文档内容
第 04 讲 难点探究专题：旋转中的常见类型(5 类热点题型讲
练)
目录
【类型一 线段绕某点旋转综合问题】....................................................................................................................1
【类型二 直角三角形绕点旋转综合问题】..........................................................................................................14
【类型三 等腰直角三角形绕点旋转综合问题】..................................................................................................22
【类型四 等边三角形绕点旋转综合问题】..........................................................................................................37
【类型一 线段绕某点旋转综合问题】
例题：（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在等腰直角 中， ，D为 边上一
点，连接 ，将 绕点C逆时针旋转 到 ，连接 ．
(1)求证： ．
(2)若 ，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】
本题考查旋转性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．
（1）证明 ，利用全等三角形的对应边相等即可求解；
（2）根据全等三角形的面积相等，将所求面积转化为等腰直角 的面积，进而利用直角三角形的面积
公式求解即可．
【详解】（1）证明：由旋转性质得 ， ，又 ，
∴ ，在 和 中，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 的面积为 ．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，等边三角形 内一点D，将线段 绕点A逆时针旋转 ，得
到线段 ，连接 ．
(1)请判断 的形状__________，并写出判断的依据__________；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
(2)
【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质：
（1）由旋转的性质可得 ，结合旋转角为60度，可证 是等边三角形；
（2）先证 ，推出 ，再根据 是等边三角形，得出
，即可求出 的度数．
【详解】（1）解： 将线段 绕点A逆时针旋转 ，得到线段 ，
， ，
是等边三角形（有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形），
故答案为：等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；
（2）解： 是等边三角形，
， ，由（1）知 ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
2．（23-24八年级上·四川成都·期末）（1）【问题】如下图， 中， ， ，D为
边上一点（不与点B，C重合），将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ， ，则线段
， 之间满足的数量关系式为______；直线 ， 相交所夹的锐角的度数为______；
（2）【探索】如图2， 中， ， ，D为 外一点，将线段 绕点A逆时
针旋转 得到 ，连接 ， ，延长 ， 交于点F．试问：（1）中的结论是否成立？若成立，
请证明，若不成立，请说明理由；
（3）【应用】在（2）的条件下， ， ．求四边形 的面积．
【答案】（1） ， ；（2）成立，证明见解析；（3）
【分析】本题考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、旋转的性质等
知识，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
（1）先证出 ，再根据全等三角形的性质求解即可得；
（2）先证出 ，再根据全等三角形的性质可得 ， ，然后根据三角形的外角性质求解即可得；
（3）先求出 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：（1）∵在 中， ， ，
， ，
由旋转的性质得： ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
∴直线 ， 相交所夹的锐角的度数为 ，
故答案为： ， ；
（2）（1）中的结论成立，证明如下：
同理可得： ，
在 和 中，
，
，
， ，
又 ，
，
解得 ，
即直线 ， 相交所夹的锐角的度数为 ；
（3） ，
∴ ，
如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，即 ，
解得 （负值已舍），
则
，
所以四边形 的面积为 ．
3．（23-24八年级上·河南安阳·期末）实践与探究
