【学生活动】 学生观察后讨论,估计其中一个根是1.6或1.7,但是不知道另一个根大约是多少.
【引入】 上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系.有时在图象上我们很难准确地求出方程的解,所以要进行估算.
[设计意图] 通过对足球运动轨迹的探索,让学生初步感知利用图象法估算一元二次方程的根的方法
的同时,引出了本节课的课题,让学生做到有的放矢.
[过渡语] 在九年级上册,我们已经掌握了一元二次方程ax2+bx+c=0的各种解法,今天我们尝试另外的
一种解法——图象法.
一、利用函数图象估算一元二次方程ax2+bx+c=0的根
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗?
课件出示:
如图所示的是函数y=x2+2x-10的图象.
【师生活动】 师引导学生观察并估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标.
确定出二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标的大致范围.【学生活动】 生观察后得出:函数图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与
3之间.所以方程x2+2x-10=0的两个根一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.
议一议:这只是大概范围,究竟更接近于哪一个数呢?请大家继续讨论.
生讨论后发言:既然一个根在-5与-4之间,那这个根一定是负4点几,所以个位数就确定下来了.
师继续设问:如何确定它的十分位呢?
生再讨论,代表发言:十分位上的数可以用试一试的方法确定,即分别把x=-4.1,-4.2,…,-4.9代入方程进行
计算,哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立),则这个值就是方程的根(或近似根).
师提示:这种方法是可行的,但是计算比较烦琐,所以同学们可以借助计算器进行计算.
完成下表:
x … -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 …
y … …
学生合作,完成表格.
x … -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 …
y … -1.39 -0.76 -0.11 0.56 …
师课件出示图示,供学生参考.
想一想:现在你能确定十分位上的数了吗?
学生小组讨论后,组长发言:
从上表可知,当x取-4.3或-4.4时,对应y的值由负变正,可见在-4.4和-4.3之间一定有一个x值使y=0,即
有方程x2+2x-10=0的一个根.由于当x=-4.3时,y=-0.11比y=0.56(x=-4.4)更接近0,所以x=-4.3更接近方程的
根.
因此,方程x2+2x-10=0在-5和-4之间精确到0.1的根为x=-4.3.
【教师点评】 用图象法求一元二次方程的近似根时,结果只取到十分位.
师提示:有了上面的分析和结果,求另一个近似根就不困难了,请大家继续.
x … 2.1 2.2 2.3 2.4 …
y … -1.39 -0.76 -0.11 0.56 …
学生自行研究得出:方程的另一个近似根为x=2.3.
所以一元二次方程x2+2x-10=0的近似根为x=-4.3,x=2.3.
1 2
想一想:我们得出的结论是否正确?你能用我们学过的知识进行验证吗?
学生思考后得出:可以利用一元二次方程的求根公式进行验证.
学生独立完成验证过程.
师课件出示,供学生参考:
-2±2❑√11
∵a=1,b=2,c=-10,∴x= ,即x=-1-❑√11≈-4.3,x=-1+❑√11≈2.3.
1 2
2
[设计意图] 本环节是本节新课的重点内容,一是让学生巩固对二次函数图象的形成的认识,二是让他
们运用二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根的原理,经历一元二次方程根的近似值
的探索过程,进一步体会二次函数与方程之间的联系.
[过渡语] 通过上面的探究,我们掌握了利用二次函数图象估计一元二次方程ax2+bx+c=0的根的方法,
那么,能不能运用这种方法估计一元二次方程ax2+bx+c=k的根呢?二、利用函数图象估算一元二次方程ax2+bx+c=k的根
【做一做】 利用函数图象估算一元二次方程x2+2x-10=3的根.
思路一
课件出示:
(1)请利用教材图2-17求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
【师生活动】 对比方程x2+2x-10=3和方程x2+2x-10=0的形式的不同之处,思考解决问题的方法.
【学生活动】 学生观察后得出:通过转化可以把原方程变形为x2+2x-13=0.然后,按照上面探究的方法
进行求解.
学生分析:
由图可知,函数图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7
和2.7.由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为x=-4.7,x=2.7.
1 2
思路二
课件出示:
(2)你还能利用教材图2-18求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根吗?
【师生活动】 对比方程x2+2x-10=3与方程x2+2x-10=0相应的函数解析式的y的值,讨论y=3时对应
的x值的确定方法.
【学生活动】 学生分组讨论,得出结论:只需要找到抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标即
可.学生在课本的图2-18上作出直线y=3,确定交点.
师课件出示:通过图象,学生分析:
由图可知,函数图象与直线y=3有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约
为-4.7和2.7.由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为x=-4.7,x=2.7.
1 2
[设计意图] 通过探究,既巩固了所学知识,又让学生明白了一元二次方程ax2+bx+c=k的根就是二次函
数y=ax2+bx+c的图象与直线y=k(k是实数)交点的横坐标这一数学原理,培养学生观察图象、分析图象的能
力.
b
[知识拓展] 当确定出一元二次方程的一个近似根时,可以利用对称性(对称轴为直线x=- )确定出
2a
另一个近似根.
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤:
(1)利用图象首先确定一元二次方程的两个根的大致范围(在哪两个整数之间).
