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第 01 讲 图形的平移
课程标准 学习目标
①图形的平移定义 1．理解并掌握平移的定义及性质；
②图形平移的性质 2．能够根据平移的性质进行简单的平移作图；
③点的平移及作图 3．能够根据平移的性质解决点的坐标平移变化问题．
知识点01 平移的概念
平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。注：平移=移动方向+移动距离
【即学即练1】
1．（23-24七年级下·四川广安·阶段练习）下列现象中，属于平移现象的是（ ）A．方向盘的转动 B．建筑落在水面的倒影 C．电梯的升降 D．
钟摆的运动
【答案】C
【知识点】生活中的平移现象
【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，解题的关键在于能够熟练掌握平移的定义．根据平移的定义：
把一个图形整体沿着某一直线方向移动，会得到一个新的图形，这种移动就叫做平移，再进行判断即可．
【详解】解：A、方向盘的转动，不是平移，不符合题意；
B、建筑落在水面的倒影，是轴对称，不是平移，不符合题意；
C、电梯的升降，是平移，符合题意；
D、钟摆的运动，不是平移，不符合题意；
故选C．
2．（24-25七年级上·上海宝山·期末）中国的历史文化源远流长，我们的祖先创造了很多造型别致且实用
美观的纹样．下面四个纹样中，属于四方连续纹样的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】生活中的平移现象
【分析】本题考查了四方连续纹样，四方连续纹样是一种图案设计形式，由一个单位纹样向上下左右四个
方向反复连续循环排列而成．据此分析即可．
【详解】解：属于四方连续纹样的是选项D，
故选：D．
3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】图形的平移
【分析】本题考查了平移，根据平移的性质，结合图形对选项进行一一分析，选出正确答案，熟知图形平
移后所得图形与原图形全等是解题的关键．
【详解】解：只有 的基本图案的角度，形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到，
故选： ．
知识点02 平移的性质
（1）图形（形状、大小）不变，仅改变图形的位置（2）对应点间连线，这些线段长度相等，且对应直线平行
（3）对应点的连线即为平移的路径（直线），包括方向和距离
【即学即练2】
1．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，将 平移后得到 ．若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的外角的定义及性质、利用平移的性质求解
【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形外角的性质，由平移的性质得到
，再由三角形外角的性质求出 的度数即可得到答案．
【详解】解：由平移的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
2．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，把 向右平移得到 ，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用平移的性质求解
【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质可知：平移后不改变图形的形状和大小，也不改变图形
的方向（角度），只改变了图形的位置，平移前后两个图形对应边平行且相等、对应角相等，所以平移前
后两个图形的面积也相等．
【详解】解：把 向右平移得到 ，
A、根据平移前后两个图形对应边平行且相等，可知： ，故A选项不符合题意；B、平移前后两个图形对应边平行且相等，可知： ，故B选项不符合题意；
C、根据平移前后两个图形对应角相等，可知： ，故C选项不符合题意；
D、平移前后两个图形对应边平行且相等、对应角相等，所以平移前后两个图形的面积也相等，可知：
，故D选项符合题意．
故选：D．
3．（24-25七年级下·全国·单元测试）将边长为 的正方形 和边长为 的正方形 按如图所示放
入长方形 中， ， ．若两个正方形的重叠部分长方形 的边长 为1，则下列
说法错误的是（ ）
A． B．
C．阴影部分的周长为36 D．阴影部分的面积为
【答案】D
【知识点】整式加减的应用、利用平移的性质求解、列代数式
【分析】此题考查整式的混合运算与图形面积、列代数式和解方程组等知识．根据题意得到
，即可求出 ，利用线段的和差关系即可求出 ，由平移可知阴影部分
的周长，阴影部分的面积等于长方形 的面积减去正方形 和正方形 的面积加上2倍的长
方形 的面积．
【详解】解：由题意可得，
①－②得， ，
解得 ，
故A选项正确；
∵ ，
故选项B正确；
由平移可知阴影部分的周长为： ，
故选项C正确；
阴影部分面积为 ，
故选项D错误，故选：D
知识点03 平移作图
平移作图步骤：①找出能代表图形的关键点;②将原图中某一关键点按要求平移后，与原来点连接起来;
③过其他点分别作线段，使它们与确定直线段平行且相等，即确定其他关键点平移后的位置;④连接关键点，
还原图形.