点和线是最基本的图形，点、线运动带来的动态几何问题是常见的热点题型之一．解这类题目要“以静制
动”，把动态问题变为静态问题来解．一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变．
为了培养学生的数学思维与探究能力，在数学实践与探究课上，王老师让同学们以“图形的运动”为主题
开展数学学习活动．
在 中， ， ，点D是直线 上的一点，连接 ，将线段 绕点C逆时针
旋转 ，得到线段 ，连接 ．(1)操作发现
①当点D在线段 上时，如图1．请你直接写出 与 的位置关系______；
②请写出线段 、 、 的数量关系，并进行证明．
(2)猜想论证
当点D在直线 上运动时，如图2，点D在射线 上．请写出线段 、 、 的数量关系______；
(3)拓展延伸
如图3，点D在射线 上．若 ， ，请求出 的面积．
【答案】(1)① ；② ，见解析
(2)
(3)2
【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，正确找出全等三
角形是解题关键．
（1）①先求出 ，再证出 ，根据全等三角形的性质可得 ，
由此即可得；
②根据全等三角形的性质可得 ，由此即可得；
（2）先证出 ，再根据全等三角形的性质可得 ，由此即可得；
（3）连接 ，先求出 ，再证出 ，根据全等三角形的性质可得 ，
然后证出 ，利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】（1）解：①∵在 中， ， ，
， ，
由旋转的性质得： ，
，
，
在 和 中，
，
，，
，
，
故答案为： ；
② ，证明如下：
，
，
，
．
（2）解：由旋转的性质得： ，
，即 ，
在 和 中，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
（3）解：如图，连接 ，
∵ ， ，
，
由旋转的性质得： ，
，即 ，
在 和 中，
，
，
， ，，即 ，
则 的面积为 ．
4．（23-24八年级上·福建泉州·期末）在 中， ， ，D在边 上运动（点D不
与B，C重合），连接 ，把线段 绕点A顺时针旋转 后得到 ，连接 ，交 于点F．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图1，当 时，请用等式表示线段 ， ， 三者之间的数量关系，并加以证明；
(3)如图2，若 ，G为 中点，连接 ，四边形 的面积是否会改变？若会改变请说明理由，
若不会改变，请求出它的面积．
【答案】(1)见解析
(2) ，证明见解析
(3)不变，面积是16
【分析】（1）根据 即可证明 ；
（2）先证明 ，根据 证明 ，由全等三角形的性质得出 ，则可得出结
论；
（3）先求出 ，根据 证明 得 ，可证 ，从而
，进而可求出四边形 的面积．
【详解】（1）∵ 绕点A旋转 得到 ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2） ，
理由如下：
由（1）得 ，当 时，
∴∴ ，
∴ ，
由（1）得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（3）四边形 的面积不变，理由如下：
连接 、 ，
∵在 中， ， ，G为 中点， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质、旋转的性质
等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
5．（23-24八年级上·重庆大渡口·期末）在 中， ， 以 为斜边作 ，
，再将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 分别交 ， 于点 ，点 ．(1)如图1， 在 右侧， ， ，求 的面积；
(2)如图2， 在 右侧，点 是 的中点，求证： ；
(3)如图3， 在 左侧， 的延长线过 的中点 ，当点 在 的中垂线上时， 交 于点
，直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）本题过点 作 ，由题知， 为等腰直角三角形，得出 ，利用30度所对
的直角边等于斜边的一半，得出 ，利用勾股定理算出 ，由旋转的性质可知， 为等腰直角三角
形，得出 ， ， 为等腰直角三角形，设 ，则 ，由勾股定理可知
，根据 建立方程，求出 ，最后利用 即可求解．
（2）本题过点 作 交 于点 ，连接 ，由题意得出 为等腰直角三角形， 为
等腰直角三角形， 为等腰直角三角形，得到 ，由勾股定理推出 ，证明
，推出 ， ，证明 ，推出 ，再根据
即可解题．
（3）连接 ，作 ， ，证明 ， 为 的角平分线，推出 ，
设 ，利用等腰三角形直角三角形两腰相等和勾股定理表示出 ， ， ， ，在利用
，即可解题．
【详解】（1）解：过点 作 ，如图所示：，
由题知， 为等腰直角三角形， ，
，
在 中 ，
，
，
由旋转的性质可知， 为等腰直角三角形，
， ， ，
， 为等腰直角三角形，
设 ，则 ，由勾股定理可知 ，
，
，解得 ，
，
．
（2）证明：过点 作 交 于点 ，连接 ，
由旋转的性质可知， 为等腰直角三角形，
，
，
， 为等腰直角三角形，由题知， 为等腰直角三角形，
，
，
，
由勾股定理可知 ，
在 与 中，
，
，
，
点 是 的中点，
，
在 与 中，
，
，
．
（3）解： ，理由如下：
连接 ，作 ， ，如图所示：
由旋转的性质可知， 为等腰直角三角形，
， ， ，