(2)再利用计算器依次对x的值进行探索,当得到的y值最接近于0时,所对应的x的值即为方程的一个
近似根,再利用同样的方法确定另一个近似根.
1.下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几组对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个近似解可以是
( )
x 3.3 3.4 3.5 3.6
y -0.06 -0.02 0.03 0.09
A.3.25 B.3.35 C.3.45 D.3.55
解析:结合表格可以得出y=0介于-0.02和0.03之间,对应的x的值介于3.4和3.5之间.故选C.
2.如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,图象上有两点分别为A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54),则方
程ax2+bx+c=0的一个近似解只可能是 ( )
A.2.18 B.2.68
C.-0.51 D.2.45
解析:根据二次函数与一元二次方程的关系,由图看出图象与x轴的交点的横坐标在2.18和2.68之间.
故选D.
3.如图所示,已知抛物线y=x2+bx+c经过点(0,-3),请你确定一个b的值,使该抛物线与x轴的一个交点在
(1,0)和(3,0)之间.你所确定的值是 .{1+b-3<0,
解析:由抛物线可知c=-3,当x=1时,y<0;当x=3时,y>0,从而可联立不等式,得到
9+3b-3>0,
∴-23时,y随x的增大而减小.
2.解:(1)对称轴为y轴,顶点坐标为(0,2). (2)对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,5). (3)对称轴为直线x=-3,顶点
( 5) 2 25 5 (5 25)
坐标为(-3,-1). (4)y=x(5-x)=-(x2-5x)=- x- + ,对称轴为直线x= ,顶点坐标为 , .
2 4 2 2 4
( 7) 2 47
(5)y=1+2x-x2=-(x-1)2+2,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,2). (6)y=2x2-7x+12=2 x- + ,对称轴为直线
4 8
7 (7 47)
,
x= ,顶点坐标为 .
4 4 8
3.解:(1)令y=0,得x2+6x+9=0,解得x=x=-3,∴抛物线与x轴只有一个交点,为(-3,0).作图略. (2)令y=0,得9-
1 2
3 ( 3 ) (3 )
4x2=0,解得x=± ,∴抛物线与x轴交于 - ,0 和 ,0 .作图略. (3)令y=0,得(x+1)2-9=0,解得
2 2 2
x=-4,x=2,∴抛物线与x轴的交点为(-4,0)和(2,0).作图略.
1 2
(x) 2 (120-x) 2 1
4.解:设将铁丝分成x cm和(120-x)cm两部分,面积和为y cm2,列方程得y= + =
4 4 8
(x-60)2+450,∴它们的面积和最小为450 cm2.
5.解:(1)取方便计算的几个值,如下表所示.(答案不唯一)v(km/min) 1 2 3 4 5 6 7
I 2 8 18 32 50 72 98
(2)当汽车的速度增加到原来的2倍时,撞击影响扩大为原来的4倍.
6.解:(1)图象略.(2)当t=4 s时,h =4.9t2=4.9×42=78.4(m),h =0.8t2=0.8×42=12.8(m).
地 月
(3)当h=10
m时,10=4.9t2
,解得t ≈1.4
s;10=0.8t2
,解得t ≈3.5 s.
地 地 月 月
7.解:交点坐标为(4,7),(-1,-3).
1 1
8.解:一元二次方程-x2+2x+ =0的根就是二次函数y=-x2+2x+ 的图象与x轴的交点的横坐标.
2 2
9.解: (1) 由图象可得x=0.8,x=-11.8. (2)由图象可得x=3.2,x=-6.2. (3) 由图象可得x=2.2,x=-4.2. (4)无
1 2 1 2 1 2
实数根.(图略)
1 ❑√3 1 1 ❑√3 ❑√3
10.解:如图所示,作AD⊥BC于D,∵AB=a,∴BD= a,AD=❑√AB2-BD2= a,S= BC·AD= a· a=
2 2 2 2 2 4
❑√3 3❑√3
a2(a>0).当a=1时,S= ;当a=❑√3时,S= ;当a=2时,S=❑√3.
4 4
11.解:(1)A=x2,l=4x. (2) 图略,x2增大的速度要比4x快得多. (3)A=x2和y=x2的图象不同,因为它们的自变量
的取值范围不同.
2 2
12.解:∵h∶a=2∶5,∴h= a,∴S=ah= a2(a>0),当a逐渐增大时,S也随着逐渐增大.
5 5
1 1 1
13.解:(1)y=4x- x2=- (x2-8x)=- (x-4)2+8,∴小球到达的最高点的坐标为(4,8). (2)依题意得
2 2 2
1
{y=4x-
2
x2,
解得 {x 1 =0, (舍),
{x
2
=7
7
,
∴点A的坐标为 ( 7, 7) .
1 y =0 y = , 2
y= x, 1 2 2
2
( 15) 2
14.解:设AB的长度为x m,矩形的面积为y m2,则BC的长为(15-x)m,所以y=x(15-x)=-(x2-15x)=- x- +
2
225 15 225 15
,当x= 时,y = ,即当AB=BC= m,即围成正方形时,面积最大.
