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第 04 讲 难点探究专题：平面直角坐标系中的规律探究问题
(4 类热点题型讲练)
目录
【类型一 平面直角坐标系中动点移动问题】................................................................................................1
【类型二 平面直角坐标系中图形规律摆放问题】........................................................................................7
【类型三 平面直角坐标系中图形翻转问题】..............................................................................................12
【类型四 平面直角坐标系中新定义型问题】..............................................................................................19
【类型一 平面直角坐标系中动点移动问题】
例题：（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第
1次从原点运动到点 ，第2次接着运动到点 ，第3次接着运动到点 …按这样的运动规律经过
第2023次运动后，动点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律
解题．
根据前几次运动的规律可知第 次接着运动到点 ，第 次接着运动到点 ，第 次从
原点运动到点 ，第 次接着运动到点 ，根据规律求解即可．
【详解】解：由题意可知，第1次从原点运动到点 ，
第2次接着运动到点 ，
第3次接着运动到点 ，
第4次从原点运动到点 ，
第5次接着运动到点 ，第6次接着运动到点 ，
第 次接着运动到点 ，
第 次接着运动到点 ，
第 次从原点运动到点 ，
第 次接着运动到点 ，
，
第2023次接着运动到点 ，
故选：D．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点自 处向上运动 个单位长
度至点 ，然后向左运动 个单位长度至点 处，再向下运动 个单位长度至点 处，
再向右运动 个单位长度至点 处，…，按如此规律继续运动下去，当这点运动至 处时，点
的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查坐标系中点的坐标规律探究．解题的关键是找到点的横纵坐标的数字规律．先确定点
在第四象限，根据第四象限各点横坐标、纵坐标的数据得出规律 ，进而得出答案即可．
【详解】解： ，则 在第四象限，
由题意，第四象限的点为 ， ， ， ， ，
．
故选：C．2．（23-24七年级下·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中， 轴，
轴，点D、C、P、H在x轴上， ， ， ， ，
，把一条长为2024个单位长度且没有弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A
﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F﹣G﹣H﹣P﹣A…的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标
是（ ）
A． B． C． D．(1,0)
【答案】B
【知识点】坐标与图形、点坐标规律探索
【分析】本题考查坐标与图形，以及坐标找规律，先根据题意得到图形“凸”各边的长，进而得到周长，
再利用2024整除周长找出细线另一端所在位置，即可解题．
【详解】 轴， 轴，且 ， ， ， ，
，
， ， ， ， ，
绕“凸”一圈，线长 个单位长度，
， ，
细线另一端在 点，
细线另一端所在位置的点的坐标是 ，
故选：B．
3．（23-24七年级下·内蒙古通辽·期末）如图，动点M按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点
，第2次运动到点 ，第3次运动到点 ，…，按这样的规律运动，则第2025次运动到点
．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查点的坐标规律探究，根据题意，得到动点 的横坐标为 ，纵坐标以2，0，4，0四个
为一周期循环，进行求解即可．【详解】解：由图可知：动点 的横坐标为 ，纵坐标以2，0，4，0四个为一周期循环，
，
第2025次运动到点的横坐标为 ，纵坐标为2，
即第2025次运动到点 ．
故答案为： ．
4．（23-24八年级下·全国·期中）已知甲运动方式为：先竖直向上运动 个单位长度后，再水平向右运动
个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动 个单位长度后，再水平向左运动 个单位长度，现有一动
点 第 次从原点 出发按甲方式运动到点 ，第 次从点 出发按乙方式运动到点 ，第 次从点 出发
再按甲方式运动到点 ，第 次从点 出发再按乙方式运动到点 ，…．依此运动规律，则经过第 次运
