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专题 02 二次函数（14 个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其
中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c
是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后
再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变
量的取值范围还需使实际问题有意义．
二．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取
三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛
物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画
另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移| |个单位，再向上或向下平移| |个单位得到的．
三．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x＝﹣ ，二次函数y＝
ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；x＞﹣ 时，
y随x的增大而增大；x＝﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；x＞﹣ 时，
y随x的增大而减小；x＝﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣ |个单位，再向上或
向下平移| |个单位得到的．
四．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．
（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣
4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
五．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣ ， ）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣ 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系
式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x ，0），（x ，0），则其对称轴为x＝
1 2
．
六．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出
原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求
出解析式．
七．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝ 时，y＝ ．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为
图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝ 时，y＝ ．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶
点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从
而获得最值．
八．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，
a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0）；
1 2
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入
数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当
已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x轴有两个交点时，可选
择设其解析式为交点式来求解．
九．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与 y轴
的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直
接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛
1 2物线与x轴的两个交点坐标（x ，0），（x ，0）．
1 2
十．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x
的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的
1 2
交点坐标（x ，0），（x ，0）．
1 2
十一．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
十二．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是
实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，
再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；
有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．十三．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次
函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量 x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数
的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的
讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到
平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
十四．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符
号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数
问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些
隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下
的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意
义．
【专题过关】一．二次函数的定义（共1小题）
1．（2021秋•密山市校级期末）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣2x+3 B．y＝5x2+1
C．y＝（x﹣1）2﹣x2 D．y＝x3+2x2﹣1
二．二次函数的图象（共1小题）
2．（2022•青县一模）如图，二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象所在坐标系的原点是（ ）
A．点O B．点O C．点O D．点O
1 2 3 4
三．二次函数的性质（共5小题）
3．（2022秋•安图县校级月考）二次函数y＝2（x+1）2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，0） D．（﹣1，0）
4．（2022•南岗区校级二模）抛物线y＝（x+3）2+4的对称轴是直线 ．
5．（2022•淮北一模）设二次函数y 、y 的图象的顶点坐标分别为（a，b）、（c、d），若a＝2c、b＝
1 2
2d，且两图象开口方向相同，则称y 是y 的“同倍项二次函数”．
1 2
（1）写出二次函数y＝x2+x+1的一个“同倍项二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y ＝x2+nx和二次函数y ＝x2+3nx+1，若y +y 是y 的“同倍项二次函数”，
1 2 1 2 1
求n的值．6．（2022•鄞州区校级模拟）已知二次函数 y＝（x+1）（x+a）（其中a是常数）的图象经过点A（4，
5），B（m，n），
（1）求a的值；
