文档内容
第 05 讲 图形的平移与旋转单元提升卷
（范围：全章，时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．下列运动中，能改变图形大小的是（ ）
A．平移 B．旋转 C．翻折 D．放缩
【答案】D
【分析】本题考查几何变换类型．根据平移，旋转，翻折，放缩的性质判断即可．
【详解】解：平移，旋转，翻折不改变图形的大小，放缩可以改变图形的大小．
故选：D．
2．点 关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点的对称点的横纵坐标都变成相反数
是解题的关键．
根据关于原点对称的点的坐标特征解答即可．
【详解】解：点 关于原点对称的点的坐标为 ．
故选：A．
3．下列现象中，属于平移的是（ ）
A．钟摆的摆动 B．铝合金窗户左右移动
C．电风扇的转动 D．骑自行车时车轮的转动
【答案】B
【分析】本题考查了生活中的平移．熟练掌握平移的性质是解题的关键．
根据平移的性质判断作答即可．
【详解】解：由题意知，A中钟摆的摆动，不属于平移，故不符合要求；
B中铝合金窗户左右移动，属于平移，故符合要求；
C中电风扇的转动，不属于平移，故不符合要求；
D中骑自行车时车轮的转动，不属于平移，故不符合要求；
故选：B．
4．中国的航天技术已跨入世界先进行列．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的
是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行
逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对
称图形；把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫
做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选D．
5．将点 沿 轴向右平移4个单位长度，再沿 轴向下平移4个长度单位后得到点 ，则 的坐标
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平移中点的变化规律，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标
上移加，下移减．根据平移中点的变化规律即可解答．
【详解】解： 将点 沿 轴向右平移4个单位长度，再沿 轴向下平移4个长度单位后得到点 ，
点 的坐标为 ，即 ，故C正确．
故选：C．
6．如图，将长方形 绕其顶点 顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，由四边形 是长方形， ，由旋转性
质可知， ，旋转角为 ，然后根据角度和差即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵四边形 是长方形，
∴ ，
由旋转性质可知， ，旋转角为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
7．如图， 与 关于点 成中心对称， ， ， ， （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键；
根据中心对称的性质，得出 ， ，再根据勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】解： 与 关于点 成中心对称，
，
， ，
， ，
根据勾股定理可得： ，
；
故选：A
8．如图，六角形组合图旋转一定度数可完全重合，旋转的度数可以是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查图形的旋转，正多边形的性质，图中六角形组合图可以被经过中心的射线平分成6个全
等的部分，因此旋转的度数为 的倍数即可．
【详解】解： ，
因此旋转的度数为 的数即可．
观察选项可知，只有B选项中 符合要求，
故选B．
9．如图，将 沿直角边 所在的直线向右平移得到 ，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，结合图形逐项判断即可．
【详解】解：∵将 沿直角边 所在的直线向右平移得到 ，
∴ ， ， ，
∴ ，则 ，
故选项A、B、C正确，不符合题意；
现有条件无法得到 ，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
10．如图，把正方形铁片 置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标 ，点 在正方形铁片上，
将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转 ，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②
位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，则点P的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查图形与坐标规律，读懂题意，数形结合，找到坐标规律是解决问题的关键．
按照题意，连接右下角 轴上的点与 ，如图所示，由旋转性质逐步求出各个位置时点 的坐标，找到循
环规律求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
点 ，点 ，
，则 ，
由旋转的性质可得 ，
第一次 ；
如图所示：
，
，则由旋转的性质可得 ，
第二次 ，
如图所示：，
，则由旋转的性质可得 ，
第三次 ，
如图所示：
，
，则由旋转性质可得 ，
第四次 ，
…
数形结合，发现点 的位置4次一个循环，每循环一次横坐标增加12，
∵ ，
的纵坐标与 相同为 ，横坐标为 ，
∴ ，
故选：A．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．若点 与点 关于原点对称，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了已知两点关于原点对称求参数，解一元一次方程，代数式求值等知识点，熟练掌
握关于原点对称的点的坐标规律是解题的关键．
根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，列方程求解即可求出 、 的值，然后代入代数
式即可求出代数式的值．
【详解】解：根据题意可得：
， ，
解得： ， ，
，故答案为： ．
12．在平面直角坐标系中，线段AB的端点 ， ，将线段AB平移得到线段CD，点 的对应点
的坐标是 ，则点 的对应点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据点的平移法则：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减解答即可．
【详解】解： 点 ，点 的对应点 的坐标是 ，
将点 向左平移 个单位，向下平移 个单位，得到C ，
∴ ，向左平移 个单位，向下平移 个单位，得到的对应点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上
移加，下移减．
13．某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯．已知这种地毯的批发价为每平方米
10元，主楼梯的宽为3米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元．
【答案】252
【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键；
利用平移和平行分别将楼梯水平方向的线段沿竖直方向向下平移到 上，竖直方向的线段沿水平方向向
左平移到 上，于是铺地毯的横向线段的长度之和就等于横向直角边 的长度，纵向线段的长度之和就
等于纵向直角边 的长度，然后求出面积进行计算，即可解答．
【详解】解：如图：
地毯的总长度至少为 (米)．
此时，总面积为 (平方米)，
所以购买地毯至少需要 (元)．
14．在平面直角坐标系中，将点 P 先向左平移 3 个单位长度得到点 ，点 关于 x 轴对称的点为 ，
已知 坐标为 ，则点 P 的坐标是 ．【答案】
【分析】本题考查坐标的平移、对称，掌握平移和对称的规律是解题的关键，注意平移规律：左右平移只
改变点的横坐标，左减右加；两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；注意求原来点的坐标
让平移的方向相反即可．根据关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为相反数，可得出 的坐标，再
将 向平移4个单位长度可得出P的坐标．
【详解】解：∵点 关于 x 轴对称的点为 ，
∴点 关于x轴对称点的坐标为 ；
又点 P 先向左平移 3 个单位长度得到点 ，
∴点 先向右平移 3 个单位长度得到点 ，
故答案为： ．
15．如图， 在平面直角坐标系中的位置，且 ，将其绕点P顺时针旋转得到 ，则点P
的坐标是 ，旋转角是 度.
