文档内容
专题 22.19 二次函数常考考点分类专题（全章专项练习）（培优
练）
【考点目录】
【考点1】二次函数的配方； 【考点2】抛物线对称轴、开口方向、顶点坐标、最值；
【考点3】抛物线的与坐标轴交点坐标； 【考点4】二次函数的增减性；
【考点5】二次函数的对称性； 【考点6】二次函数图象与性质综合；
【考点7】一次函数、二次函数图象综合； 【考点8】二次函数与一元二次方程；
【考点9】二次函数与不等式； 【考点10】二次函数图形变换（平移、旋转、折叠）；
【考点11】二次函数与将军饮马； 【考点12】实际问题与二次函数；
【考点13】由二次函数图象判断式子符号； 【考点14】二次函数综合问题；
一、单选题
【考点1】二次函数的配方；
1．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）抛物线 是常数）的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）若抛物线 的顶点在x轴上，则m的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【考点2】抛物线的对称轴、开口方向、顶点坐标、最值；
3．（23-24九年级上·河南濮阳·期中）对于二次函数 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是
C．顶点坐标是 D．与x轴无交点
4．（2024·陕西榆林·二模）已知抛物线L： ，抛物线L与 关于x轴对称，抛物线
的顶点为 ，则抛物线L的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【考点3】抛物线的与坐标轴交点坐标；
5．（2024·陕西西安·一模）已知二次函数 的图象顶点为 ，将二次函数沿 轴向下平移后的抛物线与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．若 面积为 ．则 等于
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）下列函数的图象与 轴正半轴有交点的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点4】二次函数的增减性；
7．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知 ，当 时， 随 的增大而减小，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系 中，点 和点 在抛物线 上，若
，点． ， ， 在该抛物线上．若 ，比较 ， ， ， 的大小，则下列判断
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点5】二次函数的对称性；
9．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数 ，当自变量x取两个不同的值 、
时，函数值相等，则当自变量x取 时的函数值与（ ）
A． 时的函数值相等 B． 时的函数值相等
C． 时的函数值相等 D． 时的函数值相等
10．（2024·山东济南·二模）已知二次函数 的图象经过点 ， ，且满足
．当 时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（ ）A． B． C． D．
【考点6】二次函数图象与性质综合；
11．（2024·广西柳州·三模）下列有关函数 的说法不正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线
C．顶点坐标是
D．函数图象中，当 时，y随x增大而减小
12．（2023·河南平顶山·模拟预测）对于二次函数 的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标是
C．当 时， 随 的增大而增大 D．对称轴是直线
【考点7】一次函数、二次函数图象综合；
13．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知 ，在同一直角坐标系中，函数 与 的图像有
可能是（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·广西桂林·二模）如图所示，已知函数 的图象与一次函数 的图象有三
个交点，则b的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【考点8】二次函数与一元二次方程；
15．（23-24九年级上·山东威海·期末）已知关于x的方程 的两个根分别是 ，
若点A是二次函数 的图象与y轴的交点，过A作 轴交抛物线于另一交点B，则 的
长为（ ）
A．2 B． C． D．3
16．（23-24九年级上·四川成都·期中）根据如表的对应值，可判断关于 的一元二次方程
必有一个根满足（ ）
… …
… …
A． B． C． D．
【考点9】二次函数与不等式；
17．（23-24九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，二次函数 （ 为常数）的
图象顶点在 轴上，当图象经过点 ， 时， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D． 或
18．（2024·湖北黄石·一模）已知点 在抛物线 上，点 在直线
，当 时，下列判断正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【考点10】二次函数的图形变换（平移、旋转、折叠）；
19．（2024·江苏淮安·一模）点 在抛物线 上，将抛物线 进行平移得抛物线， 的对应点为 ，则点 移动的最短路程为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
20．（2023·山东济南·三模）已知在平面直角坐标系中，点 为 ，点 为 ，将抛物线 ：
，绕原点旋转 得到抛物线 ，若抛物线 与线段 只有一个公共点，则 的取值范
围是( )
A． B．
C． 或 D． 或
【考点11】二次函数与将军饮马；
21．（20-21九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在抛物线 上有 ， 两点，其横坐标分别为
1，2；在 轴上有一动点 ，当 最小时，则点 的坐标是（ ）
A．（0.0） B．（0， ） C．（0，2） D．（0， ）
22．（19-20九年级上·湖北十堰·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 的对称轴为
，且经过点A（2，1），点 是抛物线上的动点， 的横坐标为 ，过点 作 轴，
垂足为 ， 交 于点 ，点 关于直线 的对称点为 ，连接 ， ，过点A作AE⊥x轴，垂足
为E，则当 （ ）时， 的周长最小.A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【考点12】实际问题与二次函数；
23．（23-24九年级上·福建福州·期中）小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测
量得到如下数据：圆形喷水池直径为 ，水池中心 处立着一个圆柱形实心石柱 ，在圆形喷水池
的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心 处到达最大高度为 ，从各
方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点 处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则 的
高度是（）
A． B． C． D．
24．（2024·天津河东·二模）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调
