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专题22.21 二次函数图象的对称性（分层练习）（培优练）
【知识要点】
（1）二次函数的对称性
二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为 x x 其对应的纵坐标相等那么对称轴：
1, 2
x x
x 1 2
2
（2）与抛物线y=ax2 +bx+c(a≠0)关于 y轴对称的函数解析式：y=ax2 -bx+c(a≠0)
与抛物线y=ax2 +bx+c(a≠0)关于 x轴对称的函数解析式：y=-ax2 –bx-c(a≠0)
（3）当a>0时，离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大；
当a<0时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大；
一、单选题
1．已知点 、 是二次函数 图象上的两个点，若当 时，y随x的增大而
减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线 （ ， 为常数）经过不同的两点 ，那么该抛物线
的顶点坐标不可能是下列中的（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数 图象上部分点的坐标满足表格：
x … 0 1 …
y … …
则该函数图象的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴的负半轴交于点 ，点 是对称轴上的一个动点，
连接 ， ，则 的最小值为（ ）A．2 B． C． D．
5．已知抛物线 具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，
点M的坐标为（3，6），P是抛物线 上一动点，则△PMF周长的最小值是（ ）
A．5 B．9 C．11 D．13
6．抛物线 与 轴的一个交点为 ，则它与 轴的另一个交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．不能确定，与 的值有关
7．已知点 ， ， 都在函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系 中，点 ， ， 在抛物线 上．若
，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．9．二次函数 （a，b，c是常数，且 ）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … －1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当 时，对应的函数值 ，有以下结论：
① ； ②当 时y随x的增大而增大；
③关于x的方程 有异号两实根的，而且负实数根在 和0之间；
④ ；其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
10．如图，抛物线 与直线 交于 两点，点 为 轴上点，当 周长最
短时；周长的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，设二次函数 ，其中 ．
（1）此二次函数的对称轴为直线 ；
（2）已知点 和 在此函数的图象上，若 ，则 的取值范围是 ；
12．如图，已知抛物线 与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B、D，且点B的坐标为 ，点
C在抛物线上，且与点D的纵坐标相等，点E在x轴上，且 ，连接 ，取 的中点F，则 的
长为 ．13．二次函数 的图象经过 、 、 三点，则 ， ， 的大小关系是
. （用“ ”连接）
14．已知点 ， 是二次函数 图像上的两个不同的点，则当 时，其函数
值等于 ．
15．如图，抛物线 交 轴于点 ， ，交 轴于点 ，对称轴是直线 ，点 是抛物线
对称轴上的一个动点，当 的周长最小时点 的坐标为 ．
16．如图，抛物线 与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C，在
其对称轴上有一动点M，连接MA、MC、AC，则当△MAC的周长最小时，点M的坐标是 ．
17．已知当x=2m+1和x=2n﹣1时，多项式x2+4x+8的值相等，且m﹣n+1≠0，则当x=m+n时，多项式
x2+4x+8的值= ．
18．已知二次函数 的图象与 轴分别交于 、 两点，如图所示，与 轴交于点 ，点
是其对称轴上一动点，当 取得最小值时，点 的纵坐标与横坐标之和为 ．三、解答题
19．在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝n，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点P（﹣1，P）在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为x＝t．若mn＜0，且m＜p＜n，求t的取
值范围．
20．如图，抛物线 与 轴正半轴， 轴正半轴分别交于点 ，且 点 为抛物线
的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；
（2）点 为抛物线上两点（点 在点 的左侧） ，且到对称轴的距离分别为 个单位长度和 个单
位长度，点 为抛物线上点 之间（含点 ）的一个动点，求点 的纵坐标 的取值范围．21．如图，在直角坐标系中，以A为顶点的抛物线 （a是常数， ）交y轴于点B，
轴交抛物线于另一点C．
（1）求该抛物线的对称轴及点C的坐标．
（2）直线 （k是常数， ）经过A，C两点，求a，k的值．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．
（1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
（2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
（3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于
点M，PD与y轴交于点N．设S=S PAM－S BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请
△ △
求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．23．已知抛物线 经过 ， 两点．
（1）当 时，求 的值；
（2）当 ，且 时， 的最大值为3．
①求抛物线的解析式；
