专题22.5二次函数y=a(x-h)²(a≠0)与y=a(x-h)²+k(a≠0)图象与性质（知识梳理与题型讲解）-（人教版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_专题突破练习-V4_2024版

专题22.5 二次函数y=a(x−h) 2(a≠0)与y=a(x−h) 2+k(a≠0)图象与性质（知 识梳理与题型讲解） 【知识点1】二次函数 与函数 的图象与性质 1.函数 的图象与性质 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 2. 函 xh时， y 随x的增大而增大；xh时， y 数 a0 向上 h，0 x=h 随x的增大而减小；xh时， y 有最小值0 ． xh时， y 随x的增大而减小；xh时， y a0 向下 h，0 x=h 随x的增大而增大；xh时， y 有最大值0 ． 的图象与性质 顶点 特 a的符号 开口方向 对称轴 性质 别 坐标 说 明： xh时， y 随x的增大而增大；xh a0 向上 h，k x=h 时， y 随x的增大而减小；xh时， y 二 有最小值k． 次 函 xh时， y 随x的增大而减小；xh 数 a0 向下 h，k x=h 时， y 随x的增大而增大；xh时， y 有最大值k． y  a(xh)2+k(a≠0） 的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数 形结合、函数、方程思想解决问题． 【知识点2】二次函数的平移 1.平移步骤： yaxh2k h，k ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ； yax2 h，k ⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：2.平移规律： 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上 加下减”． 特别指出： y  ax2 bxc y m y  ax2 bxc ⑴ 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成 y  ax2 bxcm y  ax2 bxcm （或 ）（一般式在以后学习） y  ax2 bxc m y  ax2 bxc ⑵ 沿x轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成 y  a(xm)2 b(xm)c y  a(xm)2 b(xm)c （或 ）（一般式在以后学习） 【考点一】二次函数 与函数 的对称轴、顶点坐 标、开口方向 【例1】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3) ． 【答案】(1)开口向下，对称轴是 ，顶点坐标为 ；(2)开口向上，对称轴是 ，顶点坐标为 ；(3)开口向上，对称轴是 ，顶点坐标为 【分析】（1）（2）（3）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答； （1）解：∵抛物线 ， ∴开口向下，对称轴是 ，顶点坐标为 ；（2）解：∵抛物线 ， ∴开口向上，对称轴是 ，顶点坐标为 ； （3）解：∵抛物线 ， ∴开口向上，对称轴是 ，顶点坐标为 ． 【点拨】本题考查了二次函数的性质吗，对称轴，顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【举一反三】 【变式】已知抛物线 ． (1) 该抛物线开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． (2) 在直角坐标系中画出 的图象． 【答案】(1)下，直线x＝2，（2，3） (2)见分析 【分析】（1）找到对称轴两侧的关键点及顶点坐标即可；（2）由表中的点，即可画出函数图象． （1）解：由抛物线 可知，a＝﹣1＜0，开口向下， 对称轴是：直线x＝2，顶点坐标为：（2，3）； 故答案为：下，直线x＝2，（2，3）； （2）①列表： x … 0 1 2 3 4 … y … ﹣1 2 3 2 ﹣1 … 故答案为：（0，﹣1），（1，2），（2，3），（3，2），（4，﹣1）；②描点、连线： 【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握函数图象的画法，理解二次函数 的性质． 【考点二】二次函数 与函数 的图象位置 【例2】已知二次函数 ，其中， ， ， ，则函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得抛物线开口向上，对称轴 ，顶点坐标 在第四象限，即可求解． 解： ， 抛物线开口向上， ， ， 对称轴 ，顶点坐标 在第四象限． 故选A． 【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数 的图象和性质是 解题的关键． 【举一反三】【变式1】二次函数 的图像如图所示，则点 所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据函数解析式得出顶点为 ，根据图像可得 ，即可得出 ，则 所在的象限即可判定． 