整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每
件40元，有下列结论：
①设每件涨价x元，则实际卖出 件；
②在降价的情况下，降价5元，即定价55元时，利润最大，最大利润是6250元；
③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价 元时利润最大；
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点13】由二次函数图象判断式子符号；
25．（2023·陕西安康·一模）已知二次函数 的图象经过点 ， ， ，
， ．下列说法正确的有（ ）
A．
B．方程 的根为 ，
C．D．对于任意实数 ，总有
26．（2024·山东济南·模拟预测）已知：抛物线 经过点 和 ．
下列结论：① ；② ；③若方程 有实数根，则 ；④
直线 与函数 的图象有两个公共点时，则 ．其中正确的结论的个
数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点14】二次函数综合问题；
27．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形 的顶点 ， 在抛物线 上，点 在
轴上．若 两点的横坐标分别为 （ ），下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
28．（2024·广东肇庆·一模）如图，在正方形 中，点B，C的坐标分别是 ， ，点D在抛
物线 的图像上，则b的值是（ ）
A． B． C． D．二、填空题
【考点1】二次函数的配方；
29．（23-24九年级上·四川眉山·期末）已知二次函数 可以写成 ，则 的
取值范围是 ．
30．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数 ，其顶点坐标为 ．
【考点2】抛物线的对称轴、开口方向、顶点坐标、最值；
31．（2022·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线 的对称轴是直线 ．
32．（2024·上海普陀·一模）如图，抛物线 的顶点为 ， 为对称轴上一点，如果 ，
那么点M的坐标是 ．
【考点3】抛物线的与坐标轴交点坐标；
33．（23-24九年级上·浙江杭州·开学考试）已知函数 的图象与坐标轴只有两个交点，
则 ．
34．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若二次函数 的图象与坐标轴有两个公共点，则b满
足的条件是 ．
【考点4】二次函数的增减性；
35．（23-24九年级下·吉林长春·期中）对于二次函数 ，当 时，y随x的增大而增
大、已知此二次函数的图象上有一点 ，则m的取值范围为 .
36．（2023·上海长宁·一模）已知抛物线 经过点 ， ，试比较 和的大小： ．（填“>”，“<”或“=”）
【考点5】二次函数的对称性；
37．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知 和 时，多项式 的值相
等，则当 时，多项式的值为 .
38．（2024·福建宁德·二模）已知点 ， ， 在抛物线 （
）上．若点A在对称轴左侧，则 ， ， 的大小关系是 ．（用“>”，“<”或“=”连
接）
【考点6】二次函数图象与性质综合；
39．（2024·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线 （a、h为常数）与直线
（m为常数）相交于A、B两点，若抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距
离相等，且 的面积为4，则a的值为 ．
40．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点 在第二象限，以 为顶点
的抛物线 经过原点，与 轴负半轴交于点 ，点 在抛物线上，且位于点 、 之间（
不与 、 重合）.若四边形 的周长为14， 的周长大于8，则 的取值范围为 ．
【考点7】一次函数、二次函数图象综合；
41．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知函数 是常数， ，
是常数， ，在同一平面直角坐标系中，若无论 为何值，函数 和 图象总有公共点，则 的取
值范围是42．（23-24九年级上·河南信阳·期中）如图，抛物线 与直线 交于点 和点B．
点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N．若线段MN与抛物线只有一个公
共点，写出点M的横坐标 的取值范围 ．
【考点8】二次函数与一元二次方程；
43．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·开学考试）已知抛物线 与 轴交于点 ，点 是抛物
线上的动点， ，若 是以 为底的等腰三角形，则点 的坐标为 ．
44．（23-24九年级下·湖南岳阳·阶段练习）若关于x的方程 恰有三个根，则t的值为
．
【考点9】二次函数与不等式；
45．（22-23九年级上·河南安阳·期中）如图，二次函数 与一次函数
的图象相交于点 ， ，则使 成立的 的取值范围是 ．
46．（2024·福建漳州·二模）在同一平面直角坐标系 中，若无论m为何值，直线l：
与抛物线W： 都有交点，则a的取值范围是 ．
【考点10】二次函数的图形变换（平移、旋转、折叠）；47．（23-24九年级上·上海·阶段练习）抛物线 上有一点 ，平移该抛物线，使其顶点落在
点 处，这时，点 落在点Q处，则点 的坐标为 ．
48．（22-23九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，正方形 放置在平面直角坐标系上，
抛物线 经过B，C，点D在边 上，连结 ，将 沿着 折叠，使点A落在此抛
物线的顶点E处，若 ，则a的值是 ．
【考点11】二次函数与将军饮马；
49．（22-23九年级上·河南许昌·期中）如图，抛物线 与x轴分别交于A，B两点（点A在
点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接 ，则当 的周长最小
时，点M的坐标是 ．
50．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于
点 ，点 是抛物线的对称轴上一动点，连接 和 ，则 的最小值是 ．【考点12】实际问题与二次函数；
51．（2024·青海西宁·一模）电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件 元，在铅售过程中发现
（件）与每件玩具售价 元）之间满足一次函数关系 （其中 ，且 为整数），
电商平台每周销售这款玩具所获的最大利润为 元．
52．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围
墙 于点O（如图），其中 上的 段围墙空缺．同学们测得 m， m，
m， m， m．班长买来可切断的围栏 m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形
菜地，则该菜地最大面积是 ．
【考点13】由二次函数图象判断式子符号；
53．（22-23九年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，抛物线 的对称轴是直线 ，
并与 轴交于 ， 两点，若 ，则下列结论中：① ；② ；③ ；
④若 为任意实数，则 ，正确的序号是 ．54．（22-23九年级上·福建莆田·期中）如图，二次函数 的图象与x轴交于点 ，与y
轴的交点B在 与 之间（不包括这两点），对称轴为直线 ．下列结论：① ；②
；③若点M ，点N 是函数图象上的两点，则 ；④ ；⑤若t
为任意实数，则 ，其中正确的结论有 ．
【考点14】二次函数综合问题.
