专题22.1二次函数y=ax²(a≠0)与y=ax²+c(a≠0)图象与性质（知识梳理与题型讲解）-（人教版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_专题突破练习-V4_2024版

专题22.1 二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)图象与性质 （知识梳理与题型讲解） 【知识点1】二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2. 【知识点2】二次函数y=ax2(a≠0)的图象及性质 1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象 用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做 抛物线. 2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法 用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后 计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与 y 轴的交点. 3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大当x=0时，y 最小 而增大； =0 x<0时，y随x增大 而减小. y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大当x=0时，y 最大 而减小； =0 x<0时，y随x增大 而增大. 特别说明：a 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开 口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同. │a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴. 【知识点2】二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质 1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象 （1）a0 j j （ 2）a0 j j 2.二次 函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质 关于二次函数y ax2 c(a 0)的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性 以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下： 函数 y ax2 c(a 0,c0) y ax2 c(a0,c0) 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 y轴 y轴 当x0时，y随x的增大而增大； 当x0时，y随x的增大而减小； 函数变化 当x0时，y随x的增大而减小. 当x0时，y随x的增大而增大. y c y c 最大（小） 当x0时， 最小值 当x0时， 最大值值 3.二次函数 y  ax2a  0 与 y  ax2 ca  0 之间的关系；（上加下减）. y  ax2a  0 的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到 y  ax2 ca  0 的图象. 特别说明： 抛物线 y ax2 c(a 0)的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线 y ax2(a 0)的形状相 同． 函数 y ax2 c(a 0)的图象是由函数 y ax2(a 0)的图象向上（或向下）平移|c|个单位得到 的，顶点坐标为(0，c)． 抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直 线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已． 【考点一】二次函数➼➻概念的理解与认识➼➻定义★★参数★★解析式 【例1】若函数 是关于x的二次函数，求m的值． 【答案】1 【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数． 解：∵函数 是关于x的二次函数， ∴ ， ， 解得 ， ∴ 的值为1． 【点拨】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】下列函数属于二次函数的是( ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】一般地，形如 (a、b、c是常数， )的函数，叫做二次函数，据此判断即 可． 解：A、 是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、 符合二次函数的定义，故本选项符合题意； C、 ，是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、 的右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查二次函数的判定，熟练掌握二次函数的定义是解题关键． 【变式2】用长为 的绳子围成一个长方形，设长方形的面积为y ，一边长为 ，用含有x 的代数式表示y为 ，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出另一边长，再根据长方形的面积公式即可得出y与x的关系式． 解：①由题意可知，这个长方形的周长为 又因为一边长为 ， 所以另一边长为 又∵长方形面积 长 宽， ， 所以 ． ②∵ ， ∴ ∴自变量x的取值范围是 ． 故答案为：① ；② ．【点拨】本题主要考查了列函数关系式，准确分析列式是解题的关键． 【考点二】二次函数y=ax2(a≠0)的图象➼➻图象★★解析式 【例2】已知二次函数 的图象经过点 ．求： (1) 该函数解析式及对称轴； (2) 试判断点 是否在此函数的图象上． 【答案】(1) ，对称轴为y轴；(2)点 不在此函数的图象上 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出对称轴即可； （2）求出当 ，y的值即可得到答案． （1）解：∵二次函数 的图象经过点 ， ∴ ， ∴ ， ∴二次函数解析式为 ， ∴二次函数对称轴为y轴； （2）解：在 中，当 时， ， ∴点 不在此函数的图象上． 