，
，
为等腰直角三角形，
点 在 的中垂线上，，
，
由题知， 为等腰直角三角形，又点 是 的中点，
，即 ， ，
为等腰直角三角形，
，
，
在 与 中，
，
， ，
为 的角平分线，
，
设 ，
，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
．【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质、旋转的性质、30度所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形
的性质和判定、勾股定理、角平分线的性质和判定、中垂线性质，解题的关键在于作辅助线构造全等三角
形，再结合相关性质定理即可解题．
【类型二 直角三角形绕点旋转综合问题】
例题：（23-24九年级上·江西上饶·期末）如图，在 中， ， ，将 绕点A顺时
针旋转 得到 ， 交 于点 ．若 ，求：
(1) 的长；
(2) 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据旋转性质得到 ， ，再求出 ，即可得到 ，
根据勾股定理即可求出 ；
（2）根据 ， 得到 ，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵将 绕点A顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含 角直角三角形性质，等腰三角形判定等知识，熟知相
关定理，正确解直角三角形是解题关键．
【变式训练】
1．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在 中， ， ，将 绕点
按顺时针方向旋转 度后，得到 ，点 刚好落在 边上．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由旋转的性质，证明 是等边三角形，即可求得旋转角 的度数；
（2）易得 是含 角的直角三角形，则可求得 ，根据 ，求出 ，再根据旋转，在直
角三角形中求出 ；
【详解】（1）解： 将 绕点 按逆时针方向旋转 度后得到 ，
在 中， ，
是等边三角形，
（2）
，
，
，将 绕点 按顺时针方向旋转到 ，，
；
【点睛】此题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含 角的直角三角形的性质以及勾股定理
等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2．（22-23九年级上·四川德阳·期中）如图，在 中， ，将 绕点C顺时针旋转得
到 ， 与 交于点O，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段 上，连接 ．
(1)求证： 平分 ；
(2)试判断 与 的位置关系，并说明理由；
(3)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)BE⊥AB，理由见解析
(3)
【分析】（1）由旋转的性质得到 ， ，因此 ，得到 ，即可
证明 平分 ；
（2）由余角的性质推出 ，由等腰三角形的性质得到 ，由
直角三角形的性质，即可证明 ；
（3）作 于 ，由三角形内角和定理，得到 ，得到 ， 是等腰直
角三角形，由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明： 绕点 顺时针旋转得到 ，
， ，
，
，
平分 ；
（2）
解： ，理由如下：
，
，
， ，，
，
，
；
（3）解：作 于 ，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
，
，
，
的面积 ．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，求三角形面积等
知识，关键是掌握旋转的性质．
3．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在 中， ，将 绕点C顺时针旋转得到
，旋转角为 ， ， 分别交 于点F，G，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ．
①求 的长；
②连接 ， ， ，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②5【分析】（1）根据旋转性质和三角形的内角和定理可证得结论；
（2）①利用平行线的性质和含30度角的直角三角形的性质求得 ，再根据旋转性质得到
，然后利用勾股定理求解即可；
②过E作 交 延长线于M，利用含30度角的直角三角形的性质求得 ，根据勾股
定理求得 ， ，由 求解即可．
【详解】（1）证明：由旋转性质，得 ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，即 ；
（2）解：①由旋转性质得 ， ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
②如图，过E作 交 延长线于M，
则 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
．
【点睛】本题考查旋转性质、平行线的性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理、勾股
