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第三章 重点突破训练：图形平移与旋转类型题举例
典例体系 （本专题 4 1 题 4 7 页）
考点1：利用图形的平移解决问题
典例：（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，已知在每个小正方形的网格图形中， 的顶点都
在格点上， 为格点．
（1）先将 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，请在图中画出平移后 ，（点 ，
， 所对应的顶点分别是 ， ， ）
（2）求出 的面积；
（3）连结 ， ，直接说出 与 的关系（不需要理由）．
方法或规律点拨
本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图
形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移
后的图形．巩固练习
1．（2021·浙江温州市·七年级期末）将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形
和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为
（ ）
A．16 B．24 C．30 D．40
2．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，将 沿 方向平移 得到 ，若
的周长为 ，则四边形 的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·山东烟台市·八年级期末）如图，将△ABC向右平移8个单位长度得到△DEF，且点B，E，C，
F在同一条直线上，若EC＝4，则BC的长度是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
4．（2021·上海宝山区·七年级期末）如图， 经过平移后得到 ，下列说法：
①
②
③
④ 和 的面积相等
⑤四边形 和四边形 的面枳相等，其中正确的有（ ）A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
5．（2020·上海松江区·七年级期末）如图， 沿射线 方向平移到 （点E在线段 上），
如果 ， ，那么平移距离为（ ）
A．3cm B．5cm C．8cm D．13cm
6．（2020·山东泰安市·泰山外国语学校八年级月考）如图，将周长为8的 沿BC方向平移1个单位
得到 ，则四边形ABFD的周长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
7．（2020·河南洛阳市·七年级期末）如图所示， 沿 平移后得到 ，则 移动的距
离是（ ）
A．线段 的长 B．线段 的长 C．线段 的长 D．线段 的长
8．（2020·东营市实验中学七年级月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将 沿AB方向平移
得到 ， ， ，下列结论：① ；② ；③ ：
④ ；⑤阴影部分的面积为 ．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
9．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）一块长为 ，宽为 的长方形地板中间有一条裂缝
（如图甲）．若把裂缝右边的一块向右平移 （如图乙），则产生的裂缝的面积可列式为_______．
10．（2021·上海浦东新区·七年级期末）如图，已知直角三角形 ， ， 厘米，
厘米， 厘米，将 沿 方向平移1.5厘米，线段 在平移过程中所形成图形的面
积为__________平方厘米．
12．（2020·上海宝山区·七年级期末）如图，已知 中， 、 、 ，将
沿直线BC向右平移得到 ，点A、B、C的对应点分别是 、 、 ，连接 ．如果四边形
的周长为19，那么四边形 的面积与 的面积的比值是________．
13．（2019·四川德阳市·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线
BC的方向平移2个单位后，得到 ，连接 ，则 的周长为________．
14．（2020·濮阳市第一中学九年级月考）如图，将Rt ABC沿CB的方向平移BE距离后得到Rt DEF，
已知AG=2，BE=4，DE=8，则阴影部分的面积是______．
△ △
15．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，要为一段高为5米，水平长为13米的楼梯铺上红地毯，
则红地毯至少要______米．16．（2019·甘肃庆阳市·七年级期中）如图，把直角梯形 沿 方向平移到梯形 ，
， ， ，则阴影部分的面积是___
17．（2020·山西大同市·七年级月考）如图，长方形 的周长为 ，则图中虚线部分总长为
____________．
18．（2020·重庆市万州第三中学八年级期中）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三
角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为__
考点2：三角形的旋转问题
典例：（2020·深圳市龙岗区龙岗街道新梓学校初一期中）已知Rt OAB和Rt OCD的直角顶点O重合，
∠AOB=∠COD=90°，且OA=OB，OC=OD．
△ △
（1）如图1，当C、D分别在OA、OB上时，AC与BD的数量关系是AC BD（填“>”，“<”或
“=”）AC与BD的位置关系是AC BD（填“∥”或“⊥”）；
（2）将Rt OCD绕点O顺时针旋转，使点D在OA上，如图2，连接AC，BD，求证：AC=BD；
（3）现将Rt OCD绕点O顺时针继续旋转，如图3，连接AC，BD，猜想AC与BD的数量关系和位置关