【即学即练3】
1.（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点A、B、C
都在格点上．
(1)将 向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到 ，请作出 ；
(2)连结 ，则线段 和线段 有什么关系？
【答案】(1)见解析
(2)平行且相等
【知识点】利用平移的性质求解、平移(作图)
【分析】本题考查平移变换和线段之间的位置关系，熟练掌握网格中图形平移的方法是解题的关键，
（1）根据题中的平移方法平移即可得到 ，
（2）连结 ，由图可得 平行且相等．
【详解】（1）解：由题可得： 就是所要求作的三角形，如下图：
（2）解：连结 ，如下图所示：由图可得：线段 和线段 为平行且相等．
2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点A，B，C的坐标分别
为 ， ，
(1)先将 向上平移3个单位，再向左平移3个单位，得到 ，请在图形中画出 ．
(2)连结 ，求 的长．（不要求化简）
【答案】(1)见解析
(2) （不要求化简）
【知识点】平移(作图)、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了作图平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向，平移距离．作图时要
先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可
得到平移后的图形．
（1）根据平移规律，分别计算出 三个顶点平移后的坐标 ．然后在平面直角坐标系中准确找
到这些点的位置，依次连接各点，画出平移后的三角形 ；
（2）先确定平移前后点 与 的坐标．再将坐标代入两点间距离公式 ，计算出
的长度．
【详解】（1）对于点 ，向上平移 3 个单位，纵坐标变为 ，再向左平移 3 个单位，横坐标
变为 ，得到 ，
对于点 ，向上平移 3 个单位，纵坐标变为 ，再向左平移 3 个单位，横坐标变为 ，
得到 ，对于点 ，向上平移 3 个单位，纵坐标变为 ，再向左平移 3 个单位，横坐标变为
，得到 ，
然后在坐标系中画出 ．
（2）由题意可知 ，
可得 的长度为 （不要求化简）．
题型01 生活中的平移现象
例题：（23-24七年级下·全国·期中）下列运动属于平移的是（ ）
A．飞机在地面上沿直线滑行 B．在游乐场里荡秋千
C．推开教室的门 D．风筝在空中随风飘动
【答案】A
【知识点】生活中的平移现象
【分析】本题考查了生活中的平移现象，在平面内，把一个图形整体沿某一直线的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
根据平移的概念逐项判断即可．
【详解】解：A、飞机在地面上沿直线滑行，属于平移变换，符合题意；
B、在游乐场里荡秋千，属于旋转变换，不符合题意；
C、推开教室的门，属于旋转变换，不符合题意；
D、风筝在空中随风飘动，不属于平移，不符合题意；
故选：A．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）下列运动属于平移的是（ ）
A．抽屉的拉开 B．荡秋千的人的运动
C．篮球被运动员投出并进入篮筐的运动 D．乒乓球被运动员高抛发出后球的运动
【答案】A
【知识点】生活中的平移现象
【分析】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的大小，根据平移的定义，
逐一判断，排除错误答案
【详解】解：A、抽屉的拉开，是平移，故选项A符合题意；
B、荡秋千的人的运动路线是曲线，不是平移；
C和D中篮球和乒乓球运动路线是曲线，不是平移，
故选：A．
2．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）下列运动属于平移的是（ ）
A．空中放飞的风筝
B．乒乓球比赛中的高抛发球后，乒乓球的运动方式
C．篮球被运动员投出并进入篮筐的过程
D．茅台机场的飞机降落时在笔直的跑道上滑行
【答案】D
【知识点】生活中的平移现象
【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、空中放飞的风筝不是平移，不符合题意；
B、乒乓球比赛中的高抛发球后，乒乓球的运动方式不是平移，不符合题意；
C、篮球被运动员投出并进入篮筐的过程不是平移，不符合题意；
D、茅台机场的飞机降落时在笔直的跑道上滑行属于平移，符合题意；
故选D．
题型02 图形的平移
例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）2025年第九届亚洲冬季运动会会徽“超越”，巧妙融合
短道速滑运动员、哈尔滨市花丁香花、舞动的飘带造型进行同构设计，将中国文化与奥林匹克元素结合，
传递新时代中国加快体育强国建设，不懈努力向更高、更快、更强的目标发起挑战，为亚洲冰雪运动作出新贡献的美好追求，下列选项中能通过下图平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】图形的平移
【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质判断即可，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：由平移性质可知， 选项符合题意， 选项不符合题意，
故选：C．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东滨州·期中）2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，此次奥运会的会标如图所示，
平移会标可以得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】图形的平移
【分析】本题考查的是生活中的平移现象，熟知在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形
的平行移动，叫做平移变换是解题的关键．根据图形平移的性质解答即可．
【详解】解：由图形可知，选项C与原图形完全相同．
故选：C．
2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我校近几年在体育项目上不断取得佳绩，足球队标志如左图所
示，以下选项中能通过左图平移得到的标志是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】图形的平移
【分析】此题考查了平移，关键是熟练掌握平移的性质；根据平移只是改变图形的位置，大小和形状不会
发生变化，利用平移的性质对图形进行分析判断，从而可得结论．
【详解】解：A，B，C都不能由“基本图案”经过平移得到，D能由“基本图案”经过平移得到；
故选：D．
题型03 利用平移的性质求解
例题：（2024七年级上·上海·专题练习）如图， 是由 平移得到的，则点 、 、 的对应点
分别是 ，如果 ， ， ，那么 ，
， ．
【答案】 、 、
【知识点】利用平移的性质求解
【分析】本题考查平移，根据平移的性质“平移前后对应边相等、对应角相等”解答．
【详解】解： 是由 平移得到的，
点 、 、 的对应点分别是 、 、 ，
， ， ，，
， ，
故答案为： 、 、 ， ， ， ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，将直角三角形 沿 方向平移得到直角三角形 ，已
知 ， ， ，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】22
【知识点】利用平移的性质求解
【分析】本题主要考查平移的性质，根据平移的性质可得 ， ， ，推
出阴影部分的面积 ，即可求解．
【详解】解：由平移的性质得， ， ， ，
为 和 的公共部分，
阴影部分的面积 ，
， ，
，
，
阴影部分的面积为22．
故答案为：22．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在直角三角形 中， ，将 沿直线 向
右平移 得到 ，连接 ，给出以下结论：① ；② ；③ ；④
；⑤ ．其中正确的结论有 （填序号）．
【答案】①③⑤
【知识点】利用平移的性质求解、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题考查了平行线性质，以及平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新
的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得
到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．根据图形平移的性质以及平行