定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
4．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图1，把两个完全相同且有一个角为 的直角三角板重合在一起，将 固定，将 绕直角顶点C顺时针方向旋转 ．
(1)如图2，当B，D，E三点在同一条直线上时，求旋转角α的度数；
(2)在（1）的条件下，连接 ，请判断 和 的面积的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2) ，理由见详解
【分析】本题主要考查旋转的性质、等边对等角以及全等三角形的判定和性质，
（1）由题意得 ，由旋转得 ，可得 ．即可求得旋转角 ；
（2）过点D作 于点M，延长 交 于点N，由旋转得 和 ．进一步求得
和 ，可证 ，则有 ，结合面积公式即可求得相等．
【详解】（1）解：由旋转的性质可得 ， ．
∴ ．
∵点B，D，E在同一条直线上，
∴ ，
∴旋转角 ．
（2） ．
理由：过点D作 于点M，延长 交 于点N，如图，
∵ 是由 绕点C旋转得到，
∴ ， ．
由（1）可得 ，
∴ ，
．∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ．
5．（23-24九年级上·天津河北·期末）在平面直角坐标系中， O为原点，点 ， ，把 绕
点 顺时针旋转，得 ，点 旋转后的对应点为 ，记旋转角为 ．
(1)如图①，当 时，求 的长；
(2)如图②，当 时，求点 的坐标；
(3)K为线段 上一点，且 ，S为 的面积，求 的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了旋转的性质及勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键，解题的关键是学会利用
数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
（1）根据勾股定理得 ，由旋转性质可得 ．继而得出 ；
（2）作 轴，由旋转的性质可得： ，在 中，由 得
的长，继而得出答案；（3）如图中，当点 在 上时， 的面积最小，当点 在 的延长线上时， 的面积最大，
求出面积的最小值以及最大值即可解决问题．
【详解】（1）∵点 ，点 ，
∴ ．
在 中，由勾股定理得： ．
根据题意， 绕点A顺时针旋转得 ，
由旋转的性质可得： ， ，
∴ ；
（2）如图②，过 作 轴于D，则 ，
由旋转的性质可得： ，
在 中，由 ．
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ；
（3）∵ 的值不变，
∴当点K到 的距离最小时 的面积最小，当点K到 的距离最大时 的面积最大．
当点 在 上时， 的面积最小，如图③所示，
∵ ，∴ ，
此时， ，
∴最小面积 ；
当点 在 的延长线上时， 的面积最大，如图④所示：
此时， ，
∴最大面积 ；
综上所述， ．
【类型三 等腰直角三角形绕点旋转综合问题】
例题：（23-24八年级上·海南儋州·期末）如图1，把两个大小不同的等腰直角三角形 ， 如图
所示摆放，使得点D、A、B在同一直线上，连结 ， ．
(1)求证： ；
(2)如图2，将 绕着点A顺时针旋转某个角度后，使得点B、C、E在同一直线上， 与 交于点
O．
①求证： ；
②求证： ；
③连结 ，如图3，若 ，求 的面积．【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析；③1
【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明 即可；
（2）①先证明 ，即可证明 ，②如图，由 可得
，再结合角的和差运算可得结论；③证明 ，求解
如图，过点A作 于点F，求解 ， ，
再利用割补法求解面积即可．
【详解】（1）证明：∵ 和 是等腰直角三角形
∴ ， ，
在 和 中，
∴ ；
（2）①∵ ，
∴
即
在 和 中，
∴ ，
②如图，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
又∵
∴ ，
∴ ，
∴③∵ ，
∴
又∵ ，
∴
又∵ ，
∴
如图，过点A作 于点F，
又∵ 是等腰直角三角形
∴ ，
∴
∴在 中，
∴
∴
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，二
次根式的乘法运算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）把两个等腰直角三角形 和 按图1所示的位置
摆放，将 绕点 按逆时针方向旋转，如图2，连接 ， ，设旋转角为 ．
(1)如图1， 与 的数量关系是______， 与 的位置关系是______；
(2)如图2，（1）中 与 的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)当旋转角 ______ 填度数 时， 的面积最大．
【答案】(1) ，且 ，理由见解析
(2)成立，理由见解析
(3) 或
【分析】（1）由 ， ，则 ，可得答案；
（2）利用 证明 ，得 ，作 的延长线 交 于点 ，交 于点 ，由全
等知 ，又 ，则 ，从而证明；
（3）点 的轨迹是以 为圆心 为半径的圆，在 中，当 为底时，点 到 的距离最大时，
的面积最大，从而得出答案．
【详解】（1）解：结论： ，且 ，理由如下：
， ，
，
；
，点 ， 分别在 ， 上，