【答案】 90
【分析】根据旋转性质，对应点的连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，据此可求解．
【详解】解：如图，点 为旋转中心，旋转角 ，故答案为： ，90．
【点睛】本题考查坐标与图形变换-旋转，解答的关键是熟知对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
16．如图，在 中， ， ， ．将 绕点 逆时针旋转得到
，旋转角为 （ ），当点 的对应点 恰好落在 的边上时，连接 ，则
的长为 ．
【答案】 或
【分析】分两种情况讨论：当点 落在 上时和当点 落在 上时，分别利用旋转的性质、等边三角
形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
分两种情况讨论：
①当点 落在 上时，如下图，连接 ，由旋转的性质，可得 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ；
②当点 落在 上时，如下图，连接 ，
由旋转的性质，可得 ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ．
综上所述， 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形、勾股定理、旋转的性质直角三角形两锐角互余、等边三
角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质以及等边三角形的判定与性质并运用分类讨论思想是解
题的关键．
三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分.
17．如图，在 中， 逆时针旋转一定角度后与 重合，且点C恰好为 的中点．指出旋转中心，并求出旋转角的度数和 的长．
【答案】旋转中心为点A，旋转角的度数为 ，
【分析】本题考查的是旋转的三要素，旋转的性质，先求解 ，由点A旋转后与自身重合可得
旋转中心，由B，D是旋转前后的对应点，可得旋转角∠BAD的大小；
【详解】解：在 中，
∴ ，
∴ ，
∵当 逆时针旋转一定角度后与 重合，
∴旋转中心为点A，旋转角的度数为 ，
由旋转得，
∵ 为 的中点，
∴
∴ ．
所以，旋转中心为点A，旋转角的度数为 ， ．
18．如图，在 中， ，在同一平面内，将 绕点A逆时针旋转到 的位置．
(1)如图1，当 时，求 的度数；
(2)如图2，连接 ，当 时， ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了旋转的基本性质，平行线的性质，等边对等角；
（1）根据直角三角形中两个锐角互余，可得 ，进而结合已知，即可求解；
（2）根据平行线的性质得出 ， ，进而根据旋转的性质可得 ，再根据等角对等边可得 ，根据 即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
；
（2）
，
由旋转得
．
19．如图，一块等腰直角三角板 ，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到 的位置（A，C，
三点共线）．
(1)直接写出旋转角的度数；
(2)连接 ， ，它们相交于点M，求证：点A与 关于点M成中心对称．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查旋转的性质，中心对称的判定，全等三角形的判定与性质．
（1）旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相
等，根据题意旋转角 ；
（2）分别过点A， 作 的垂线，垂足分别为P和Q，先证明 ，得到 ，
再证明 得到 即可说明点A与 关于点M成中心对称．
【详解】（1）解：根据旋转的性质可知， ，那么旋转角度的大小为
；
（2）证明：如图，分别过点A， 作 的垂线，垂足分别为P和Q．
，
，， ，
，
，
，
又∵ ，
，
．
又∵ ，
，
．
∴点A与 关于点M成中心对称．
20．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是 ， ， ．
(1)把 向左平移4个单位后得到对应的 ，请画出平移后的 ；
(2)画出 关于原点 对称的 ；
(3)观察图形可知， 与 关于点______中心对称．（写出坐标）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的
关键．
（1）依据平移的方向和距离，分别确定 平移后的对应点 ，即可得到平移后的 ；
（2）依据原点对称的性质分别确定 旋转后的对应点 ，即可画出 ；
（3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求，；
（2）解：如图所示， 即为所求；
；
（3）解：如图所示， 与 关于点 中心对称，
；
故答案为： ．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
21．如图1， 与 全等，且 ．如图2，将 沿射线
方向平移得到 ，连接 ．(1)求证： 且 ；
(2) 沿射线 方向平移的距离等于______时，点 与点 之间的距离最小．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，平移的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质，平移的性质证明 ,根据全等的性质即可得到结论；
（2）根据平移的距离即为 的长即可求解．
【详解】（1）证明：由图 可知， ，
，
由平移的性质可知， ， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
且 ；
（2）解：当点 于点 重合，点 与点 之间的距离最小，
沿射线 方向平移的距离等于 ，
故答案为： ．
22．如图，将等边 绕点 顺时针旋转90°得到 ， 的平分线 交 于点 ，连接 ，