动后，动点 所在位置 的坐标是 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题主要考查点的坐标的规律，掌握点的运动规律及坐标的表示是解题的关键．先根据点 运动
的规律求出经过第 次运动后分别按照甲，乙运动的方式运动的次数，再分别求出其横纵坐标即可．
【详解】解：由题意：动点 经过第 次运动，那么按甲运动方式运动了 次，按乙运动方式运动了 次，
横坐标为： ，纵坐标为： ，
点 的坐标是 ，
故答案为： ．
5．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）如图，一动点P在平面直角坐标系中从原点出发，按箭头所示
方向运动，第一次运动到 ，第二次运动到(2,0)，第三次运动到 ，第四次运动到 ，第五次
运动到 ，按这样的运动规律，第2023次运动后的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据点 的运动方式得出点 第 次运动到的点的坐标为
为正整数）是解题的关键．根据题中所给的点 的运动方式，发现纵坐标为3的这些点与运动次数之间的关系即可解决问题．
【详解】解：由题知，
点 第一次运动到 ，
点 第六次运动到 ，
点 第十一次运动到 ，
，
由此可见，点 第 次运动到的点的坐标为 为正整数）．
当 时，
， ，
即点 第2021次运动后的坐标为 ．
所以 第2023次运动后的坐标为 ．
故答案为： ．
6．（23-24七年级下·湖南长沙·单元测试）在平面直角坐标系中，一只小蛤蟆从原点O出发，第一次向上
蹦到 ，第二次向右蹦到 ，第三次向下蹦到 ，第四次向右蹦到 ，第五次向上蹦到 ，…，按照此
规律依次不间断蹦，每次蹦1个单位，其蹦的路线如图所示．那么按照上述规律，点 的坐标是
．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了点的坐标规律探索，根据图象得出每移动4次图象完成一个循环，结合
得出点 在第 个循环的第3个点的位置，即纵坐标与 的相同，为 ，再根据
， ， ，……，得出 ，求出 的坐标是 ，即可得解．
【详解】解：由题意得： ， ， ， ， ， ， ， ，
……，
∴每移动4次图象完成一个循环，
∵ ，
∴点 在第 个循环的第3个点的位置，即纵坐标与 的相同，为 ，
∵ ， ， ，……，
∴ ，∴ 的坐标是 ，
∴点 的坐标是 ，即 ，
故答案为： ．
7．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点 从原点出发，即
按这样的运动规律，完成下列任务：
(1)点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；点 的坐标为 ；
(2)在动点 的上述运动过程中，若有连续四点 ， ， ， ，请直接写出
之间满足的数量关系为 ， 之间满足的数量关系为 ．
【答案】(1) ；
(2) ；
【知识点】点坐标规律探索
【分析】(1)观察点的坐标的规律为横坐标逐次大 ，纵坐标四个为一个循环，再运算求解；
(2)根据(1)中的规律求解．
【详解】（1）解：∵
∴点的坐标的规律为横坐标逐次大 ，纵坐标四个为一个循环，
∵ ， ，
点 的坐标为 ， ， 的坐标为 ， ；
∵ ，
∴ 的纵坐标与 的纵坐标一样，
点 的坐标为 ， ，
故答案为： ， ， ， ， ， ；
（2）解：∵
∴点的坐标的规律为横坐标逐次大 ，纵坐标四个为一个循环，
； ，故答案为： ．
8．（22-23八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，一个动点 从原点 出发，按向上、向右、
向下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示．
(1)填写下列各点的坐标： ________， ________， ________， ________．
(2)按此规律移动， 为正整数，则点 的坐标为________，点 的坐标为________．
(3)动点 从点 到点 的移动方向是________．（填“向上”、“向右”或“向下”）
【答案】(1) ， ， ， ；
(2) ，
(3)向下．
【知识点】点坐标规律探索
【分析】（1）根据点的坐标变化即可填写各点的坐标；
（2）由 ， ， ， ，归纳可得：点 的坐标（n为正整数）为 ；由
， ， ， ，归纳可得：点 的坐标为 ；
（3）根据（2）发现的规律，每四个点一个循环，进而可得动点从点 到点 的移动方向．
【详解】（1）解：根据点的坐标变化可知： 各点的坐标为： ， ， ， ；
（2）∵ ， ， ， ，
归纳可得：点 的坐标（n为正整数）为 ；
∵ ， ， ， ，
归纳可得：点 的坐标为 ；
（3）∵每四个点一个循环， 所以 ．
∴动点 从点 到点 的移动方向是向下．
【点睛】本题考查了规律型-点的坐标，解决本题的关键是根据点的坐标变化发现规律，总结规律，运用规
律．
【类型二 平面直角坐标系中图形规律摆放问题】例题：（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按
图中箭头方向排列，如 ，(1,0)， ， ，(2,1)，(2,0)， ，…，根据规律探索可得，第
2024个点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了点的坐标规律，根据图形可知第 列有 个点，点的横坐标为 ，奇数列点由下到