△
系，并给出证明．
△方法或规律点拨
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的判
定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相
等）是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·洪泽外国语中学初一月考）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，
将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当∠CAE＝
15°时，BC∥DE．则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为_____．
2．（2020·揭阳产业转移工业园月城中学初二月考）如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，
∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点．过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
(1)当A，B，C三点在同一直线上时(如图1)，求证：M为AN的中点．
(2)将图1中△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时(如图2)，求证：△CAN为等腰直角三角
形．
(3)在（2）条件下，已知AD=1，CE= ，求AN的长．
3．（2020·北京初二期中）如图1，△ABC是等边三角形，点D，E分别是BC，AB上的点，且BD=AE，
AD与CE交于点F．
（1）求∠DFC的度数；
（2）将CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，连接AP，交BC于点Q．①补全图形（图2中完成）；
②用等式表示线段BE与CQ的数量关系，并证明．
4．（2020·湖北省初三月考）在△ABC与△CDE中，∠ACB ∠CDE 90°，AC BC，CD ED，连接
AE，BE，F为AE的中点，连接DF，△CDE绕着点C旋转．
(1)如图1，当点D落在AC上时，DF与BE的数量关系是： ；
(2)如图2，当△CDE旋转到该位置时，DF与BE是否仍具有(1)中的数量关系，如果具有，请给予证明；如
果没有，请说明理由；
(3)如图3，当点E落在线段CB延长线上时，若CD AC 2，求DF的长．
5．（2019·山东省初三期末）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA=3，
OB=4，OC=5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：
①旋转角的度数 ；线段OD的长为 ．
②求∠BDC 的度数；
（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺
时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC=90°？请给出证明．6．（2020·河南省初三二模）已知 是等边三角形， 于点 ，点 是直线 上的动点，
将 绕点 顺时针方向旋转60°得到 ，连接 ， ， ．
（1）问题发现：如图1，当点 在线段 上时，且 ，则 的度数是_________；
（2）结论证明：如图2，当点 在线段 的延长线上时，请判断 和 的数量关系，并证明
你的结论；
（3）拓展延伸：若点 在直线 上运动，若存在一个位置，使得 是等腰直角三角形，请直接写
出此时 的度数．
7．（2020·陕西省初二期末）问题提出：
（1）如图1，在 ABC中，AB AC BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD BC，
BAC 90，DBC 30，连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转90得到 ACD，连接BD
（如图2），可求出ADB的度数为______．
问题探究：
（2）如图3，在（1）的条件下，若BAC ，DBC ，且 120 ，DBC ABC ，
①求ADB的度数．
②过点A作直线AE BD，交直线BD于点E，BC 7,AD 2．请求出线段BE 的长．考点3：平面直角坐标系中图形旋转
典例：（2020·黑龙江省初一期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，A（0，a），B（b，0），
已知a、b满足方程组 ．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）点C从O出发，以每秒2个单位长度的速度沿y轴正半轴的方向运动，设点C的运动时间为t秒，连
接BC，△ABC的面积为S，用含t的式子S表示（并直接写出t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，当C点在OA上，S＝30时，点E在CB的延长线上，连接AE，将线段
AE绕点A逆时针旋转90°至线段AD，点D恰好在x轴的正半轴上，将线段BA绕点A逆时针旋转90°至线
段FA，当点F在直线BC上时，求t值和点D的坐标．
方法或规律点拨
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，解方程组的方法，三角形的面积公式，全等三角形的判
定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
巩固练习
1．（2020·黑龙江省朝鲜族学校中考真题）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2
)，将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为（ ）
