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第三章 概率的进一步认识
单元测试
参考答案与试题解析
一、单选题
1．（2022·全国·九年级课时练习）甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，描述错误的
是（ ）
A．甲，乙获胜的概率均低于0.5 B．甲，乙获胜的概率相同
C．甲，乙获胜的概率均高于0.5 D．游戏公平
【答案】C
【分析】根据游戏结局共有三种情形，其中甲、乙获胜的概率都为 ，即可求解．
【详解】解：甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，结局有甲获胜（乙输）、平局、
乙获胜（甲输），三种结局，其中，甲、乙获胜的概率都为 ，则A，B，D，选项正确，C选项错误．
故选C
【点睛】本题考查了概率公式求概率，游戏的公平性，求得概率是解题的关键．
2．（2022·全国·九年级课时练习）某人在做抛掷硬币试验中，抛掷n次，正面朝上有m次，若正面朝上的
频率是P ，则下列说法正确的是( )
A．P一定等于0.5 B．多投一次，P更接近0.5
C．P一定不等于0.5 D．投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近
【答案】D
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做此事件概率的估
计值，从而可得答案．
【详解】解：根据频率和概率的关系可知，投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近，
故选：D．
【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件可能发生，也可能不
发生．
3．（2022·全国·九年级课时练习）从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙
恰好被选中的概率是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意用列举法求概率即可．
【详解】解：随机抽取两名同学所能产生的所有结果，
它们是：甲与乙，甲与丙，乙与丙，
所有可能的结果共3种，
并且出现的可能性相等，
甲与乙恰好被选中的概率： ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用列举法求概率，能正确列举出所有等可能结果是做出本题的关键．
4．（2022·全国·九年级课时练习）某人在做掷硬币试验时，抛掷m次，正面朝上有n次，则即正面朝上的
频率是P＝ ，下列说法中正确的是（ ）
A．P一定等于
B．抛掷次数逐渐增加，P稳定在 附近
C．多抛掷一次，P更接近
D．硬币正面朝上的概率是
【答案】B
【分析】根据频率估计概率分别进行判断．
【详解】解：某人在做掷硬币实验时，抛掷m次，正面朝上的有n次（即正面朝上的频率P＝ ，），则
抛掷次数逐渐增加时，p稳定在 左右．
故选B．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定
位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，
这个固定的近似值就是这个事件的概率．5．（2022·全国·九年级课时练习）分别向如图所示的四个区域投掷一个小球，小球落在阴影部分的概率最
小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合图形求出各个阴影部分所占的比例即为小球落在阴影部分的概率，进行比较即可．
【详解】解：A、小球落在阴影部分的概率为 ；
B、小球落在阴影部分的概率为 ；
C、小球落在阴影部分的概率为 ；
D、小球落在阴影部分的概率为 ；
小球落在阴影部分的概率最小的是A，
故选：A．
【点睛】题目主要考查概率的基本计算方法，理解题意，掌握概率的基本计算方法是解题关键．
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图所示，甲乙两个转盘被等分成五个扇形区域，上面分别标有数字，
同时自由转动两个转盘，转盘停止后，两个指针同时落在偶数上的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意列表，然后根据表格即可求得所有等可能的结果数与两个指针同时落在偶数上的情况数，
再根据概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：列表得：∴一共有25种等可能的结果，两个指针同时落在偶数上的有4种情况，
∴两个指针同时落在偶数上的概率是 ．
故选：A．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：
概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（2022·河南郑州·七年级期末）《田忌赛马》原文：忌数与齐诸公子驰逐重射．孙子见其马足不甚相远，
马有上、中、下辈．于是孙子谓田忌曰：“君弟重射，臣能令君胜．”田忌信然之，与王及诸公子逐射千
金．及临质，孙子曰：“今以君之下驷与彼上驷，取君上驷与彼中驷，取君中驷与彼下驷．”既驰三辈毕，
而田忌一不胜而再胜，卒得王千金．
小建同学用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马的战斗力分别用数字标记如下表．每
匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．若齐王的三匹马和田忌的三匹马都随机出场，则田
忌能赢得比赛的概率为（ ）
中等
马匹等级 下等马 上等马
马
齐王
田忌
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过列表法或树状图把所有可能的情况列出来，然后利用概率公式求出事件发生的概率进行判断
即可．
【详解】解：画树状图如图所示，从图中可以看出，齐王与田忌赛马，共有 种等可能的情况，其中田忌能赢有 种情况，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了用列表法与树状图求概率，列表法适应于两步完成的事件概率的求法，树状图法适应
于两步或两步以上完成的事件概率的求法．
8．（2022·全国·九年级课时练习）如图①为三等分的圆形转盘，图②为装有小球（小球除颜色不同外，其
他均相同）的不透明口袋，随机转动转盘一次，然后再从不透明的口袋中随机摸出一个球，则指针指向区