【点拨】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，正确求出对应的函数解析式是解题的 关键． 【举一反三】 【变式1】已知y= 是二次函数且其图象开口向上，求m的值和函数解析式． 【答案】m=1，y= 【分析】根据二次函数的定义，得m2+m=2且m+1>0，确定m的值，然后把m的值代入函数式即可得 到答案． 解：∵函数是二次函数且其图象开口向上，∴ ， 解得：m=1， ∴二次函数的解析式为：y= ． 【点拨】本题考查了二次函数的定义及性质，二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是： a、b、c为常数且 a≠0，自变量最高次数为2．当a<0时，二次函数图象开口向下；当a＞0时，二次函数图象开口向 上． 【变式2】在同一平面直角坐标系中，画出 和 的图象． 【分析】用列表，描点，连线的方法，即可作出图象． 解：列表如下： x 0 1 2 12 0 3 12 0 描点：如图所示，以表中各组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点． 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，则 和 的图象如图所示． 【点拨】本题主要考查了二次函数的图象，根据已知函数解析式画出图象是解本题的关键． 【考点三】二次函数y=ax2(a≠0)的性质➼➻对称轴★开口方向★顶点坐标★增减性 【例3】已知函数 是关于x的二次函数，求： (1) 满足条件m的值．(2) m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x为何值时y随x的增大而增 大？ (3) m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x为何值时，y随x的增大而减小． 【答案】(1)2或 ；(2)当 时，抛物线的最低点为 ，当 时，y随x的增大而增大；(3)当 时，二次函数的最大值是0，当 时，y随x的增大而减小 【分析】（1）根据二次函数的定义可求得m的值； （2）根据二次函数的性质得当 时，抛物线有最低点，然后根据二次函数的性质确定顶点坐 标和增减性； （3）根据二次函数的性质得到当 时，抛物线开口向下，函数有最大值，然后根据二次函数的 性质确定最大值和增减性． （1）解：根据题意得 且 ， 解得 ， ， 所以满足条件的m值为2或 ． （2）解：当 时，抛物线有最低点， 所以 ， 此时抛物线解析式为 ， 所以抛物线的最低点为 ，当 时，y随x的增大而增大． （3）解：当 时，抛物线开口向下，函数有最大值； 此时抛物线解析式为 ， 所以二次函数的最大值是0，当 时，y随x的增大而减小． 【点拨】本题考查了二次函数的定义和二次函数的最值，解决本题的关键是要注意二次函数的二次项 系数不为零． 【举一反三】 【变式1】根据下列条件分别求a的取值范围． (1) 函数 ，当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大； (2) 函数y＝ 有最大值；(3) 抛物线 与 的形状相同； (4) 函数 的图象是开口向上的抛物线． 【答案】(1) ；(2) ；(3) 或 ；(4) ． 【分析】（1）根据二次项的系数小于0，对称轴左边y随x增大而减小，对称轴右边y随x增大而增 大，可得答案； （2）根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于0； （3）根据抛物线的形状相同，可得两个二次函数的二次项系数相同或互为相反数； （4）根据函数图象开口向上，可得二次项系数与0的关系． （1）解：由题意得 ， 解得 ． （2）由题意得 ， 解得 ． （3）由题意得 或 ， 解得 或 ； （4） 函数土象开口向上 ． 【点拨】本题考查了二次函数图象得性质，解决本题的关键是根据二次函数图象性质求解． 【变式2】已知函数y＝（k﹣2） 是关于x的二次函数，求： （1）满足条件的k的值； （2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增大而减小？ 【答案】（1） ；（2）k＝1，最高点为（0，0），当x＜0时，y随x的增大而增大；（3） k＝3，最小值为0，当x＜0时，y随x的增大而减小． 【分析】（1）由于函数是二次函数，所以x的次数为2，且系数不为0，即可求得满足条件的k的 值；（2）抛物线有最高点，所以开口向下，系数小于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值， 再根据二次函数性质即可知函数的单调区间； （3）函数有最小值，则开口向上，然后根据二次函数性质可求得最小值，即可知函数单调区间． 解：（1）∵函数y＝（k﹣2） 是关于x的二次函数， ∴k满足 ，且k﹣2≠0， ∴解得： ； （2）∵抛物线有最高点， ∴图象开口向下，即k﹣2＜0，结合（1）所得， ∴k＝1， ∴最高点为（0，0），当x＜0时，y随x的增大而增大． （3）∵函数有最小值， ∴图象开口向上，即k﹣2＞0， ∴k＝3， ∴最小值为0，当x＜0时，y随x的增大而减小． 【点拨】本题考查了二次函数的定义、待定系数法求解析式、解一元二次方程以及二次函数图像的性 质；解决本题的关键在于知道二次函数的表达形式，用待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数图像 的性质． 【考点四】二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质★★几何综合 【例4】如图，在正方形 中，已知：点A，点B在抛物线 上，点C，点D在x轴上． （1）求点A的坐标； （2）连接 交抛物线于点P，求点P的坐标．【答案】(1) ； (2)P点的坐标为 【分析】（1）根据题意设 ，则 ，代入抛物线的解析式即可求得 ，得到 ； （2）根据待定系数法求得直线 的解析式，然后与抛物线解析式联立成方程组，解方程组即可求得 P点的坐标． （1）解：由题意可设 ，则 ， ∵点A在抛物线 上， ∴ ， ∴ 或 （舍去）， ∴ ； （2）解：设直线 的解析式 ， ∵ ， ， ∴ ，解得 ， ∴直线 为 ， 由 解得 或 ， ∴P点的坐标为 ． 【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出正方形各个点的坐标是解 题的关键． 