55．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线 与x轴交于点A、B（点A在B左侧），抛物线
的顶点为C，点 D为抛物线上一点，且在对称轴右侧，若 的面积为3，则点D的坐标为
．
56．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，抛物线 的图象与 轴交于点 ，点 与点
关于该抛物线的对称轴对称，已知一次函数 的图象经过该二次函数图象上的点 及 点．
点 在线段 上（不含端点）的动点，过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ，交直线 于点 ．（1）当 时，点 横坐标为 ．
（2）在直线 下方的抛物线上存在点 ，使 （点 不与点 重合）．则点 的坐标为 ．参考答案：
1．B
【详解】由 ，
∴顶点坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∴顶点在第二象限，
故选： ．
【分析】根据二次函数的性质求出抛物线的顶点坐标，根据绝对值和偶次方的非负性判断．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标的确定方法、绝对值和偶次方的非负性
是解题的关键．
2．D
【分析】先把抛物线转化为顶点式求得顶点坐标为 ，根据坐标轴上点的特征可得 ，再解
方程即可．本题主要考查二次函数的顶点式以及二次函数的性质，掌握配方法，把二次函数化为顶点式
是关键．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
∵顶点在x轴上，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
3．D
【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，解题的关键是掌握 的对称轴为 ，顶
点坐标为 ； 时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的
增大而增大， 时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
【详解】解：A、∵ ，
∴该二次函数开口向上，故A不正确，不符合题意；
B、该二次函数对称轴是 ，故B不正确，不符合题意；
C、该二次函数顶点坐标为 ，故C不正确，不符合题意；
D、当 时， ，整理得： ，该方程无解，
∴该二次函数与x轴没有交点，故D正确，符合题意；
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，关于x轴对称的点的坐标特征，熟知二次函数的性质以
及二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键，根据抛物线 、L关于x轴
对称，则它们的顶点的纵坐标化为相反数得到抛物线L顶点坐标为 ，由对称轴公式即可求得 ，
从而求得抛物线L顶点坐标为 ，抛物线L为 ，代入即可求得 ，即可求得抛物
线L的顶点坐标为 ．
【详解】解：∵抛物线 的顶点为 ，
∴抛物线L顶点坐标为 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线L顶点坐标为 ，抛物线L为 ，
∴ ，
解得 ，∴抛物线L的顶点坐标为 ，
故选：B．
5．C
【分析】
本题考查了二次函数的平移，解答时表示点D的坐标，设出函数图象向下平移 个单位，求出点C
坐标，根据 面积为 ，求出 ，从而求出二次函数与x轴的交点横坐标，求解 即可．
【详解】解：由题意， ，则点D的坐标为 ，
设将二次函数 的图象向下平移 个单位，
则点C坐标为 ，
∵ 面积为 ，
∴ ，
解得， ，
则平移后的解析式为： ，
当 时， ，
解得 ，
则 ，
故选：C
6．D
【分析】本题考查了一次函数，二次函数和反比例函数的性质，根据一次函数，二次函数和反比例函数
的图象性质进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】 、当 时， ，与 轴交点在负半轴上，不符合题意；、由 的图象与 ， 轴无交点，不符合题意；
、当 时， ，与 轴交点在负半轴上，不符合题意；
、当 时， ，与 轴正半轴有交点，符合题意；
故选： ．
7．A
【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及二次函数增减性、解一元一次不等式等知识，根据题意，
确定 的增减性，再由条件限制得到关于 取值范围即可确定答案，熟记二次函数图像与性
质是解决问题的关键．
【详解】解： 知抛物线开口向上，对称轴为 ，
当 时， 随 的增大而减小，
当 时， 随 的增大而减小，
，解得 ，
故选：A．
8．D
【分析】
本题考查抛物线的性质，根据点 和点 在抛物线 上得到 ， ，
表示出 ， ， ， ， ，结合 判断式子与0的关系即可得到答案；
【详解】解：∵点 和点 在抛物线 上，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， 在该抛物线上，
∴ ，，
， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
故选：D．
9．B
【分析】本题考查二次函数的图象性质，利用二次函数的对称性解决问题是关键．由题意可得以这两个
自变量的值为横坐标的点，关于抛物线的对称轴对称．求出 ，代入求出y，再分别把每项的
函数值y，看看y值是否相等即可．
【详解】解：∵ 的对称轴为直线 ，
∵自变量x取两个不同的值 、 时，函数值相等，则以 、 为横坐标的两点关于直线 对称，
∴ ，
代入二次函数的解析式得： ，
A、当 时， ，故本选项不符合题意；
B、当 时， ，故本选项符合题意；
C、当 时， ，故本选项不符合题意；
D、当 时， ，故本选项不符合题意．
故选：B．
10．C
【分析】本题主要考查了抛物线的图象与性质，判断对称轴在 之间、确定函数的最大值是 时所对应的函数值，函数的最小值是 时所对应的函数值是解题的关键．由二次函数 的图象
经过点 ， 两点，得出对称轴为直线 ，即可得出对称轴在 之间，根据函数的
最大值是 时所对应的函数值，函数的最小值是 时所对应的函数值，求解即可．