域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】这是一个两步概率问题，根据列表得出全部等可能的结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意，列表如下：
蓝球 蓝球 红球
1 2
红 （红 ，蓝球 ） （红 ，蓝球 ） （红 ，红球）
1 1 1 1 2 1红 （红 ，蓝球 ） （红 ，蓝球 ） （红 ，红球）
2 2 1 2 2 2
蓝 （蓝，蓝球 ） （蓝，蓝球 ） （蓝，红球）
1 2
由表可知，共有9种等可能的结果，其中指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色的结果有2种，
（指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色） ，
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点D在 的边 上，连接 ，点P的位置如图所示，在
图中随机选择一个三角形，则点P在选择的三角形内部的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】先找到图中一共有3个三角形，再找到符合要求的三角形有2个，即可求出概率．
【详解】解：∵图干图形中，三角形有 、 、 ，则点P在 、 内部
∴P（点P在选择的三角形内部的概率）=
故选：C．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10．（2022·全国·九年级课时练习）数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下：
第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；
第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；
第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；
第四步：估算出π的值．
为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小
区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝ ；
②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1．
根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，
则可以估计π的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1的条件，可以判断符合条件的区域
为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m份
数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解出π的
值，得出答案．
【详解】解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1，
可以用图中正方形区域表示，
∴ ，
再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，
则需满足x2＋y2＞1，
可以用图中（3）区域表示，
∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积，
∴ ，
设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A，
∴根据①概率计算方法可以得到：，
又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，
∴ ，
解得 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利用图
中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率．
二、填空题
11．（2022·全国·九年级课时练习）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“ ”、“ ”，除数
字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，
记录其数字，那么两次记录的数字之和为 的概率是______．
【答案】
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的数字之和为 的情况，
再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：列表如下：
由表可知，共有 种等可能结果，其中两次记录的数字之和为 的有 种结果，
所以两次记录的数字之和为 的概率为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出
所有可能的结果，用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
12．（2022·全国·九年级课时练习）有4张除数字外无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4．随机抽取一张记作a，放回并混合在一起，再随机抽一张记作b，组成有序实数对（a，b），则点（a，b）在直线y
＝x+2上的概率为 _________．
【答案】
【分析】根据树状图法（或列表法）先列出所有情况，再求符合题意的情况即可；
【详解】解：列表法如下：
1 2 3 4
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4）
由表可知，一共有14种等可能的结果，其中点（a，b）在直线y＝x+2上的有：（1，3）、（2，4），
∴P（点（a，b）在直线y＝x+2上）= ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查用树状法（或列表法）求概率，掌握概率的求解方法是解题的关键．
13．（2022·山东青岛·七年级期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落
在阴影区域的概率是_________．
【答案】
【分析】根据阴影区域所在扇形圆心角的度数除以360°进行求解．
【详解】根据题意可得：指针落在阴影区域的概率是 ．
故答案为： ．
【点睛】考查了概率的求法，解题关键是利用了“概率=相应的面积与总面积之比”进行求解．