；
故答案为： ； ；
（2）解：成立，
理由：根据旋转的性质可得： ， ， ，
，
，
作 的延长线 交 于点 ，交 于点 ，
，
，
，
，
；
（3）解：由题意知，点 的轨迹是以 为圆心 为半径的圆，
在 中，当 为底时，点 到 的距离最大时， 的面积最大，当 时， 的面积最大，
旋转角为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，
三角形的内角和定理，旋转的性质等知识，证明 是解题的关键．
2．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图 ，在 中， ， ， ， 分别为
， 的中点，将 绕点 逆时针方向旋转得到 （如图 ），使直线 恰好过点 ，连
接 ．
(1)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)求 的长；
(3)若将 绕点 逆时针方向旋转一周，当直线 过 的一个顶点时，请直接写出 长的其
它所有值．
【答案】(1) ，理由见解析；
(2) 的长为 ；
(3) 的长为 或 ．
【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质和解一元
二次方程，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
（ ）由 ，得 ，证明 ， ，
再利用角度和差即可求解；（ ）由旋转性质可知 ， 的中点，再通过勾股定理得 ， ，
设 ，列出 ，然后求解即可；
（ ）分 当直线 恰好过点 时 当直线 恰好过点 时几种情况讨论即可．
【详解】（1） ，理由，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 恰好过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴在 中，由勾股定理得 ，
由旋转性质可知 ， 的中点，
∴同上可得， ，
由（ ） ， ，
∴ ，
设 ，
在 中，由勾股定理得， ，
整理得： ，
解得： ， （舍去），
∴ ；
（3） 当直线 恰好过点 时，如图，由（ ）得： ，
当直线 恰好过点 时，如图，
同（ ）理， ，
如图，
同（ ）理， ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得， ，
解得： ， （舍去），
∴ ，
综上 的长为 或 ．
3．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）综合与实践
将一块含 角的大直角三角板 和一块含 角的小直角三角板 按如图1所示的方式摆放．如图
2，将 绕点 逆时针旋转 ，连结 ．(1)求证： ．
(2)在旋转的过程中，如图3，当 三点共线时，设 与 交于点 ．
①试判断 的形状，并说明理由；
②若 是 的中点，请直接写出 和 的面积关系．
【答案】(1)见解析
(2)①直角三角形，理由见解析；②相等
【分析】该题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质“旋转前后对应角相等，对应边相等，旋转
角相等”，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的常用方法“
”；
（1）根据等腰直角三角形的性质和旋转的性质可证明 ；
（2）①等腰直角三角形可得 ，再根据 三点共线，可得 ，再根据
得出 ，即可求解．
②根据 是 的中点，可得 ，再根据 ，可得 ，由
即可解答；
【详解】（1）证明： 和 都是等腰直角三角形，
．
由旋转的性质，得 ．
在 与 中，
，
．
（2）解：① 是直角三角形．
理由：根据题意，得 ．
三点共线，
．
由（1），得 ．
．是直角三角形．
② 是 的中点，
又由（1）知 ，
，
和 的面积相等．
4．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图1，将三角板 与三角板 摆放在一起；如图2，其中
， ， ．固定三角板 ，将三角板 绕点A按顺时针方向
旋转，记旋转角 （ ）．
(1)当 为_________度时， ，并在图3中画出相应的图形；
(2)在旋转过程中，试探究 与 之间的关系；
(3)当 旋转速度为 秒时．且它的一边与 平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值．
【答案】(1)15，图见解析
(2)当 时， ；当 时， ；当 时，
(3) 或21或30
【分析】（1）根据 得出 ，根据 即可求解；
（2）设 ， ，在旋转过程中，分当 时，当 时，当9
时，三种情况根据平行线的性质即可求解；
（3）分①当 ，②当 ，③当 时，分别画出图形即可求解．
【详解】（1）当 时， ，如图：故答案为 ；
（2）设： ， ，
①如图，当 时，
， ，
故 ，即 ；
②当 时，
，即
③当 时， ， ，
即
，即 ；（3）①当 时，由（1）可知 ，
∴ ，
∴ ；
②当 时，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ；
③当 时，
则 ，
∴ ，
∴ ；
综上， 或 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角尺中角度的计算，解答此题的关键是通过画图，确定旋转后△ADE
的位置，还注意分类求解，避免遗漏．