【详解】解： 二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，
图象开口向上，对称轴为直线
∵对称轴为直线 ，
∴
，
∴
，
当 时，函数的最小值是 时所对应的函数值，
且为
函数的最大值是 时所对应的函数值，
∴ ，
∴ ，代入 ，得
故选：C．
11．C
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
直接根据二次函数的图象性质逐项判断即可．
【详解】解：A、∵函数 ， ，
∴开口向上，正确，故此选项不符合题意；
B、∵函数 ，
∴对称轴是直线 ，正确，故此选项不符合题意；
C、∵函数 ，∴顶点坐标是 ，原说法不正确，故此选项符合题意；
D、∵函数 ，
∴开口向上， 对称轴是直线 ，
∴当 时，y随x增大而减小，当 时，y随x增大而增大，
∴当 时，y随x增大而减小，正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
12．D
【分析】本题考查了二次函数 的图像和性质，掌握顶点式及抛物线的性质是解题的关键．
【详解】解：A、 ，开口向上，故A说法正确，不合题意；
B、顶点坐标为 ，故B说法正确，不合题意；
C、当 时，抛物线右侧部分， 随 的增大而增大，故C说法正确，不合题意；
D、抛物线对称轴为 ，故D说法错误，符合题意；
故选：D．
13．C
【分析】根据题意，得 ，解得 或 ，故两个函数有两个不同的交点，据此判断解答即
可．
本题考查了图象的分布，根据交点个数判断是解题的关键．
【详解】根据题意，得 ，
解得 或 ，
故两个函数有两个不同的交点 ，
故选择C．
14．D
【分析】此题考查了一次函数和二次函数图象交点问题，一元二次方程的判别式，首先根据题意画出图象，然后求出 ，代入 求出 ；然后得到当一次函数 的
图象与 相切时，得到 的 ，进而求出 ，然后根据图象求解即可．
【详解】解：如图所示，
当 时，函数 ，
∴ ，
当一次函数 的图象经过点A时，
∴ ，解得 ；
当一次函数 的图象与 相切时，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴由图象可得，当 时，函数 的图象与一次函数 的图象有三个交点．
故选：D．
15．A【分析】本题考查方程的解，二次函数的图象及性质，抛物线与坐标轴的交点．
把解 代入方程 中，即可求得b，c的值，从而得到二次函数解析式，令
得到点A的坐标，由 轴与点B在二次函数图象上得到点B的坐标，从而可求得 的长．
【详解】∵方程 的两个根分别是 ，
∴ ，
解得 ，
∴二次函数为 ，
令 ，则 ，
∴二次函数为 的图象与y轴的交点A的坐标为 ，
∵ 轴，
∴点B的纵坐标为 ，
把 代入函数 ，得 ，
解得： ， ，
∴点B的坐标为 ，
∴ ．
16．D
【分析】本题考查二次函数图像与一元二次方程的解之间的关系．观察表格可知，随 的值逐渐增大，
的值先增大、后减小，当 和 时，方程的值相同，在 之间由负到正，故在 之间由正到负，即可判断 时，对应的 的值在 或 之间．解题的关键
是观察表格，确定函数值由负到正或由正到付时，对应的自变量取值范围．
【详解】解：根据表格可知， 时，对应的 的值在 或 之间．
故选：D．
17．C
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，先求出顶点坐标为 ，再根据顶点在 轴上，
得到 ，解方程得到 ，则二次函数解析式为 ，则二次函数开口向
上，对称轴为直线 ，离对称轴越远函数值越大，据此可得 ，解之即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为 ，
∴二次函数顶点坐标为 ，
∵顶点在 轴上，
∴ ，
∴ ，
∴二次函数解析式为 ，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线 ，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵二次函数图象经过点 ， 时， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
18．C
【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合应用：根据函数的性质画出函数的大致图像，根据图象数
形结合，逐项判断即可．【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为 ，
抛物线 与直线 经过点 ，
，
∴抛物线 开口向上，直线 经过一、二、四象限，
当 时， 或 ，
当 时， 或 ，故A、B错误，不符合题意；
当 时，图像位于 轴的左侧，可知 ；故C正确，符合题意；
当 时，图像位于 轴的左侧，可知 或 ；故D错误，不符合题意．
故选：C．
19．C
【分析】本题考查了二次函数的平移、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定了，先求出 或 ，
再根据平移规律得出 的坐标为 或 ，最后由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解： 点 在抛物线 上，
，
解得： 或 ，或 ，
将抛物线 进行平移得抛物线 ，
平移方式为：向左平移 个单位长度，向下平移 个单位长度，
的对应点为 的坐标为 或 ，
点 移动的最短路程为 ，
故选：C．
20．A
【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得到
二次函数图象绕原点旋转 得到抛物线的解析式．先得出该二次函数绕原点旋转 得到抛物线的解
析式，再把点A和点B分别代入，求出m的值，即可解答．
【详解】解：将抛物线 ： ，绕原点旋转 得到抛物线 ： ，
即 ，
当抛物线 经过点 时，则 ，解得 ；
当抛物线 经过点 时，则 ，解得 ，
当抛物线 与 轴有一个交点时，则 ，
，
解得 ，
此时 ，与 轴的交点为 ，不合题意，
若抛物线 与线段 只有一个公共点，则 的取值范围是 ．
故选：A．
21．D
【详解】解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1，
连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点，
当x＝﹣1时，y＝﹣1，当x＝2时，y＝﹣4，