线的性质对各小题进行解答即可．
【详解】解：由平移的性质可知， ， ， ，
故①、⑤正确；
根据题意得不到 ，
故②错误；
，∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
故③正确；
∵ 不一定等于 ，
故证明不出 ，
则 不一定等于 ，
故④错误；
综上所述，正确的有①③⑤；
故答案为：①③⑤．
题型04 利用平移解决实际问题
例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，有一块长为a米宽为3米的长方形地，中间阴影
部分是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草场的面积为
m2，则 ．
【答案】
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、利用平移解决实际问题
【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据小路的左边线向右平移
1米能得到它的右边线，可得路的宽度是1米，根据平移，可把路移到左边，再根据长方形的面积公式，
可得答案．
【详解】解：依题意有 ，
解得 ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图是某公园里一处风景欣赏区（长方形 ），
米， 米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的
宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 米．【答案】
【知识点】利用平移解决实际问题
【分析】本题考查生活中的平移现象，掌握平移的性质是正确解答的关键．根据平移的性质得出所走路程
为 即可解题．
【详解】
解：由平移的性质可知，从出口A到出口B所走的路线 图中虚线 长为：
（米），
故答案为： ．
2．（2024七年级上·上海·专题练习） 探究证明 图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均
为 ，竖直方向的边长均为
在图①中，将线段 向右平移1个单位长度到 ，得到封闭图形 （即阴影部分）
在图②中，将折线 向右平移1个单位长度到 ，得到封闭图形 （即阴影部分）．
请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ．
结论应用 在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封
闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ．
联系拓展 如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单
位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的．
【答案】 探究证明 ，
结论应用
联系拓展 ，理由见解析
【知识点】利用平移的性质求解、利用平移解决实际问题
【分析】本题主要考查了平移的性质．
探究证明 阴影部分的平行四边形的底是1，高是 ，即可得阴影面积，进而可答案；
结论应用 可看成两个平行四边形，它们的底都是1，而两个平行四边形高的和为 ，故可得阴影面积，即得答案；
联系拓展 考虑图形的拆分和拼凑，可利用平移把空白部分凑成长为 ，宽是 的长方形，进而得到草
地的面积．
【详解】解： 探究证明 平行四边形的面积 底 高，
， ，
故答案为： ， ；
结论应用 画图如下：
；
故答案为： ；
联系拓展 空白部分表示的草地面积是： ，理由如下：
1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；
2、将左侧的草地向右平移一个单位；
3、得到一个新的长方形．
在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是 ．其水平方向的长变成了 ，所以草地的面积就是：
．
题型05 网格中平移作图
例题：（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在网格上，平移 ，并将 的一个顶点A平移到
点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应．
(1)请你作出平移后的图形 ；
(2)线段 与 的关系是：______
【答案】(1)见解析；
(2)平行且相等
【知识点】平移(作图)、利用平移的性质求解
【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（1）利用点A与点D的位置确定平移的方向与距离，利用此平移规律画出B、C点的对应点E、F即可；（2）根据平移的性质进行判断．
【详解】（1）解：如图，△DEF为所作；
；
（2）解：线段 与 的关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中） 在网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为1
个单位长度，请根据下列提示作图
(1)将 向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到 ， 画出 ．
(2)点A到 的距离为 个单位长度．
【答案】(1)图见详解
(2)2
【知识点】点到直线的距离、平移(作图)
【分析】本题主要考查了平移作图以及点到直线的距离．
（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据平移的性质结合网格即可得出答案．
【详解】（1）解： 即为所求：（2）解：点A到 的距离为2个单位长度，
故答案为：2．
2．（21-22七年级下·安徽六安·期末）如图，在边长为1的小正方形的网格纸中，三角形ABC的三个顶点
如图所示，现将三角形 平移，使点A平移至点 ．
(1)在网格图中画出平移后的三角形 ；（点 分别是 的对应点），
(2)连接 ，则这两条线段的位置关系是 ，数量关系是 ．（保留画图的痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析， ，
【知识点】平移(作图)、利用平移的性质求解
【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质：
（1）根据点A和点 的位置可知平移方式为向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，据此平移方
式确定 的位置，描出 ，再顺次连接 即可；
（2）先根据题意连线，再由平移的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：作图如下所示：
由平移的性质可得 ，
故答案为： ， ．
题型06 求点沿x轴，y轴平移后的坐标
例题：（24-25九年级上·四川眉山·期中）在平面直角坐标系中，将点 先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到点 ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
本题考查了坐标系中点的平移规律．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下
移减．
【详解】解：将点 先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到点 ，
则点 的坐标为 ，即 ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2024·湖南娄底·三模）将点 先向上平移5个单位，再向左平移3个单位，得到点Q，则点Q
的坐标为 ．
【答案】(−2,3)
【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标
【分析】本题考查了平移与坐标与图形的变化．根据向下平移，纵坐标减；向左平移，横坐标减进行求解
即可．
【详解】解：根据题意，点Q的坐标是 ，
即 ．
故答案为： ．
2．（23-24八年级下·山西太原·阶段练习）已知平面直角坐标系内的一点 ，将点A 先向右平移3个
单位长度再向上平移2个单位长度，其对应点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减；依此
即可求解．
【详解】解： 点A 先向右平移3个单位长度，
横坐标变为 ，
点A再向上平移2个单位长度，
纵坐标变为 ，
点 的坐标为 ．
故答案为： ．
