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专题22.4 二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)图象与性质
（直通中考）
【知识回顾】二次函数y=ax2(a≠0)中，a决定抛物线开口方向，a>0开口向上，a<0开口向
下，当二次函数y=ax2(a≠0)图象向上平移c上单位时，解析式为y=ax2+c(a≠0)，其对称轴为
y轴，顶点坐标为（0，c）.
一、单选题
1．（2023·广东云浮·校考一模）关于x的函数 是二次函数的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·安徽·统考中考真题）下列函数中， 的值随 值的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖北荆门·统考中考真题）抛物线y＝x2+3上有两点A（x，y），B（x，y），若y＜y，
1 1 2 2 1 2
则下列结论正确的是( )
A．0≤x＜x B．x＜x≤0
1 2 2 1
C．x＜x≤0或0≤x＜x D．以上都不对
2 1 1 2
4．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）若二次函数 的图象经过点P（－2，4），则该图象必
经过点（ ）
A．（2，4） B．（－2，－4） C．（－4，2） D．
（4，－2）
5．（2023·广东·统考中考真题）如图，抛物线 经过正方形 的三个顶点A，B，C，点
B在 轴上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．6．（2023·广东佛山·校联考一模）抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
7．（2023·上海虹口·统考一模）已知抛物线 有最低点，那么 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
8．（2023·上海奉贤·统考一模）已知抛物线 ，如果点 与点B关于该抛物线的对称轴
对称，那么点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·辽宁鞍山·统考一模）已知点 ， 是函数 图象上的两点，且当
时，有 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·吉林长春·统考二模）在平面直角坐标系 中，点 的图象如图
所示，则 的值可以为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·山东聊城·统考三模）对于二次函数 ，当x为 和 时，对应的函数值分别为
和 .若 ，则 和 的大小关系是（ ）A． B． C． D．无法比较
12．（2023·湖南株洲·校考三模）如图，A、B、C三点均在二次函数 的图像上，M为线段AC的
中点， 轴，且 ．设A、C两点的横坐标分别为 、 （ ），则 的值为（
）
A．3 B． C． D．
二、填空题
13．（2021·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）二次函数 的最小值为 ．
14．（2021·河南·统考中考真题）请写出一个图象经过原点的函数的解析式 ．
15．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）如果函数 是二次函数，
则m的值为 ．
16．（2020·上海·统考中考真题）如果将抛物线y=x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是
．
17．（2023·四川南充·统考一模）点 在函数 的图象上，则代数式 的值
等于 ．
18．（2023·上海浦东新·统考二模）抛物线 在y轴的左侧部分，y的值随着x的值增大而
．（填“增大”或“减小”）
19．（2023·上海·模拟预测）如果抛物线 的最高点是坐标轴的原点，那么 的取值范围是
．20．（2023·辽宁抚顺·统考一模）已知 ， ， 三点都在二次函数
的图象上，则 ， ， 的大小关系为 .
21．（2021·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上，过
点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛
物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ．
22．（2023·浙江台州·统考一模）如图，分别过点 作x轴的垂线，交 的图象
于点 ，交直线 于点 ．则 的值为 ．
三、解答题
23．（2022·山东青岛·统考二模）（1）化简： ；
（2）已知二次函数 与正比例函数 的图象只有一个交点，求 的值．24．（2012·广西柳州·中考真题）已知：抛物线 ．
（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；
（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；
（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式．
25．（2016·辽宁大连·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+ 与y轴相交于点
A，点B与点O关于点A对称
（1）填空：点B的坐标是 ；
（2）过点B的直线y=kx+b（其中k＜0）与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上