所以，点A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
设直线A′B为
当x=0时，y=-2
即C（0，-2）
故选D
【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函
数的对称性确定出点C的位置是解题的关键．
22．A
【分析】因为O与D关于直线PB的对称，所以PB垂直平分OD，则CO=CD，因为，△ACD的周长
=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO+AD，AO= ，所以当AD最小时，△ACD的周长最小；根
据垂线段最短，可知此时点D与E重合，其横坐标为2，故m=1．
【详解】∵O与D关于直线PB的对称，
∴PB垂直平分OD，
∴CO=CD，
∵△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO+AD，AO= ，
∴当AD最小时，△ACD的周长最小；
∴此时点D与E重合，其横坐标为2，故m=1．
故选A.【点睛】此题考查中心对称，垂直平分线的性质，垂线的性质，解题关键在于掌握运算法则.
23．B
【分析】该题主要考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，解题的关键是根据题意得到点的坐标；
设解析式为 由题意得到顶点坐标及与 轴交点的坐标，代入求解即可得到抛物线解析式；
令 ，代入求解即可得到答案；
【详解】选择图2中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式，
由题意，得抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线对应的函数关系式为 6，
将点 代入，得 ，解得 ，
∴抛物线对应的函数关系式为 ，
当 时， ，
∴点 的纵坐标为 ；
则 的高度是 ，
故选：B．
24．B
【分析】本题考查的是一元二次方程应用的最值问题.
根据题意用未知数表示出未知量；根据题目的条件列出一元二次方程，转化为一般式，求出最值.
【详解】解：∵每星期可以卖出300件，
又∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，设每件涨价x元，
∴实际卖出 件.
故①正确；
设降价y元，那么卖出 件，
根据题意可得：所获得的利润 .当 时，利润最大，售价为： ，利润最大为： .
故②错误；
设涨价x元，
由题意可得：所获利润
当 时，利润最大，售价为： ，利润最大为： .
综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价为65元时利润最大.
故③错误.
故答案选：B
25．ABCD
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标
的特征，函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
利用抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴，利用对称轴方程可得 ， 的关系，用待定系数法将
代入，可得 与 的关系，判定A正确；利用两点到对称轴的距离可判定C正确；令 解方程即可判定
B正确；利用函数的最小值可判定D正确．
【详解】解： ，
抛物线 开口向上．
二次函数 的图象经过点 ， ，
抛物线 的对称轴为直线 ．
．
．
二次函数 的图象经过点 ，
．
．
．，
A的说法正确；
点 到直线 的距离大于点 到直线 的距离，
，
C的说法正确；
令 ，则 ．
， ，
．
，
即 ．
解得： ， ，
方程 的解为 ， ．
∴B的说法正确；
， ，
当 时， 有最小值为 ，
对于任意实数 ，总有 ．
D的说法正确．
故选：ABCD．
26．C
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次
函数图象上点的坐标特征等知识点，掌握二次函数与方程的关系是解题的关键．
由题意可知 、 、 的符号，即可判断 ；由 ， ， ，得出 ，
即可判断 ；由抛物线与直线 有交点时，抛物线顶点纵坐标小于或等于 ，可判断 ；当直线
经过点 时，有 个交点，此时 ，当直线 经过点 时，有 个交点，此时
，当直线 与函数 的图象只有 个交点，即可判断 ．【详解】解： 抛物线 经过点 和 ，则 ，
∴ ，则 ，
抛物线的开口向上，对称轴在 轴的左侧，与 轴的交点在 轴下方则， ，
，故 正确；
， ， ，
，
，
，
，故 正确；
抛物线开口上，
抛物线与直线 有交点时，抛物线顶点纵坐标小于或等于 ，即 ，
，
方程 有实数根时 ，即 ，故 正确；
当直线 经过点 时，有 个交点，此时 ，
当直线 经过点 时，有 个交点，此时 ，
当直线 与函数 的图象只有 个交点，
即：方程 只有1个解，
亦即： ，
则 ，可得： ，
若交点在 部分时，此时直线 与函数 的图象有3个公共点，
若交点在 部分时，此时直线 与函数 的图象有2个公共点，∴当 时，直线 与函数 的图象也有两个公共点，
故 不正确．
故选：C．
27．B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要
熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接 、 交于点 ，过点 作 轴于点 ，过点
作 于点 ，先证明 ．可得 ， ．点 、 的横坐标分别
为 、 ，可得 ， ． ， ， ，设 ，则
， ， ， ， ， ．再由
， 进而可以求解判断即可．
【详解】解：如图，连接 、 交于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，
四边形 是正方形，
、 互相平分， ， ，
， ，
．
， ，
．
， ．
点 、 的横坐标分别为 、 ，
， ．
， ， ，设 ，则 ， ，
， ， ， ．
又 ， ，
， ．
．
．
．
点 、 在 轴的同侧，且点 在点 的右侧，
．
．
故选：B．
28．B
【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，作 轴， 轴，证明 ，进而求出
点坐标，代入解析式进行求解即可．
【详解】解：如图所示，作 轴， 轴，则： ，