上进行运动，偶数列点从上到下进行运动，进而得到所有列点的总数为 ，推出第2024个点在第
列，即可得到第2024个点的坐标．
【详解】解：由图知，第一列有1个点，点的横坐标为0，
第二列有2个点，点的横坐标为1，
第三列有3个点，点的横坐标为2，
依次类推，
第 列有 个点，点的横坐标为 ，且奇数列点由下到上进行运动，偶数列点从上到下进行运动，
所有列点的总数为 ，
有 ，
，
，即第2024个点在第 列，
第2024个点的横坐标为 ，
， 为偶数列，
第2024个点的纵坐标为 ，
第2024个点的坐标为 ．
故选：B．【变式训练】
1．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中
“→”方向排列，依次为 ， ， ， ， ， ， ，根据这个规律，可得第50个点
的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题的考查了对平面直角坐标系的熟练运用能力，用“从特殊到一般”的方法入手寻找规律是解
答本题的关键．从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，
…依此类推横坐标为n的有n个点，通过加法计算算出第50个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规
律，将行列数代入规律式．
【详解】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点．…第n个有n个点，并且奇数列点数对称
而偶数列点数y轴上方比下方多一个，
，
∵第50个点在第10列上，
∴
奇数列的坐标为 ；
∴
偶数列的坐标为 ，
由加法推算可得到第50个点位于第10列自上而下第6行，
将10代入上式得 ，
即 ，
故选A．
2．（23-24七年级下·江西南昌·期中）在一单位为1的方格纸上，有一列点 ， ， ，…， ，…，
（其中n为正整数）均为网格上的格点，按如图所示规律排列，点 ， ， ， ，
…，则 的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了坐标的规律探索，根据直角坐标系得出坐标的规律是解题关键．观察坐标系发现
，即可得到 的坐标．
【详解】解：由直角坐标系可知， ， ， ，…，
观察可知， ，
，
的坐标为 ，即 ．
故选：B．
3．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中， ，将边长为1的正方形一边与x
轴重合按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给正方形的摆放方式，发现点 为正整数）坐标的变化
规律是解题的关键．根据正方形的摆放方式，依次求出点 为正整数）的坐标，发现规律即可解决问题．
【详解】解：根据正方形的摆放方式可知，
点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ；点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ；
，
由此可见，点 为正整数）的横坐标为 ，且纵坐标按0，1，1，0，0， ， ，0循环出现，
因为 ， ，
所以点 的坐标为 ．
故选：A
4．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）【观察发现】如图，一些点按照一定的规律排列：点 ，点
，点 ，点 ，点 ，…
【归纳应用】
(1)直接写出：点 的坐标为______；点 的坐标为______．
(2)用含 （ 为正整数）的代数式表示点 的坐标为______，点 的坐标为______．
(3)在（2）的条件下，若点的坐标为 ，求 的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、点坐标规律探索、坐标与图形
【分析】本题考查规律型中的点的坐标，
（1）根据点的下标（分偶数和奇数两种情况）以及平移规律“向右平移 个单位，再向上平移 个单位”，
可找出点 与点 的坐标；
（2）根据（1）中的平移规律即可得出 和点 的坐标；
（3）根据（2）的结论即可求解；
找出点的变化规律是解题的关键．
【详解】（1）解：当点的下标为偶数或奇数时，发现点平移的规律：向右平移 个单位，再向上平移 个
单位，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
故答案为： ； ；
（2）由（1）中的平移的规律可得：
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
故答案为： ； ；
（3）由（2）知：点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
当 时，
解得： ，
由 ，符合题意；
当 时，
解得： （不符合题意，舍去）；
综上所述， 的值为 ．
【类型三 平面直角坐标系中图形翻转问题】
例题：（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图所示，长方形 的两边 分别在x轴、y轴上，点