一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的
坐标．26．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图1，在 中， ， ， ．点
D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与 的直角边AC（或BC）相交
于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．
(1) 为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出
以下几组数据：
变量a（cm） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
变量h（cm） 0 0.5 1 1.5 2 1.5 1 0.5 0
在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2-1；以变量h的值
为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2-2．
根据探究的结果，解答下列问题：
①当 时， ________；当 时， ________．
②将图2-1，图2-2中描出的点顺次连接起来．③下列说法正确的是________．（填“A”或“B”）
A．变量h是以a为自变量的函数 B．变量a是以h为自变量的函数
(2)如图3，记线段DE与 的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积 为s．
①分别求出当 和 时，s关于a的函数表达式；
②当 时，求a的值．
参考答案
1．A
【分析】根据二次函数的定义，直接求解即可得到答案；
解：∵ 是二次函数，
∴ ，
解得： ，
故选A．
【点拨】本题考查二次函数的条件，二次函数二次项系数不为0．
2．D
【分析】根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解．
解：A. ， ，对称轴为直线 ，
当 时， 的值随 值的增大而减小，当 时， 的值随 值的增大而增大，故该选项不正确，
不符合题意；B. ， ，对称轴为直线 ，
当 时， 的值随 值的增大而增大，当 时， 的值随 值的增大而减小，故该选项不正确，
不符合题意；
C. ， ， 的值随 值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；
D. ， ， 的值随 值的增大而减小，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
3．D
【分析】根据二次函数图象及性质，即可判定．
解：∵抛物线y＝x2+3开口向上，在其图象上有两点A（x，y），B（x，y），且y＜y，
1 1 2 2 1 2
∴|x|＜|x|，
1 2
∴0≤x＜x，或x＜x≤0，或x2<x1≤0或0< -x<x 或0<x< -x,
1 2 2 1 1 2 1 2
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握和运用二次函数的图象及性质是解决本题的关
键．
4．A
解：根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P（－2，4）代入 ，得 ，
∴二次函数解析式为 ．
∴所给四点中，只有（2，4）满足 ．故选A．
5．B
【分析】连接 ，交y轴于点D，根据正方形的性质可知 ，然后可得点
，进而代入求解即可．
解：连接 ，交y轴于点D，如图所示：当 时，则 ，即 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴点 ，
∴ ，
解得： ，
故选B．
【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正
方形的性质是解题的关键．
6．B
【分析】用对称轴公式，直接求出对称轴．
解：∵ ，
∴对称轴是直线 ．
故选：B．
【点拨】本题主要考查二次函数对称轴的求法，掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．D
【分析】根据已知条件中二次函数的图象有最低点，可知抛物线的开口方向向上；利用抛物线的开口
方向和二次项系数有关，再结合抛物线开口向上，得到 ，由此即可得到 的取值范围．
解：∵二次函数 的图像有最低点，
函数图象开口向上，则 ，
解得 ．
故选D．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题关键．
8．D
【分析】先根据抛物线解析式求得对称轴为 轴，然后根据关于 轴对称的点的纵坐标不变，横坐标
互为相反数即可求解．
解：∵抛物线 ，对称轴为直线 ，即 轴，
∴点 与点B关于该抛物线的对称轴对称，则点B的坐标是
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，关于坐标轴对称的点的坐标特征，得出抛物线的对称轴是解题
的关键．
9．A
【分析】由当 时，有 ，可得出 ，解之即可得出m的取值范围．
解：解∶ 当 时，有 ，
故选∶A．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，根据当 时 结合二次函数的性质，找出关于m
的一元一次不等式是解题的关键．
10．B
【分析】分别将 ， 两点的横坐标代入 ，由图像知， 时 的函数值 ，当
时， 的函数值 ，列出不等式组，即可求解．
解：将 代入 中时，得： ，将 代入 中时，得： ，根据图像可知， 时 的函数值 ，当 时， 的函数值 ，