5．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）一副三角板如图1摆放， ， ，
，点F在 上，点A在 上，且 平分 ，现将三角板 绕点F以每秒 的速度顺
时针旋转（当点 落在射线 上时停止旋转），设旋转时间为t秒．(1)当 秒时， ；
(2)在旋转过程中， 与 的交点记为P，如图2，若 有两个内角相等，求t的值；
(3)当边 与边 、 分别交于点M、N时，如图3，连接 ，设 ， ，
，试问 是否为定值？若是，请直接写出答案；若不是，请说明理由．
【答案】(1)3
(2) 为6或15或24
(3)是定值， ，理由见解析
【分析】（1）由平行求出旋转角，结合旋转速度求出旋转时间；
（2）画出图形，分类讨论，① ；② ；③ ，求出旋转角，再求出
值；
（3）找出与 ， ， ，有关的数量关系，再把无关的角消去，得出结论．
【详解】（1）∵ ， ， ，
∴ ， ，
如图，当 时， ，
平分 ， ，
，
又 为 的一个外角，
，
；
故答案为：3；
（2）①如图，当 时，，
，
；
②如图，当 时，
， ，
，
；
③如图，当 时，
，
，
综上所述：当 为6或15或24时， 有两个内角相等；
（3） 是为定值105，理由如下：是 的一个外角， 是 的一个外角，
， ，
又 ， ，
，
，
．
【点睛】本题以求三角形旋转时间为背景，考查了学生对图形的旋转变换、平行的性质、垂直的性质和求
等腰三角形内角的掌握情况，第（2）问分情况讨论是解决问题的关键，第（3）问找到三个角之间的关系
是关键．
6．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）数学活动课上，老师出示两个大小不一样的等腰直角 和 摆在
一起，其中直角顶点 重合， ， ， ．
(1)用数学的眼光观察．
如图1，连接 ， ，判断 与 的数量关系，并说明理由；
(2)用数学的思维思考．
如图2，连接 ， ，若 是 中点，判断 与 的数量关系，并说明理由；
(3)用数学的语言表达．
如图3，延长 至点 ，满足 ，然后连接 ， ，当 ， ， 绕 点旋转
得到 ， ， 三点共线时，求线段 的长．
【答案】(1) ，理由见解析
(2) ，理由见解析
(3) 或【分析】
（1）用 证明 ，即可求解；
（2）证明 、 ，即可求解；
（3）①如图所示，过点 作 于 ，求出 ， ，得到
，即可求解；②如图所示，过点 作 于 ，同理可解．
【详解】（1）
解： ，理由：
，
， ，
，
则 ；
（2）
解： ，理由：
点 作 交 的延长线于点 ，
， ，
是 中点，则 ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
则 ；
（3）
解： 旋转得到 ， ， 三点共线，①如图所示，过点 作 于 ，
是等腰三角形， ， ，
， ，
在 中， ，
，
，即 旋转得到 ， ， 三点共线时， ；
②如图所示，过点 作 于 ，
同理， ，即 旋转得到 ， ， 三点共线时， ，
综上所述，线段 的长为： 或 ．
【点睛】
本题主要考查三角形的全等的判定和性质，理解图示中旋转的规律，掌握三角形全等的判定和性质，直角
三角形中勾股定理的运算是解题的关键．
【类型四 等边三角形绕点旋转综合问题】
例题：（23-24九年级上·广东深圳·期中）【问题背景】：如图1，在等边 中，点D是等边 内
一点，连结 ， ，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连结 ，观察发现： 与 的
数量关系为 ， 度；
【尝试应用】：如图2，在等腰 中， ， ，点D是 内一点，连结 ，
， ， ， ， ，求 面积．【拓展创新】：如图3，在等腰 中， ， ，点D为平面内一点，且 ，
，则 的值为 ．
【答案】【问题背景】： ，60；
【尝试应用】： ；
【拓展创新】： 或 ；
【分析】问题背景： 是等边三角形，根据有一个角是 的等腰三角形是等边三角形判断再用等边
三角形的性质即可得出；
尝试应用：如图，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，连接 ，证明 ，推出
，再证明C，D，T共线，可得结论；
拓展创新：分两种情形：当点D在的上方时，将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接
，设 ，则 .再求出 ， ，可得结论；
当点D在 的下方时，将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，设 ，则
，过点D作 交 的延长线于点H.再求出 ， ，可得结论.
【详解】问题背景：由题意可知，
是等边三角形，
， ；
故答案为： ， ；
尝试应用：如图，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，连接 .，
,
共线，
.
拓展创新：
①当点D在 的上方时，将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ， ， ，设 ，
则 .
， ，
，
，
过点B作 于点H ，
则
，
，
，，
，
.
②当点D在 的下方时，将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ,连接 ，设 则
过点D作 交 的延长线于点H.
同法可证 ，
，
，综上所述， 的值为 或
故答案为： 或
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题.