解： 二次函数 ， 顶点为 ， 由函数图像可知，抛物线的顶点在第四象限， ， ， 在第三象限． 故选：C． 【点拨】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的性质，先分析信息，再进行判断 是解题的关键． 【变式2】若二次函数 的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据顶点坐标，进行判断即可． 解：∵ ， ∴顶点坐标为： ， ∴顶点坐标在第四象限， ∴原点在函数顶点的左上方， 由图可知，坐标原点只可能是点 ； 故选A． 【点拨】本题考查二次函数的性质及二次函数的图象，确定二次函数图象的顶点坐标是解题的关键． 【考点三】二次函数 与函数 的增减性 【例3】已知抛物线 ． (1) 其开口方向为____________． (2) 顶点坐标为______________． (3) 当x___________时，y随x的增大而增大． (4) 最______（填“大”或“小”）为________． 【答案】(1)向上；(2) ；(3) ；(4)小， 【分析】（1）根据 ，即可判断开口方向向上； （2）根据顶点式 的顶点坐标为 求解即可； （3）根据开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大； （4）根据开口向上，顶点的纵坐标为函数的最小值，据此即可求解． （1）解：∵ ∴ ， ∴其开口方向向上， 故答案为：向上； （2）解：∵∴顶点坐标为 ， 故答案为： ； （3）解：∵ 开口向上，对称轴为 ∴当 时，y随x的增大而增大； 故答案为： ； （4）解：∵ ，开口向上，顶点坐标为 ， ∴函数有最小值，最小值为 ， 故答案为：小， ． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．在自变量的所有取值中： 当 时，抛物线在对称轴左侧， 随 的增大而减少；在对称轴右侧， 随 的增大而增大，函数 有最小值；当 时，抛物线在对称轴左侧， 随 的增大而增大；在对称轴右侧， 随 的增大而减 少，函数有最大值；如果在规定的取值中，要看图象和增减性来判断． 【举一反三】 【变式1】已知抛物线 ． (1) 其开口方向为____________． (2) 顶点坐标为______________． (3) 当x___________时，y随x的增大而增大． (4) 最______（填“大”或“小”）为________． 【答案】(1)向上； (2) ； (3) ； (4)小， 【分析】（1）根据 ，即可判断开口方向向上； （2）根据顶点式 的顶点坐标为 求解即可； （3）根据开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大； （4）根据开口向上，顶点的纵坐标为函数的最小值，据此即可求解． （1）解：∵ ∴ ，∴其开口方向向上， 故答案为：向上； （2）解：∵ ∴顶点坐标为 ， 故答案为： ； （3）解：∵ 开口向上，对称轴为 ∴当 时，y随x的增大而增大； 故答案为： ； （4）解：∵ ，开口向上，顶点坐标为 ， ∴函数有最小值，最小值为 ， 故答案为：小， ． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．在自变量的所有取值中： 当 时，抛物线在对称轴左侧， 随 的增大而减少；在对称轴右侧， 随 的增大而增大，函数 有最小值；当 时，抛物线在对称轴左侧， 随 的增大而增大；在对称轴右侧， 随 的增大而减 少，函数有最大值；如果在规定的取值中，要看图象和增减性来判断． 【变式2】已知抛物线 的图象经过点 ． (1) 求a的值及顶点坐标； (2) 若点 都在该抛物线上，请直接写出 与 的大小． 【答案】(1)a的值是 ，顶点坐标是 ；(2) 【分析】（1）根据题目中的解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，把点 代入，可以求得a 的值； （2）根据二次函数的性质可以解答本题． （1）解：∵ ， ∴该抛物线的顶点坐标是 ；∵ 经过点 ， ∴ ， 解得， ， 即a的值是 ； （2）解：∵ ， ， ∴该抛物线的图象在 时，y随x的增大而增大，在 时，y随x的增大而减小， ∵点 都在该抛物线上， ∴ ． 【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找 出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答． 【考点四】二次函数 与函数 的图象与性质综合 【例4】关于二次函数 ．下列说法错误的是（ ） A．图像与 轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在 轴的右侧 C． 时， 的值随 值的增大而增大 D．当 时，函数有最小值为5 【答案】C 【分析】直接根据二次函数的图像与性质逐项判断即可得． 