4 2 最大 4 21
15.解:(1)如图所示,由题意知CE=2x m,△CEF的面积为y m2,∵∠FCE=90°,∠CEF=45°,∴CF=CE=2x m,∴y=
2
1
CE·CF=2x2(0≤x≤5). (2)当x=2时,y=8;当x=3.5时,y=24.5. (3)正方形的面积为100 m2,当y= ×100=50=2x2
2
时,解得x=5(负值舍去).
16.解:(1)略. (2)h与t是二次函数关系. (3)由对称性可得(15,1135)是顶点坐标,所以可以设表达式为
h=a(t-15)2+1135,把(1,155)代入可得表达式为h=-5(t-15)2+1135. (4)可以得出最高射程为1135米.由h关于t
的表达式解出来的.
17.解:答案不唯一.如可以以水面所在的直线为x轴,以喷水口所在的竖直的直线为y轴建立平面直角坐标系,
9 ( 1) 2 9
设右面水柱的表达式为y=a(x-h)2+ .把(0,0.5),(1,0)代入可得y=- x- + (0≤x≤1).易得左面水柱的
16 4 16
( 1) 2 9
表达式为y=-
x+
+ (-1≤x≤0).
4 16
( a) 2 a2
18.解:设把数a拆成两数之和时,其中一个数为x,这两个数的积为y,则y=x(a-x)=-(x2-ax)=- x- + ,∴当
2 4
a a2 1
x= 时,y = .结论:把一个数拆成两个相等的数时,这两个数的积最大,最大值为这个数的平方的 .
2 最大值 4 4
19.解:(1)依题意得y=(26-2x)(22-2x)=4(13-x)(11-x)=4x2-96x+572. (2)略. (3)当x=1时,y=480,当x=1.5时,
y=437,当x=2时,y=396.
( v ) ( v ) 2 v2 v v2
20.解:h=-5t2+vt=-5 t2- 0t =-5 t- 0 + 0,当t= 0 时,h = 0=15,∴v2 =300,∴v≈17.32 m/s.
0 5 10 20 10 最大值 20 0 0
1
21.解:(1)y=- x2+8(-8≤x≤8). (2)由于设双向行车道,汽车只能走一个车道,所以将x=±4代入函数表达式,得
32
1
y=7 >7,因此货车能通过这个隧道.
2
22.解:建立如图所示的平面直角坐标系,AB=4 m,OC=2 m,∴点C的坐标为(0,2),点B的坐标为(2,0).设抛物线
1 1 1
的解析式为y=ax2+k(a≠0),则y=ax2+2.∵x=2时,y=0,∴22a+2=0,解得a=- ,∴解析式为y=- x2+2.当y=-
2 2 2
1
x2+2=-1,即 x2=3时,解得x=±❑√6,此时水面宽为2❑√6≈4.9(m).
22 2 2
23.解:表达式为y=- x2+8x,表格及图象略.(1)00时,在对称轴左
y=a(x-h)2 (h,0)
当a>0时,开口向x=h 侧,y随x的增大而减小;在
y=a(x-h)2+k 上;当a<0时,开 直线 (h,k) 对称轴右侧,y随x的增大而
x=h
口向下. 增大.
当|a|相等时,抛物 b ②当a<0时,在对称轴左
线的开口大小、
直线x -
2a
,
侧,y随x的增大而增大;在
y=ax2+bx+c 形状相同 b 对称轴右侧,y随x的增大而
=- 4ac-b2
2a 减小
4a
3.二次函数图象的平移规律:
4.二次函数的图象与a,b,c符号的关系:
(1)a决定开口方向及开口大小.
(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置:
当ab>0时,对称轴在y轴左侧;
当b=0时,对称轴为y轴;
当ab<0时,对称轴在y轴右侧.
(3)c的大小决定抛物线与y轴交点的位置:
当c>0时,抛物线交y轴于正半轴;
当c=0时,抛物线过原点;
当c<0时,抛物线交y轴于负半轴.
三、确定二次函数的表达式
1.利用二元一次方程组确定二次函数的表达式.
(1)利用两个点的坐标确定二次函数表达式需要满足的条件:
{已知顶点的坐标{顶点坐标
另一个点的坐标
有两个未知系数{一个点的坐标
另一个点的坐标
(2)利用二元一次方程组求二次函数表达式的步骤和方法:
待定系数法→代入法→组成方程组→解方程组求出待定系数→确定二次函数表达式.
2.利用三元一次方程组确定二次函数的表达式
利用三元一次方程组求二次函数表达式的步骤和方法:
利用待定系数法 y=ax2+bx+c 三元一次方程组 a,b,c的值 二次函数的
表达式.
四、二次函数的应用
1.类型:
(1)最大面积问题;
(2)最大利润问题.
2.运用二次函数解决实际问题的思路:(1)理解问题.
(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系.
(3)用数学的方式表示它们之间的关系.
(4)利用二次函数求解.
(5)检验结果的合理性.
五、二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数与一元二次方程之间的关系:
(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.
(2)与此相对应,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的
实数根、没有实数根.
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
2.利用二次函数图象求一元二次方程的近似根.
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤:
(1)利用图象首先确定一元二次方程的两个根的大致范围(在哪两个整数之间).