（2）求该抛物线的对称轴；
（3）当n＜5时，求m的取值范围．
7．（2022•宁海县模拟）如图，抛物线 与抛物线 相交于点T，点T的
横坐标为1．过点T作x轴的平行线交抛物线C 于点A，交抛物线C 于点B．抛物线C 与C 分别与y
1 2 1 2
轴交于点C，D．
（1）求抛物线C 的对称轴和点A的横坐标；
1
（2）求线段AB和CD的长；
（3）点P（﹣2，p）在抛物线C 上，点Q（5，q）在抛物线C 上，请比较p与q的大小关系并说明理
1 2
由．四．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
8．（2022•铜仁市三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，有下
列4个结论：①abc＞0；②a+c＞b；③4a+2b+c＞0；④a+b≥am2+bm（m是任意实数）．其中正确
结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
五．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题）
9．（2022•淄博）若二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2﹣4m2﹣
4n+9的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2022•鼓楼区校级模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c（c为常数）经过点（p，m），（q，m），（4，
c），当1≤q﹣p＜6时，则m的取值范围为
（ ）
A．c﹣4≤m＜c+5 B．
C．c＜m≤c+5 D．c﹣3≤m＜c+24
六．二次函数图象与几何变换（共3小题）
11．（2022•南岗区校级二模）通过平移y＝﹣（x﹣1）2+3的图象，可得到y＝﹣x2的图象，下列平移方法
正确的是（ ）
A．向左移动1个单位，向上移动3个单位B．向右移动1个单位，向上移动3个单位
C．向左移动1个单位，向下移动3个单位
D．向右移动1个单位，向下移动3个单位
12．（2022春•海曙区校级期中）将抛物线 y＝x2﹣6x﹣3沿x轴对称，得到的新的抛物线解析式为
．
13．（2022•景县校级模拟）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴是直线x＝2，将抛物线在y轴左侧的部分
沿x轴翻折，翻折后的部分和抛物线在y轴右侧的部分组成图形G．
（1）填空：b＝ ；
（2）如图1，在图形G中，c＝0．
①当x取何值时，图形G中的函数值随x的增大而减少？
②当﹣4≤x≤3时，求图形G的最大值与最小值；
（3）如图2，若c＝2，直线y＝n﹣1与图形G恰有3个公共点，求n的取值范围；
（4）若|c|＝3，直线y＝﹣x+m与图形G恰有2个公共点，请直接写出m的取值范围．七．二次函数的最值（共5小题）
14．（2022•包头）已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
15．（2022•姑苏区校级一模）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，
2），A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，
在AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD
交x轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 ．
16．（2022•南岗区校级模拟）二次函数y＝x2+4x﹣7的最小值为 ．
17．（2022•蜀山区校级三模）已知，点A（1，m）和点B（3，n）在二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图
象上，若点C（x ，y ）是该二次函数图象上任意一点，且满足y ≥m．
0 0 0
（1）用含a的代数式表示b为 ；
（2）mn的最大值为 ．
18．（2022春•涪陵区校级期中）已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．
（1）若DG＝2，求证四边形EFGH为正方形；
（2）若DG＝6，求△FCG的面积；
（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．
八．待定系数法求二次函数解析式（共2小题）
19．（2022•蜀山区校级三模）如图，直线y＝﹣x+1与x轴交于点A，直线m是过点A、B（﹣3，0）的抛
物线y＝ax2+bx+c的对称轴，直线y＝﹣x+1与直线m交于点C，已知点D（n，5）在直线y＝﹣x+1上，
作线段CD关于直线m对称的线段CE，若抛物线与折线DCE有两个交点，则a的取值范围为（ ）
A．a≥1 B．0＜a≤1
C．﹣ ＜a＜0或0＜a＜1 D．a≥1或a＜﹣
20．（2022•金水区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点P（m，y ）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，
1
点Q（m，y ）在一次函数y＝﹣x+1的图象上．
2
（1）若二次函数图象经过点（0，1），（2，1）．①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；②当
m＞1时，请直接写出y 与y 的大小关系；
1 2
（2）若只有当m≥0时，满足y •y ≤0，请求出此时二次函数的解析式．
1 2九．二次函数的三种形式（共1小题）
21．（2022•山西二模）用配方法将二次函数y＝ x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝ （x﹣2）2﹣4 B．y＝ （x﹣1）2﹣3
C．y＝ （x﹣2）2﹣5 D．y＝ （x﹣2）2﹣6
一十．抛物线与x轴的交点（共4小题）
22．（2022•兴庆区校级一模）已知抛物线y＝x2+2x+k与x轴没有交点，则一次函数y＝kx﹣k的大致图形
是（ ）
A． B．
C． D．23．（2022•兴庆区校级三模）若抛物线y＝x2+bx+c对称轴为直线x＝2，且与x轴有交点，则c的最大值
为（ ）
A．0 B．3 C．4 D．8
24．（2022•顺德区校级三模）如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴
交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上有一点D满足CD＝4AC，连接AD交y轴于点C．
（1）直接写出点C的坐标（请用含a的代数式表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值．
25．（2022•碑林区模拟）已知抛物线L：y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B点（A点在B点的左侧），与y
轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）把抛物线L关于y轴对称，得到抛物线L'，在抛物线L'上是否存在点P，使得S△ABP ＝S△BCP ？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
一十一．图象法求一元二次方程的近似根（共2小题）
26．（2022•北仑区校级三模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴
交于点C，它的对称轴为直线x＝2，则下列说法中正确的有（ ）
①abc＜0；
② ＞0；
③16a+4b+c＞0；
④5a+c＞0；
⑤方程ax2+bx+c＝0（a≠0）其中一个解的取值范围为﹣2＜x＜﹣1．
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
27．（2022•荆门模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，x与y的部分对应值如表：x ﹣2 0 t
y m ﹣1 n
当m＞3时，有下列5个结论：①b＜0；②ab＜﹣ ；③若t＞4，则m＜n；④抛物线y＝ax2+bx+c+1
与x轴的交点横坐标分别为0和﹣2；⑤关于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2与3之间．其中一定
正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
一十二．根据实际问题列二次函数关系式（共2小题）
28．（2021秋•中山区期末）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，
