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专题 02 二次函数（14 个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其
中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c
是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后
再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变
量的取值范围还需使实际问题有意义．
二．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取
三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛
物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画
另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移| |个单位，再向上或向下平移| |个单位得到的．
三．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x＝﹣ ，二次函数y＝
ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；x＞﹣ 时，
y随x的增大而增大；x＝﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；x＞﹣ 时，
y随x的增大而减小；x＝﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣ |个单位，再向上或
向下平移| |个单位得到的．
四．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．
（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣
4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
五．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣ ， ）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣ 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系
式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x ，0），（x ，0），则其对称轴为x＝
1 2
．
六．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出
原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求
出解析式．
七．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝ 时，y＝ ．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为
图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝ 时，y＝ ．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶
点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从
而获得最值．
八．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，
a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0）；
1 2
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入
数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当
已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x轴有两个交点时，可选
择设其解析式为交点式来求解．
九．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与 y轴
的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直
接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛
1 2物线与x轴的两个交点坐标（x ，0），（x ，0）．
1 2
十．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x
的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的
1 2
交点坐标（x ，0），（x ，0）．
1 2
十一．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
十二．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是
实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，
再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；
有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．十三．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次
函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量 x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数
的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的
讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到
平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
十四．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符
号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数
问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些
隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下
的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意
义．
【专题过关】一．二次函数的定义（共1小题）
1．（2021秋•密山市校级期末）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣2x+3 B．y＝5x2+1
C．y＝（x﹣1）2﹣x2 D．y＝x3+2x2﹣1
【分析】根据二次函数的定义，形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）判断即可．
【解答】解：A、y＝﹣2x+3，是一次函数，故A不符合题意；
B、y＝5x2+1，是二次函数，故B符合题意；
C、y＝（x﹣1）2﹣x2，是一次函数，故C不符合题意；
D、y＝x3+2x2﹣1，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
二．二次函数的图象（共1小题）
2．（2022•青县一模）如图，二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象所在坐标系的原点是（ ）
A．点O B．点O C．点O D．点O
1 2 3 4
【分析】由函数解析式可知函数的对称轴，即可求解．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0），
∴对称轴为直线x＝﹣ ＝1，所以点O 是原点；
2
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键．
三．二次函数的性质（共5小题）
3．（2022秋•安图县校级月考）二次函数y＝2（x+1）2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，0） D．（﹣1，0）
【分析】由抛物线的顶点坐标式可求得答案．
【解答】解：∵二次函数y＝2（x+1）2，
∴顶点坐标为（﹣1，0），
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 y＝a（x﹣h）2+k
中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
4．（2022•南岗区校级二模）抛物线y＝（x+3）2+4的对称轴是直线 x ＝﹣ 3 ．
【分析】根据抛物线顶点式求解．
【解答】解：∵y＝（x+3）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣3，
故答案为：x＝﹣3．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
5．（2022•淮北一模）设二次函数y 、y 的图象的顶点坐标分别为（a，b）、（c、d），若a＝2c、b＝