则有： ，解得： ，
故选B．
【点拨】本题考查二次函数，难度一般，熟练掌握二次函数的图像性质即可顺利解题．
11．B
【分析】根据 中， 且对称轴为直线x=0知，x＞0时，y随x的增大而减小，据
此解答可得．
解：∵ 中， 且对称轴为直线x=0，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵x ＞x ＞0，
1 2
∴y ＜y ，
1 2
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
12．D
【分析】设 点坐标为 ，则 ，由 为线段 的中点，得到 ，
，从而求出 ．
解：设 点坐标为 ，
轴， ，
，
、 、 三点均在二次函数 的图象上，
，
为线段 的中点，， ，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图像的性质，完全平方公式的应用，解题的关键是结合图像理清点坐标
之间的关系．
13．-2
【分析】由二次函数 可直接求解．
解：由二次函数 可得：开口向上，有最小值，
∴二次函数 的最小值为-2；
故答案为-2．
【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
14．y=x（答案不唯一）
【分析】直接写出一个已经学过的经过原点的函数解析式即可．
解：因为直线y=x经过原点（0,0），
故答案为：y=x（本题答案不唯一，只要函数图象经过原点即可）．
【点拨】本题考查了学生对函数解析式的理解，解决本题的关键是理解并掌握函数解析式与函数图象
的关系等．
15．2
【分析】由二次函数的定义进行计算，即可得到答案．解：∵ 是二次函数，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
故答案为：2．
【点拨】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟记二次函数的定义进行解题．
16．y=x2+3．
【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解．
解：抛物线y=x2向上平移3个单位得到y=x2+3．
故答案为：y=x2+3．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平
移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法
求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
17．3
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出 ，将其代入 中即可
求出结论．
解： 点 在函数 的图象上，
，
，
则代数式 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是
解题的关键．
18．减小
【分析】先求出该抛物线的对称轴，再根据其开口方向和增减性，即可进行解答．解：该抛物线的对称轴为直线 ，
即该抛物线的对称轴为y轴，
∵ ，抛物线开口向上，
∴在y轴的左侧部分，y的值随着x的值增大而减小．
故答案为：减小．
【点拨】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是掌握 时，函数开口向上，在对称轴左
边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大， 时，函数开口向下，在对称轴左边，y
随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
19．
【分析】根据函数图像有最高点可得出开口向下，即可得出答案；
解：∵抛物线 的最高点是坐标轴的原点，
∴抛物线开口向下，
∴m+1＜0，
∴ ．
故答案是 ．
【点拨】本题主要考查了根据二次函数的开口方向求参数，准确分析判断是解题的关键．
20．
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=2，然后比较三个点离直线x=2的远近
得到y ，y ，y 的大小关系．
1 2 3
解：∴抛物线的对称轴为直线x=-2，
∵A（-4，y ），B（-3，y ），C（3，y ），
1 2 3
∴点A到对称轴的距离是2个单位，
点B到对称轴的距离是1个单位，
点C到对称轴的距离是5个单位，
∴点C离直线x=-2最远，点B离直线x=-2最近，
∵a＜0,
∴抛物线开口向下，有最大值，
∴ ，故答案为 ．
【点拨】本题考查了二次函数图象的性质，对于二次函数y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），当
a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此
时函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随
x的增大而减小，此时函数有最大值.其顶点坐标是(h，k)，对称轴为x=h.
21．
【分析】点 代入抛物线中求出解析式为 ，再设CD=2x，进而求得E点坐标为(x,4-2x)，代
入 中即可求解．
解：将点 代入抛物线 中，解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
设CD、EF分别与 轴交于点M和点N，
当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x，
此时E点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线 中，
得到： ，