(2)再利用计算器依次对x的值进行探索,当得到的y值最接近于0时,所对应的x的值即为方程的一个
近似根,再利用同样的方法确定另一个近似根.
六、数学思想方法的应用
数学思想是数学知识中的精髓,是联系数学中各类知识的纽带,是数学解题的灵魂,是数学知识的重要组
成部分.本章主要的数学思想有函数思想、数形结合思想、平移思想、分类讨论思想等,主要方法有待定系
数法和配方法.
专题一 二次函数的定义
【专题分析】
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型,是初中阶段学习的最后一种函数,既是前面所
学函数的延续,又是高中函数知识的基础.二次函数的定义不是中考考查的重点,往往与一元二次方程等知
识综合考查.
下列各式中,y是x的二次函数的是 ( )
1
A.y= B.y=2x+1
x2
C.y=x2+x-2 D.y2=x2+3x
1
〔解析〕 A.y= ,分母中含有自变量,不是二次函数,错误;B.y=2x+1,是一次函数,错误;C.y=x2+x-2,是二
x2
次函数,正确;D.y2=x2+3x,不是二次函数,错误.故选C.
【针对训练1】 已知函数y=(m2+m)x2+mx+4为二次函数,则m的取值范围是 ( )
A.m≠0 B.m≠-1
C.m≠0,且m≠-1 D.m=-1
〔解析〕 由y=(m2+m)x2+mx+4为二次函数,得m2+m≠0,解得m≠0且m≠-1.故选C.
已知函数y=(m-1)xm2+1+3x,当m=
时,它是二次函数.
〔解析〕
∵y=(m-1)xm2+1+3x是二次函数,∴m2+1=2,∴m=-1或m=1(舍去,此时m-1=0).故填-1.
【针对训练2】 函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是( )
A.m,n为常数,且m≠0
B.m,n为常数,且m≠n
C.m,n为常数,且n≠0
D.m,n可以为任意数
〔解析〕 二次函数的二次项系数不能为零,即m-n≠0,故m≠n.故选B.
专题二 二次函数的图象与性质
【专题分析】二次函数的图象与性质是解决二次函数问题的基础,是初中数学考查的重点,更是中考考查的热点,一般
以压轴题的形式出现.常与一元二次方程、一次函数、反比例函数、多边形等知识综合考查.数形结合思想
是解决二次函数图象与性质问题的主要思想方法.
(2015·兰州中考)在下列二次函数中,其图象的对称轴为直线x=-2的是 ( )
A.y=(x+2)2 B.y=2x2-2
C.y=-2x2-2 D.y=2(x-2)2
〔解析〕 y=(x+2)2的图象的对称轴为直线x=-2,A正确;y=2x2-2的图象的对称轴为直线x=0,B错误;
y=-2x2-2的图象的对称轴为直线x=0,C错误;y=2(x-2)2的图象的对称轴为直线x=2,D错误.故选A.
【针对训练3】 二次函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标为 .
〔解析〕 ∵y=x2-2x+3=(x-1)2+2,∴抛物线的顶点坐标为(1,2).故填(1,2).
(2015·泰安中考)如图所示,在同一坐标系中,一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能
是 ( )
〔解析〕 A,由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知n2<0,故A错误;B,由抛物线与y轴的交点在y
轴的正半轴上可知m>0,由直线可知-m>0,二者矛盾,故B错误;C,由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可
知m<0,由直线可知-m<0,二者矛盾,故C错误;D,由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知m<0,由直线
可知-m>0,正确.故选D.
【针对训练4】 已知函数y=-(x-m)(x-n)(其中m0;④4a-2b+c<0.其中正确的是( )
A.①② B.只有①
C.③④ D.①④
b
〔解析〕 ∵抛物线的开口向上,∴a>0.∵- <0,∴b>0,∵抛物线与y轴交于负半轴,∴c<0,∴abc<0,①正确;
2a
b
∵对称轴为直线x=-1,∴- =-1,即2a-b=0,②错误;∵当x=-1时,y<0,∴a-b+c<0,③错误;∵当x=-2时,
2a
y<0,∴4a-2b+c<0,④正确.故选D.
【针对训练5】 如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:
①a>0;②2a+b=0;③a+b+c>0;④当-10.其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
b
〔解析〕 ∵抛物线开口向下,∴a<0,①错误;由图象可知对称轴为直线x=1,∴- =1,∴2a+b=0,②正确;
2a
当x=1时,y>0,即a+b+c>0,③正确;由图象可知当-10,④正确.故选C.
专题三 确定二次函数的表达式
【专题分析】
确定二次函数的表达式的方法是待定系数法,结合二元一次方程组或三元一次方程组,求出待定系数.
在求二次函数的表达式时,要结合题目的具体情况,设出合理的表达式.二次函数的表达式是解决二次函数
问题的首要因素和关键因素,是中考的重要考点,但是单独考查的较少,一般在解答题的第(1)题中出现.
把二次函数y=x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,结果正确的是 ( )
A.y=(x-2)2+5 B.y=(x-2)2+1
C.y=(x-2)2+9 D.y=(x-1)2+1
〔解析〕 y=x2-4x+5=x2-4x+4-4+5=(x-2)2+1.故选B.