1 2
2d，且两图象开口方向相同，则称y 是y 的“同倍项二次函数”．
1 2
（1）写出二次函数y＝x2+x+1的一个“同倍项二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y ＝x2+nx和二次函数y ＝x2+3nx+1，若y +y 是y 的“同倍项二次函数”，
1 2 1 2 1求n的值．
【分析】（1）先求出y＝x2+x+1的顶点坐标，然后根据同倍项二次函数的定义求出答案；
（2）先求出y 和y +y 的解析式并求出顶点坐标，然后根据条件a＝2c，b＝2d，且开口方向相同求出n
1 1 2
的值．
【解答】解：（1）∵y＝x2+x+1，
∴y＝（x+ ）2+ ，
∴二次函数y＝x2+x+1的顶点坐标为（﹣ ， ），
∴二次函数y＝x2+x+1的一个“同倍项二次函数”的顶点坐标为（﹣1， ），
∴同倍项二次函数的解析式为y＝（x+1）2+ ；
（2）y ＝x2+nx＝（x+ ）2﹣ ，
1
顶点坐标为（﹣ ，﹣ ），
y +y ＝x2+nx+x2+3nx+1＝2x2+4nx+1＝2（x+n）2+1﹣2n2，
1 2
顶点坐标为（﹣n，1﹣2n2），
∵y +y 是y 的“同倍项二次函数”，
1 2 1
∴1﹣2n2＝2×（﹣ ），解得：n＝± ．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握“同倍项二次函数”的定义，理解题
意，按条件的要求求得答案即可．
6．（2022•鄞州区校级模拟）已知二次函数 y＝（x+1）（x+a）（其中a是常数）的图象经过点A（4，
5），B（m，n），
（1）求a的值；
（2）求该抛物线的对称轴；
（3）当n＜5时，求m的取值范围．
【分析】（1）把A（4，5）代入解析式即可求出a的值；
（2）根据解析式即可求出该抛物线的对称轴；
（3）由（2）知A（4，5）关于对称轴的对称点为（﹣2，5），所以当n＜5时，m的取值范围为﹣2＜
m＜4．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝（x+1）（x+a）的图象经过点A（4，5），
∴5（4+a）＝5，
∴a＝﹣3；
（2）∵a＝﹣3，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
∴该抛物线的对称轴为x＝﹣ ＝1；
（3）由（2）知A（4，5）关于对称轴的对称点为（﹣2，5），
∴当n＜5时，m的取值范围为﹣2＜m＜4．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．（2022•宁海县模拟）如图，抛物线 与抛物线 相交于点T，点T的
横坐标为1．过点T作x轴的平行线交抛物线C 于点A，交抛物线C 于点B．抛物线C 与C 分别与y
1 2 1 2
轴交于点C，D．
（1）求抛物线C 的对称轴和点A的横坐标；
1
（2）求线段AB和CD的长；
（3）点P（﹣2，p）在抛物线C 上，点Q（5，q）在抛物线C 上，请比较p与q的大小关系并说明理
1 2
由．
【分析】（1）根据对称轴公式直接求抛物线C 的对称轴，以及A，B关于对称轴x＝﹣1对称和点T的
1
横坐标直接求出点A的横坐标；
（2）求出A，B和C，D的坐标即可求出AB和CD的长；
（3）根据图象和点P和Q的坐标直接可以判断．
【解答】解：（1）抛物线C 的对称轴为x＝﹣ ＝﹣1，
1
∵AB∥x轴，
∵点A与点T关于对称轴x＝﹣1对称，
∴点A的横坐标为﹣3；
（2）∵抛物线C 的对称轴为x＝﹣ ＝2，
2∵AB∥x轴，
∴点B与点T关于对称轴x＝2对称，
∴点B的横坐标为3，
∴AB＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6；
∵点T是抛物线C 与抛物线C 的交点，
1 2
∴1+2+c＝1﹣4+d，
∴c＝d﹣6，
令x＝0，则C（0，c），D（0，d），
∴CD＝d﹣c＝d﹣（d﹣6）＝d﹣d+6＝6；
（3）根据A，T，B的横坐标以及函数图象可知，点P在AB下方，点Q在AB上方，
∴p＜q．
【点评】本题考查二次函数的性质，关键是判断点A与点T关于对称轴x＝﹣1对称，点B与点T关于
对称轴x＝2对称．
四．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
8．（2022•铜仁市三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，有下
列4个结论：①abc＞0；②a+c＞b；③4a+2b+c＞0；④a+b≥am2+bm（m是任意实数）．其中正确
结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由抛物线开口向下得到a＜0；由抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝1得到b＞0；由抛物线与y
轴的交点在x轴的上方得到c＞0，则abc＜0；观察图象得到当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0；当x＝
2时，y＞0，即4a+2b+c＞0；根据二次函数的最值问题得到x＝1时，y有最大值a+b+c，则a+b+c＞
am2+bm+c（m≠1），变形得到a+b＞m（am+b）
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∴b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，所以②不正确；
当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，y有最大值a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥＞am2+bm，所以④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为一条抛物线，
当a＜0，抛物线的开口向下，当x＝﹣ 时，函数值最大；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．五．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题）
9．（2022•淄博）若二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2﹣4m2﹣
4n+9的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用非负数的性质，利用配方法解决问题即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），
∴3＝a+2，
∴a＝1，
∴y＝x2+2，
∵Q（m，n）在y＝x2+2上，
∴n＝m2+2，
∴n2﹣4m2﹣4n+9＝（m2+2）2﹣4m2﹣4（m2+2）+9＝m4﹣4m2+5＝（m2﹣2）2+1，
∵（m2﹣2）≥0，
∴n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为1．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图像上的点的坐标特征，非负数的性质等知识，解题的关键是学会利用配方
法解决问题．
10．（2022•鼓楼区校级模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c（c为常数）经过点（p，m），（q，m），（4，
c），当1≤q﹣p＜6时，则m的取值范围为
（ ）
A．c﹣4≤m＜c+5 B．
C．c＜m≤c+5 D．c﹣3≤m＜c+24【分析】根据题意求得抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝ ＝2，进而得到抛物线为y＝x2﹣4x+c，根
据抛物线的对称性得出p+q＝4，即可得到p＝4﹣q，代入1≤q﹣p＜6得到2.5≤q＜5，根据图象上点的
坐标特征即可求得﹣ +c≤m＜5+c．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c（c为常数）经过点（0，c），（4，c），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝ ＝2，
∴b＝﹣4，
∴抛物线为y＝x2﹣4x+c，
∵抛物线y＝x2+bx+c（c为常数）经过点（p，m），（q，m），
∴ ＝2，
∴p+q＝4，
∴p＝4﹣q，
∵1≤q﹣4+q＜6，
∴2.5≤q＜5，
∵m＝q2﹣4q+c，
∴﹣ +c≤m＜5+c，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的对称性是
解题的关键．
六．二次函数图象与几何变换（共3小题）
11．（2022•南岗区校级二模）通过平移y＝﹣（x﹣1）2+3的图象，可得到y＝﹣x2的图象，下列平移方法正确的是（ ）
A．向左移动1个单位，向上移动3个单位
B．向右移动1个单位，向上移动3个单位
C．向左移动1个单位，向下移动3个单位
D．向右移动1个单位，向下移动3个单位
【分析】根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法．
【解答】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标是（0，0）．
抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3）．
则由二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位，可得到y＝﹣x2的图象．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是根据顶点式得到新抛物线的顶点坐标．
12．（2022春•海曙区校级期中）将抛物线y＝x2﹣6x﹣3沿x轴对称，得到的新的抛物线解析式为 y ＝﹣
（ x ﹣ 3 ） 2 +1 2 ．