四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点B，C的坐标分别是 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵点D在抛物线 的图像上，
∴ ，
∴ ；
故选B．
29．
【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的相互转化、待定系数法等知识，将顶点式化成一般式
确定对应系数，然后配方即可求解，熟练能将一般式与顶点式相互转化是解题的关键．
【详解】解：
故答案为 ： ．
30．
【分析】利用配方法把解析式化为顶点式，根据“二次函数 的性质：顶点坐标是 ，
对称轴是直线 ”即可得出答案．掌握把一般式化为顶点式是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴其顶点坐标为 ．
故答案为： ．
31．
【分析】根据二次函数解析式 判断即可；
【详解】∵二次函数解析式为 ，
∴对称轴是直线 ；
故答案是： ．【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式，准确分析判断是解题的关键．
32．
【分析】本题考查了二次函数的性质；先化为顶点式求得 ，对称轴为直线 ，设 ，根
据 建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，对称轴为直线 ，设 ，
∵ ，则 ，
即 ，
解得： ，
∴ ,
故答案为： ．
33． 或 或
【分析】本题考查了函数与坐标轴的交点问题，分类讨论 和 两种情况即可求解．
【详解】解：①当 时， ，该一次函数与坐标轴有两个交点，满足题意；
②当 时， 为二次函数，
若图象经过原点，则 ，解得： ，
此时 ， ，图象与 轴还有一个交点，满足题意；
或函数 的图象与 轴只有一个交点，
∴ ，
解得： ，综上所述： 或 或 ；
故答案为： 或 或
34． 或0
【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知
识．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关
键．
由题意知，分①二次函数 的图象与 轴有1个公共点；②二次函数 的图象与
轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解作答即可．
【详解】解：∵二次函数 的图象与坐标轴有两个公共点，
∴分①二次函数 的图象与 轴有1个公共点；②二次函数 的图象与 轴有2个
公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解；
①当二次函数 的图象与 轴有1个公共点时， ，
解得 ；
②当二次函数 的图象与 轴有2个公共点，但其中一个点为原点时， ，
∴ ，与 轴有2个公共点，为 或 ，
综上所述，b的值为 或0，
故答案为： 或0．
35． /
【分析】本题考查了二次函数的性质，先得出抛物线的对称轴为直线 ，再根据当 时， 随
的增大而增大，可得 ．根据题意有 ，即 ，问题
随之得解．
【详解】解： ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵当 时， 随 的增大而增大，∴ ，即 ．
∵点 在二次函数 的图象上，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
36．>
【分析】比较三个点离直线 的远近即可得到 、 的大小关系．
【详解】∵
∴抛物线对称轴为直线 ，开口向上，
∵
∴ 离对称轴较近，
∴ ．
故答案为：>．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典
型，但是一道比较容易出错的题目．
37．2
【分析】本题考查了二次函数的性质，令 ，可知对称轴为直线 ，根据题意，求出
，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∵当 和 时， 的值相等，∴
即
解得： ，
即当 时，多项式的值为 ．
故答案为： ．
38． /
【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图像的对称性，根据二次函数的性质和二
次函数图像上点的坐标特征即可得到答案．
【详解】解： 抛物线 ，其中
抛物线的开口向下，对称轴为：直线 ，当 时， 随 的增大而增大，当 时，
随 的增大而减小，
点 、 、 都在抛物线 （ ）上，
关于抛物线对称轴的对称点为 ，
，
故答案为： ．
39．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性，三角形面积公式，待定
系数法求解析式，是解决问题的关键．
根据 轴，抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与 到x轴的距离相等，可知C为顶点，
，对称轴为直线 ，得到 在x轴的上方， ，C到 的距离为4，根据 的面积为4，得到 ，设 ， ，得到 ，即得 ．
【详解】∵抛物线 （a、h为常数）与直线 （m为常数）相交于A、B两点，
∴ 轴，作图如下，
∵抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等，
∴C为顶点， ，对称轴为直线 ，
∴C在x轴下方，到x轴的距离为2，
∴ 在x轴的上方，到x轴的距离为2，
∴ ，
∴C到 的距离为： ，
∵ ，
∴ ，
设点A在点B的左边，则 ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
40．
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质可知 ， ， ，
由题意得出 ， ，等量代换求出 ，然后
结合点A在第二象限可得答案．【详解】解：∵以A为顶点的抛物线 经过原点，
∴ ， ，
∵点B在x轴负半轴，
∴ ，
由题意得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点A在第二象限，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
41． 或