②抛物线与 轴交于点 ，直线 与抛物线交于点 ，与直线 交于点 ，连接 ，当
时，求 的值．
24．如图，在平面直角坐标系中，过点P（﹣ ， ）的抛物线 ．分别交x轴于A，B两
点（点A在点B的左侧）
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点Q是抛物线对称轴上一点，当 取得最小值时，求点Q的坐标；
（3）当M（m，0），N（0，n）两点满足： ， ，且 时，若符合条件的M点的
个数有2个，直接写出n的取值范围．参考答案
1．B
【分析】首先根据点A、B是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线 ，再根
据开口向上， 时，y随x的增大而减小，可得 ，据此即可求解．
解：∵点 、 是二次函数 图象上的两个点，
∴该二次函数图象的对称轴为直线 ，且开口向上，
∵当 时，y随x的增大而减小，
∴该二次函数图象的对称轴为直线 或在其右侧，
，
解得 ，故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，得到该二次函数图象的对称轴为直线 或在其右侧是解决
本题的关键．
2．B
【分析】先求出抛物线 的对称轴为直线 ，再根据抛物线经过不同两点的纵坐
标为m相同，得 ，求出抛物线的顶点坐标为 ，再把A、B、C、D选项
代入计算，即可得答案．
解：抛物线 的对称轴为直线 ，
抛物线经过不同两点的纵坐标为m相同，
抛物线的对称轴为
，
而抛物线的顶点纵坐标为： ，
抛物线的顶点坐标为 ，
当 时， ，故A选项不符合题意，
当 时， ，故B选项符合题意，
当 时， ，故C选项不符合题意，
当 时， ，故D选项不符合题意，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标为 ．
3．B
【分析】根据抛物线的对称性，结合表格，确定二次函数的对称轴，进而得到顶点坐标即可．
解：∵ 和 时的函数值都是 ，相等，
∴二次函数的对称轴为直线 ，
∴顶点坐标为 ．故选B．
【点拨】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握抛物线关于对称轴对称，是解题的关键．
4．D
【分析】设抛物线与 轴的另一个交点为 ，连接 ， ，根据解析式求得 的坐标，根据轴对称
的性质得出 ，继而得出 取得最小值，最小值为 的长，勾股定理即可求解．
解：如图所示，设抛物线与 轴的另一个交点为 ，连接 ， ，
∵ ，令 ，
即 ，
解得： ，
∴ ,
令 ，解得 ，
∴ ，
∵点 是对称轴上的一个动点，
∴ ，
∵
∴当 三点共线时， 取得最小值，最小值为 的长，
即 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键．
5．C【分析】如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，由抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离
相等，得到PE=PF，则△PMF的周长=FM+PM+PF，则要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE
最小，故当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，由此求解即可．
解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，
∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，
∴PE=PF，
∴△PMF的周长=FM+PM+PF，
∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，
∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，
∵M坐标为（3，6），
∴ME=6，
∴PF+PM=6
∵F（0，2），
∴
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11，
故选C．
【点拨】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得
到PE=PF．
6．B
【分析】首先利用配方法，把抛物线的一般式转化为顶点式，进而得出抛物线对称轴为直线 ，再根据
抛物线的对称性，计算即可得出另一个交点的坐标．
解：∵
，∴抛物线对称轴为直线 ，
∵抛物线与 轴一个交点为 ，
∴另一个交点的横坐标为： ，
∴另一个交点为 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了把抛物线 转化为顶点式、利用抛物线的对称性求函数值，解本题的关
键在得出抛物线对称轴．
7．D
【分析】由 ，可知二次函数的对称轴为直线 ，则 关于直线 的对称点为 ，
由 ，可知当 时， 随着 的增大而减小，然后比较大小即可．
解：∵ ，
∴二次函数的对称轴为直线 ，
∴ 关于直线 的对称点为 ，
∵ ，
∴当 时， 随着 的增大而减小，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
8．C
【分析】由题意可得出抛物线开口向上，对称轴为直线 ，又可得出 ，即可
求出 ，再根据抛物线的对称性即可得出 的取值范围．
解：∵ ，∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ．
∵点 ， ， 在抛物线 上，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
∵点 和点 关于对称轴对称，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴ 的取值范围是 ．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握二次函数的图象和性
质和函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键．
9．C
【分析】①将点 与点 代入解析式可得到a、b互为相反数， ，即可判断；②先求出抛物线对
称轴为： ，再根据当 时，对应的函数值 ，函数过点 与点 ，可以判断抛物
线开口向下，即 ， ，即当 时，y随x的增大而增大，即当 时y随x的增大而增大；③函
数过点 且当 时，对应的函数值 ，可知方程 的正实数根在1和 之间，结合
抛物线的对称性可得关于 的方程 的负实数根在 和0之间；④将点 与点 代入解析式得： ，进而可得 ，再根据当 时，对应的函数值 ，可得
，解得 ，问题随之得解.