【分析】先把抛物线y＝x2+4x+3化为顶点式的形式，再根据轴对称的性质，即可得出变化后解析式．
【解答】解：∵y＝x2﹣6x﹣3＝（x﹣3）2﹣12，
∴抛物线y＝x2﹣6x﹣3的顶点坐标为（3，﹣12），
∵点（3，﹣12）关于x轴对称的点的坐标为（3，12），
∴将抛物线y＝x2﹣6x﹣3沿x轴对称，得到的新的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+12，
故答案为：y＝﹣（x﹣3）2+12．
【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，熟记平移规律“左加右减，上加下减”，是解题关键．
也考查了配方法．
13．（2022•景县校级模拟）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴是直线x＝2，将抛物线在y轴左侧的部分沿x轴翻折，翻折后的部分和抛物线在y轴右侧的部分组成图形G．
（1）填空：b＝ 4 ；
（2）如图1，在图形G中，c＝0．
①当x取何值时，图形G中的函数值随x的增大而减少？
②当﹣4≤x≤3时，求图形G的最大值与最小值；
（3）如图2，若c＝2，直线y＝n﹣1与图形G恰有3个公共点，求n的取值范围；
（4）若|c|＝3，直线y＝﹣x+m与图形G恰有2个公共点，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）利用抛物线的对称轴即可求得b＝4；
（2）①观察图象即可得出结论；
②根据图象上点的坐标特征，即可得出当﹣4≤x≤3时，图形G的最大值与最小值；
（3）求得抛物线y＝﹣x2+4x+2的最高点，然后根据图象即可求得；
（4）求得直线y＝﹣x+m分别过点（0，3）、（0，﹣3）时的m的值，然后根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴是直线x＝2，
∴﹣ ＝2，
∴b＝4，
故答案为：4；（2）①由图象可知，当x＜0或x＞2时，图形G中的函数值随x的增大而减少；
②∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴函数y＝﹣x2+4x的最大值为4，
当x＝﹣4时，y＝﹣（﹣4）2+4×（﹣4）＝﹣32，
当x＝3时，y＝﹣32+4×3＝3，
∴当﹣4≤x≤3时，图形G的最大值是32，最小值是0；
（3）若c＝2，则y＝﹣x2+4x+2＝﹣（x﹣2）2+6，
∴直线y＝n﹣1与图形G恰有3个公共点，则2≤n﹣1＜6，即3≤n＜7，
∴n的取值范围是3≤n＜7；
（4）把点（0，3）代入y＝﹣x+m得，m＝3，
把点（0，﹣3）代入y＝﹣x+m得，m＝﹣3，
∴若|c|＝3，直线y＝﹣x+m与图形G恰有2个公共点，m的取值范围是﹣3≤m≤3．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，二次函数的最值，数形结
合是解题的关键．
七．二次函数的最值（共5小题）
14．（2022•包头）已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】由题意得b＝a+1，代入代数式a2+2b﹣6a+7可得（a﹣2）2+5，故此题的最小值是5．
【解答】解：∵b﹣a＝1，
∴b＝a+1，
∴a2+2b﹣6a+7
＝a2+2（a+1）﹣6a+7＝a2+2a+2﹣6a+7
＝a2﹣4a+4+5
＝（a﹣2）2+5，
∴代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于5，
故选：A．
【点评】此题考查了代数式的变式与二次函数最值问题的解决能力，关键是能对以上知识准确理解并正
确变形、计算．
15．（2022•姑苏区校级一模）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，
2），A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，
在AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD
交x轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 4. 5 ．
【分析】先求得直线AD的解析式，进而得到设直线EG的解析式为y＝﹣2x+b，则G（0，b），由此得
出BF＝AE＝ ，即可得出EF＝6﹣b，利用S△FGH ＝S△EFG +S△EFH ＝ EF•OG得出S△FGH ＝＝ （6﹣
b）•b＝﹣ （b﹣3）2+4.5，根据二次函数的性质即可求得△FGH的最大面积．
【解答】解：由题意可知A（0，2），
∴设直线AD为y＝kx+2，
把D（1，0）代入得，k+2＝0，解得k＝﹣2，∴直线AD为y＝﹣2x+2，
∵EG∥AD，
∴设直线EG的解析式为y＝﹣2x+b，则G（0，b），
当y＝2时，x＝ ，
∴E（ ，2），
∴AE＝ ，
∴BF＝AE＝ ，
∴EF＝4﹣2× ＝6﹣b，
∴S△FGH ＝S△EFG +S△EFH ＝ EF•OG＝ （6﹣b）•b＝﹣ （b﹣3）2+4.5，
∵﹣ ＜0，
∴△FGH的最大面积为4.5，
故答案为：4.5．
【点评】本题考查了待定系数法求由此函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，二
次函数的最值，利用S△FGH ＝S△EFG +S△EFH 得出S△FGH ＝ （6﹣b）•b＝﹣ （b﹣3）2+4.5是解题的关
键．
16．（2022•南岗区校级模拟）二次函数y＝x2+4x﹣7的最小值为 ﹣ 1 1 ．
【分析】将二次函数化为顶点式，再根据开口方向确定二次函数最小值．
【解答】解：∵y＝x2+4x﹣7＝（x+2）2﹣11，∵a＝1，
∴当x＝1时，y有最小值为﹣11，
故答案为：﹣11．
【点评】本题考查了二次函数的最值，掌握将二次函数化为顶点式是解题的关键．
17．（2022•蜀山区校级三模）已知，点A（1，m）和点B（3，n）在二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图
象上，若点C（x ，y ）是该二次函数图象上任意一点，且满足y ≥m．
0 0 0
（1）用含a的代数式表示b为 b ＝﹣ 2 a ；
（2）mn的最大值为 ．
【分析】（1）根据题意得出抛物线的对称轴为直线x＝1，利用对称轴公式即可得到结论；
（2）用含a代数式表示mn，然后配方求解．
【解答】解：（1）∵点C（x ，y ）是二次函数图象上的任意一点，且满足y ≥m，
0 0 0
∴二次函数图像开口向上，即a＞0，顶点坐标为（1，m），
∴对称轴为x＝﹣ ＝1，即b＝﹣2a，
故答案为：b＝﹣2a；
（2）∵mn＝（a+b+1）（9a+3b+1）＝（﹣a+1）（3a+1）＝﹣3（a﹣ ）2+ ，
∵﹣3＜0，
∴mn的最大值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键．18．（2022春•涪陵区校级期中）已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点
E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．
（1）若DG＝2，求证四边形EFGH为正方形；
（2）若DG＝6，求△FCG的面积；
（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．
【分析】（1）由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，那么∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，而
AH＝DG＝2，易证△AHE≌△DGH，从而有∠DHG＝∠HEA，等量代换可得∠AHE+∠DHG＝90°，易
证四边形HEFG为正方形；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG＝∠MGE，同理有
∠HEG＝∠FGE，利用等式性质有∠AEH＝∠MGF，再结合∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，可证
△AHE≌△MFG，从而有FM＝HA＝2（即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定
值2），进而可求三角形面积；
（3）先设DG＝x，由第（2）小题得，S△FCG ＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，利用勾股定理可得
HE2≤53，在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，进而可求x≤ ，从而可得当x＝
时，△GCF的面积最小．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，
∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，
∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），
∴∠DHG＝∠HEA，
∵∠AHE+∠HEA＝90°，∴∠AHE+∠DHG＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴四边形HEFG为正方形；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG＝∠FGE，
∴∠AEH＝∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，
∴△AHE≌△MFG，
∴FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，
因此S△FCG ＝ ＝ ＝1；