【变式训练】
1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图， 、 均为等边三角形， ， ．将
绕点A沿顺时针方向旋转，连接 、 ．
(1)在图①中证明 ；
(2)如图②，当 时，连接 ，求 的面积；
(3)在 的旋转过程中，直接写出 的面积S的取值范围．
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【分析】（1）根据 和 为等边三角形得到对应边和角相等，再利用角度的变化即可求证全等；
（2）利用 得 ，过点A作 交 与点H，过点D作 交 与点G，再
利用含 的直角三角形解得 的值，结合面积公式即可求得；
（3）利用第二问结论，分析出 的面积最大时 与 在同一条直线上，且点D在 外部，
的面积最小时 与 在同一条直线上，且点D在 内部，根据三角形面积公式即可求得答
案．
【详解】（1）证明：∵ 、 均为等边三角形，
∴ ，
∵
∴ ，在 和 中 ，
∴ ．
（2）连接 ，同理有 成立，得 ，
∵ ，
∴ ，
过点A作 交 与点H，过点D作 交 与点G，如图，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，
在 中， ，
∴ ，
则 ．
（3）过点A作 交 于点H，当 与 在同一条直线上，且点D在 外部时 的面
积最大，如图，
∵ ， ，
∴ ，
则 ；
当AD与AH在同一条直线上，且点D在 内部时 的面积最小，如图，则 ，
那么 ，
的面积S的取值范围： ．
【点睛】本题主要考查几何图形的变化，利用等边三角形的性质、勾股定理和含 的直角三角形性质判
定三角形的全等、求三角形面积的知识点，解题的关键为作辅助线求面积．
2．（20-21九年级上·河南周口·期中）如图， 和 都是等边三角形，直线 ， 交于点F．
(1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时， 的度数为______，线段 与 的数量关系为
______．
(2)如图2，当 绕点C顺时针旋转 时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说
明理由：若成立，请就图2给予证明．
(3)若 ， ，当 绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出 长的取值范围．
【答案】(1) ， ；
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时
证明三角形全等是关键．
（1）利用等边三角形的性质证明 ，结合三角形的外角就可以得出结论；
（2）同（1）中方法证明 ，得出 ， ，再根据三角形的内角和得出
；
（3）当B、C、D三点共线时得出 的最大和最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解： 是等边三角形，
， ，
是等边三角形，， ，
，
即 ，
在 和 中，
，
， ，
，且
（2）（1）中结论仍成立，
是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
即 ，
在 和 中，
，
， ，
，且 ，
；
（3） 是等边三角形，
，当旋转 = 时，B、C、D三点共线，此时 ，
当旋转 = 时，B、C、D三点共线，此时 ；
∴ ．
3．（2024八年级·全国·竞赛）如图， 和 都为等边三角形，点 、 分别为 、 的中点．
(1)当点 、 分别在 、 上时（如图 ），求证： ； 为等边三角形；
(2)绕点 逆时针方向旋转 ，当点 、 、 共线时（如图 ），（ ）中的结论是否还成立，若成
立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)继续旋转 ，当点 在 上时（如图 ），（ ）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不
成立，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)仍然成立，理由见解析；
(3)仍然成立，理由见解析．
【分析】（ ）由等边 和 的性质得出 ， ，再根据等边三角形的判定即可；
（ ）由等边 和 的性质得出 ， ，由 证明 ，再根据等边
三角形的判定即可；
（ ）由等边 和 的性质得出 ， ，由 证明 ，再根据等边
三角形的判定即可；
此题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应
用．
【详解】（1）证明如下：
∵ 和 都为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
由 可知， ， ，
∵点 、 分别为 、 的中点，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ 为等边三角形；
（2）还成立，证明如下：
（ ）∵ 和 都为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
（ ）由（ ）可知 ， ， ，而点 、 分别为 、 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形；
（3）仍然成立，证明如下：
∵ 和 都为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
又点 、 分别为 、 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形．
4．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）综合与实践
【模型感知】
手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组
成的图形叫手拉手模型．
（1）如图 ，已知 和 都是等边三角形，连接 ， ．求证： ；【模型应用】
（2）如图 ，已知 和 都是等边三角形，将 绕点 旋转一定的角度，当点 在 的延
长线上时，求证： ；
【类比探究】
（3）如图 ，已知 和 都是等边三角形．当点 在射线 上时，过点 作 于点 ，
直接写出线段 ， 与 之间存在的数量关系为_____________．
【答案】（ ）见解析；（ ）见解析；（ ） 或 ．
【分析】（ ）由 和 都是等边三角形得 ， ， ， ．进
而得 ．最后证明 ，即可得证；
（ ）由 和 都是等边三角形，得 ， ， ， ，从
而得 ．进而证明 得 ，即可得证；
（ ）如图，当 在线段 上时，如图，当 在线段 的延长线上时，证明 ， 可
得 ； 再证明 ，从而可得结论．
【详解】证明：（ ） 和 都是等边三角形，
， ， ， ．
． ．
．
在 和 中，
，
；
（ ） 和 都是等边三角形，
， ， ， ，
， ，
．
在 和 中，，
．
．
，
；
（ ） 或 ．理由如下：
如图，当 在线段 上时，
∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ； ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图，当 在线段 的延长线上时，同理可得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含 度角的直角三角形的
性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