解得 ， (负值舍去)，
∴ ，故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次
函数的图像及性质是解决本题的关键．
22．
【分析】根据题意分别将 ， … 代入解析式，求得 与 的坐标， 的长，分别表示
出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果．
解：根据题意得：把 代入 ； 中，
得到 ， ，
∴ ，
∴ ，
同理，把 代入 ， 中，
得到 ， ，
∴ ，
∴ ，
…
代入 ； 中
得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故答案为： ．
【点拨】此题考查了二次函数和一次函数的点的坐标求法及数字型的规律探索，属于规律型试题，找
出题中的规律是解本题的关键．
23．（1） ；（2） ．
【分析】（1）原式先通分，再根据同分母分式加法法则进行计算即可得到答案；
（2）联立方程组 得 ，由 可得a的值．
解：（1）
=
=
= ；
（2）联立方程组 ，得
∵二次函数 与正比例函数 的图象只有一个交点，
∴方程 即 有唯一的解，
∴ ，
解得， ．
【点拨】本题主要考查了异分母分式的加法，二次函数的图象与性质，根的判别式等知识，解题的关
键是学会转化的思想思考问题．24．（1）抛物线的开口向上，对称轴为x=1；（2）函数y有最小值，最小值为－3；（3）
或 ．
【分析】（1）根据二次函数的性质，写出开口方向与对称轴即可；
（2）根据a是正数确定有最小值，再根据函数解析式写出最小值；
（3）分别求出点P、Q的坐标，再根据待定系数法求函数解析式解答．
解：（1）抛物线 ，
∵a ＞0，
∴抛物线的开口向上，
对称轴为x=1；
（2）∵a ＞0，
∴函数y有最小值，最小值为－3；
（3）令x=0，则 ，
所以，点P的坐标为（0， ），
令y=0，则 ，
解得x =-1，x =3，
1 2
所以，点Q的坐标为（-1，0）或（3，0），
当点P（0， ），Q（-1，0）时，设直线PQ的解析式为y=kx+b，
则 ，解得 ，
所以直线PQ的解析式为 ，
当P（0， ），Q（3，0）时，设直线PQ的解析式为y=mx+n，则 ，解得 ，
所以，直线PQ的解析式为 ，
综上所述，直线PQ的解析式为 或 ．
25．（1）（0， ）；（2）点P在抛物线上,理由详见分析；（3）P点坐标为（ ，1）．
试题分析：（1）由抛物线解析式可求得点A的坐标，再利用对称可求得B点坐标；（2）可先用k表
示出C点坐标，过B作BD⊥l于点D，条件可知P点在x轴上方，设P点纵坐标为y，可表示出PD、PB的长，
在Rt△PBD中，利用勾股定理可求得y，则可求出PB的长，此时可得出P点坐标，代入抛物线解析式可判
断P点在抛物线上；（3）利用平行线和轴对称的性质可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，则可求得OC的长，
代入抛物线解析式可求得P点坐标．
解：（1）∵抛物线y=x2+ 与y轴相交于点A，
∴A（0， ），
∵点B与点O关于点A对称，
∴BA=OA= ，
∴OB= ，即B点坐标为（0， ），
故答案为（0， ）；
（2）∵B点坐标为（0， ），∴直线解析式为y=kx+ ，令y=0可得kx+ =0，解得x=﹣ ，
∴OC=﹣ ，
∵PB=PC，
∴点P只能在x轴上方，
如图1，过B作BD⊥l于点D，设PB=PC=m，
则BD=OC=﹣ ，CD=OB= ，
∴PD=PC﹣CD=m﹣ ，
在Rt△PBD中，由勾股定理可得PB2=PD2+BD2，
即m2=（m﹣ ）2+（﹣ ）2，解得m= + ，
∴PB= + ，
∴P点坐标为（﹣ ， + ），
当x=﹣ 时，代入抛物线解析式可得y= + ，
∴点P在抛物线上；
（3）如图2，连接CC′，∵l∥y轴，
∴∠OBC=∠PCB，
又PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC，
∴∠PBC=∠OBC，
又C、C′关于BP对称，且C′在抛物线的对称轴上，即在y轴上，
∴∠PBC=∠PBC′，
∴∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，
在Rt△OBC中，OB= ，则BC=1
∴OC= ，即P点的横坐标为 ，代入抛物线解析式可得y=（ ）2+ =1，
∴P点坐标为（ ，1）．
考点：二次函数综合题.
26．(1)①1.5；1或3；②见分析；③A；(2)①当 时， ；当 时， ；
② 或
【分析】（1）①根据题意，对照变量h和变量a对应的数值即可填写，②图2-1，图2-2中描出的点
顺次连接起来即可；③根据函数的定义即可判断；
（2） ①如图，当 时， ，得到阴影部分是三角形ADE的面积: ；当
时， ，得到阴影部分的面积是三角形BDE的面积： ．②当 时，令，解得a；当 时，令 ，解得a即可求解；
（1）解：①根据题意，对照变量h和变量a对应的数值，当 时， 1.5；当 时， 1或
3．
故答案为：1.5；1或3；
②连线如图2-1、图2-2所示：
③根据函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，
y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量，所以变是h是以a为自变量的函数，
故A选项符合，
故选：A.
（2）①如图3，当 时， ，
∴阴影部分的面积： ；
当 时， ，
∴阴影部分的面积： ．
∴当 时， ；当 时， ．②当 时，令 ，解得 或 （不符合题意，舍去）．
当 时，令 ，解得 或 （不符合题意，含去）．
∴当 时， 或 ．
【点拨】本题考查了函数图像，写函数关系式，理解函数的定义以及表示方法，会根据三角形的面积
公式得出函数关系式是解题的关键．
