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专题 22.1 二次函数 y=ax ²(a≠0)和 y=ax ²+c(a≠0)的图象与性质
（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】二次函数的概念
1、二次函数：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，其
中，x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
2、二次函数必须同时具备的条件
（1）含有自变量的代数式必须是整式；
（2）化简后自变量的最高次数是2；
（3）二次项系数不为0.
【知识点二】二次函数y=ax²(a≠0)的图象和性质
1、抛物线：二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛
物线，它是轴对称图形，抛物线与对称轴的交点叫做顶点，顶点是抛物线的最高点或最低点.
抛物线y=ax²的对称轴是y轴，顶点是原点.
2、用描点法画二次函数y=ax²的图象的一般步骤
（1）列表：让x取一些有代表性的值，求出对应的y的值，列出表格；
（2）描点：在平面直角坐标系内，以自变量 x的值为横坐标，以相应的值为纵坐标，描出相
应的点；
（3）连线：按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线依次连接各点，并向两端无限延伸.
3、二次函数y=ax²的图象和性质
y=ax²(a≠0) a 0 a 0
图象
> <
开口方向 向上 向下对称轴 y轴（直线x=0）
顶点坐标 原点（0，0）
增减性 当x 时， 随 的增大而减小； 当x 时， 随 的增大而增大；当
当x 时， 随 的增大而增大 x 时， 随 的增大而减小
<0 y x <0 y x
最值 当x=0时，y有最小值为0. 当x=0时，y有最大值为0.
>0 y x . >0 y x .
【知识点三】二次函数y=ax²+c(a≠0)的图象和性质
1、二次函数y=ax²+k与y=ax²的图象间关系
二次函数y=ax²+c与y=ax²的图象形状相同，只是位置不同，抛物线y=ax²+c可由抛物
线y=ax²沿y轴向上（下）平移 个单位长度得到.当 ，沿y轴向上平移 个单位，当
时，向下平移 个单位.
2、二次函数y=ax²+c的图象和性质
y=ax²+c(a≠0) a 0 c 0 a 0, c 0
图象
> > < >
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴（直线x=0）
顶点坐标 原点（0，0）
增减性 当x 时， 随 的增大而减小； 当x 时， 随 的增大而增大；当
当x 时， 随 的增大而增大 x 时， 随 的增大而减小
<0 y x <0 y x
最值 当x=0时，y有最小值为c. 当x=0时，y有最大值为c.
>0 y x . >0 y x .
第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】二次函数的概念
【例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知函数 ，回答下列问题：
(1)m取什么值时，此函数是二次函数？
(2)m取什么值时，此函数是一次函数？
【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期末）某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产
品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式
为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）如果 是二次函数，佳佳求出k的值为
3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ．
【题型2】二次函数y=ax²的图象和性质
【例2】（24-25九年级上·全国·假期作业）已知函数 是关于x的二次函数．
（1）求m的值；
（2）当m为何值时，该函数图像的开口向下？
（3）当m为何值时，该函数有最小值？
（4）试说明函数的增减性．
【变式1】（2024·广东·中考真题）若点 都在二次函数 的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024九年级下·江苏·专题练习）二次函数 的图像是 ，它的对称轴是
，顶点坐标是 ，开口方向是 ．
【题型3】二次函数y=ax²+c的图象和性质【例3】（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数 ．
x … 0 1 2 …
y … …
（1）填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象．
（2）
由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当 时，y随x的增大而
______．
（3）利用图象写出当 时，y的取值范围是______．
【变式1】（23-24九年级上·河南商丘·期末）下列图象中，有可能是函数 的图象的是
（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）对于二次函数 ，当 时，y随x的
增大而增大，则 ．
【题型4】二次函数y=ax²与y=ax²+c的图象平移关系
【例4】（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数 ，的图象．
（1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
（2）抛物线 可由抛物线 向______平移______个单位长度得到．
【变式1】关于二次函数 的图象，下列说法中，正确的是（ ）．
A．对称轴为直线
B．顶点坐标为
C．可以由二次函数 的图象向左平移1个单位得到
D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降
【变式2】（21-22九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）将抛物线y＝x2先向右平移6个单位长度，向下平
移8个单位长度，此时抛物线的顶点与原点O的距离为 ．
【题型5】二次函数y=ax²与y=ax²+c的图象和性质几何应用
【例5】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线的解析式是
，直线 的解析式是 ，点 ，点 是在该抛物线上的动点，连接 ，过 作 ．
（1）求证： ；
（2）设点 ，求 的最小值及此时点 的坐标．【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，A，B为抛物线 上两点，且线段 轴．若
，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·广东佛山·二模）如图，菱形 的边长为 ，点 在 轴的负半轴上，抛物线
过点 ．若 ，则 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·广东·中考真题）如图，抛物线 经过正方形 的三个顶点A，B，C，点B
在 轴上，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【例2】（2023·广东广州·中考真题）已知点 ， 在抛物线 上，且 ，则
．（填“<”或“>”或“=”）
2、拓展延伸
【例1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）抛物线 与直线 的一个交点为 ，
（1）求 和 ．
（2）求另一个交点的坐标．
【例2】（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系，纵轴上一点 ，横轴上有
一动点 ，连接 ，作 的中垂线 ，过点 作横轴的垂线 和 交于 点．设 点的坐标为 ，
当点 在横轴上运动时，解决下列问题：
（1）求 之间满足的函数关系式；
（2）已知 在此函数图象上，请求出 的面积．