（3）设DG＝x，则由第（2）小题得，S△FCG ＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，
∴HE2≤53，
∴x2+16≤53，
∴x≤ ，
∴S△FCG 的最小值为 ，此时DG＝ ，∴当DG＝ 时，△FCG的面积最小为（7﹣ ）．
【点评】本题考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是作辅助线：
过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，构造全等三角形和内错角．
八．待定系数法求二次函数解析式（共2小题）
19．（2022•蜀山区校级三模）如图，直线y＝﹣x+1与x轴交于点A，直线m是过点A、B（﹣3，0）的抛
物线y＝ax2+bx+c的对称轴，直线y＝﹣x+1与直线m交于点C，已知点D（n，5）在直线y＝﹣x+1上，
作线段CD关于直线m对称的线段CE，若抛物线与折线DCE有两个交点，则a的取值范围为（ ）
A．a≥1 B．0＜a≤1
C．﹣ ＜a＜0或0＜a＜1 D．a≥1或a＜﹣
【分析】根据题意求得C、D、E的坐标，由对称轴为x＝﹣1，得出b＝2a，由抛物线y＝ax2+bx+c过点
A（1，0）得出c＝3a，即可得出抛物线为y＝ax2+2ax﹣3a，然后分两种情况：（i）若a＞0，抛物线开
口向上且经过D（﹣4，5），求得a＝1，由对称性可知：当a≥1时，抛物线与折线DCE有两个交点；
ii）若a＜0，抛物线开口向下且经过C（﹣1，2），求得a＝﹣ ；由对称性可知：当a＜﹣ 时，抛物
线与折线DCE有两个交点；据此即可得出结论．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+1与x轴交于点A，点D（n，5）在直线y＝﹣x+1上，∴A（1，0），D（﹣4，5），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，
∴y＝1+1＝2，
∴C（﹣1，2），
∵C、E关于直线x＝﹣1对称，
∴E（2，5），
∵ ＝﹣1，
∴b＝2a，
把A（1，0）代入抛物线y＝ax2+bx+c得c＝﹣3a，
∴抛物线的解析式为：y＝ax2+2ax﹣3a
（i）若a＞0，抛物线开口向上且经过D（﹣4，5），把（﹣4，5）代入y＝ax2+2ax﹣3a求出：a＝1；
由对称性可知：当a≥1时，抛物线与折线DCE有两个交点；
（ii）若a＜0，抛物线开口向下且经过C（﹣1，2），把C（﹣1，2）代入y＝ax2+2ax﹣3a求出：a＝﹣
；
由对称性可知：当a＜﹣ 时，抛物线与折线DCE有两个交点；
综上所述：当a≥1或a＜﹣ 时，抛物线与折线DCE有两个交点；
故选：D．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象
和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
20．（2022•金水区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点P（m，y ）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，
1
点Q（m，y ）在一次函数y＝﹣x+1的图象上．
2
（1）若二次函数图象经过点（0，1），（2，1）．①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；②当
m＞1时，请直接写出y 与y 的大小关系；
1 2
（2）若只有当m≥0时，满足y •y ≤0，请求出此时二次函数的解析式．
1 2
【分析】（1）①用待定系数法求二次函数的解析式，配成顶点式求出图象的顶点坐标；
②根据二次函数的图象上点的坐标特征表示y ＝（m﹣1）2，y ＝﹣m+1，比较大小看差的结果；
1 2
（2）根据二次函数的图象上点的坐标特征表示y ，y ，①当0≤m≤1时，﹣m+1≥0，②当1＜m时，
1 2
﹣m+1＜0，分两种情况讨论得出函数所经过的点的坐标，从而求出解析式．
【解答】解：（1）①把（0，1），（2，1）代入y＝x2+bx+c，
得c＝1，4+2b+1＝1，
解得b＝﹣2，
∴二次函数的解析式y＝x2﹣2x+1
＝（x﹣1）2，
∴顶点坐标（1，0）；
②∵点P（m，y ）在二次函数y＝x2﹣2x+1上，
1
∴y ＝（m﹣1）2，
1∵点Q（m，y ）在一次函数y＝﹣x+1的图象上，
2
∴y ＝﹣m+1，
2
∵y ﹣y ＝（m﹣1）2﹣（﹣m+1）
1 2
＝m（m﹣1），
∵m＞1，
∴m﹣1＞0，
∴m（m﹣1）＞0，
∴y ＞y ；
1 2
（2）∵点P（m，y ）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，
1
∴y ＝m2+bm+c，
1
∵点Q（m，y ）在一次函数y＝﹣x+1的图象上，
2
∴y ＝﹣m+1，
2
∴y •y ＝（m2+bm+c）•（﹣m+1），
1 2
∵m≥0时，满足y •y ≤0，
1 2
①当0≤m≤1时，﹣m+1≥0，
∴m2+bm+c≤0，
②当1＜m时，﹣m+1＜0，
∴m2+bm+c＞0，
∴y＝x2+bx+c的图象过（0，0），（1，0），
∴ ，
∴b＝﹣1，∴二次函数的解析式：y＝x2﹣x．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象上点的坐标特征、二次函数的性质、用待定系数法求二次函数
的解析式、一次函数图象上点的坐标特征，掌握这几个知识点的综合应用，其中分情况讨论是解题关键．
九．二次函数的三种形式（共1小题）
21．（2022•山西二模）用配方法将二次函数y＝ x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝ （x﹣2）2﹣4 B．y＝ （x﹣1）2﹣3
C．y＝ （x﹣2）2﹣5 D．y＝ （x﹣2）2﹣6
【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【解答】解：y＝ x2﹣2x﹣4＝ （x﹣2）2﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的
关键．
一十．抛物线与x轴的交点（共4小题）
22．（2022•兴庆区校级一模）已知抛物线y＝x2+2x+k与x轴没有交点，则一次函数y＝kx﹣k的大致图形
是（ ）
A． B．C． D．
【分析】二次函数y＝x2+2x+k的图象与x轴没有交点，则一元二次方程y＝x2+2x+k＝0的判别式小于
0，从而求得k的取值范围．然后根据符号来确定该一次函数所经过的象限．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x+k的图象与x轴没有交点，
∴Δ＝22﹣4×1×k＜0，
解得k＞1，
∴一次函数y＝x2+2x+k的图象第一、三、四象限．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴
的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了
一次函数的性质．
23．（2022•兴庆区校级三模）若抛物线y＝x2+bx+c对称轴为直线x＝2，且与x轴有交点，则c的最大值
为（ ）
A．0 B．3 C．4 D．8
【分析】利用抛物线的对称轴，进而得到b的值，再利用抛物线与x轴有交点则Δ＞0，列出不等式即可
求解．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c对称轴为直线x＝2，
∴x＝﹣ ＝2．
∴b＝﹣4，
∴抛物线的表达式可写成y＝x2﹣4x+c．∵抛物线与x轴有交点，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4c≥0，
解得：c≤4，
∴c的最大值为4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线上的点的坐标的特征，不等式
的解法，利用抛物线的对称轴是解题的关键．
24．（2022•顺德区校级三模）如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴
交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上有一点D满足CD＝4AC，连接AD交y轴于点C．
（1）直接写出点C的坐标（请用含a的代数式表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值．
【分析】（1）过D点作DF⊥x轴于F，如图，先解方程ax2﹣2ax﹣3a＝0得A（﹣1，0），B（3，
0），再根据平行线分线段成比例定理得到OF＝4OA＝4，则计算x＝4时y＝5a，所以DF＝﹣5a，接着
利用平行线分线段成比例定理得到
OC＝﹣a，从而得到C点坐标
（2）过E点作EQ∥y轴交AD于Q点，如图，先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝ax+a，设E（t，at2﹣2at﹣3a），则Q（t，at+a），所以EQ＝at2﹣3at﹣4a，利用三角形面积公式得到△ACE的
面积＝ at2﹣ at﹣2a，接着根据二次函数的性质得到△ACE的面积有最大值为﹣ a，所以﹣ a＝
，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：（1）过D点作DF⊥x轴于F，如图，
当y＝0时，ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵OC∥DF，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴OF＝4OA＝4，
当x＝4时，y＝ax2﹣2ax﹣3a＝16a﹣8a﹣3a＝5a，
∴DF＝﹣5a，
∵OC∥DF，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得OC＝﹣a，
∴C点坐标为（0，a）；