．(1)求 度数；
(2)求证： ；
(3)判断 和 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3) ，理由见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练运用旋转
的性质是本题关键．
（1）由等边三角形的性质可得 ， ，由旋转的性质可得 ， ，由
等腰三角形的性质可求解；
（2）由“ ”可证 ；
（3）由全等三角形的性质可得 ，即可证 ．
【详解】（1）解： 是等边三角形，
， ，
等边 绕点 顺时针旋转 得到 ，
， ， ，
，
， ，
，
；
（2）证明： 和 是等边三角形，
， ，
平分 ，
，
在 和 中，
，
（3）解： ，理由如下：，
，
，
．
23．如图，在平面直角坐标系 中， 的顶点坐标分别为点 ， ， ．将
向左平移两个单位长度得到 ，线段 与线段 相交于点M．
(1)求证： ；
(2)连接 ，交 于点N．
①求证： 平分 ；
②直接写出 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)①见解析；②
【分析】本题考查了平移的性质，直角坐标系和坐标，平行的性质，三角形的面积公式等．
（1）先由平移得到 ， ，再由坐标得到 ，可证明
即可得出答案；
（2）①由平移的性质得 ， ， ，进而得 为等腰直角三角形，
，进而可证得结论；
②过 作 于 ， 于 ，根据角平分线可得 ，则
， ，进而可得答案．
【详解】（1）证明：连接 ，向左平移两个单位得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
；
（2）①讲明：如图，连接 ，
∵ ，将 向左平移两个单位长度得到 ，
∴由平移的性质可得 ，
∴ ， ，
∴ 为等腰直角三角形， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
②解：过 作 于 ， 于 ，∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
24．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是 ， ，且 ，现将
线段 向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到线段 ，连接 ．
(1)点C的坐标为 ，点D的坐标为 ，四边形 的面积为 ．
(2)在y轴上是否存在一点Q，连接 ，使的 ，若存在这样的点Q，求出点Q的坐
标；若不存在，试说明理由；
(3)点P是射线 上一动点（D，B两点除外），连接 ，请直接写出 之间
的数量关系．（不需要证明）
【答案】(1) ， ，12
(2)存在，点Q的坐标为 或
(3) 或 ．
【分析】（1）根据非负数的性质求出a，b，可得点A，B的坐标，再根据平移的性质得出点C，D的坐标，
证明四边形 是平行四边形，从而可求得面积；（2）根据（1）所求结合三角形面积计算公式求出 的长即可得到答案；
（3）分两种情况：当点P在线段 上时；当点P在线段 的延长线上；分别利用平行线的性质得出相
等的角，再根据角的和差关系等量代换得出结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵将线段 向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到线段 ，
∴ ， ，
由平移的性质可得 ，即 轴，
∴四边形 的面积 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点Q在y轴上，
∴点Q的坐标为 或 ；
（3）解：当点P在线段 上时，过点P作作 ，如图3，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；当点P在线段 的延长线上时，过点P作 ，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
综上，若点P是射线 上一个动点，则 或 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，坐标与图形变化—平移，平行线的性质与判定等等，画
出图形，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
25．探究式学习是新课程标准倡导的重要学习方式．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作
如下探究．
【初识问题】
（1）如图1，在 中， ， ，P是边上的一动点（点P不与点B，C重合），
， ，连接 ，则 与 的数量关系是__________， 的度数是__________．
【探究问题】
（2）在 中， ， ，M是 的中点，P是边 上的一动点（点P不与点B，
C，M重合）．若将线段 绕点P顺时针旋转 ，点A的对应点为E，连接 ．
①如图2，若点P在线段 上，过点P作 ，交 的延长线于点F，求 的度数．
②如图3，若点P在线段 上，请直接写出线段 之间的数量关系．
【答案】（1） （2）① ②
【分析】（1）等角对等边，得到 ，进而推出 为等腰直角三角形，证明
，即可得出结果；
（2）①旋转得到 ，证明 为等腰直角三角形，得到 ，证明
，得到 ，根据角的和差关系进行求解即可；②过点 作 ，交
于点 ，证明 为等腰直角三角形，得到 ，证明 ，推出 ，根据线段的和差关系即可得出结论．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）①∵线段 绕点P顺时针旋转 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②过点 作 ，交 于点 ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知
识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
