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第 04 讲 难点探究专题：旋转中的常见类型(5 类热点题型讲
练)
目录
【类型一 线段绕某点旋转综合问题】....................................................................................................................1
【类型二 直角三角形绕点旋转综合问题】..........................................................................................................14
【类型三 等腰直角三角形绕点旋转综合问题】..................................................................................................22
【类型四 等边三角形绕点旋转综合问题】..........................................................................................................37
【类型一 线段绕某点旋转综合问题】
例题：（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在等腰直角 中， ，D为 边上一
点，连接 ，将 绕点C逆时针旋转 到 ，连接 ．
(1)求证： ．
(2)若 ，求四边形 的面积．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，等边三角形 内一点D，将线段 绕点A逆时针旋转 ，得
到线段 ，连接 ．(1)请判断 的形状__________，并写出判断的依据__________；
(2)若 ，求 的度数．
2．（23-24八年级上·四川成都·期末）（1）【问题】如下图， 中， ， ，D为
边上一点（不与点B，C重合），将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ， ，则线段
， 之间满足的数量关系式为______；直线 ， 相交所夹的锐角的度数为______；
（2）【探索】如图2， 中， ， ，D为 外一点，将线段 绕点A逆时
针旋转 得到 ，连接 ， ，延长 ， 交于点F．试问：（1）中的结论是否成立？若成立，
请证明，若不成立，请说明理由；
（3）【应用】在（2）的条件下， ， ．求四边形 的面积．
3．（23-24八年级上·河南安阳·期末）实践与探究
点和线是最基本的图形，点、线运动带来的动态几何问题是常见的热点题型之一．解这类题目要“以静制
动”，把动态问题变为静态问题来解．一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变．
为了培养学生的数学思维与探究能力，在数学实践与探究课上，王老师让同学们以“图形的运动”为主题
开展数学学习活动．在 中， ， ，点D是直线 上的一点，连接 ，将线段 绕点C逆时针
旋转 ，得到线段 ，连接 ．
(1)操作发现
①当点D在线段 上时，如图1．请你直接写出 与 的位置关系______；
②请写出线段 、 、 的数量关系，并进行证明．
(2)猜想论证
当点D在直线 上运动时，如图2，点D在射线 上．请写出线段 、 、 的数量关系______；
(3)拓展延伸
如图3，点D在射线 上．若 ， ，请求出 的面积．
4．（23-24八年级上·福建泉州·期末）在 中， ， ，D在边 上运动（点D不
与B，C重合），连接 ，把线段 绕点A顺时针旋转 后得到 ，连接 ，交 于点F．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图1，当 时，请用等式表示线段 ， ， 三者之间的数量关系，并加以证明；
(3)如图2，若 ，G为 中点，连接 ，四边形 的面积是否会改变？若会改变请说明理由，
若不会改变，请求出它的面积．
5．（23-24八年级上·重庆大渡口·期末）在 中， ， 以 为斜边作 ，
，再将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 分别交 ， 于点 ，点 ．(1)如图1， 在 右侧， ， ，求 的面积；
(2)如图2， 在 右侧，点 是 的中点，求证： ；
(3)如图3， 在 左侧， 的延长线过 的中点 ，当点 在 的中垂线上时， 交 于点
，直接写出 的值．
【类型二 直角三角形绕点旋转综合问题】
例题：（23-24九年级上·江西上饶·期末）如图，在 中， ， ，将 绕点A顺时
针旋转 得到 ， 交 于点 ．若 ，求：
(1) 的长；
(2) 的面积．
【变式训练】
1．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在 中， ， ，将 绕点
按顺时针方向旋转 度后，得到 ，点 刚好落在 边上．(1)求 的值；
(2)若 ，求 的长度．
2．（22-23九年级上·四川德阳·期中）如图，在 中， ，将 绕点C顺时针旋转得
到 ， 与 交于点O，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段 上，连接 ．
(1)求证： 平分 ；
(2)试判断 与 的位置关系，并说明理由；
(3)若 ， ，求 的面积．
3．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在 中， ，将 绕点C顺时针旋转得到
，旋转角为 ， ， 分别交 于点F，G，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ．
①求 的长；
②连接 ， ， ，求四边形 的面积．
4．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图1，把两个完全相同且有一个角为 的直角三角板重合在一起，
将 固定，将 绕直角顶点C顺时针方向旋转 ．(1)如图2，当B，D，E三点在同一条直线上时，求旋转角α的度数；
(2)在（1）的条件下，连接 ，请判断 和 的面积的数量关系，并说明理由．
5．（23-24九年级上·天津河北·期末）在平面直角坐标系中， O为原点，点 ， ，把 绕
点 顺时针旋转，得 ，点 旋转后的对应点为 ，记旋转角为 ．
(1)如图①，当 时，求 的长；
(2)如图②，当 时，求点 的坐标；
(3)K为线段 上一点，且 ，S为 的面积，求 的取值范围（直接写出结果即可）．