（2）过E点作EQ∥y轴交AD于Q点，如图，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣1，0），C（0，a）分别代入得 ，
解得 ，∴直线AC的解析式为y＝ax+a，
设E（t，at2﹣2at﹣3a），则Q（t，at+a），
∴EQ＝at2﹣2at﹣3a﹣（at+a）＝at2﹣3at﹣4a，
∴△ACE的面积＝△EAQ的面积﹣△ECQ的面积＝ ×EQ×1＝ at2﹣ at﹣2a，
∵△ACE的面积＝ （t﹣ ）2﹣ a，
∴当t＝ 时，△ACE的面积有最大值为﹣ a，
∴﹣ a＝ ，
解得a＝﹣ ．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴
的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数的
性质．
25．（2022•碑林区模拟）已知抛物线L：y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B点（A点在B点的左侧），与y
轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；（2）把抛物线L关于y轴对称，得到抛物线L'，在抛物线L'上是否存在点P，使得S△ABP ＝S△BCP ？若存
在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令y＝0，x＝0，分别求出x，y的值；
（2）先根据对称的性质求抛物线L'解析式，根据S△ABP ＝S△BCP ，得出BP∥AC，进而求出直线AC的解
析式，直线BP的解析式，再求直线BP与抛物线L'交点得横坐标．
【解答】解：（1）令y＝0，得﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
令x＝0，得y＝3，
∴A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）；
（2）答：存在；
∵抛物线L关于y轴对称，得到抛物线L'，
∴抛物线L'解析式：y＝﹣x2+2x+3，
∵S△ABP ＝S△BCP ，
∴BP∥AC，
设直线AC的解析式：y＝kx+b，
把A（﹣3，0）、C（0，3）代入y＝kx+b，
得b＝3，﹣3k+3＝0，解得k＝1，
∴直线AC的解析式：y＝x+3，
∵BP∥AC，
∴设直线BP的解析式：y＝x+c，
把B（1，0）代入y＝x+c，
得1+c＝0，
解得c＝﹣1，
∴直线BP的解析式：y＝x﹣1，
把y＝x﹣1代入y＝﹣x2+2x+3，
得x﹣1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝ ，
∴在抛物线L'上存在点P，使得S△ABP ＝S△BCP ；点P的横坐标为 或 ．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与x轴有交点、用待定系数法求函数的解析式、二次函数图象
上点的坐标特征、二次函数的性质，利用两直线平行一次函数比例系数相同解决问题是解题关键．
一十一．图象法求一元二次方程的近似根（共2小题）
26．（2022•北仑区校级三模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴
交于点C，它的对称轴为直线x＝2，则下列说法中正确的有（ ）
①abc＜0；
② ＞0；
③16a+4b+c＞0；④5a+c＞0；
⑤方程ax2+bx+c＝0（a≠0）其中一个解的取值范围为﹣2＜x＜﹣1．
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由抛物线开口方向、对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据抛物线与x轴的交点情况以及
a的符号即可判断②；由16a+4b+c＝c即可判断③；由x＝5时，y＜0，即可判断④；由抛物线与x轴
的交点即可判断⑤．
【解答】解：由图象开口向下，可知a＜0，
与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，
又﹣ ＝2，所以b＝﹣4a＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴b2﹣4ac＞0，
∵a＜0，
∴ ＞0，故②正确；
∵16a+4b+c＝16a﹣16a+c＝c＞0，
∴16a+4b+c＞0，故③正确；当x＝5时，y＝25a+5b+c＜0，
∴25a﹣20a+c＜0，
∴5a+c＜0，故④错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝2，其中一个交点的横坐标在4＜x＜5，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）其中一个解的取值范围为﹣1＜x＜0，故⑤错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系
是解题的关键．
27．（2022•荆门模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，x与y的部分对应值如表：
x ﹣2 0 t
y m ﹣1 n
当m＞3时，有下列5个结论：①b＜0；②ab＜﹣ ；③若t＞4，则m＜n；④抛物线y＝ax2+bx+c+1
与x轴的交点横坐标分别为0和﹣2；⑤关于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2与3之间．其中一定
正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】先利用抛物线的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点为（0，﹣1），x＝﹣2时，m＞3可判断a
＞0，由对称轴方程得到b＝﹣2a＜0，则可对①进行判断；由于当x＝﹣2时，m＝8a﹣1＞3，则a＞
，所以ab＝a•（﹣2a）＝﹣2a2，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性和增减性，则可对③进行
判断；利用y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax经过点（0，0），（2，0），可对④进行判断；由于x＝2时，y
＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax﹣1＝4a﹣4a﹣1＝﹣1＜0，x＝3时，y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax﹣1＝9a﹣6a﹣1
＝3a﹣1＞0，则可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点为（0，﹣1），x＝﹣2时，函数值m＞3，
∴抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a＜0，所以①正确；
∵x＝0时，y＝﹣1，
∴c＝﹣1，
∵当x＝﹣2时，m＝4a﹣2b+c＝8a﹣1＞3，
∴a＞ ，
∵ab＝a•（﹣2a）＝﹣2a2，
∴ab＜﹣ ，所以②正确；
∵抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∵（﹣2，m）关于对称轴的对称点为（4，m），抛物线过点（t，n），t＞4，
∴m＜n，所以③正确；
∵y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2），
∴此抛物线经过点（0，0），（2，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c+1与x轴的交点横坐标分别为0和2，所以④错误；
∵x＝2时，y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax﹣1＝4a﹣4a﹣1＝﹣1＜0，
x＝3时，y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax﹣1＝9a﹣6a﹣1＝3a﹣1，
∵a＞ ，
∴3a﹣1＞0∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2与3之间，所以⑤正确．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴
的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
一十二．根据实际问题列二次函数关系式（共2小题）
28．（2021秋•中山区期末）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，
则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2
C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2
【分析】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．
【解答】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，
故选：D．
【点评】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂
题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围
来确定．
29．（2021秋•金寨县期末）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划
第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为 x，那么y与x
的函数关系是（ ）