3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，将点 向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点 重合，则点 的坐标是 ．
【答案】
【知识点】已知平移后的坐标求原坐标
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化 平移，根据所给平移方式，将点 进行反向平移即可解决问题．
【详解】解：由题知，将点 向上平移3个单位长度后，所得点的坐标为 ，
再将点 向右平移4个单位长度后，所得点的坐标为 ，
即点 的坐标是 ．
故答案为： ．
题型07 已知图形的平移，求点的坐标
例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，y轴右边的小蝌蚪是由左边的小蝌
蚪平移以后得到的，左图案中小蝌蚪左、右眼睛的坐标分别为 ， ，右图案中小蝌蚪左眼睛的
坐标是 ，则右图案中小蝌蚪右眼睛的坐标是 ．
【答案】
【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、已知图形的平移，求点的坐标
【分析】本题主要考查了平移的特点，解题的关键是根据题意得出左图案向右平移9个单位，向上平移3
个单位到右图案．先根据左图案中小蝌蚪左、右眼睛的坐标分别为 ， ，右图案中小蝌蚪左眼
睛的坐标是 ，得出左图案向右平移9个单位，向上平移3个单位到右图案，再求出右图案中小蝌蚪右
眼睛的坐标即可．
【详解】解：因为题图中y轴右边的小蝌蚪是由左边的小蝌蚪平移以后得到的，且左图案中小蝌蚪左、右
眼睛的坐标分别为 ， ，右图案中小蝌蚪左眼睛的坐标是 ，
∴左图案向右平移9个单位，向上平移3个单位到右图案，
∴右图案中小蝌蚪右眼睛的坐标是 ，即 ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，一块 的直角三角板的直角顶点与原点O重合，顶点A的坐标为 ，现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到 ，则点B的对应点 的
坐标为 ．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、已知图形的平移，求点的坐标
【分析】本题考查坐标与平移，勾股定理，含30度角的直角三角形，先根据含30度的直角三角形的性质，
结合勾股定理，求出 点坐标，再根据平移规则，求出 点的坐标即可．
【详解】解：∵顶点A的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵将该三角板向右平移使点A与点O重合，
∴三角板向右平移了 个单位，
∴点B的对应点 的坐标为 ；
故答案为： ．
2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，点 、 的坐标分别为 、 ，将线段 平移至 时
得到 、 两点的坐标分别是 、 ，则 ．【答案】4
【知识点】已知图形的平移，求点的坐标
【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化 平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据横坐标，右
移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得线段 向右平移2个单位，向上平移2个单位，进而可得 、
的值．
【详解】解： 、 两点的坐标分别为 、 ，平移后 ， ，
线段 向右平移2个单位，向上平移2个单位，
， ，
故答案为：4．
3．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图， ， ，将线段 平移得到 ．若 的对应
点 的坐标为 ， 的对应点 的坐标为 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、已知图形的平移，求点的坐标
【分析】本题考查了坐标与图形、图形的平移，根据点平移前后的坐标，判断平移方式，求出 、 的值，
计算 的值即可，熟练掌握坐标与图形、图形的平移是解题的关键．
【详解】解：∵ ， 的对应点 的坐标为 ，
∴ ，
∴向上平移了 个单位，
∵ ， 的对应点 的坐标为 ，
∴ ， ，
∴向右平移了 个单位，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
题型08 已知点平移前后的坐标，判断平移方法
例题：（24-25八年级上·山东东营·期中）把点 平移到点 ，则下列平移路线正确的是
（ ）
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位
【答案】B
【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或
减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵
坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：
横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
根据在平面直角坐标系中坐标与图形变化-平移的规律进行判断．
【详解】解：点 平移到点 ，
表示点A向右平移3个单位，再向下平移2个单位．
故选：B．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，将三角形各点的横坐标都减去3，纵坐标保持
不变，所得图形与原图形相比（ ）
A．向右平移了3个单位 B．向左平移了3个单位
C．向上平移了3个单位 D．向下平移了3个单位
【答案】B
【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【分析】本题考查了坐标与图形的变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上
移加，下移减．根据向左平移，横坐标减，纵坐标不变解答．
【详解】∵将三角形各点的横坐标都减去3，纵坐标保持不变，
∴所得图形与原图形相比向左平移了3个单位．
故选B．
2．（24-25九年级上·河南信阳·开学考试）在平面直角坐标系中，将四边形各点的横坐标都减去2，纵坐标
保持不变，所得图形与原图形相比（ ）
A．向左平移了2个单位 B．向右平移了2个单位
C．向上平移了2个单 D．向下平移了2个单位【答案】A
【知识点】图形的平移、已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相
同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据平移中点的变化规律
即可解题．
【详解】解：在平面直角坐标系中，将四边形格点的横坐标都减去2，纵坐标保持不变，所得图形与原图
形相比向左平移了2个单位．
故选：A．
3．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）将线段 在平面直角坐标系中平移，已知点 ， ，
将线段平移后，其两个端点的对应点分别为 ， ，则它的平移情况是（ ）
A．向左平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度
B．向右平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度
C．向右平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度
D．向左平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度
【答案】C
【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【分析】本题考查图形的平移变换．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，平移中
点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【详解】解：∵ ， ，平移后点的对应点分别为 ，
∴A，B两点横坐标变化情况为： ， ，
A，B两点纵坐标变化情况为： ， ，
∴线段向右平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度．
故选：C．
题型09 平面直角坐标系中平移作图
例题：（24-25七年级下·江苏无锡·开学考试）已知， 在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)写出 、 、 三点的坐标．