C与原点重合，点 ，将长方形 沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为 ，
经过第二次翻滚，点A的对应点记为 ；……，依次类推，经过第2023次翻滚，点A的对应点 的坐
标为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察图形即可得到经过4次翻滚后点A对应点一个循环，求出 的商，从而解答本题．
【详解】解：观察图形得， ， ， ， ，
经过4次翻滚后点A对应点一个循环，
，
∵点 ，长方形的周长为： ，
∴经过505次翻滚后点A对应点 的坐标为 ，即 ．
∴ 的坐标为 ．
故选：B．
【点睛】此题考查探究点的坐标的问题，解题的关键是找到点的变化规律．
【变式训练】
1．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中， 为等腰直角三角形，
，边 在 轴正半轴上， ，点 在第一象限内，将 绕点 顺时针旋转，每次旋
转 则第2023次旋转后，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察图象可知，点 旋转8次一个循环，利用这个规律解决问题即可．
【详解】解：∵ 为等腰直角三角形， ，
∴ ，
观察图象可知，点 旋转8次一个循环，
余数为7，
点 的坐标与 相同，
点 的坐标为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化 旋转，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考
常考题型．2．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为
坐标原点， 是直角三角形，点O为直角顶点，已知点 ， ， ，将 按如
图方式在x轴负半轴上向左连续翻滚，依次得到 、 、 、 …，则 的直角顶点的横坐标是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察图形，从 到 经过的路程恰好为 的周长，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：从 到 经过的路程恰好为 的周长：
故 的直角顶点的横坐标为： ； 的直角顶点的横坐标为：
同理：从 到 经过的路程恰好为：
故 的直角顶点的横坐标为： ； 的直角顶点的横坐标为：
…
∴ 、 、 、…、 的直角顶点的横坐标为：
∵
∴ 的直角顶点的横坐标为：
∵ 与 的直角顶点的横坐标相同
故 的直角顶点的横坐标是
故选：B
【点睛】本题考查坐标与规律．根据题意确定坐标变化规律是解题关键．
3．（2022·黑龙江大庆·大庆外国语学校校考模拟预测）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连
续翻转2019次，点P依次落在点 的位置，则 的横坐标为（ ）A．2019 B．2018 C．2017 D．2016
【答案】B
【分析】观察图形和各点坐标可知：点 到 要翻转4次为一个循环， 到 横坐标刚好加4， 到 处
横坐标加3，按照此规律，求出 的横坐标，进而求出答案．
【详解】解：由题意可知：点 到 要翻转4次为一个循环， ， ， ， ， ，
，
到 横坐标刚好加4， 到 处横坐标加3，
，
，
，
的横坐标 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了规律型：点的坐标，解题关键是根据各点坐标和题意，找出坐标规律．
4．（2023春·安徽芜湖·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，将 沿 轴向右滚动到
的位置，再到 的位置……依次进行下去，若已知点 ， ， ，则点 的
坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的滚动可知每滚动3次为一个周期，点 在第一象限，点 在
轴上，由点 ， ，可得 ，从而得到 ，进而得出点
的横坐标，同理可得出点 、 的横坐标，从而得出点 的横坐标为 （ 为正整数），再代入
即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：
每滚动3次为一个周期，点 在第一象限，点 在 轴上，
， ，
，由旋转的性质可得： ，
点 的横坐标为： ，
同理可得出：点 的横坐标为： ，点 的横坐标为 ， ，
点 的横坐标为 （ 为正整数），
点 的横坐标为 ，
点 的坐标为 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律，根据题意进行计算得出规律：点 的横坐标为 （ 为正整
数），是解题的关键．
5．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在平面直角坐标系中， ， ， ，将
向左平移2个单位长度，得到 ；将 关于原点中心对称，得到 ；将 向右平
移2个单位长度，得到 ；将 关于原点中心对称，得到 ；将 向左平移2个单
位长度，得到 ……若按此规律作图形的变换，则 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了中心对称，坐标与图形变化-平移，以及规律型—点的坐标.正确求出 的坐标，
进而得出点 的规律是解题的关键.