则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2
C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2
29．（2021秋•金寨县期末）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划
第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为 x，那么y与x
的函数关系是（ ）
A．y＝a（1+x）2 B．y＝a（1﹣x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝x2+a
一十三．二次函数的应用（共5小题）
30．（2022•杏花岭区校级模拟）太原某中学利用学校的体育场地设施和设备，充分调动全体师生的积极
性，广泛开展各项体育活动，努力提高学生的身体素质，如图①是小杰在铅球比赛中的一次掷球，铅
球出手以后的轨迹可近似看作是抛物线的一部分，已知铅球出手时离地面1.6米，铅球离抛掷点水平距
离3米时达到最高，此时铅球离地面2.5米，如图②，以水平面为x轴，小杰所站位置的铅垂线为y轴
建立平面直角坐标系，则他掷铅球的运动路线的函数表达式为（ ）A． B．
C． D．
31．（2022•二道区校级模拟）如图，一个横截面为抛物线形的隧道部宽12米、高6米．车辆双向通行，
若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2米的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于一米
的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为 米．
32．（2022•郧阳区模拟）“水都数学建模”兴趣小组对某超市一种热卖的商品做了市场调查，发现该商
品的进价为每件30元，开始到3月底的一段时间，超市以每件40元售出，每天可以卖出120件．从4
月1日开始，该商品每天比前一天涨价1元，销售量每天比前一天减少2件；从5月1日起到5月30日
当天，该商品价格一直稳定在每件70元，销售量一直持续每天比前一天减少2件，设从4月1日起的第
x天的销售量为y件，销售该商品的每天利润为w元．
（1）第x（1≤x≤30）天的销售价为每件 元，这段时间每天的销售量y（件）与x（天）的函数
关系式为 ；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于2000元？33．（2022•集美区二模）今年某市疫情形势严峻，物资紧缺．为保障物资供应，相关部门加强蔬菜抢种
和抢收力度，建议取消蔬菜采收后养地的传统做法，采用采收后立即播种的新种植方式．当季某种蔬菜
的适宜生育温度为15℃﹣30℃，在平均温度20℃时，传统种植方式平均产量为2500千克/亩，采用新种
植方式后，平均产量为a千克/亩．已知A公司在郊区承包该种蔬菜种植面积50亩，其中30亩采用新种
植方式，这50亩共采收蔬菜110000千克．
（1）平均温度20℃时，求该种蔬菜采用新种植方式每亩的平均产量；
（2）采用新种植方式的蔬菜原计划在5月15日上市，为提前上市应对需求的激增，A公司启动大棚内
智能化控温设备，缩短蔬菜生长周期．经调查，当平均温度超过 20℃时，温度升高会导致蔬菜幼苗成
活率下降，每升高1℃，平均每亩产量减少50千克；提前上市的天数y（天）与温度t（℃）满足y＝﹣
t2+30t﹣360（20≤t≤30）．为了确保蔬菜所需的供应量，要求平均产量不低于 1600千克/亩，判断这
批蔬菜能否在5月1日上市？并说明理由．34．（2022•蜀山区校级三模）某商场销售一种季节性产品，以下是该产品在销售期（30天）内的部分信
息：
①第x天（x为整数）的销量为（40+2x）千克；
②该产品前10天的售价都是50元千克，从第11天开始售价y（元千克）是第x天的一次函数，对应关
系如表：
第x天 15 20
售价y（元/千克） 45 40
（1）当11≤x≤30时，求出y与x的关系式；
（2）当x为何值时日销售额w最大，最大为多少？一十四．二次函数综合题（共7小题）
35．（2022•新河县一模）如图，已知抛物线经过点 B（﹣1，0），A（4，0），与y轴交于点C（0，
2），P为AC上的一个动点，则有以下结论：
①抛物线的对称轴为直线x＝ ；
②抛物线的最大值为 ；
③∠ACB＝90°；
④OP的最小值为 ．
则正确的结论为（ ）
A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④
36．（2022•开福区校级三模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）当a＝1，b＝c+1且c＜0时，求A，B两点的坐标（可用含c的式子表示）；
（2）若抛物线与y轴交于点C，当△ABC是直角三角形时，求ac的值；
（3）若抛物线与x轴只有一个公共点M（2，0），与y轴交于（0，2），直线l：y＝kx+2﹣2k与抛物
线交于P、Q两点（P在Q的左侧），过点P且与y轴平行的直线与直线MQ相交于点N，判断点N的
纵坐标是否为一个定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
37．（2022•北碚区自主招生）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴正半轴交于点A，B，与y轴正
半轴交于点C，且OC＝OB＝3OA，点D为抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线BC下方该抛物线上任意一点，点E为直线BC与该抛物线对称轴的交点，求△PBE面
积的最大值；
（3）如图2，将该抛物线沿射线CB的方向平移2 个单位后得到新抛物线y'，新抛物线y′的顶点为
D'，过（2）问中使得△PBE面积为最大时的点P作平行于y轴的直线交新抛物线y'于点M．在新抛物线
y′的对称轴上是否存在点N，使得以点P，D'，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接
写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2022•庐阳区校级三模）定义：对于给定的两个函数，任取自变量 x的一个值；当x＜0时，它们对
应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为关联函数．
例如：一次函数y＝x﹣1，它的关联函数为y＝ ．已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣ ．
（1）当第二象限点B（m， ）在这个函数的关联函数的图象上时，求m的值；
（2）当﹣3≤x≤﹣1时求函数y＝﹣x2+4x﹣ 的关联函数的最大值和最小值．39．（2022•龙华区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y
轴交于点C（0，8），点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴
l交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BCP的面积最大值；
（3）点M是抛物线的对称轴l上一动点．
①是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②请在平面内找到一点N，使得以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形，并直接写出N点的坐标．40．（2022•五华区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（6，0）、C（0，3）三点，
直线y＝ x+ 经过点A与抛物线交于D点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点P是在直线AD上方二次函数图象（含A、D两点）上的一个动点，试探究点P的坐标
是多少时，△PCD的面积最大，并求出最大面积；
（3）如图2，若H是线段CD上的一个动点，连接OH，交直线AD于点G，延长OH，交抛物线于点
M，试探究 是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．41．（2022•淄博）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D
（1，4）在直线l：y＝ x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；
（3）设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x
轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；
若变化，说明理由．