【针对训练6】 将二次函数y=x2-8x+17化为y=(x-h)2+k的形式,那么h+k= .
〔解析〕 y=x2-8x+17=(x-4)2+1,则h=4,k=1,所以h+k=4+1=5.故填5.
如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(3,0)和(0,2),当x=2时,y的值为 .
〔解析〕 ∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(3,0)和(0,2),2
{a=- ,
{ a-b+c=0, 3
2 4 2
∴ 9a+3b+c=0, 解得 4 则这个二次函数的表达式为y=- x2+ x+2.把x=2代入,得y=- ×4+
b= , 3 3 3
c=2, 3
c=2,
4
×2+2=2.故填2.
3
【针对训练7】 二次函数的图象如图所示,则其表达式为 .
〔解析〕 由图象可知,抛物线的对称轴是直线x=1,且与y轴交于(0,3),与x轴交于(-1,0).设解析式为
b
{- =1, {a=-1,
2a
y=ax2+bx+c,则 解得 b=2, 故填y=-x2+2x+3.
c=3,
c=3.
a-b+c=0,
专题四 二次函数的应用
【专题分析】
二次函数的知识有着广泛的实际应用. 二次函数的应用是数学最值问题的延续,重点解决有关面积、
利润等问题,其中渗透着数形结合思想、方程思想、转化思想等,是中考中的重要考点,题型灵活多变.
某工厂一种产品的年产量是20件,如果每一年都比上一年的产量增加x倍,两年后产品的产量
y与x的函数关系式是 ( )
A.y=20(1-x)2
B.y=20+2x
C.y=20(1+x)2
D.y=20+20x2+20x
〔解析〕 ∵某工厂一种产品的年产量是20件,每一年都比上一年的产量增加x倍,∴一年后产品有
20(1+x)件,∴两年后产品的产量y与x的函数关系式是y=20(1+x)2.故选C.
【针对训练8】 如图所示,李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD,用篱笆围成的另外三边总长
为24 m,设BC的长为x m,矩形的面积为y m2,则y与x之间的函数表达式为 .
1 1 1
〔解析〕 由题意得y= (24-x)x=- x2+12x.故填y=- x2+12x.
2 2 2某体育用品店购进一批单价为40元的球服,如果按单价60元销售,那么一个月内可售出240
套,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高5元,销售量相应减少20套.设销售
单价为x(x≥60)元,销售量为y套.
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)当销售单价为多少元时,月销售额为14000元?
(3)当销售单价为多少元时,才能在一个月内获得最大利润?最大利润是多少?
〔解析〕 (1)由销售单价为x元得到销售减少量,用240减去销售减少量得到y与x的函数关系式.(2)
直接用销售单价乘以销售量等于14000,列方程求得销售单价.(3)设一个月内获得的利润为w元,根据题意得
w=(x-40)(-4x+480),然后利用配方法求最值.
x-60
解:(1)销售单价为x元,则销售量减少 ×20套,
5
x-60
故销售量为y=240- ×20=-4x+480(x≥60).
5
(2)根据题意可得x(-4x+480)=14000,
解得x=70,x=50(不合题意,舍去),
1 2
故当销售单价为70元时,月销售额为14000元.
(3)设一个月内获得的利润为w元,
根据题意得w=(x-40)(-4x+480)=-4x2+640x-19200=-4(x-80)2+6400.
当x=80时,w有最大值,为6400.
故当销售单价为80元时,才能在一个月内获得最大利润,最大利润是6400元.
【针对训练9】 某产品每件成本价为20元,试销阶段产品的日销售量y(件)与每件产品的销售价
x(元)之间的关系如下表:
x/元 25 30 40 …
y/件 25 20 10 …
(1)若日销售量y(件)是每件产品的销售价x(元)的一次函数,求日销售量y(件)与每件产品的销售价x(元)
之间的函数关系式;
(2)要使日销售利润W(元)最大,每件产品的销售价x(元)应定为多少?此时每日销售利润是多少?
〔解析〕 (1)可设日销售量y(件)与每件产品的销售价x(元)的一次函数关系式为y=kx+b(k≠0),根据表
格中的数据,求出k,b的值,从而确定y与x之间的函数关系式.(2)由于日销售利润W等于日销售量y与每件
产品的利润(x-20)的积,故W与x之间的函数关系是一个二次函数关系,故可根据二次函数知识求最值.
解:(1)设y与x之间的一次函数关系式为y=kx+b(k≠0).
当x=25时,y=25,当x=30时,y=20,
{25=25k+b, {k=-1,
于是有 解得
20=30k+b, b=50,
即函数关系式为y=-x+50.
(2)W=(x-20)(-x+50)=-x2+70x-1000=-(x-35)2+225.
故当销售价为每件35元时,日销售利润最大,最大利润是225元.
(2015·衡阳中考)如图所示,顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A,B两点,且点A在x
轴上,点B的横坐标为2,连接AM,BM.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)判断△ABM的形状,并说明理由;(3)把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点.若将(1)中抛物线平移,使其顶点为(m,2m),当m满足
什么条件时,平移后的抛物线总有不动点?