【详解】由题意可知，
、
,
的纵坐标以 ， 为一个周期依次循环，
∴
，的坐标为 ，
故选: B
6．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系 中， ， ， ， 是边长为1个单位
长度的小正方形的顶点，开始时，顶点 ， 依次放在点(1,0)，(2,0)的位置，然后向右滚动，第1次滚动
使点 落在点 的位置，第2次滚动使点 落在点 的位置，…，按此规律滚动下去，则第2025次
滚动后，顶点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题关键是找到点 随滚动次数的变化规律．列举几次滚动
后的 点坐标，找到滚动次数与点 坐标之间的规律，进而求出第2023次滚动后顶点 的坐标．
【详解】解：第1次滚动点 的坐标为(2,1)，
第2次滚动点 的坐标为 ，
第3次滚动点 的坐标为 ，
第4次滚动点 的坐标为 ，
第5次滚动点 的坐标为 ，
…，
每滚动4次一个循环，
， ， ， ，
，
，
即 ，
故选：B．
7．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，第一次将 变换成 ，第二次将
变换成 ，第三次将 变换成 ，已知 ， ， ， ；
， ， ， ．(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将 变换成 ，则 的坐
标是 ， 的坐标是 ．
(2)若按（1）找到的规律将 进行了 次变换，得到 ，比较每次变换中三角形顶点有何变化，
找出规律，推测 的坐标是 ， 的坐标是 ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】点坐标规律探索
【分析】考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数次幂是解
题的关键．
（1）根据规律直接写出结论；
（2）由题可得， 点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是 ，纵坐标都是4； 点坐标规
律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是 ，纵坐标都是0，再写出 ， 的坐标即可．
【详解】（1）解：∵ ， ， ， ，
∴ 的横坐标为： ，纵坐标为：4，
∴点 的坐标为： ．
又∵ ， ， ， ，
∴ 的横坐标为： ，纵坐标为：0，
∴点 的坐标为： ．
故答案为： ；
（2）解：由 ， ， ， ，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是 ，纵坐标
都是4．
故 的坐标为： ．
由 ， ， ， ，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是 ，纵坐标都是
0．
故 的坐标为： ．故答案为： ．
【类型四 平面直角坐标系中新定义型问题】
例题：（2023秋·湖南常德·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点 ，我们把点
叫做点P伴随点．已知点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，…，
这样依次得到点 ， ， ，…， ，…．若点 的坐标为 ，点 坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2022除以
4，根据商和余数的情况确定点 的坐标即可．
【详解】解：∵ 的坐标为 ，
∴ ， ， ， ，
…．
依此类推，每4个点为一个循环依次循环，
∵ ,
∴点 的坐标与 的坐标相同，为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了点的变化规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循序组
依次循环是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·河南漯河·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点 ，我们把点
叫做点P的友好点，已知点 的友好点为点 ，点 的友好点为点 ，点 的友好点为点 ．……以此
类推，当点 的坐标为 时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 的坐标为 和友好点的定义，顺次写出点 、 、 、 的坐标，发现循环规律，即
可求解．
【详解】解：当点 的坐标为 时，点 的友好点 的坐标为 ，
点 的友好点 的坐标是 ，
点 的友好点 的坐标是 ，点 的友好点 的坐标是 ，
……以此类推，
∴ ， ， ， （n为自然数），
∵ ，
∴点 的坐标为 ，
故选：C
【点睛】此题考查了点的坐标变化规律，从已知条件得出循环规律是解题的关键．
2．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点 ，把点 叫做点
P的友好点．已知点 的友好点为点 ，点 的友好点为点 这样依次得到点 ， ， ， ，
若点 的坐标为 ，则根据友好点的定义，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了点的规律，图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先分别算出 ， ， ， ， ，找到规律后，得点 的坐标与
的坐标相同，即可作答．
【详解】解：∵对于点 ，把点 叫做点 的友好点．且 的坐标为
则 ，
，
则
∴
同理得 ， ， ， ……
观察发现，每6个点为一个循环组依次循环．
∴点 的坐标与 的坐标相同，为 ，
故选：B．
3．（2023秋·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，对于点 ，我们把 叫做点P的伴随点，已知 的伴随点为 ， 的伴随点为 ，…，这样依次下去得到 ， ，……， ．若 的
坐标为 ，则 的坐标为 .
【答案】
【分析】根据伴随点的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2023除以4，
根据商和余数的情况确定点 的坐标即可．
【详解】解： 的坐标为 ，
， ， ， ， ，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
，
点 的坐标与 的坐标相同，为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义，解题的关键是求出每 个点
为一个循环组依次循环．
4．（2023秋·江西景德镇·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，点 经过某种变换后得到点
，我们把点 叫做点P的和谐点．已知点 的和谐点为 ， 的和谐点为 ， 的和谐点
为 ，…，这样由 依次得到 、 、 … ．若点 坐标为 ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】利用点 的和谐点的定义分别写出点 坐标为 ，点 坐标为 ，点 坐标为
，点 坐标为 ，…,从而得到每4次交换为一个循环。然后利用 判断点 的
坐标与点 坐标相同.