A．y＝a（1+x）2 B．y＝a（1﹣x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝x2+a
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设该公司第二、
三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．
【解答】解：设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月投放垃圾桶a（1+x）2辆，则y＝a（1+x）2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为
a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
一十三．二次函数的应用（共5小题）
30．（2022•杏花岭区校级模拟）太原某中学利用学校的体育场地设施和设备，充分调动全体师生的积极
性，广泛开展各项体育活动，努力提高学生的身体素质，如图①是小杰在铅球比赛中的一次掷球，铅
球出手以后的轨迹可近似看作是抛物线的一部分，已知铅球出手时离地面1.6米，铅球离抛掷点水平距
离3米时达到最高，此时铅球离地面2.5米，如图②，以水平面为x轴，小杰所站位置的铅垂线为y轴
建立平面直角坐标系，则他掷铅球的运动路线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意设出抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+2.5，再把点B坐标代入解析式求出a即可．
【解答】解：根据题意，得B（0，1.6），C（3，2.5）
设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+2.5，
将B点代入解析式得：9a+2.5＝1.6，
解得a＝﹣ ，
∴小杰掷铅球的运动路线的解析式为y＝﹣ （x﹣3）2+2.5＝﹣ x2+ x+ ．故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
31．（2022•二道区校级模拟）如图，一个横截面为抛物线形的隧道部宽12米、高6米．车辆双向通行，
若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2米的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于一米
的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为 米．
【分析】首先建立适当的平面直角坐标系，根据图中数据求抛物线解析式再进行求解即可．
【解答】【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
根据题意得：A（﹣6，0），B（6，0），C（0，6），
设抛物线解析式为y＝ax2+6，
把B（6，0）代入j解析式，得36a+6＝0，
解得a＝﹣ ，所以抛物线的解析式为y＝﹣ x2+6，
当x＝4时，y＝﹣ ×42+6＝ ，
﹣1＝ ．
所以通过隧道车辆的高度限制应为 米．
故答案为： ．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是建立适当的平面直角坐标系．
32．（2022•郧阳区模拟）“水都数学建模”兴趣小组对某超市一种热卖的商品做了市场调查，发现该商
品的进价为每件30元，开始到3月底的一段时间，超市以每件40元售出，每天可以卖出120件．从4
月1日开始，该商品每天比前一天涨价1元，销售量每天比前一天减少2件；从5月1日起到5月30日
当天，该商品价格一直稳定在每件70元，销售量一直持续每天比前一天减少2件，设从4月1日起的第
x天的销售量为y件，销售该商品的每天利润为w元．
（1）第x（1≤x≤30）天的销售价为每件 （ 40+ x ） 元，这段时间每天的销售量y（件）与x（天）
的函数关系式为 y ＝ 12 0 ﹣ 2 x ；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于2000元？
【分析】（1）第x（1≤x≤30）天的销售价为每件（40+x）元，销售量y（件）与x（天）的函数关系
式为y＝120﹣2x；
（2）根据每件利润乘以销售量为总利润可得：w＝（40+x﹣30）（120﹣2x）＝﹣2（x﹣25）2+2450，
由二次函数性质可得从4月1日起，销售该商品第25天时，当天销售利润最大，最大利润2450元；
（3）当1≤x≤60时，y＝120﹣2x，分两种情况：①当1≤x≤30时，由﹣2（x﹣25）2+2450＝2000可
得当10≤x≤30时，每天销售利润不低于2000元，共21天；②当31≤x≤60时，由（70﹣30）×（120
﹣2x）≥2000可得当31≤x≤35时，每天销售利润不低于2000元，共5天；即得该商品在销售过程中，共有26天，每天销售利润不低于2000元．
【解答】解：（1）根据题意得：第x（1≤x≤30）天的销售价为每件（40+x）元，
这段时间每天的销售量y（件）与x（天）的函数关系式为y＝120﹣2x，
故答案为：（40+x），y＝120﹣2x；
（2）根据题意得：w＝（40+x﹣30）（120﹣2x）＝﹣2（x﹣25）2+2450，
∵﹣2＜0，
∴x＝25时，w取最大值2450，
答：从4月1日起，销售该商品第25天时，当天销售利润最大，最大利润2450元；
（3）∵从5月1日起到5月30日当天，销售量一直持续每天比前一天减少2件，
∴当1≤x≤60时，y＝120﹣2x，
①当1≤x≤30时，由﹣2（x﹣25）2+2450＝2000得：x ＝10，x ＝40，
1 2
∴当10≤x≤30时，每天销售利润不低于2000元，共21天；
②当31≤x≤60时，由（70﹣30）×（120﹣2x）≥2000得：x≤35，
∴当31≤x≤35时，每天销售利润不低于2000元，共5天；
综上所述，该商品在销售过程中，共有26天，每天销售利润不低于2000元．
【点评】本题考查一次函数，二次函数及一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关
系式和不等式．
33．（2022•集美区二模）今年某市疫情形势严峻，物资紧缺．为保障物资供应，相关部门加强蔬菜抢种
和抢收力度，建议取消蔬菜采收后养地的传统做法，采用采收后立即播种的新种植方式．当季某种蔬菜
的适宜生育温度为15℃﹣30℃，在平均温度20℃时，传统种植方式平均产量为2500千克/亩，采用新种
植方式后，平均产量为a千克/亩．已知A公司在郊区承包该种蔬菜种植面积50亩，其中30亩采用新种
植方式，这50亩共采收蔬菜110000千克．
（1）平均温度20℃时，求该种蔬菜采用新种植方式每亩的平均产量；（2）采用新种植方式的蔬菜原计划在5月15日上市，为提前上市应对需求的激增，A公司启动大棚内
智能化控温设备，缩短蔬菜生长周期．经调查，当平均温度超过 20℃时，温度升高会导致蔬菜幼苗成
活率下降，每升高1℃，平均每亩产量减少50千克；提前上市的天数y（天）与温度t（℃）满足y＝﹣
t2+30t﹣360（20≤t≤30）．为了确保蔬菜所需的供应量，要求平均产量不低于 1600千克/亩，判断这
批蔬菜能否在5月1日上市？并说明理由．
【分析】（1）根据题意得：30a+（50﹣30）×2500＝110000，可解得平均温度20℃时，该种蔬菜采用
新种植方式每亩的平均产量是2000千克；
（2）由要求平均产量不低于1600千克/亩，有2000﹣50（t﹣20）≥1600，得t≤28，而y＝﹣ t2+30t﹣
360＝﹣ （t﹣25）2+15，可知当t＝25时，y取最大值15，又25＜28，故这批蔬菜可提前15天上市，
即这批蔬菜能在5月1日上市．
【解答】解：（1）根据题意得：30a+（50﹣30）×2500＝110000，
解得a＝2000，
答：平均温度20℃时，该种蔬菜采用新种植方式每亩的平均产量是2000千克；
（2）∵每升高1℃，平均每亩产量减少50千克，要求平均产量不低于1600千克/亩，
∴2000﹣50（t﹣20）≥1600，
解得t≤28，
∵y＝﹣ t2+30t﹣360＝﹣ （t﹣25）2+15，
∴当t＝25时，y取最大值15，
而25＜28，
∴这批蔬菜可提前15天上市，即这批蔬菜能在5月1日上市．
【点评】本题考查一元一次方程，一元一次不等式和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出方程和不等式．
34．（2022•蜀山区校级三模）某商场销售一种季节性产品，以下是该产品在销售期（30天）内的部分信
息：
①第x天（x为整数）的销量为（40+2x）千克；
②该产品前10天的售价都是50元千克，从第11天开始售价y（元千克）是第x天的一次函数，对应关
系如表：
第x天 15 20
售价y（元/千克） 45 40
（1）当11≤x≤30时，求出y与x的关系式；
（2）当x为何值时日销售额w最大，最大为多少？
【分析】（1）用待定系数法可得y与x的关系式；
（2）分1≤x≤10和11≤x≤30，分别求出销售额w的最大值，再比较即可得答案．
【解答】解：（1）当11≤x≤30时，设y与x的关系式为y＝kx+b，
将（15，45），（20，40）代入得：
，
解得 ，
∴y＝﹣x+60（11≤x≤30）；
（2）当1≤x≤10时，w＝50（40+2x）＝100x+2000，
∵100＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴x＝10时，w最大为100×10+2000＝3000（元），当11≤x≤30时，w＝（﹣x+60）（40+2x）＝﹣2（x﹣20）2+3200，
∵﹣2＜0，
∴x＝20时，w取最大值3200，
∵3000＜3200，
∴x为20时日销售额w最大，最大为3200元．
【点评】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．
一十四．二次函数综合题（共7小题）
35．（2022•新河县一模）如图，已知抛物线经过点 B（﹣1，0），A（4，0），与y轴交于点C（0，