〔解析〕 (1)由条件可分别求得A,B的坐标,设出抛物线的解析式,利用待定系数法可求得抛物线解析
式.(2)结合(1)中A,B的坐标,根据勾股定理可分别求得AB,AM,BM,可得到AB2+AM2=BM2,可判定△ABM为直
角三角形.(3)由条件可写出平移后的抛物线的解析式,与y=x联立,可得到关于x的一元二次方程,根据根的判
别式可求得m的取值范围.
解:(1)∵点A为直线y=x+1与x轴的交点,
∴A(-1,0).
又点B的横坐标为2,代入y=x+1可求得y=3,∴B(2,3).
∵抛物线的顶点在y轴上,
∴可设抛物线的解析式为y=ax2+c,
{ a+c=0, {a=1,
把A,B两点的坐标分别代入可得 解得
4a+c=3, c=-1,
∴抛物线的解析式为y=x2-1.
(2)△ABM为直角三角形.理由如下:
由(1)中抛物线的解析式为y=x2-1可知点M的坐标为(0,-1),
∴AM=❑√2,AB=❑√32+32=❑√18=3❑√2,BM=❑√22+[3-(-1)]2=2❑√5,
∴AM2+AB2=2+18=20=BM2,∴△ABM为直角三角形.
(3)当抛物线y=x2-1平移后顶点坐标为(m,2m)时,其解析式为y=(x-m)2+2m,即y=x2-2mx+m2+2m,
{ y=x,
与y=x联立,可得
y=x2-2mx+m2+2m,
消去y整理可得x2-(2m+1)x+m2+2m=0,
∵平移后的抛物线总有不动点,
∴方程x2-(2m+1)x+m2+2m=0总有实数根,
∴Δ≥0,即(2m+1)2-4(m2+2m)≥0,
1 1
解得m≤ ,即当m≤ 时,平移后的抛物线总有不动点.
4 4
【针对训练10】 如图所示,对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A,B两点,其
中A点的坐标为(-3,0).
(1)求B点的坐标;
(2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点.
①若P点在抛物线上,且S =4S ,求点P的坐标;
△POC △BOC
②设Q点是线段AC上的动点,作QD⊥x轴交抛物线于D点,求线段QD长度的最大值.
〔解析〕 (1)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1,交x轴于A,B两点,其中A点的坐标为
(-3,0),根据二次函数图象的对称性,即可求得B点的坐标.(2)①当a=1时,先由对称轴为直线x=-1,求出b的值,
再将B(1,0)代入,求出二次函数的解析式为y=x2+2x-3,得到C点的坐标,然后设P点坐标为(x,x2+2x-3),根据
S
△POC
=4S
△BOC
列出关于x的方程,解方程求出x的值,进而得到P点的坐标.②先运用待定系数法求出直线AC
的解析式为y=-x-3,再设Q点坐标为(x,-x-3),则D点坐标为(x,x2+2x-3),然后用含x的代数式表示QD,根据二次
函数的性质即可求出线段QD长度的最大值.
解:(1)∵对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A,B两点,
∴A,B两点关于直线x=-1对称,
∵点A的坐标为(-3,0),∴点B的坐标为(1,0).(2)①当a=1时,∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=-1,
b
∴- =-1,解得b=2.
2
将B(1,0)代入y=x2+2x+c,得1+2+c=0,解得c=-3,
则二次函数的解析式为y=x2+2x-3,
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为(0,-3),OC=3.
设P点坐标为(x,x2+2x-3),
1 1
∵S =4S ,∴ ×3×|x|=4× ×3×1,
△POC △BOC 2 2
∴|x|=4,x=±4.
当x=4时,x2+2x-3=16+8-3=21;
当x=-4时,x2+2x-3=16-8-3=5.
∴P点的坐标为(4,21)或(-4,5).
{-3k+t=0,
②如图所示,设直线AC的解析式为y=kx+t,将A(-3,0),C(0,-3)分别代入,得 解得
t=-3,
{k=-1,
t=-3,
即直线AC的解析式为y=-x-3.
设Q点坐标为(x,-x-3)(-3≤x≤0),
则D点坐标为(x,x2+2x-3),
( 3) 2 9
QD=(-x-3)-(x2+2x-3)=-x2-3x=- x+ + ,
2 4
3 9
∴当x=- 时,线段QD的长有最大值,为 .
2 4
专题五 二次函数与一元二次方程
【专题分析】
二次函数与一元二次方程的关系是数学中数与形结合的又一类型,解决问题的方法显然是利用数形结
合思想.二次函数与一元二次方程的关系并非中考中的重要考点,题型以选择题、填空题为主.
二次函数y=mx2+x-2m(m是非0常数)的图象与x轴的交点个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.1或2
〔解析〕 二次函数y=mx2+x-2m(m是非0常数)的图象与x轴的交点个数即为方程mx2+x-2m=0的解
的个数,Δ=1+8m2>0,故图象与x轴的交点个数为2.故选C.
【针对训练11】 若关于x的二次函数y=x2-2x+k的图象与x轴只有1个交点,则k= .