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，求得函数 （k是常数，
）的图象过定点 ，函数 （a是常数， ）与x轴的交点为 ， ，
然后分两种情况讨论即可求得a的取值．
【详解】解：∵ ，
∴函数 （k是常数， ）的图象过定点 ，
∵ ，
∴函数 （a是常数， ）与x轴的交点为 ， ，
当 时，无论k为何值，函数 和 的图象总有公共点，
∴ 满足题意；
当 时，∵无论k为何值，函数 和 的图象总有公共点，
∴ 时， ，即 ，
解得 ，
∴ 满足题意；
∴无论k为何值，函数 和 的图象总有公共点，则a的取值范围是 或 ．
故答案为： 或 ．
42． 或
【分析】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求二次函数解析式及一次函数解析式，二次函数与
一次函数的交点问题，解题关键是利用数形结合思想分类讨论点 在不同位置时， 与抛物线的相交
情况．利用待定系数法求出抛物线的解析式及直线的解析式，进而求出抛物线顶点坐标，点 的坐标，
再分类讨论点 的位置情况，即当点 在点 的左侧时，当点 在线段 上时，当点 在点 的右
侧时，分析 与抛物线的相交情况即可．
【详解】解： 点 为抛物线 与直线 的一个交点，
， ，
解得 ， ，
抛物线解析式为 ，直线的解析式为 ，
抛物线的顶点坐标为
联立方程组得 ，解得 ， ，
点 的坐标为 ，
点 是直线 上的一个动点，点 是将点 向左平移3个单位长度所得，
轴，
又 ， 的水平距离为 ，当 在点 左侧时， 与抛物线无公共点，
当点 在线段 上，不含点 时， 与抛物线有一个公共点，即 ，
当点 在点 右侧时，只有 与抛物线顶点 相交时，即 时， 与抛物线有一
个公共点，
综上所述得， 的取值范围是 或 ．
43． 或
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了
等腰三角形的性质．先计算出自变量为 时所对应的二次函数值得到 点坐标，则过 中点与 轴平行
的直线为 ，再利用等腰三角形的性质得点 为直线 与抛物线 的交点，然后解方程
即可确定 点坐标．
【详解】解：当 时， ，则 ，
是以 为底的等腰三角形，
点 为直线 与抛物线 的交点，
当 时， ，解得 ， ，
点坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
44． 或
【分析】本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用．
作函数 的图象，从而利用数形结合解得．
【详解】 的根的个数即函数 与 的图象的交点个数，
由题意作函数 的图象如图：结合图象可知，
当 过点 或与 相切时，两函数图象有三个交点，
将 代入 得
联立 和 得： ，
则 ，
解得：
或
故答案为： 或 ．
45． 或
【分析】
本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是结合图象求解．根据抛物线与直线交点坐标，结合图象
求解．
【详解】
解： 抛物线与直线交点坐标为 ， ，
或 时，抛物线在直线上方，
使 成立的 的取值范围是 或 ．
故答案为： 或
46． 或
【分析】本题主要考查抛物线和直线交点和利用抛物线的性质求解不等式，根据题意列出不等式，结合有交点将得到的不等式化简变形、求解即可．
【详解】解：由题意知， ，
整理可得： ，
∵直线l与抛物线W都有交点，
∴ ，
整理得 ，得 ，
∵无论m为何值，都有上式成立，
∴ ，解得 或 ．
故答案为： 或 ．
47．
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，由坐标点确定平移方式，再由平移方式确定点的坐标，先利
用二次函数的性质得到抛物线 的顶点坐标为 ，再利用顶点的坐标变换规律得到抛物线的
平移规律，然后利用此平移规律写出点P平移到点Q时的坐标．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标为 ，
∵点 向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点 ，
∴点 向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点 ．
故答案为： ．
48．
【分析】过点 作 轴于点 ，根据二次函数的性质、正方形的性质结合折叠的性质可得出 、
，利用勾股定理可求出点 的坐标，再根据点 、 、 的坐标，利用待定系数法即可求出 值．
【详解】解：过点 作 轴于点 ，如图所示．抛物线 经过 、 ，点 为抛物线的顶点，
．
四边形 为正方形， ，
， ， ．
由翻折可知， ．
在 中， ， ，
，
点 的坐标为 ．
将 、 、 代入 ，
，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、正方形的性质、翻折变换、勾股定理以及待定系数法求二次函数
解析式，利用勾股定理求出顶点 的坐标是解题的关键．
49．
【分析】根据“将军饮马”模型，先求出 ，由二次函数对称性， 关于对称轴对称，从而 ， ，则 周长的最小值就
是 的最小值，根据两点之间线段最短即可得到 的最小值为 三点共线时线段
长，再求出直线 的解析式，即可得到答案．
【详解】解：如图，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接 交函数对称轴于点M，则点M为所求
点，
抛物线 与x轴分别交于 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，
当 时， ，
解得： 或 ，
即 ；
当 时， ，即 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
由二次函数对称性， 关于对称轴对称，即 ，
，
，
周长的最小值就是 的最小值，
根据两点之间线段最短即可得到 的最小值为 三点共线时线段 长，
设直线 的解析式为 ，
把点 ， 代入得：，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴点M的坐标为
故答案为： ．
【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、