2），P为AC上的一个动点，则有以下结论：
①抛物线的对称轴为直线x＝ ；
②抛物线的最大值为 ；
③∠ACB＝90°；
④OP的最小值为 ．
则正确的结论为（ ）
A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④
【分析】用待定系数法求出函数的解析式即可对①②进行判断；利用勾股定理对③进行判断即可；求
出直线AC的解析式，设P（t，﹣ t+2），再利用两点间距离公式求出OP的最大值即可．【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
将B（﹣1，0），A（4，0），C（0，2）代入，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣ x2+ x+2，
∵y＝﹣ x2+ x+2＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ，
故①正确；
当x＝ 时，抛物线有最大值 ，
故②不正确；
∵B（﹣1，0），A（4，0），C（0，2），
∴AB＝5，AC＝2 ，BC＝ ，
∵AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
故③正确；设直线AC的解析式为y＝kx+m，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣ x+2，
设P（t，﹣ t+2），
∴OP＝ ，
∴当t＝ 时，OP有最小值为 ，
故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数求函数的解
析式是解题的关键．
36．（2022•开福区校级三模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点
（点A在点B的左侧）．
（1）当a＝1，b＝c+1且c＜0时，求A，B两点的坐标（可用含c的式子表示）；
（2）若抛物线与y轴交于点C，当△ABC是直角三角形时，求ac的值；
（3）若抛物线与x轴只有一个公共点M（2，0），与y轴交于（0，2），直线l：y＝kx+2﹣2k与抛物
线交于P、Q两点（P在Q的左侧），过点P且与y轴平行的直线与直线MQ相交于点N，判断点N的
纵坐标是否为一个定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）由x2+（c+1）x+c＝0，可得A（﹣1，0），B（﹣c，0）；（2）设A（x ，0），B（x ，0），则x ，x 是ax2+bx+c＝0的两个实数根，有x •x ＝ ，而△ABC是
1 2 1 2 1 2
直角三角形，有x 2+c2+x 2+c2＝（x ﹣x ）2，可得ac＝﹣1；
1 2 1 2
（3）由抛物线与x轴只有一个公共点M（2，0），与y轴交于（0，2）得y＝ （x﹣2）2＝ x2﹣
2x+2，设直线l：y＝kx+2﹣2k与抛物线交于点P（x ，y ）、Q（x ，y ），则x +x ＝4+2k，x x ＝
P P Q Q P Q P Q
4k，设直线MQ的解析式为y＝mx+n，将M（2，0），Q（x ，y ）代入，得直线MQ的解析式为y＝
Q Q
x﹣ ，当x＝x 时，y ＝ •x ﹣ ＝ ＝ • ＝ （x ﹣
P N P Q
2）（x ﹣2）＝ x x ﹣（x +x ）+2，即得y ＝ ×4k﹣（4+2k）+2＝﹣2．
P P Q P Q N
【解答】解：（1）当a＝1，b＝c+1时，y＝x2+（c+1）x+c，
令y＝0得x2+（c+1）x+c＝0，
∴（x+c）（x+1）＝0，
∴x＝﹣c或x＝﹣1，
∵c＜0，点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），B（﹣c，0）；
（2）在y＝ax2+bx+c中，令x＝0得y＝c，
∴C（0，c），
设A（x ，0），B（x ，0），则x ，x 是ax2+bx+c＝0的两个实数根，有x •x ＝ ，
1 2 1 2 1 2
∵△ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，
即x 2+c2+x 2+c2＝（x ﹣x ）2，
1 2 1 2整理变形得x x +c2＝0，
1 2
∴ +c2＝0，
∵a≠0，
∴c（1+ac）＝0，
∴c＝0或ac＝﹣1，
当c＝0时，不能构成△ABC，故不符合题意，舍去，
∴ac＝﹣1；
（3）点N的纵坐标为一个定值，理由如下：
∵抛物线与x轴只有一个公共点M（2，0），与y轴交于（0，2），
∴抛物线顶点为（2，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2，把（0，2）代入得：
2＝4a，
解得a＝ ，
∴y＝ （x﹣2）2＝ x2﹣2x+2，
设直线l：y＝kx+2﹣2k与抛物线交于点P（x ，y ）、Q（x ，y ），
P P Q Q
∴ x2﹣2x+2＝kx+2﹣2k，
整理得：x2﹣（4+2k）x+4k＝0，
∴x +x ＝4+2k，x x ＝4k，
P Q P Q
设直线MQ的解析式为y＝mx+n，将M（2，0），Q（x ，y ）代入，
Q Q得： ，
解得： ，
∴直线MQ的解析式为y＝ x﹣ ，
当x＝x 时，
P
y ＝ •x ﹣ ＝ ＝ • ＝ （x ﹣2）（x ﹣2）＝ x x ﹣
N P Q P P Q
（x +x ）+2
P Q
∵x +x ＝4+2k，x x ＝4k，
P Q P Q
∴y ＝ ×4k﹣（4+2k）+2＝﹣2，
N
故对于每个给定的实数k，点N的纵坐标均为定值﹣2．
【点评】本题考查二次函数综合应用，考查了待定系数法，一次函数与抛物线交点坐标，一元二次方程
根与系数关系，直角三角形性质，二次函数最值运用等知识，涉及知识点多，综合性强，难度较大．
37．（2022•北碚区自主招生）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴正半轴交于点A，B，与y轴正
半轴交于点C，且OC＝OB＝3OA，点D为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线BC下方该抛物线上任意一点，点E为直线BC与该抛物线对称轴的交点，求△PBE面
积的最大值；
（3）如图2，将该抛物线沿射线CB的方向平移2 个单位后得到新抛物线y'，新抛物线y′的顶点为
D'，过（2）问中使得△PBE面积为最大时的点P作平行于y轴的直线交新抛物线y'于点M．在新抛物线
y′的对称轴上是否存在点N，使得以点P，D'，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接
写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出A、B点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设P（t，t2﹣4t+3），先求出直线PB的解析式为y＝（t﹣1）x+3﹣3t，则PB与对称轴的交点为
（1，2﹣2t），可得S△PBE ＝﹣（t﹣ ）2+ ，当t＝ 时，△PBE面积的最大值为 ；
（3）求出平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣3，则D'（4，﹣3），设N（4，t），分两种情况讨
论：①当PD'为平行四边形的对角线时，N（4，﹣7）；②当PN为平行四边形的对角线时，N（4，
1）．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝3，∵OC＝OB＝3OA，
∴OB＝3，OA＝1，
∴A（1，0），B（3，0），
将A（1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
∴ ，
解得 ，
∴y＝x2﹣4x+3；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣x+3，
∴E（2，1），
设P（t，t2﹣4t+3），直线PB的解析式为y＝k'x+b'，
∴ ，
解得 ，
∴y＝（t﹣1）x+3﹣3t，∴PB与对称轴的交点为（1，2﹣2t），
∴S△PBE ＝ （2﹣2+2t）×（3﹣t）＝3t﹣t2＝﹣（t﹣ ）2+ ，
∴当t＝ 时，△PBE面积的最大值为 ；
（3）存在点N，使得以点P，D'，M，N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴抛物线沿x轴正方向平移2个单位，沿y轴负方向平移2个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣3＝x2﹣8x+13，
∴D'（4，﹣3），
由（2）知，P（ ，﹣ ），
∵PM∥y轴，
∴M（ ， ），
设N（4，t），
∵PM∥ND'，
∴PM与ND'一定是平行四边形的一组对边，
①当PD'为平行四边形的对角线时，
∴﹣ ﹣3＝ +t，
解得t＝﹣7，
∴N（4，﹣7）；
②当PN为平行四边形的对角线时，∴t﹣ ＝﹣3+ ，
解得t＝1，
∴N（4，1）；
综上所述：N点坐标为（4，﹣7）或（4，1）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，函数
图象平移的性质是解题的关键．
38．（2022•庐阳区校级三模）定义：对于给定的两个函数，任取自变量 x的一个值；当x＜0时，它们对
应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为关联函数．
例如：一次函数y＝x﹣1，它的关联函数为y＝ ．已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣ ．
（1）当第二象限点B（m， ）在这个函数的关联函数的图象上时，求m的值；
（2）当﹣3≤x≤﹣1时求函数y＝﹣x2+4x﹣ 的关联函数的最大值和最小值．
【分析】（1）由题干定义可得二次函数的关联函数解析式，分别讨论 m≥0与m＜0，将点B坐标代入
对应解析式求解．
（2）由（1）可得二次函数在x＜0时的关联函数解析式，分别将x＝﹣1，x＝﹣3代入解析式求解．