【类型三 等腰直角三角形绕点旋转综合问题】
例题：（23-24八年级上·海南儋州·期末）如图1，把两个大小不同的等腰直角三角形 ， 如图
所示摆放，使得点D、A、B在同一直线上，连结 ， ．
(1)求证： ；(2)如图2，将 绕着点A顺时针旋转某个角度后，使得点B、C、E在同一直线上， 与 交于点
O．
①求证： ；
②求证： ；
③连结 ，如图3，若 ，求 的面积．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）把两个等腰直角三角形 和 按图1所示的位置
摆放，将 绕点 按逆时针方向旋转，如图2，连接 ， ，设旋转角为 ．
(1)如图1， 与 的数量关系是______， 与 的位置关系是______；
(2)如图2，（1）中 与 的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明
理由；
(3)当旋转角 ______ 填度数 时， 的面积最大．
2．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图 ，在 中， ， ， ， 分别为
， 的中点，将 绕点 逆时针方向旋转得到 （如图 ），使直线 恰好过点 ，连
接 ．
(1)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)求 的长；
(3)若将 绕点 逆时针方向旋转一周，当直线 过 的一个顶点时，请直接写出 长的其
它所有值．3．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）综合与实践
将一块含 角的大直角三角板 和一块含 角的小直角三角板 按如图1所示的方式摆放．如图
2，将 绕点 逆时针旋转 ，连结 ．
(1)求证： ．
(2)在旋转的过程中，如图3，当 三点共线时，设 与 交于点 ．
①试判断 的形状，并说明理由；
②若 是 的中点，请直接写出 和 的面积关系．
4．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图1，将三角板 与三角板 摆放在一起；如图2，其中
， ， ．固定三角板 ，将三角板 绕点A按顺时针方向
旋转，记旋转角 （ ）．(1)当 为_________度时， ，并在图3中画出相应的图形；
(2)在旋转过程中，试探究 与 之间的关系；
(3)当 旋转速度为 秒时．且它的一边与 平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值．
5．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）一副三角板如图1摆放， ， ，
，点F在 上，点A在 上，且 平分 ，现将三角板 绕点F以每秒 的速度顺
时针旋转（当点 落在射线 上时停止旋转），设旋转时间为t秒．
(1)当 秒时， ；
(2)在旋转过程中， 与 的交点记为P，如图2，若 有两个内角相等，求t的值；
(3)当边 与边 、 分别交于点M、N时，如图3，连接 ，设 ， ，
，试问 是否为定值？若是，请直接写出答案；若不是，请说明理由．
6．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）数学活动课上，老师出示两个大小不一样的等腰直角 和 摆在
一起，其中直角顶点 重合， ， ， ．
(1)用数学的眼光观察．
如图1，连接 ， ，判断 与 的数量关系，并说明理由；(2)用数学的思维思考．
如图2，连接 ， ，若 是 中点，判断 与 的数量关系，并说明理由；
(3)用数学的语言表达．
如图3，延长 至点 ，满足 ，然后连接 ， ，当 ， ， 绕 点旋转
得到 ， ， 三点共线时，求线段 的长．
【类型四 等边三角形绕点旋转综合问题】
例题：（23-24九年级上·广东深圳·期中）【问题背景】：如图1，在等边 中，点D是等边 内
一点，连结 ， ，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连结 ，观察发现： 与 的
数量关系为 ， 度；
【尝试应用】：如图2，在等腰 中， ， ，点D是 内一点，连结 ，
， ， ， ， ，求 面积．
【拓展创新】：如图3，在等腰 中， ， ，点D为平面内一点，且 ，
，则 的值为 ．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图， 、 均为等边三角形， ， ．将
绕点A沿顺时针方向旋转，连接 、 ．(1)在图①中证明 ；
(2)如图②，当 时，连接 ，求 的面积；
(3)在 的旋转过程中，直接写出 的面积S的取值范围．
2．（20-21九年级上·河南周口·期中）如图， 和 都是等边三角形，直线 ， 交于点F．
(1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时， 的度数为______，线段 与 的数量关系为
______．
(2)如图2，当 绕点C顺时针旋转 时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说
明理由：若成立，请就图2给予证明．
(3)若 ， ，当 绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出 长的取值范围．
3．（2024八年级·全国·竞赛）如图， 和 都为等边三角形，点 、 分别为 、 的中点．
(1)当点 、 分别在 、 上时（如图 ），求证： ； 为等边三角形；
(2)绕点 逆时针方向旋转 ，当点 、 、 共线时（如图 ），（ ）中的结论是否还成立，若成
立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)继续旋转 ，当点 在 上时（如图 ），（ ）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不
成立，请说明理由．4．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）综合与实践
【模型感知】
手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组
成的图形叫手拉手模型．
（1）如图 ，已知 和 都是等边三角形，连接 ， ．求证： ；
【模型应用】
（2）如图 ，已知 和 都是等边三角形，将 绕点 旋转一定的角度，当点 在 的延
长线上时，求证： ；
【类比探究】
（3）如图 ，已知 和 都是等边三角形．当点 在射线 上时，过点 作 于点 ，
直接写出线段 ， 与 之间存在的数量关系为_____________．