解：A、当 时， ，即图像与 轴的交点坐标为 ，则此项正确，不符合 题意； B、二次函数 的对称轴为直线 ，则图像的对称轴在 轴的右侧，此项正确， 不符合题意； C、∵二次函数 的对称轴为直线 ， ∴当 时， 的值随 值的增大而减小；当 时， 的值随 值的增大而增大， 则此项错误，符合题意；D、∵二次函数 的对称轴为直线 ，抛物线的开口向上， ∴当 时，函数有最小值为5，则此项正确，不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． 【举一反三】 【变式1】已知抛物线 ，下列结论错误的是（ ） A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴的交点坐标为 C．抛物线的顶点坐标为 D．当 时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、交点坐标以及增减性对各选项分析判断即可 得解． 解：①抛物线 中， ，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意； ②由解析式得，当 时， ，因此B选项错误，符合题意； ③由解析式得，当 时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为 ，因此C选 项正确，不符合题意； ④因为抛物线开口向上，对称轴为直线 ，因此当 时，y随x的增大而减小，因此D选项 正确，不符合题意． 故答案选：B ． 【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 中，对称轴为 ，顶点坐标为 ． 【变式2】已知函数 ． (1) 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2) 当 取何值时该函数有最值，并求出最值． (3) 当 取何值时， 随 的增大而减小．【答案】(1)开口向下，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；(2)当 时，函数有最大值 ； (3)当 ， 随x的增大而减小 【分析】（1）利用二次函数的性质确定出开口方向，顶点坐标以及对称轴即可； （2）根据开口方向和顶点坐标得出最值； （3）由对称轴和开口方向得出增减性． 解：（1）∵ ， ∴抛物线开口向下， 顶点坐标为 ，对称轴为直线 ； （2）抛物线开口向下，函数有最大值， ∵顶点坐标为 ， ∴当 时，函数有最大值-4； （3）对称轴 ，开口向下 ∴当 ， 随 的增大而减小． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的性质求抛物线的对称轴和顶点坐标，最值，增减 性是解题的关键． 【考点五】二次函数 与函数 与几何综合 【例5】如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的顶点B在第一象限内，A，C分别在x轴 和y轴上，抛物线 经过B，C两点，顶点D在正方形OABC内部．若点D在直线 上，则 的值是 ． 【答案】10【分析】设点B的坐标为 ，则点C的坐标为 ，先根据抛物线解析式求出抛物线对称 轴和顶点坐标，再根据顶点坐标在直线 上求出 ，将 代入抛物线解析式得： ，求出m的值，进而求出a、b的值即可得到答案． 解：设点B的坐标为 ，则点C的坐标为 ， ∵抛物线 经过B，C两点， ∴抛物线的对称轴为直线 ，抛物线顶点坐标为 ， ∵抛物线顶点坐标在直线 上， ∴ ， 将 代入抛物线解析式得： ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：10． 【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握 二次函数的性质是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】已知二次函数 的图象如图所示，求 的面积．【答案】1 【分析】利用二次函数的顶点式可得到点A的坐标，再由x=0求出对应的y的值，可得到点B的坐标， 然后利用三角形的面积公式求出△ABO的面积． 解：∵二次函数 ∴顶点 ∵点 在图像上且在 轴上，即 时 的坐标 ∴ ∴ ∴ 的面积 【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据解析式求出交点坐标是关键． 【变式2】如图，在矩形 ABCD 中，AD＝3，点E是AD边上的动点，连接CE，以CE为边向右上方 作正方形CEFG，过点F作 FH⊥AD，垂足为H，连接AF． 在整个变化过程中，△AEF 面积的最 大值是 ． 【答案】 【分析】证明Rt△EFH≌Rt△CED，设AE＝a，用含a代数式表示△AEF的面积，进而求解． 解： 四边形CEFG为正方形，, ∠FEH+∠CED＝90°， FH⊥AD， ， ∠FEH+∠EFH＝90°， ∴∠CED＝∠EFH， 在Rt△EFH和Rt△CED中， ， ∴Rt△EFH≌Rt△CED（AAS）， ∴ED＝FH， 设AE＝a，则ED＝FH＝3﹣a， ∴S AEF＝ AE•FH＝ a（3﹣a）＝﹣ （a﹣ ）2+ ， △ ∴当AE＝ 时，△AEF面积的最大值为 ． 故答案为： ． 【点拨】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握正方形的性质，掌握全等三角形的判定与性 质．