【举一反三】 【变式1】如图，直线l过x轴上一点 ，且与抛物线 相交于B、C两点．B点坐标为． (1) 求抛物线解析式； (2) 若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得 ，求点D的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为 ； (2) 【分析】(1)把B(1,1)代入 得 ，从而得到抛物线解析式； (2)先根据待定系数法求直线AB的解析式，再联立直线和抛物线解析式解方程组，求出C 的坐标，然后求出 ，再根据二次函数图象上点的坐标特征，可设 ，利用三角形面 积公式，解出t的值即可得到D点坐标． 解：（1）把 代入 得： ， ∴抛物线解析式为 ； （2）设直线AB的函数解析式为 ， 把 ， 代入得： ， ， ∴直线AB的解析式为 ， 将 与 联立得： 或 ，∴ ， ， ∴ ， 设 ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， （舍）， ∴ ． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根 据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.也考查了待定系数法求一次函数解析 式． 【变式2】如图，直线 与抛物线 交于 ， 两点，与 轴于点 ，其中点 的坐标 为 ． (1) 求 ， 的值； (2) 若 于点 ， ．试说明点 在抛物线上． 【答案】(1) ， ；(2)见分析 【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程即可． （2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．利用全等三角形的性质求出点D的坐标，可得结论． 解：（1）把点A（-4，8）代入 ，得： ∴ ； 把点A（-4，8）代入 ，得： ∴ ； （2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N． ∵直线AB的解析式为y=- x+6， 令x=0，则y=6 ∴C（0，6）， ∵∠AMC=∠DNC=∠ACD=90°， ∴∠ACM+∠DCN=90°，∠DCN+∠CDN=90°， ∴∠ACM=∠CDN， ∵CA=CD， ∴△AMC≌△CND（SAS）， ∴CN=AM=4，DN=CM=2， ∴D（-2，2）， 当x=-2时，y= ×22=2， ∴点D在抛物线y= x2上． 【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关 键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【考点五】二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象性质➼➻对称轴★顶点坐标★开口方向 【例5】将函数 、 与函数 的图像进行比较，函数 、 的图像 有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】见分析 【分析】根据抛物线 与抛物线 的性质进行比较即可． 解：抛物线 （其中 、 是常数，且 ）的对称轴是 轴，即直线 ；顶点坐标是 ．抛物线的开口方向由 所取值的符号决定，当 时，开口向上；当 时，开口向下． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 轴 向上 轴 向上 轴 【点拨】本题考查了 的性质，掌握抛物线 与抛物线 的性质是解题的关 键． 【举一反三】 【变式1】在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线： ， ， ． （1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）请你说出抛物线 的开口方向，对称轴及顶点坐标．【答案】（1）抛物线 ， 与 开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依 次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）开口向上，对称轴是y轴（或直线 ），顶点坐标为 （0，c）． 【分析】（1）首先利用取值、描点、连线的方法作出三个函数的图象，根据二次函数图象，可得二 次函数的开口方向，对称抽，顶点坐标，通过观察归纳它们之间的关系． （2）由（1）的规律可得抛物线 的开口方向，对称轴及顶点坐标． 解：（1）列表： … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 2 0 2 … 描点、连线，可得抛物线 ． 将 的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到 与 的图象（如 图所示）． 抛物线 ， 与 开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0， 0）、（0，3）和（0，-3）． （2）抛物线 的开口向上，对称轴是y轴（或直线 ），顶点坐标为（0，c）． 【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象，发现图象的变化规律是解答此题的关键． 【变式2】求符合下列条件的抛物线 的表达式.（1）与 的开口大小相同，方向相反； （2）经过点（-3,2）. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】（1）根据两抛物线开口大小相同，方向相反时，二次项系数化为相反数解答即可； （2）把x=-3，y=2代入解析式求出a的值即可； 解：（1）∴函数与 的开口大小相同，方向相反， ∴ ， ∴ ； （2）将点（-3，2）代入 ，得 ，解得 ， ∴所求抛物线的表达式为 . 【点拨】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，正确代入计算、理解函数性质是解题的关键． 【考点六】二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象性质➼➻图象位置 【例6】当 时，二次函数 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可． 解： ， ∵ ， ∴抛物线的开口向下，与 轴交于正半轴，对称轴为： ，故选D． 