(2) 中任意一点 经平移后对应点为 ，先将 作同样的平移得到 ；
(3)求 的面积．
【答案】(1) ； ； ；
(2)图见详解；
(3) ．
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、利用网格求三角形面积
【分析】此题主要考查了平移变换以及三角形面积，根据平移的性质得出对应点位置是解题关键．
（1）利用已知坐标系得出各点的坐标即可；
（2）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用矩形减去周围三角形面积进而求出即可．
【详解】（1）解：由图可得： ； ； ；
（2）解：由 中任意一点 经平移后对应点为 ，可得：先将 向右平移3
个单位再向下平移2个单位即可，如图所示，
即为所求；
（3）解： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·重庆长寿·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别为
， ， ．(1)画出 关于 轴的对称图形 ．
(2)将（1）中的 向下平移6个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到 ，画出 ．
(3)求三角形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【知识点】平移(作图)、画轴对称图形、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查作图 平移变换、轴对称变换，熟练掌握平移、轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）作出A、B、C关于y轴对称的的对应点 、 、 ，顺次连接即可；
（2）将 向下平移6个单位长度，再向右平移1个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）如图所示， 即为所求；
（2）如图所示， 即为所求；（3）由图可得，三角形 的面积
．
2．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中， ．
(1)画出 关于 轴的对称图形 ；
(2)画出 沿 轴向下平移4个单位长度后得到的 ；
(3)求出 的面积；
(4)若线段 上有一点 经过上述两次变换，则对应的点 的坐标是___________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)3.5
(4)【知识点】平移(作图)、求点沿x轴、y轴平移后的坐标、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称
【分析】（1）作点A、B、C关于y轴的对称点 、 、 ，再顺次连接即可；
（2）作点 、 、 向下平移4个单位后有对应点 、 、 ，再顺次连接即可；
（3）用矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积求解即可；
（4）先根据关于y轴对称点的坐标特征“横坐标互为相反数，纵坐标不变”求出点M关于关于y轴对称点
，再根据平移坐标变换规律“上加下减，左减右加”求得点 平移后的对应点 ．
【详解】（1）解：如图所示： 即为所求；
（2）解：如图所示： 即为所求；
（3）解： ．
（4）解：∵ 与 关于 轴的对称，
∴点 经过第一次变换后对应点 ，
∵ 沿 轴向下平移4个单位长度后得到的 ，∴点 经过两次变换后对应点 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查作轴对称图形，平移作图，轴对称的坐标变换，平称的坐标变换，利用网格求三角形的
面积．熟练掌握作轴对称图形和平移作图及其坐标变换规律是解题的关键．
3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
(1)画出 关于x轴对称的图形 ；
(2)将 向左平移5个单位长度得到 ，画出 ；
(3)若P是线段 上一点，经过上述两次变换后，线段 上的对应点 的横坐标为 ，则点P的坐标
为 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【知识点】求一次函数解析式、平移(作图)、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题主要考查了轴对称作图和平移作图，求一次函数解析式，解题的关键是作出对应点，熟练掌
握待定系数法．
（1）分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，然后依次连接即可；
（2）分别将点 、 、 向左平移5个单位长度即可得到 、 、 然后依次连接，并写出坐标即可；
（3）先求出直线 的解析式为： ，得出点 ，根据将 向左平移5个单位长
度得到 ，得出点 在 上的对应点坐标为 ，即 ，根据轴对称得出点P
坐标为： ．【详解】（1）解：如图， 即为所求作的三角形；
（2）解：如图， 即为所求作的三角形；
（3）解：根据图形可知：点 ， ，
设直线 的解析式为： ，把 ， 代入得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
把 代入得： ，
∴点 ，
将 向左平移5个单位长度得到 ，
∴点 在 上的对应点坐标为 ，即 ，
点 关于x轴的对称点坐标为： ，
∴点P坐标为： ．
【点睛】此题主要考查了三角形的翻折变换、平移变换，解题关键是在坐标系中找准关键点的对称点和对
应点的位置．
题型10 平移综合题（几何变化）
例题：（23-24七年级下·湖北宜昌·期中）如图平行四边形 四个顶点的坐标分别是 ，， ， ，将这个平行四边形向左平移 个单位长度，得到平行四边形 ．
(1)直接写出平行四边形 四个顶点的坐标．
(2)求平行四边形 的面积．
【答案】(1) ,
(2)
【知识点】平移综合题(几何变换)、已知图形的平移，求点的坐标
【分析】本题考查了坐标系中点、图形的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平
移相同.平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.
（1）将各点的横坐标减去❑√3，纵坐标不变，即可得出答案；
（2）求出平行四边形 的面积即可；
【详解】（1）∵平行四边形 的四个顶点坐标分别 ,
将这个平行四边形向左平移 个单位长度，得到平行四边形 ，
∴平行四边形 四个顶点的坐标分别为 , ，
（2）∵平行四边形 的面积 ，
∴平行四边形 的面积 平行四边形 的面积 .
【变式训练】
1．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中， ，现同时将点 向上
平移 个单位长度，再向右平移 个单位长度，分别得到点 的对应点 ，连接 ．
(1)写出点 的坐标；
(2)在线段 上是否存在一点 ，使得 ，如果存在，试求出点 的坐标；如果不存在，请说
明理由．
【答案】(1)(2)存在，
【知识点】坐标与图形、平移综合题(几何变换)、由平移方式确定点的坐标
【分析】（1）根据几何图形在平面直角坐标系中各边长，各顶点与轴的关系，平移的性质即可求解；
（2）根据题意，设 ，则 ，根据三角形的面积计算公式，解方程即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得， ，
∴ ，
∵点 向上平移 个单位长度，再向右平移 个单位长度后得对应点 ，
∴ ．
（2）解：如图所示，
，设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，解得， ，
∴点 存在，且坐标为 ．
【点睛】本题主要考查图形与坐标，掌握几何图形的性质，平移的性质，三角形面积的计算方法是解题的
关键．
2．（23-24七年级下·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标 ，点B的坐标是
(0,4)，将线段 向右平移得到线段 ，点D的坐标为 ，过点D作 轴，垂足为E，动点P以
每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒.
(1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______；
(2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标；(3)当点P在线段 上运动时，是否存在点P使得三角形 的面积是四边形 面积的 ，若存在，