解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键．
50．
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接 ， ，设 交抛物线对称轴
于点 ，当 与点 重合时， 取得最小值，最小值为 ，令 分别求得 的坐标，勾
股定理求得 的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ， ，设 交抛物线对称轴于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴当 与点 重合时， 取得最小值，最小值为 ，
∵ ，当 时， ，则
当 时， ，
解得： ,
∴ ，∴
即 的最小值为 ，
故答案为： ．
51．1600
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每周销售这款玩具所获的利润为W，列出W关于x的
二次函数关系式，化为顶点式即可求解．
【详解】解：由题意，利润 ．
∵ ，
∴当 时，y随x的增大而增大．
又∵ ，
∴当 时，w取得最大值．
故答案为：
52．
【分析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必
须尽量使用原来的围墙，观察图形，利用 和 才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利用矩形的面
积公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：要使该矩形菜地面积最大，则要利用 和 构成矩形，
设矩形在射线 上的一段长为 ，矩形菜地面积为 ，
当 时，如图，
则在射线 上的长为则 ，
∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时， 的最大值为 ；
当 时，如图，
则矩形菜园的总长为 ，
则在射线 上的长为
则 ，
∵ ，
∴当 时， 随 的增大而减少，
∴当 时， 的值均小于 ；
综上，矩形菜地的最大面积是 ；
故答案为： ．
53．①②③④
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与其系数之间的关系等等，由抛物线开口
方向，对称轴位置，抛物线与 轴交点可得 ， ， 的符号及 与 的关系，从而判断①；由
及对称轴可得点 坐标，从而判断②③；由 时 取最小值可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
，
∵抛物线对称轴为直线 ，
，
∵抛物线与 轴交点在 轴下方，，
，故①正确．
设抛物线对称轴与 轴交点为 ，则 ，
，
，
∴ ，
∴点 坐标为 ，
时， ，
，故②正确．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③正确．
时 取最小值，
，即 ，故④正确．
故答案为：①②③④
54．①②③④
【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，根据图象判断①，特殊点判断②，增减性判断③，
对称轴结合特殊点以及 的范围判断④，最值判断⑤．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，二次函数 的图象与x轴交于点 ，与y轴的交点
B在 与 之间（不包括这两点），对称轴为直线∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∴ ；故②正确；
∵抛物线的开口向下，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，函数值越小，
∵ ，
∴ ，故③正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
∵当 时，函数值最大，
∴ ，
∴ ；故⑤错误；
故答案为：①②③④．
55．
【分析】本题考查了二次函数与面积综合，二次函数的图象与性质，一次函数解析式等知识．熟练掌握
二次函数与面积综合，二次函数的图象与性质，一次函数解析式是解题的关键．
令 ，即 ，可求 或 ，即 ， ，由 ，可得
，如图，记直线 与 轴的交点为 ，设 ，且 ，待定系数法求直线
的解析式为 ，当 时， ，可求 ，即 ，
则 ，计算求出满足要求的解，
进而可得结果．【详解】解：令 ，即 ，
解得， 或 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
如图，记直线 与 轴的交点为 ，
设 ，且 ，设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得， ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
解得， ，
∴ ，
∴ ，
整理得， ，
解得， 或 （舍去），
∴ ，故答案为： ．
56． 2
【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
（1）先求出抛物线的解析式为 ， 的函数解析式为 ，则可设 ，
，得出 ，根据 ，列出方程求解即可；
（2）过点B作 的平行线，交抛物线于点Q，易得 的平行线解析式为 ，联立该直线与抛物
线的解析式，求出其交点坐标即可．
【详解】解：（1）把 代入 得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，
把 代入得： ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得： ，
解得： ，
∴ 的函数解析式为 ，
设 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： （舍去），
∴点P的横坐标为2；
故答案为：2；
（2）∵ ，
∴点Q作过点B且平行于 的直线上，
过点B作 的平行线，交抛物线于点Q，
∵抛物线解析式为 ，
∴对称轴为直线 ，
∵ ，
∴ ，
设 的平行线解析式为 ，
∵ 的函数解析式为 ，
∴ ，即 ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴ 的平行线解析式为 ，
联立得： ，
解得： ， （舍），
∴点Q的坐标为 ，
故答案为： ．