14．（2022·上海·二模）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0，从-1，2，3三个数中任取一个数，作为方程中b的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中c的值，能使该一元二次方程有实数根的概率是
_____．
【答案】
【分析】先利用树状图展示所有6种等可能的结果数，再根据判别式的意义得到当b=2，c=-1；b=3，
c=-1；b=3，c=2时，该一元二次方程有实数根，然后根据概率公式计算．
【详解】解：画树状图为：
，
共有6种等可能的结果数，
因为b2-4c≥0，
所以能使该一元二次方程有实数根占3种，
b=2，c=-1；
b=3，c=-1；
b=3，c=2，
所以能使该一元二次方程有实数根的概率= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出
符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了根的判别式．
15．（2022·全国·九年级课时练习）如图，正方形 中，对角线 和 相交于点O，点E在线段
上， 交 于点F，小明向正方形内投拥一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是_________．
【答案】
【分析】由正方形的性质求得△OCE≌△ODF，从而得出阴影面积= ODC面积= 正方形面积，再由几何
△概率计算求值即可；
【详解】解：ABCD是正方形，则OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，∠COD=90°，
∠EOF=∠COD，则∠EOF-∠FOC=∠COD-∠FOC，
∴∠EOC=∠FOD，
∴△OCE≌△ODF（ASA），
∴△OCE面积等于△ODF面积，
∴阴影面积= ODC面积= 正方形面积，
△
∴飞镖落在阴影部分的概率是 ，
故答案为： ；
【点睛】本题考查了正方形的性质，几何概率：事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和
整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示．
16．（2022·全国·九年级课时练习）为减轻“新冠”带来的影响，西城天街商场决定在国庆期间开展促销
活动，方案如下：在负二楼兑奖区旁放置一个不透明的箱子，箱子里有大小、形状、质地等完全相同的黑、
白、红球各一个，顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中黑、白、红三种颜色的球可分
别返还现金 元、 元、 元．商场分上午、下午和晚上三个时间段统计摸球次数和返现金额，汇总统
计结果如下：下午摸到黑球次数为上午的 倍，摸到白球次数为上午的 倍，摸到红球次数为上午的 倍；
晚上摸到黑球次数与上午相同，摸到白球次数为上午的 倍，摸到红球次数为上午的 倍，三个时间段返
现总金额共为 元，晚上返现金额比上午多 元，则下午返现金额为_______元．
【答案】
【分析】根据题意表示出上午、下午、晚上摸到黑、白、红的次数，列数返现的金额式子，确定出a，b，
c的值代入计算即可；
【详解】设上午黑、白、红摸到的次数分别是a，b，c，
则下午摸到黑、白、红的次数是3a，2b，4c，
晚上摸到黑、白、红的次数是a，4b，2c，
晚上返现金额比上午多840，
∴ ，
∴ ，
总返现为： ，
根据题意：a，b，c是大于零的正整数，当 时满足条件a，b，c为正整数，
∴ ， ， ，
即下午返现的金额为 元；
故答案是2460．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程的应用，理解题意，找准题目间数量关系，准确分析计算是解题的
关键．
三、解答题
17．（2022·全国·九年级课时练习）一个箱子里共3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
(1)从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是______；
(2)从箱子中任意摸出一个球后，放回箱子，搅匀后再摸出一个球，请画树状图或列表求2次摸出的球都是
白球的概率．
(3)小明向箱中放入n个红球后搅匀，然后从箱子中随机摸出一个球是白球的概率为 ，求n的值．
【答案】(1)
(2)
(3)5
【分析】（1）用白球个数除以球的总个数即可；
（2）用列表法列举即可求解；
（3）用白球个数除以摸出白球的概率进而求出总的求个数，再减去原有的球个数3即可求解．
（1）
2÷3= ，
即摸出白球的概率为 ，
故答案为： ；
（2）
列表如下：根据表格可知：总的可能情况有6种，两次都是白球的情况有2种，
即两次都是摸出白球的概率为：2÷6= ；
（3）
加入红球后球的总个数： ，
则加入红球的个数为：n=8-3=5，
即n值为5．
【点睛】本题考查了用概率公式求解概率、采用树状图法或列表法列举求解概率以及根据概率求数量的知
识，掌握用树状图法或列表法列举求解概率是解答本题的关键．
18．（2022·全国·九年级课时练习）学校决定每班选取4名同学参加12.2全国交通安全日“细节关乎生命•
安全文明出行”主题活动启动仪式，班主任决定从名同学（小明、小山、小月、小玉）中通过抽签的方式
确定2名同学去参加该活动．
抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝上，洗匀后放在桌
子上，王老师先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张卡片中随机抽取一张，记下名字．
(1)“小刚被抽中”是_________事件，“小明被抽中”是_________事件（填“不可能”、“必然”、“随
机”），第一次抽取卡片抽中小玉的概率是_________；
(2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小月被抽中的概率．
【答案】(1)不可能；随机；
(2)
【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式解答可得；
（2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．（1）
解：该班同学“小刚被抽中”是不可能事件，“小明被抽中”是随机事件，第一次抽取卡片“小玉被抽
中”的概率为 ，
故答案为：不可能、随机、 ；
（2）
解：根据题意可画树状图如下：
共有12种等可能结果，其中小月被抽中的有6种结果．
所以 .