求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由.
【答案】(1) ； ；
(2)点 在 上运动时， ，点P在 上运动时，
(3)存在， 或 .
【知识点】列代数式、平移综合题(几何变换)、由平移方式确定点的坐标
【分析】本题是平移综合题，考查了三角形的面积，动点问题，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1）根据题意， ，进而求出点 的坐标；由题意得， ， ，点 在 上，且
，进而表示出点 的坐标；
（2）当点 在 上运动时，当点 在 上运动时，分别表示出点 的坐标即可作答；
（3）先求出四边形 的面积,点 在 上运动时列方程求解即可．
【详解】（1）解： 点 的坐标是 ，点 的坐标为 ，
由平移的性质得 ，
点 的坐标 ，
；
由题意得， ， ，
点 的运动速度为每秒2个单位长度，
出发5秒时，运动的距离为10个单位长度，
此时点 在 上，且 ，
点 的坐标为 ，
故答案为： ， ；
（2）解：当点 在 上运动时，
，
点 的坐标为 ；
当点 在 上运动时，
，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ；
（3）解： 四边形 的面积为 ，
，
当点 在 上运动时， 边上的高为4，即 ，
解得 ，
点 的坐标为 或 ，
3．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）问题呈现：在平面直角坐标系中， ，C(0,6)， ，
点 与原点 重合．连 ， ．点 为线段 上一动点（不与点 ， 重合），点 横坐标为 ．四
边形 沿 方向平移，使点 与点 重合，得对应四边形 ， 交 轴于点 ，如图．
（1）求四边形 的面积；
数学思考：（2）若 ，按要求完成以下问题：
①直接写出点 ， ， 的坐标；
②求阴影部分（六边形 ）的面积．
拓展延伸：四边形 内有任一点M(x,y)，当四边形 沿 方向自 点向 点运动．直接写出
四边形 的面积（用 的式子表示）．
【答案】问题呈现：（1） ；
数学思考：（2）① ， ， ；② ；
拓展延伸：
【知识点】坐标与图形、根据平行线判定与性质证明、等腰三角形的性质和判定、平移综合题(几何变换)
【分析】问题呈现：（1）根据题意确定 ， ， 的值，然后根据梯形面积公式求解即可；
数学思考：（2）①首先根据点 的坐标确定平移方式，然后根据平移的性质确定点 ， ， 的坐标；
②结合点 ， ， 的坐标，易得 ， ， ，进而求得四边形 的面积，然后计算
阴影部分面积即可；
拓展延伸：分别过 作 轴的垂线，垂足为 ，首先证明 ，结合点 横坐标为 及平移的
性质，可得 ， ， ， ，然后根据梯形面积公式求解即
可．
【详解】解：问题呈现：
（1）由题意可得， ，C(0,6)， ，
∴ ， ， ，且 ，∴四边形 的面积 ；
数学思考：
（2）①∵ ， ，
∴根据平移的性质，可得 ， ， ；
②∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
拓展延伸：
如下图，分别过 作 轴的垂线，垂足为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据题意，点 横坐标为 ，
根据平移的性质， ，
则 ， ， ，
．
【点睛】本题主要考查了平移的性质、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、平行的性质等知识，解题
关键是运用数形结合的思想分析问题．一、单选题
1．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）下列物体的运动属于平移的是（ ）
A．汽车方向盘的转动 B．小红荡秋千
C．电梯上顾客的升降运动 D．火车在弯曲的铁轨上行驶
【答案】C
【知识点】生活中的平移现象
【分析】本题考查了生活中的平移现象；根据平移的定义：将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这
样的图形运动方式叫做平移，进行逐一判断即可．
【详解】解：A. 汽车方向盘的转动，不是平移，不符合题意；
B. 小红荡秋千，不是平移，不符合题意；
C. 电梯上顾客的升降运动,是平移，符合题意；
D. 火车在弯曲的铁轨上行驶，不是平移，不符合题意；
故选：C．
2．（23-24七年级下·内蒙古乌海·期末）下列汽车标志中哪一个可以看成是由图案自身一部分经过平移后
得到的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】生活中的平移现象
【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移不改变图形的大小，形状，方向．
根据平移的性质即逐个进行判断即可．
【详解】解：可以看成是由图案自身一部分经平移后得到的是：
．
故选：C．
3．（24-25七年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，将点 先向右平移2个单位长度，再向上
平移3个单位长度，则得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标
【分析】本题考查点平移的特点，将点 横坐标加2，纵坐标加3，即可解题．
【详解】解：由点 向右平移2个单位长度再向上平移3个单位，
所以平移后的坐标是 ，
故选B．
4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ， 是锐角，将 沿着射
线 向右平移得到 （平移后点 ， ， 的对应点分别是 ， ， ），连接 ．在整个平移过
程中， 和 之间存在2倍关系，则 的大小不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用平移的性质求解
【分析】本题主要考查图形变换，掌握平行线的判定和性质，平移的性质，角度的和差计算方法的综合是
解题的关键．
分类讨论，第一种情况：如图，当点 在 上时，过点 作 ，①当 时；②当
时；第二种情况：当点 在 外时，过点 作 ，①当 时；
②当 时；根据平行线的性质，图形结合即可求解．
【详解】解：第一种情况：如图，当点 在 上时，过点 作 ，
由 平移得到，
，
，
，
①当 时，
设 ，则 ，
， ，
，，
解得： ，
；
②当 时，
设 ，则 ，
， ，
，
，
解得： ，
；
第二种情况：当点 在 外时，过点 作 ，
由 平移得到，
，
，
，
①当 时，
设 ，则 ，
， ，
，
，
解得： ，
；
②当 时，由图可知， ，故不存在这种情况；
综上所述， 的大小可能为 或 或 ，
故选：C．
5．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，长方形 中， ，第①次平移长方形 沿 的
方向向右平移5个单位，得到长方形 ，第②次平移将长方形 沿 的方向向右平移5个
单位，得到长方形 ，……第 次平移将长方形 沿 的方向平移5个单位，得
到长方形 ，若 的长度为2027，则 的值为（ ）A．403 B．404 C．405 D．406
【答案】B
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、利用平移的性质求解
【分析】此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出平移间距离的规律是
解题关键．
根据平移的性质得出 ， ， ，进而求出 和 的长，然后根
据所求得出数字变化规律，进而得出 求出n即可．
【详解】解： ，第1次平移将长方形 沿 的方向向右平移5个单位，得到长方形 ，
第2次平移将长方形沿 的方向向右平移5个单位，得到长方形 …
， ， ，
，
的长为： ；
， ，
，
解得： ．
故选：B．
二、填空题
6．（21-22八年级下·广西桂林·期中）平面直角坐标系中一个点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
后坐标是 ，那它原来的位置坐标是 ．
【答案】
【知识点】已知平移后的坐标求原坐标
【分析】本题考查平面直角坐标系内点坐标的平移规律．掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的
横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如
果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个
单位长度（即：横坐标：右移加，左移减；纵坐标：上移加，下移减）是解题关键．根据平移方式和平移
后点的坐标即可直接求解．
【详解】解：设原来的位置坐标是 ，
∵该点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是 ，