【点拨】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】函数y＝ax－a和 （a为常数，且 ），在同一平面直角坐标系中的大致图象 可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据 的顶点坐标为 判断A，B不符合题意，再由C，D中的二次函数的图 象判断 则 从而可得答案． 解：由 的顶点坐标为 故A，B不符合题意； 由C，D中二次函数的图象可得： 函数y＝ax－a过一，二，四象限， 故C符合题意，D不符合题意， 故选C 【点拨】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与 性质”是解本题的关键． 【变式2】函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】先根据一次函数的性质确定a>0与a<0两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结 论． 解：函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0） A. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应 交于y轴负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确； B. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应 交于y轴负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B不正确； C. 函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应 交于y轴正半轴，故选项C不正确； D. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应 交于y轴正半轴正确，故选项D正确； 故选D． 【点拨】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题 的关键． 【考点七】二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象性质➼➻增减性 【例7】已知函数 是关于x的二次函数． (1) 求m的值； (2) 函数图象的两点 ， ，若满足 ，则此时m的值是多少？ 【答案】(1) 或 ；(2) 【分析】（1）根据二次函数的定义可得 ， ，即可求解； （2）点 ， ，且 ，可得在对称轴右边，y随x的增大而减小，即可进行解答． （1）解：∵函数 是关于x的二次函数， ∴ ， 解得： 或 ． （2）∵该函数的对称轴为y轴，点 ， ，且 ，∴在对称轴右边，y随x的增大而减小， ∴ ，解得 ∴ ． 【点拨】本题主要考查了二次函数的图象定义和性质，解题的关键是掌握二次函数的二次项系数不为 0，次数最高为2； 时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y 随x的增大而增大， 时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y 随x的增大而减小． 【例3】已知抛物线 过点 和点 ． （1）求这个函数的关系式； （2）写出当 为何值时，函数 随 的增大而增大． 【答案】（1） ；（2）当 时，函数 随 的增大而增大 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）求出对称轴，根据二次函数的图像与性质即可求解． 解：（1）∵抛物线 过点 和点 ， ，解得 ∴这个函数得关系式为： ． （2）∵二次函数 开口向下，对称轴为x=0， ∴当 时，函数 随 的增大而增大． 【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用． 【变式2】已知 都在函数 图象上，则 的大小关系为 （ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入二次函数解析式，计算出 ，， 的值，然后比较它们的大小． 解：当 时， ； 当 时， ； 当 时， ， 所以 ． 故选：A． 【点拨】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于把坐标代入解析式． 【考点八】二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象性质➼➻几何综合 【例8】如图，抛物线 经过正方形 的三个顶点A，B，C，点B在 轴上，则 的值 为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接 ，交y轴于点D，根据正方形的性质可知 ，然后可得点 ，进而代入求解即可． 解：连接 ，交y轴于点D，如图所示：当 时，则 ，即 ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ∴点 ， ∴ ， 解得： ， 故选B． 【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正 方形的性质是解题的关键． 【举一反三】 变式1】如图，已知P是函数y 1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H， 连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个 定值为 ． 【答案】2 【分析】设p(x， x2-1)，则OH=|x|，PH=| x2-1|，因点P在x轴上方，所以 x2-1>0，由勾股定理 求得OP= x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案． 解：设p(x， x2-1)，则OH=|x|，PH=| x2-1|， 当点P在x轴上方时，∴ x2-1>0, ∴PH=| x2-1|= x2-1， 在Rt OHP中，由勾股定理，得 △OP2=OH2+PH2=x2+( x2-1)2=( x2+1)2， ∴OP= x2+1， ∴OP-PH=（ x2+1）-（ x2-1）=2， 故答案为：2． 【点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，利用坐标求线段长度是解题的关键．