〔解析〕 ∵二次函数y=x2-2x+k的图象与x轴有且只有一个交点,∴Δ=b2-4ac=4-4k=0,∴k=1.故填1.若y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c=0的另一个解为 ( )
A.-2B.-1
C.0 D.1
〔解析〕 由图象可知抛物线与x轴的一个交点是(3,0),对称轴为直线x=1,∴根据对称性,抛物线与x轴
的另一交点为(-1,0),令y=0,即ax2+bx+c=0,则方程ax2+bx+c=0的解是x=-1,x=3.即方程的另一解为-1.故选B.
1 2
【针对训练12】 二次函数y=x2-8x+n的部分图象如图所示,若关于x的一元二次方程x2-8x+n=0的一
个解为x=1,则另一个解为x= .
1 2
〔解析〕 y=x2-8x+n的图象的对称轴为直线x=4,由图象可知抛物线与x轴的一个交点为(1,0),则另一
个交点为(7,0),所以方程x2-8x+n=0的另一个解为x=7.故填7.
2
本章质量评估
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列四个函数中,一定是二次函数的是 ( )
1
A.y= +x B.y=ax2+bx+c
x2
C.y=x2-(x+7)2 D.y=(x+1)(2x-1)
2.若(2,5),(4,5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点,则它的对称轴是 ( )
b
A.直线x=- B.直线x=1
a
C.直线x=2 D.直线x=3
3.二次函数y=x2+2x-5有 ( )
A.最小值-5 B.最大值-5
C.最小值-6 D.最大值-6
4.(襄阳中考)二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,若点A(x,y),B(x,y)在此函数图象上,xy
1 2 1 2
5.函数y=ax+b的图象经过第一、二、三象限,则二次函数y=ax2+bx的大致图象是 ( )
6.将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得图象的函数表达式是
( )
A.y=(x-1)2+2 B.y=(x+1)2+2C.y=(x-1)2-2 D.y=(x+1)2-2
7.一个二次函数的图象的顶点坐标是(2,4),且过另一点(0,-4),则这个二次函数为 ( )
A.y=-2(x+2)2+4 B.y=-2(x-2)2+4
C.y=2(x+2)2-4 D.y=2(x-2)2-4
1
8.对于抛物线y=- (x+1)2+3,下列结论:①抛物线的开口向下;②对称轴为直线x=1;③顶点坐标为(-1,3);④当
2
x>1时,y随x的增大而减小.其中正确结论的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(2015·兰州中考)已知二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A(x,0),B(x,0),且x0时,m>x
2
C.当n<0时,x0时,m0,∴当x=-1时,二次函数有最小值,为-6.故选C.)4.B(解析:由图象可知,当x<1时,y随x的增大而增大,∵x0,b>0.当a>0时,抛物线开口向上,排除D.当
b
a>0,b>0时,对称轴为直线x=- <0,排除A,C.故选B.)
2a
6.A(解析:将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得图象的函数表达
式是y=(x-1)2+2.故选A.)
7.B(解析:∵二次函数的图象的顶点坐标是(2,4),∴设这个二次函数的解析式为y=a(x-2)2+4,把(0,-4)代入得
a=-2,∴这个二次函数的解析式为y=-2(x-2)2+4.故选B.)
1
8.C(解析:①∵a=- <0,∴抛物线的开口向下,正确;②对称轴为直线x=-1,故②错误;③顶点坐标为(-1,3),正确;
2
④∵x>-1时,y随x的增大而减小,∴当x>1时,y随x的增大而减小一定正确.综上所述,正确的结论是①③④,共
3个.故选C.)
b 1 1
9.C(解析:∵a=1>0,∴抛物线的开口向上.∵抛物线的对称轴为直线x=- =- =- ,二次函数y=x2+x+c的
2a 2×1 2
图象与x轴的两个交点A(x,0),B(x,0),且x0时,mx,故B,D错误.故选C.)
1 2
1 1 1 1
10.B(解析:如图所示,过点C作CA垂直y轴于点A,∵抛物线y= x2-2x= (x2-4x)= (x2-4x+4)-2= (x-2)2-2,∴顶
2 2 2 2
1
点坐标为C(2,-2),B(2,2),故对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ×2×4=4.)
2
11.a≠1(解析:由y=(a-1)x2是二次函数,得a-1≠0.解得a≠1.)
b -6 1+x
2
12.5(解析:对称轴为直线x=- =- =3,根据二次函数的图象的对称性,可得 =3,解得x=5.)
2a 2 2 2
13.-1(解析:由图象可知,抛物线经过原点(0,0),∴a2-1=0,解得a=±1,∵图象开口向下,∴a<0,∴a=-1.)
14.y=(x-6)2-36(解析:y=x2-12x=(x2-12x+36)-36=(x-6)2-36.故填y=(x-6)2-36.)
15.37.5(解析:过点A作AE⊥BC于E,则四边形ADCE为矩形,∠DAE=∠AEB=90°,∴∠BAE=∠BAD-
1 1
∠EAD=45°,∴∠B=45°,设DC=x,则AE=BE=x,∴AD=CE=15-2x,∴梯形ABCD面积为S= (AD+BC)·CD= (15-
2 2
3 3 75
2x+15-x)·x=- x2+15x=- (x-5)2+ ,∴当x=5时,S =37.5.)