A． 或 B．C． D． 或
2．（2020·河南省初三一模）如图，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 把 绕点 顺时
针旋转 后得到 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·辽宁省初二期中）如图，等边△OAB的顶点O为坐标原点，AB∥x轴，OA=2，将等边△OAB
绕原点O顺时针旋转105º至△OCD的位置，则点D的坐标为（ ）
A．(2，-2) B．( ， ) C．( ， ) D．( ， )
4．（2020·天津初三二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 经过点A，作AB⊥x轴于点
B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°，得到△CBD，若点B的坐标为（4，0），则点C的坐标为_____．
考点4：旋转中的最值问题
典例：（2020·射阳县实验初级中学初三其他）已知△ABC是等边三角形，点D在BC边上，点E在AB的
延长线上，将DE绕D点顺时针旋转120°得到DF，设 =t．（1）如图1，若点F恰好落在AC边上，求证：t=1；
（2）如图2，在（1）的条件下，若∠DFC＝45°，连接AD，求证：BE+CF＝AD；
（3）如图3，若BE＝CD，连CF，当CF取最小值时，直接写出t的值．
方法或规律点拨
本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短、旋转的性质等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
巩固练习
1．（2020·江苏省初三二模）如图， 是两个直角三角板，其中
， ，若 将直角三角板 绕点 旋转
一周，则 的最大值为_______________________．
2．（2020·内蒙古自治区初三三模）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得
到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC＝4，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是
△
___．
3．（2020·江苏省初三其他）如图1，等边△ABC与等边△BDE的顶点B重合，D、E分别在AB、BC上，
AB= ，BD=2．现将等边△BDE从图1位置开始绕点B顺时针旋转，直线AD、CE相交于点P．
（1）在等边△BDE旋转的过程中，试判断线段AD与CE的数量关系，并说明理由；
（2）在等边△BDE顺时针旋转180°的过程中，当点B到直线AD的距离最大时，求PC的长；
（3）在等边△BDE旋转一周的过程中，当A、D、E三点共线时，求CE的长．4．（2020·山东省中考真题）如图1，在 ABC中，A90,AB AC 2 1，点D，E分别在边
AB,AC上，且AD AE 1，连接DE．现将 ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为
0 360
，如图2，连接CE,BD,CD．
（1）当0180时，求证：CE BD；
（2）如图3，当90时，延长CE交 于点 ，求证： 垂直平分 ；
（3）在旋转过程中，求 的面积的最大值，并写出此时旋转角 的度数．
5．（2020·河南省初三）阅读理解
（1）如图1，在 中， ， ， ， 为 边上的点，且 ，
若 ， ，求 的长．
思考如下：注意到条件中有 ， ，不妨把 绕点 顺时针旋转 ，得到
，连接 ，易证 ，从而将线段 ， ， 集中在了 中，因为
的度数是________； ， 所以 的长为 ；
类比探究
（2）如图2，在 中， ， ， ， 为 边上的点，且 ，， ，求 的长；
拓展应用
（3）如图3， 是正方形 内一点， ， 是 边上一点，且 ，若
，请直接写出当 取最小值时 的长．
6．（2020·寿光市实验中学初三其他）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按
逆时针方向旋转，得到△ABC ．
1 1
（1）如图1，当点C 在线段CA的延长线上时，求∠CC A 的度数；
1 1 1
（2）如图2，连接AA ，CC ．若△ABA 的面积为4，求△CBC 的面积；
1 1 1 1
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，
点P的对应点是点P，求线段EP 长度的最大值与最小值．
1 1
7．（2020·山东省初三三模）已知：△ABC是等边三角形，点D是△ABC（包含边界）平面内一点，连接
CD，将线段CD绕C逆时针旋转60°得到线段CE，连接BE，DE，AD，并延长AD交BE于点P．
（1）观察填空：当点D在图1所示的位置时，填空：
①与△ACD全等的三角形是______．
②∠APB的度数为______．（2）猜想证明：在图1中，猜想线段PD，PE，PC之间有什么数量关系？并证明你的猜想．
（3）拓展应用：如图2，当△ABC边长为4，AD=2时，请直接写出线段CE的最大值．
8．（2020·黑龙江省初三期末）如图①，在等腰△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且
∠BAC=∠DAE=120°．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接CD，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中
点，连接MN、PN、PM，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）在（2）中，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=6，请分别求出△PMN周长的最小
值与最大值．