【解答】解：（1）由题意得二次函数y＝﹣x2+4x﹣ 的关联函数为y＝ ，
当m≥0时，将（m， ）代入y＝﹣x2+4x﹣ 得 ＝﹣m2+4m﹣ ，
解得m＝2+ 或m＝2﹣ ，当m＜0时，将（m， ）代入y＝x2﹣4x+ 得 ＝m2﹣4m+ ，
解得m＝2﹣ 或m＝2+ （舍）．
（2）当x＜0时，y＝﹣x2+4x﹣ 的关联函数为y＝x2﹣4x+ ，
∵y＝x2﹣4x+ ＝（x﹣2）2﹣ ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴x＜0时，y随x增大而减小，
将x＝﹣3代入y＝x2﹣4x+ 得y＝9+12+ ＝21.5，
将x＝﹣1代入x2﹣4x+ 得y＝1+4+ ＝5.5，
∴当﹣3≤x≤﹣1时求函数y＝﹣x2+4x﹣ 的关联函数的最大值和最小值分别为21.5，5.5．
【点评】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解题意，通过分类讨论求解．
39．（2022•龙华区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y
轴交于点C（0，8），点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴
l交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BCP的面积最大值；
（3）点M是抛物线的对称轴l上一动点．
①是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②请在平面内找到一点N，使得以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形，并直接写出N点的坐标．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点P作PG∥y轴交BC于G，设P（t，﹣ t2+3t+8），则G（t，﹣t+8），可得S△CBP ＝﹣2（t
﹣4）2+32，即可求解；
（3）①设M（3，m），分别求出BE＝5 ，BM＝ ，EM＝|m﹣5|，分三种情况讨论：当BE
＝BM时，M（3，0）；当BE＝EM时，M（3，5 +5）或（3，﹣5 +5）；当BM＝EM时，M
（3，0）；
②设N（x，y），分三种情况讨论：当BE为菱形的对角线时，此时N（8，5）；当BM为菱形的对角
线时，此时N（8，5 ）或（8，﹣5 ）；当BN为菱形的对角线时，此时N（﹣2，10）或（﹣2，
0）．
【解答】解：（1）将A（﹣2，0），C（0，8）代入y＝ax2+3x+c，
∴ ，解得﹣ ，
∴y＝﹣ x2+3x+8；
（2）令y＝0，则﹣ x2+3x+8＝0，
解得x＝﹣2或x＝8，
∴B（8，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣x+8，
过点P作PG∥y轴交BC于G，
设P（t，﹣ t2+3t+8），则G（t，﹣t+8），
∴PG＝﹣ t2+3t+8+t﹣8＝﹣ t2+4t，
∴S△CBP ＝ 8×（﹣ t2+4t）＝﹣2t2+16t＝﹣2（t﹣4）2+32，
∴当t＝4时，△BCP的面积有最大值，最大值为32；
（3）①存在点M，使得△BEM为等腰三角形，理由如下：
∵y＝﹣ x2+3x+8＝﹣ （x﹣3）2+ ，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，∴E（3，5），
设M（3，m），
∴BE＝5 ，BM＝ ，EM＝|m﹣5|，
当BE＝BM时，5 ＝ ，
解得m＝0，
∴M（3，0）；
当BE＝EM时，5 ＝|m﹣5|，
解得m＝5 +5或m＝﹣5 +5，
∴M（3，5 +5）或（3，﹣5 +5）；
当BM＝EM时， ＝|m﹣5|，
解得m＝0，
∴M（3，0）；
综上所述：M点坐标为（3，0）或（3，5 +5）或（3，﹣5 +5）；
②设N（x，y），M（3，m），
当BE为菱形的对角线时，BM＝EM，
∴ ，解得 ，
∴N（8，5）；
当BM为菱形的对角线时，BE＝EM，
∴ ，
解得 或 ，
∴N（8，5 ）或（8，﹣5 ）；
当BN为菱形的对角线时，BE＝BM，
∴ ，
解得 或 ，
∴N（﹣2，10）或（﹣2，0）；
综上所述：N点坐标为（8，5）或（8，5 ）或（8，﹣5 ）或（﹣2，10）或（﹣2，0）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，等腰三角形
的性质，分类讨论是解题的关键．
40．（2022•五华区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（6，0）、C（0，3）三点，
直线y＝ x+ 经过点A与抛物线交于D点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点P是在直线AD上方二次函数图象（含A、D两点）上的一个动点，试探究点P的坐标
是多少时，△PCD的面积最大，并求出最大面积；
（3）如图2，若H是线段CD上的一个动点，连接OH，交直线AD于点G，延长OH，交抛物线于点
M，试探究 是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）求出D点坐标，可知CD∥x轴，则当M点是抛物线的顶点时，△CDP的面积最大；
（3）过点M作MK∥x轴交AD于点K，可得 ＝ ＝KM，当KM的值最大值时， 的值也最大，
设M（t，﹣ t2+ t+3），则K（﹣t2+5t+5，﹣ t2+ t+3），则KM＝﹣（t﹣2）2+9，当t＝2时，KM
有最大值9．
【解答】解：将A（﹣1，0）、B（6，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣ x2+ x+3；
（2）联立方程组 ，
解得 或 ，∴D（5，3），
∴CD∥x轴，
∴当P点为抛物线的顶点时，△PCD的面积最大，
∵y＝﹣ x2+ x+3＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴P（ ， ），此时S△PCD ＝ 5×（ ﹣3）＝ ；
（3） 存在最大值，理由如下：
过点M作MK∥x轴交AD于点K，
∴ ＝ ＝KM，
∴当KM的值最大时， 的值也最大，
设M（t，﹣ t2+ t+3），则K（﹣t2+5t+5，﹣ t2+ t+3），
∴KM＝﹣t2+5t+5﹣t＝﹣t2+4t+5＝﹣（t﹣2）2+9，
∴当t＝2时，KM有最大值9，
∴ 的最大值为9．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，数形结合
是解题的关键．
41．（2022•淄博）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D
（1，4）在直线l：y＝ x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；
（3）设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x
轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；
若变化，说明理由．
【分析】（1）利用顶点式求解，可得结论；
（2）如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J．设P（m，﹣m2+2m+3）．四边形
DTBP的面积＝△PDT的面积+△PBT的面积＝ ×DT×PN+ ×TB×PM＝ （PM+PN），推出四边形
DTBP的面积最大时，PM+PN的值最大，求出四边形DTBP的面积的最大值，可得结论；
（3）四边形AFBG的面积不变．如图，设P（m，﹣m2+2m+3），求出直线AP，BP的解析式，可得点
E，F的坐标，求出FG的长，可得结论．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点D（1，4），∴可以假设抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J．设P（m，﹣m2+2m+3）．
点D（1，4）在直线l：y＝ x+t上，
∴4＝ +t，
∴t＝ ，
∴直线DT的解析式为y＝ x+ ，
令y＝0，得到x＝﹣2，
∴T（﹣2，0），
∴OT＝2，
∵B（3，0），
∴OB＝3，
∴BT＝5，∵DT＝ ＝5，
∴TD＝TB，
∵PM⊥BT，PN⊥DT，
∴四边形DTBP的面积＝△PDT的面积+△PBT的面积＝ ×DT×PN+ ×TB×PM＝ （PM+PN），
∴四边形DTBP的面积最大时，PM+PN的值最大，
∵D（1，4），B（3，0），
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+6，
∴J（m，﹣2m+6），
∴PJ＝﹣m2+4m﹣3，
∵四边形DTBP的面积＝△DTB的面积+△BDP的面积
＝ ×5×4+ ×（﹣m2+4m﹣3）×2
＝﹣m2+4m+7
＝﹣（m﹣2）2+11
∵﹣1＜0，
∴m＝2时，四边形DTBP的面积最大，最大值为11，
∴PM+PN的最大值＝ ×11＝ ；
（3）四边形AFBG的面积不变．
理由：如图，设P（m，﹣m2+2m+3），∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴直线AP的解析式为y＝﹣（m﹣3）x﹣m+3，
∴E（1，﹣2m+6），
∵E，G关于x轴对称，
∴G（1，2m﹣6），
∴直线PB的解析式y＝﹣（m+1）x+3（m+1），
∴F（1，2m+2），
∴GF＝2m+2﹣（2m﹣6）＝8，
∴四边形AFBG的面积＝ ×AB×FG＝ ×4×8＝16．
∴四边形AFBG的面积是定值．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学
会构建二次函数解决最值问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