2 2 2 最大
16.4n(解析:∵四边形ABAC 是菱形,∠ABA=60°,∴△ABA 是等边三角形.设△ABA 的边长为m,则B
0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1
(❑√3m m ) 2(❑√3m ) 2 m
1, 1 ,代入抛物线的解析式中得 1 = 1 ,解得m=0(舍去)或m=1,故△ABA 的边长为
0 1 1
2 2 3 2 2
1,同理可求得△ABA 的边长为2,…,依次类推,等边三角形A BA 的边长为n,故菱形A BAC 的周长为4n.
1 2 2 n-1 n n n-1 n n n
故填4n.){ a-b=0, {a=1,
17.解:由题意得 解得 则a+b=2.
2a+b-3=0, b=1,
18.解:已知抛物线的顶点坐标为M(1,-2),设此二次函数的解析式为y=a(x-1)2-2,把点(2,3)代入解析式,得a-2=3,
即a=5,∴此函数的解析式为y=5(x-1)2-2.
19.解:(1)将A(3,0)代入二次函数表达式,求得k=2,∴二次函数表达式为y=-2x2+8x-6,配方得y=-2(x-2)2+2,∴二次
2
函数图象的对称轴为直线x=2. (2)由题意得Δ=(3k+2)2-4×(-2)×(-3k)=0,解得k=k= .
1 2 3
{ c=0, { c=0,
20.解:(1)把(0,0),(2,0)代入y=x2+bx+c,得 解得 ∴表达式为y=x2-2x. (2)∵y=x2-
4+2b+c=0, b=-2,
1
2x=(x-1)2-1,∴顶点坐标为(1,-1),对称轴为直线x=1. (3)设点B的坐标为(c,d),则 ×2|d|=3,解得d=3或d=-3.∵
2
顶点的纵坐标为-1,-3<-1(或方程x2-2x=-3无解),∴d=3,∴x2-2x=3,解得x=3,x=-1,∴点B的坐标为(3,3)或(-1,3).
1 2
{ c=-6, {b=-1, 1 25 ( 1) 2 25
21.解:(1)由题意,得 解得 ∴y=x2-x-6=x2- x+ - = x- - ,顶点坐标为
4-2b+c=0, c=-6, 4 4 2 4
(1 25) 5 ( 1 5) 2
,-
. (2)将其图象沿x轴向左平移 个单位长度,所得图象对应的函数关系式为y=
x- +
2 4 2 2 2
25 25
- =(x+2)2- .
4 4
22.解:(1)根据题意,得y=(60-50+x)(200-10x),整理得y=-10x2+100x+2000(0≤x≤12). (2)由(1)得
y=-10x2+100x+2000=-10(x-5)2+2250,当x=5时,y =2250.故每件商品的售价定为65元时,每个月获得最大利
最大
润,最大利润为2250元.
b
23.解:(1)由题意,得w=(x-20)·y=(x-20)·(-10x+500)=-10x2+700x-10000,x=- =35.答:当销售单价定为35元时,
2a
每月可获得最大利润. (2)由题意,得-10x2+700x-10000=2000,解这个方程,得x=30,x=40.答:李明想要每月获
1 2
得2000元的利润,销售单价应定为30元或40元. (3)∵a=-10<0,∴二次函数图象开口向下.∴当30≤x≤40时,
w≥2000.∵x≤32,∴当30≤x≤32时,w≥2000.设成本为P(元),由题意,得
P=20(-10x+500)=-200x+10000.∵k=-200<0,∴P随x的增大而减小.∴当x=32时,P =3600.答:想要每月获得的
最小
利润不低于2000元,每月的成本最少为3600元.
{ a+b+3=0, { a=1,
24.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0),点C(4,3),∴ 解得 ∴抛物线的解
16a+4b+3=3, b=-4,
析式为y=x2-4x+3. (2)∵点A,B关于对称轴对称,∴当点D为AC与对称轴的交点时,△BCD的周长最小,设直
{ k+m=0, { k=1,
线AC的解析式为y=kx+m(k≠0),则 解得 ∴直线AC的解析式为y=x-1.∵y=x2-
4k+m=3, m=-1,
4x+3=(x-2)2-1,∴抛物线的对称轴为直线x=2,当x=2时,y=2-1=1,∴抛物线对称轴上存在点D(2,1),使△BCD的周
{ y=x+m,
长最小. (3)设过点E与直线AC平行的直线为y=x+m,可得 消掉y得x2-5x+3-m=0,令
y=x2-4x+3,13 13 5 5
Δ=(-5)2-4×1×(3-m)=0,得m=- .故当m=- 时,点E到AC的距离最大,△ACE的面积最大,此时x= ,y= -
4 4 2 2
13 3 (5 3) (13 ) 13 9
=- ,∴点E的坐标为
,-
,设过点E的直线与x轴的交点为F,则F
,0
,∴AF= -1= .∵直
4 4 2 4 4 4 4
9 ❑√2 9❑√2
线AC的解析式为y=x-1,∴∠CAB=45°,∴点F到AC的距离为 × = .又∵AC=❑√32+(4-1)2=3
4 2 8
1 9❑√2 27 (5 3)
❑√2,∴△ACE的最大面积= ×3❑√2× = ,此时E点坐标为 ,- .
2 8 8 2 4