【点睛】此题主要考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适
用于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放
回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19．（2022·河南郑州·七年级期末）小董利用均匀的骰子和同桌做游戏，规则如下：
两人同时做游戏，各自投掷一枚骰子，也可以连续投掷几次骰子；
当掷出的点数和不超过 ，如果决定停止投掷，那么你的得分就是掷出的点数和；当掷出的点数和超
过 ，必须停止投掷，并且你的得分为 ；
比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜．
在一次游戏中，同桌连续投掷两次，掷出的点数分别是 、 ，同桌决定不再投掷；小董也是连续投掷两
次，但是掷出的点数分别了 、 ，小董决定再投掷一次．请问：
(1)最终小董的得分为 分的概率多大？并说明原因．
(2)小董获胜的概率多大？并说明原因．(3)做这个游戏时应该注意什么才能使游戏公平？
【答案】(1) ，理由见解析
(2) ，理由见解析
(3)在游戏过程中应注意轮流投掷骰子，先小董或同桌投掷第一次，如需投掷第二次，再同桌或小董投掷第
二次，这样即可保证游戏公平．
【分析】 由题意可知，小董投掷骰子的点数为 、 、 时得分为 ，然后根据概率公式计算即可；
分析小董的得分情况，小董再次投掷骰子，点数为 或 时得分为 或 ，小董获胜，然后根据概率公
式计算即可；
游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化
为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可．
（1）
解： 由题意可知：小董投掷骰子的点数为 、 、 时，得分为 ，
小董得零分的概率为： 小董得分为零 ．
（2）
解：根据题意得：小董再次投掷骰子，点数为 或 时得分为 或 ，小董获胜，
小董获胜的概率为： 小董获胜 ．
（3）
根据游戏规则，前一个人投掷的骰子点数总和大小会影响后一个人是否再次投掷第二次骰子，
在游戏过程中应注意轮流投掷骰子，先小董或同桌投掷第一次，如需投掷第二次，再同桌或小董投掷第
二次，这样即可保证游戏公平．
【点睛】本题主要考查游戏的公平性及简单的概率计算，确定所需情况数和掌握概率公式是解答本题的关
键．
20．（2022·全国·九年级课时练习）概率与统计在我们日常生活中应用非常广泛，请同学们直接填出下列
事件中所要求的结果：(1)我们平时娱乐的一副标准扑克去掉大小王后剩下的四种花色（红桃、方块、梅花、黑桃）共有52张，
如果从中任抽一张得到红桃的概率为______；
(2)盒子里有红黑两种颜色的5个相同的球，如果随机抽取1个球记下颜色，然后放回，再重复这个试验，
通过大量重复试验后发现，抽到红球的频率稳定在0.8左右，则盒中红球有______个；
(3)形如 的式子称为完全平方式．若有一多项式为 ，其中 的值可以从4张分别写有
－3，－6，6，9的卡片中随机抽取，那么正好让这个多项式为完全平方式的概率为______；
(4)如图是由全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是
______．
【答案】(1)
(2)4
(3)
(4)
【分析】（1）根据红桃的总张数和扑克牌的总张数，利用概率公式进行计算即可；
（2）根据频率先得出抽到红球的概率，然后用球的总个数乘以抽到红球的概率计算出红球个数即可；
（3）根据 时，多项式为 为完全平方式，然后用概率公式进行计算即可；
（4）用带阴影的小正方形个数除以总的个数求出这个点取在阴影部分的概率即可．
（1）
解：∵一幅扑克牌中有13张红桃，去掉大小王后剩下52张，
∴P（抽中红桃）＝ ．故答案为： ．
（2）
解：∵抽到红球的频率稳定在0.8左右，
∴抽到红球的概率为0.8，
∴红球个数为：5×0.8＝4（个）．
故答案为：4．
（3）
解：∵当k＝±6时， 是完全平方式，
∴P（完全平方式）＝ ＝ ．
故答案为： ．
（4）
解：∵图中有９个小正方形，阴影部分有５个，
∴随意在图中取点，这个点取在阴影部分的概率P（阴影）＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，完全平方公式，概率的计算等知识，熟练掌握等可能条件下
概率的求法，是解题的关键．
21．（2022·全国·九年级课时练习）小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做
了100次试验，结果如下：
朝上的点
1 2 3 4 5 6
数
出现的次 2
16 14 25 12 13
数 0
(1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率；
(2)小亮说：“若投掷1000次，则出现4点朝上的次数正好是200次”．小亮的说法正确吗？为什么？
(3)小明将这枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数大于或等于4的概率．
【答案】(1)“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率分别为(2)小亮的说法不正确，理由见解析
(3)
【分析】（1）由共做了100次试验，“1点朝上”和“6点朝上”的次数分别为16，13，即可求得“1点
朝上”的频率和“6点朝上”的频率．
（2）由一次试验中的频率不能等于概率，可得这位同学的说法不正确；
（3）利用概率公式即可求得答案．
（1）
解：“1点朝上”的频率为：16÷100=0.16；
“6点朝上”的频率为13÷100=0.13；
（2）
小亮的判断依据是： （次），依据是错误的；
因为只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近；
所以小亮的判断是错误的．
（3）
任意投掷一枚骰子，一共有6种等可能结果，其中大于或等于4一共有3种情况，
∴P（朝上的点数大于或等于4）= ．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，概率公式，解题的关键是掌握试验中的概率等于所求情况数与总
情况数之比；实际概率是经过多次试验后得到的一个接近值．