【详解】①将点 与点 代入解析式得： ，
可得： ， ，
则a、b互为相反数，
∴ ，故①错误；
②∵a、b互为相反数，
∴抛物线对称轴为： ，
∵当 时，对应的函数值 ，函数过点 与点 ，
∴可以判断抛物线开口向下，即 ， ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
即当 时y随x的增大而增大，
故②正确；
③∵函数过点 且当 时，对应的函数值 ，
∴方程 的正实数根在1和 之间，
∵抛物线对称轴为： ，
∴结合抛物线的对称性可得关于 的方程 的负实数根在 和0之间，
故③正确；
④∵将点 与点 代入解析式得： ，
∵ ，∴ ；
∴ ，
∵当 时，对应的函数值 ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
故④正确；
故选：C.
【点拨】本题主要考查二次函数的相关性质，解题的关键是能通过图表所给的点以及题目的信息来判断抛
物线的开口方向以及对称轴，结合二次函数的图象的性质来解决对应的问题.
10．B
【分析】联立方程先求出抛物线和直线的交点坐标，然后已知在 中的边 的长已经确定，只需要
求出 的最小值即可，可以做B点关于y轴的对称点 ,连接 交y轴于点C，此时 就为
的最小值，所以 周长最短为 的长，求出即可.
解：根据题意联立方程得：
，得出 ，把横坐标分别代入表达式得出交点坐标，
即： , ,
已知在 中的边 的长已经确定，
做B点关于y轴的对称点 ,连接 交y轴于点C,如图所示，
此时 就为 的最小值,
，
,周长最小为： ;
故选B.
【点拨】本题考查的是两个函数图像的交点问题，以及求线段的最小值问题，需要根据题意去解读信息，
借助于勾股定理去求最终结果.
11． /0.5
【分析】（1）根据二次函数 ，经过 和 ，是对称点，算出对称轴即可；
（2）根据对称轴为直线 ，点 和 在二次函数 的图象上，画出函数图
象，点 关于对称轴的对称点 ，分析图象，写出 的取值范围即可．
【详解】（1） 二次函数 ，
函数经过 和 ，是对称点，
对称轴为直线 ，
故答案为：
（2） 二次函数 ，二次项系数为 ，
函数图象开口向上，
又 和 在此函数的图象上，对称轴为直线 ，
画出图象如下图，点 关于对称轴的对称点 横坐标 ，
，
点 应在线段 下方部分的抛物线上（包括点 、 ），
，
故答案为：
【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象数形结合是解题的关键．
12．
【分析】根据题意A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称得到 ，连接 ，由中位
线定理得 ，求出 长即可得解．
解：∵点C在抛物线上，且与点D的纵坐标相等， ，
∴ ，
∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，
∴ ，连 ， 的中点是F，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及中位线定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问
题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
13．
【分析】根据二次函数的性质，得到对称轴为直线 ，再利用对称性得到 的对称点坐标为
，最后利用增减性即可得到答案．
解： ，
对称轴为直线 ，
的对称点坐标为 ，
，
抛物线开口向上，有最小值，在对称轴左侧， 随 的增大而减小，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，解题关键是掌握二次函数的对称性及增
减性．14．2
【分析】根据 、 横坐标不同纵坐标相同，可得关于对称轴的等式 ，当 时，
正好等于 ，即对称轴的一半，则 ，将 代入二次函数可得函
数值为2，即当 时函数值也为2．
解： 当 和 时， 的值相等，
二次函数对称轴 ，
当 时，即 ，
则 ，
当 时，二次函数的值为2．
故答案为：2．
【点拨】此题考查二次函数图像上点的坐标特征，根据两点纵坐标相等得二次函数的对称轴，用对称轴表