∴ ， ，解得： ， ，
∴原来的位置坐标是 ．
故答案为： ．
7．（23-24七年级下·北京·期中）如图，第一象限内有两点 ， ，将线段 平移，
使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 ．
【答案】 或 ．
【知识点】已知图形的平移，求点的坐标
【分析】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规
律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
设平移后点P、Q的对应点分别是 ．分两种情况进行讨论：① 在y轴上， 在x轴上；② 在x
轴上， 在y轴上．
【详解】解：设平移后点P、Q的对应点分别是 ．
分两种情况：
① 在y轴上， 在x轴上，
则 横坐标为0， 纵坐标为0，
∴ ，
∴点P平移后的对应点的坐标是(0,3)；
② 在x轴上， 在y轴上，
则 纵坐标为0， 横坐标为0，
∴ ，
∴点P平移后的对应点的坐标是 ；
综上可知，点P平移后的对应点的坐标是(0,3)或 ．
故答案为：(0,3)或 ．
8．（24-25九年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，将长度为10的线段 先向左平移8个单位，再向下平
移6个单位，得到线段 ，连接 ， ，则 ，四边形 的周长为 ．【答案】 10 40
【知识点】利用平移的性质求解、由平移方式确定点的坐标、已知两点坐标求两点距离
【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
根据平移的性质得出 ， ，即可求解．
【详解】解：根据题意得， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 的周长为：
故答案为：10；40 ．
9．（23-24七年级下·山东滨州·期末）如图，在直角三角形 中， ，将三角形 沿直线
向右平移 得到三角形 ，连接 ，有以下结论：① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ；⑥ ．其中正确的结论有 （只填序号）．
【答案】①③④⑥
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用平移的性质求解
【分析】本题考查了平行线性质，以及平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新
的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得
到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．根据图形平移的性质对各小题
进行解答即可．
【详解】解：由平移的性质可知， ， ， ，
故①正确；
根据题意得不到 ，
故②错误；
，
，
故③正确；，
，
，
，
故④正确；
根据题意得不到 ，
故⑤错误；
由平移的性质可知， ，
故⑥正确；
综上所述，正确的有①③④⑥；
故答案为：①③④⑥．
10．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）如图，直线l上摆放着两个大小相同的 和 ，
， ，将 沿直线l向左平移到 ；使点 落在 上，
与 交于点P．给出下面四个结论：
；
；
①
和 的周长之和等于 的周长；
②
③图中阴影部分的面积之和大于 的面积．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
④
【答案】①②③
【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平移的性质求解
【分析】本题考查平移的性质，三角形面积的计算，掌握平移的性质，掌握三角形、平行四边形、长方形
面积的计算方法是正确解答的关键．
根据平移的性质，三角形面积、平行四边形、长方形面积之间的关系进行判断即可．
【详解】解：∵两个大小相同的 和 ，
， ，
， ， ， ，
由平移的性质可知， ， ， ，
，
，因此①正确；
， ，
，
，
因此②正确；
和 的周长之和为
′ ，
即与 的周长相等，而 与 形状大小完全一样，
和 的周长之和等于 的周长，
因此③正确；
，
，
因此④不正确；
综上所述，正确的结论有①②③，
故答案为：①②③．
三、解答题
11．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示， 平移后得到 ．
(1)若 ， ，求 的度数；
(2)若 ， 与 相交于点O，则 与 相等吗？说明理由．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平移的性质求解、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查平移的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质和
等腰三角形的判定与性质是解答的关键．
（1）根据平移性质得到 ，然后利用三角形的内角和定理求解即可；
（2）根据平移性质得到 ，再根据等腰三角形的性质得到 ，进而根据等角对等
边可得出结论．
【详解】（1）解：∵ 平移后得到 ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ；
（2）解： ，理由为：
∵ 平移后得到 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
12．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）变换 ：在平面直角坐标系中，先将点 向左平移5个单位，再将
所得的点作关于 轴的对称点．若点 经过变换 后得到的点 与点 重合，我们称点 为不动点．
(1)判断点 是否为不动点．
(2)已知点 为不动点，求 的值．
【答案】(1) 不是不动点， 是不动点，理由见解析
(2)
【知识点】由平移方式确定点的坐标、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查的是坐标与图形，新定义的理解；
（1）根据新定义的含义得到 变换后的点的坐标为 ，结合新定义可得答案，同理可判断
是不是不动点；
（2）根据新定义的含义得到 变换后的点的坐标为 ，结合新定义建立方程可得答案；
【详解】（1）解：把 向左平移5个单位，可得对应点坐标为 ，即 ；
∵ 关于 轴的对称点的坐标为： ，
∴ 与 不重合，不是不动点，
把 向左平移5个单位，可得对应点坐标为 ，即 ；
∵ 关于 轴的对称点的坐标为： ，
∴ 与 重合，是不动点，
（2）解：点 向左平移5个单位，可得对应点坐标为 ，
∵ 关于 轴的对称点的坐标为： ，
而点 为不动点，
∴ ，
解得： ．13．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在 的网格纸中，每个小正方形的边长都为1．已知三角
形 的顶点均在方格纸的格点上，D为 边上一点，在方格纸内将三角形 经过一次平移后得到三
角形 ，图中标出了平移后点D的对应点 ．
(1)画出平移后的三角形 ；
(2)连接 ，则 与 的位置关系为________，数量关系为________；
(3)求三角形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2) ，
(3)
【知识点】利用平移的性质求解、平移(作图)、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要
先找到图形的关键点．
（1）利用点D和它的对应点 的位置可确定 先向下平移3个单位，再向左平移6个单位得到
，然后利用此平移规律画出点A，B，C的对应点 ，即可得到 ；
（2）根据平移的性质求解；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求，
（2）解：由平移的性质可知， ， ，故答案为： ， ；
（3）解：三角形 的面积 ．
14．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图1， 与 全等，且 ， ，
．如图2，将 沿射线 方向平移得到 ，连接 ， ．
(1)求证： 且 ；
(2)试说明 沿射线 方向平移的距离等于多少时，点 与点 之间的距离最小．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】全等三角形的性质、利用平移的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，平移的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质，平移的性质证明 ,根据全等的性质即可得到结论；