【详解】解：根据题意得点 坐标为 ，点 坐标为 ，点 坐标为 ，点 坐标为 ，
点 坐标为 ，…,
而 ，
∴点 的坐标与点 坐标相同，为 ，
故答案为： .
【点睛】本题是平面直角坐标系内的点坐标规律探究题，考查学生发现点的规律的能力，有理数运算以及
平面直角坐标系等相关知识，找到坐标的变换规律是解题的关键.
5．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）对一组数 的一次操作变换记为 ,定义其变换法则如
下：P ；且规定 (n为大于1的整数)．如 ，
1
， ，则．
【答案】
【知识点】数字类规律探索、点坐标规律探索
【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据题目中变化规律，分别
找到当 为奇数和偶数时，对应点的横纵坐标的表达式，据此来求解．
【详解】解：∵P ，
1
，
，
，
，
…,
∴当n为奇数时, ，
当n为偶数时, ，
∴ ．
故答案为： ．
6．（2023春·河北张家口·七年级统考期末）已知点 ， ，点 是线段 的中点，
则 ， ．在平面直角坐标系中有三个点 ， ， ，点 关于
的对称点为 （即 ， ， 三点共线，且 ）， 关于 的对称点为 ， 关于 的对称点为
，按此规律继续以 ， ， 为对称点重复前面的操作，依次得到 ， ， ，则点 的坐标是
．
【答案】
【分析】根据题意，可求得点 至点 的坐标，观察各点坐标，可知每 个点循环一次，即可求得点
的坐标与已知某个点的坐标相同．
【详解】设点 的坐标为 ．
根据题意，得
解得所以，点 的坐标为 ．
同理可得 ， ， ， ， ．
观察各点坐标可知，点 至点 为一个循环，即每 个点循环一次．
∵ ，
∴点 的坐标与点 的坐标相同．
∴点 的坐标是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系，解题的关键在于根据题意求得某点的对称点的坐标．
7．（2023春·北京房山·八年级统考期末）在平面直角坐标系 中,不同的两点 ， ,给出如
下定义：若 ,则称点 ， 互为“等距点”．例如，点 , 互为“等距点”．
(1) , ， , 四个点中，能与坐标原点互为“等距点”的是________．
(2)已知 ，
①若点 是点 的等距点，且满足 的面积为 ,求点 的坐标；
②若以点 为中心，边长为 正方形上存在一点 与点 互为等距点，请直接写出t的取值范围．
【答案】(1) 、
(2)①点B的坐标为 ， ， ， ；② 或
【分析】（1）根据“等距点”定义，逐点验证即可得到答案；
（2）①设 ，由题意得到 ， 或 ，再由 的面积为 ，列式
，解得 ，代入 或 ，即可得到点 的坐标为 或
或 或 ；②根据题意，作出图形，设 ，当 与点 互为等距点，则
，分四种情况：当 在正方形左边上；当 在正方形右边上；当 在正方形上
边时；
当 在正方形下边时，分类讨论即可得到答案．
【详解】（1）解：根据“等距点”定义，得：
、 ,
，即 与坐标原点不是“等距点”；
、 ,，即 与坐标原点互为“等距点”；
、 ,
，即 与坐标原点不是“等距点”；
、 ,
，即 与坐标原点不是“等距点”；
综上所述，与坐标原点互为“等距点”的是 、
故答案为： 、 ；
（2）解：① ，点 是点 的等距点，
设 ，则 ，即 ，
或 ，
如图所示：
的面积为 ，
由图可知， ，解得 ，
当点 在 上时，由 得到 ；由 得到 ，即
点 的坐标为 或 ；
当点 在 上时，由 得到 ；由 得到 ，即
点 的坐标为 或 ；
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ；
②如图所示：，正方形边长为 ，
设 ，当 与点 互为等距点，则 ，
当 在正方形左边上，有 ，即 ，得到 ，解得 或
；
当 在正方形右边上，有 ，即 ，得到 ，解得 或 ；
当 在正方形上边时，有 ，再由 解得 或 ，则
或 ，解得 或 ；
当 在正方形下边时，有 ，再由 解得 或 ，则 或
，解得 或 ；
综上所述，若以点 为中心，边长为 正方形上存在一点 与点 互为等距点， t的取值范围为
或 ．
【点睛】本题考查新定义与坐标问题，读懂题意，根据新定义结合学过的知识，综合运用是解决问题的关
键．