示 的值代入二次函数是解题的关键．
15．
【分析】将 对称至 ，连接 ，与对称轴的交点即为 ，再根据直线 的解析式与对称轴求解 的坐
标即可．
解：根据对称轴公式 ，可得： ，解得： ，
即抛物线的解析式为： ，
将 代入得： ，
抛物线的解析式为： ；
顶点坐标 ；
连接 交直线 于点 ，此时 最小，点 即为所求 ，
由 ， ，
设直线 的解析式为 ，将点 代入得，
，
解得： ，
∴直线 ：
当 时： ，
．
【点拨】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
16．(2， )/
【分析】点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点，即可求
解．
解：点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点，
连接AC，由点的对称性知，MA=MB，
MAC的周长=AC+MA+MC=AC+MB+MC=CA+BC为最小，
△令y= x2- x+5=0，解得x=1或x=3，令x=0，则y=5，
故点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），
则函数的对称轴为x= （1+3）=2，
设直线BC的表达式为y=kx+b，则
，解得 ，
故直线BC的表达式为y=- x+5，
当x=2时，y=- x+5= ，
故点M的坐标为（2， ）．
故答案为：
【点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图像上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴
对称确定最短路线是解题的关键．
17．4
【详解】试题分析：先将当x=2m+1和x=2n﹣1时，多项式x2+4x+8的值相等理解为x=2m+n+2和x=m+2n时，
二次函数y=x2+4x+8的值相等，则抛物线的对称轴为直线x= =m+n，由于二次函数y=x2+4x+8的
对称轴为直线x=﹣2，得出m+n=﹣2，即可求出当x=m+n=﹣2时，x2+4x+8的值．
解：∵xx=2m+1和x=2n﹣1时，多项式x2+4x+8的值相等，
∴二次函数y=x2+4x+8的对称轴为直线x= =m+n，
又∵二次函数y=x2+4x+8的对称轴为直线x=﹣2，
∴m+n=﹣2，
∴当x=m+n=﹣2时，
x2+4x+8=（﹣2）2+4×（﹣2）+8=4．
故答案为4．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．18．
【分析】根据题意和两点之间线段最短，先确定点P所在的位置，然后根据题意和图形求出点P的横坐标
和纵坐标，再将横坐标和纵坐标相加，即可解答本题．
解：连接AC，与对称轴交于点P，则此时PB+PC＝AC，PB+PC取得最小值，
∵二次函数 ，
∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，当y＝0时，x＝﹣3，x＝1，当x＝0时，y＝2，
1 2
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
，解得 ，
即直线AC的解析式为 ，
∵点P在二次函数 的对称轴上的一动点，
∴点P的横坐标为﹣1，
∵点P在直线AC上，
∴点P的纵坐标 ，
∴点P的纵坐标与横坐标之和为： ，
故答案为： ．
．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、轴对称，解答本题的关键是明确题意，利用二
次函数的性质和数形结合的思想解答．
19．(1)x=3 (2)【分析】（1）根据函数值相同的两个点关于对称轴对称求解即可；
（2）根据题意列出相应不等式，然后将不等式化简为对称轴的形式得出相应不等式解集，根据不等式解
集的确定方法求解即可．
【详解】（1）解：当m=n时，
对称轴为 ；
（2）解：根据题意可得：
m=4a+2b，n=16a+4b，p=a-b，
∵m0，
∴4a+2b<0，16a+4b>0，
化简得： ①， ②，
∵m