（2）根据平移的距离即为 的长即可求解．
【详解】（1）证明：由图 可知， ，
，
由平移的性质可知， ， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，， ，
，
且 ；
（2）解：∵
∴当点 与点 重合，点 与点 之间的距离最小，
沿射线 方向平移的距离等于 ．
15．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系 中，三角形 的三个顶点的坐标分
别是A(−4,0)， ， ．
(1)在所给的图中，画出该平面直角坐标系；
(2)将三角形 先向右平移5个单位，再向下平移1个单位得到三角形 ， ， ， 分别是 ，
， 的对应点，画出三角形 ，并写出点 的坐标；
(3)求三角形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，点 的坐标为
(3)8
【知识点】平移(作图)、坐标系中的平移、写出直角坐标系中点的坐标、利用网格求三角形面积
【分析】此题考查了图形的平移、图形和坐标、网格中求面积等知识．
（1）根据已知点的坐标确定坐标原点，建立平面直角坐标系即可；
（2）根据平移方式找到 ， ， 的对应点 ， ， ，顺次连接即可得到三角形 ，并写出点
的坐标即可；
（3）用包含三角形 的长方形面积减去周围小直角三角形的面积即可得到答案．
【详解】（1）．解：如图所示．（2）如图所示，三角形 即为所求，点 的坐标为 ．
（3）三角形 的面积为 ．
16．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5
米）
在图1中，将线段 向上平移1米到 ，得到封闭图形 （阴影部分）；
在图2中，将折线 （其中点 叫做折线 的一个“折点”）向上平移1米到折线 ，得到封闭
图形 （阴影部分）．
(1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为 ，则 平方米；并比较大小：
（填“ ”“ ”或 ”）；
(2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长
为 ，宽为 ，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含 ， 的式子表示）．
(3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂
直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)448
【知识点】利用平移解决实际问题
【分析】本题主要考查了平移变换、矩形面积等知识点，利用平移的性质，把不规则的图形拆分或拼凑为
基本图形计算面积成为解题的关键．
（1）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10米，宽为4米，进而
得出其面积即可；
（2）依据平移变换可知，图3中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为 个单位的长方形，进而得出其面积；
（3）依据平移变换可知，图4中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为28米，宽为16米的长方形，
进而得出其面积．
【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为 ，
则 平方米， 平方米；
∴ ．
故答案为：40，=．
（2）解：如图3，长方形的长为32米，宽为20米，小路的宽度是1米，
∴空白部分表示的草地的面积是 平方单位．
故答案为： ．
（3）解：如图4，长方形的长为 ，宽为 ，道路宽为4米，
∴空白部分表示的草地的面积是 平方米．
故答案为：448．
17．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ，
现同时将点 ， 分别向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点 ， 的对应点 ，
．连接 ， ， ．
(1)直接写出点 ， 的坐标；
(2)若在 轴上存在点 ，连接 ， ，使 ，求点 的坐标；
(3)若点 在直线 上运动，连接 ， ．
①当点 在线段 上时，请写出 ， ， 之间的数量关系，并说明理由；
②当点 不在线段 上时，请直接写出 ， ， 之间的数量关系．
【答案】(1)点 的坐标为 ，点 的坐标为
(2)点 的坐标为 或
(3)① ，理由见解析；② 或 ．理由
见解析
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、坐标与图形综合、由平移方式确定点的坐标
【分析】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．
也考查三角形面积公式和平行线的性质．（1）根据点的平移规律易得点 ， 的坐标；
（2）设点 的坐标为 ，先求出 ， ， ，然后根据 列方程求
解即可；
（3）①过点 作 交 于点 ，由平行线的性质得 ， ，进而可得
出 ；
②分类讨论：当点 在线段 的延长线上时和当点 在线段 的延长线上时，画出图形，根据平行线的
性质求解．
【详解】（1）解：∵点 ， 的坐标分别为 ， ，将点 ， 分别向上平移3个单位长度，再
向右平移2个单位长度，分别得到点 ， 的对应点 ， ，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
（2）解：设点 的坐标为 ，
∵点 ， 的坐标分别为 ， ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴ ， ， ，
， ．
当 时， ，解得 ，
点 的坐标为 或 ．
（3）① ．
理由：过点 作 交 于点 ，如图①．
图①
由平移，得 ，
，
， ．
，
．
② 或 ．
理由：分两种情况：
Ⅰ．当点 在线段 的延长线上时，过点 作 交 轴于点 ，如图②．图②
， ，
， ．
， ；
Ⅱ．当点 在线段 的延长线上时，过点 作 交 轴于点 ，如图③．
图③
，
，
， ．
，
．
综上所述，当点 不在线段 上时，
或 ．
18．（24-25八年级上·吉林·期末）两个三角板 ， ，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，
边 与边 在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中， ，
， ．现固定三角板 ，将三角板 沿射线 方向平移，设三角板
平移的距离为 （ ），两个三角板重叠部分的面积为 ．
(1)当 时， ．
(2)当点E落在边 上时， ， ．
(3)当 时，求y的值．(4)当两个三角板重叠部分为等腰直角三角形时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)2，2；
(3)2.38；
(4) 或 ．
【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平移的性质求解、三角板中角度计算问题、用勾股定理解三角
形
【分析】（1）当 时，重叠部分是一个等腰直角三角形，根据等腰直角三角形面积公式计算即可；
（2）当点E落在边 上时，重叠部分是一个等腰直角三角形，结合图形，根据等腰直角三角形面积公式
计算即可；
（3）当 时，此时重叠部分面积 ，求出所需的边长代入计算即可；
（4）分三种情况：①当三角板 刚开始平移时，②当三角板 继续平移，直到点B与点F重合时，
③ 时，分别得出重叠部分的图形求出对应的取值范围即可．
【详解】（1）解：当 时，三角板 平移的距离为 ，此时重叠部分是一个等腰直角三角形，
根据等腰直角三角形面积公式 ，
故答案为： ；
（2）解：当点E落在边 上时，如图所示：
， ，
， ，，
，
∴ ， ，
故答案为：2，2；
（3）解：当 时，如图所示：， ， ，
，
，
，
，
设 与 交于点G，
此时重叠部分面积
；
当 时，y的值是2.38；
（4）解：当两个三角板重叠部分为等腰直角三角形时，
①当三角板 刚开始平移时，即 时，重叠部分始终是等腰直角三角形．
②当三角板 继续平移，直到点B与点F重合时，
此时 ，在 这个范围内，重叠部分是四边形，
③继续平移，因为 ，所以 时，点A在F的左边，重叠部分也是等腰直角三角形．
如图所示：
所以x的取值范围是 或 ．
【点睛】本题考查三角形的平移及面积计算，等腰直角三角形的性质等知识，通过分析三角板平移过程中
不同位置重叠部分的形状，利用三角形面积公式来求解，对于每个小问根据给定的条件确定重叠部分三角
形的底和高，进而计算面积或者确定平移距离．
