文档内容
专题 14 实际问题与一元一次方程（6 个知识点 7 种题型 2 个易错点 3
个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.配套问题（重点）
知识点2工程问题（重点）
知识点3.商品销售问题
知识点4.积分问题
知识点5.分段计费问题
知识点6.常见一元一次方程应用题类型归纳（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1.用一元一次方程解决劳动力调配问题
题型2.用一元一次方程解决利润率问题
题型3.用一元一次方程解决生产问题
题型4.用一元一次方程解决行程问题
题型5用一元一次方程解决图表信息问题
题型6.用一元一次方程解决方案决策问题
题型7.用一元一次方程解决分段计费问题
【方法三】差异对比法
易错点1.单位不统一，导致错误
易错点2.解方程后未进行检验，导致错误
【方法四】 仿真实战法
考法1.销售问题
考法2.年龄增长问题
考法3.方案设计问题【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 通过分析实际问题，能找出问题中的已知量和未知量，分析它们之间的数量关系，能列出一元一次方
程解决问题，并总结出运用方程解决实际问题的基本过程。
2. 通过列一元一次方程解决实际问题，经历思考、探究、交流、反思等活动，积累数学活动的经验，并
提高分析问题与解决问题的能力。
3. 进一步加深一元一次方程与实际生活的密切联系，继续体验数学建模思想。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.配套问题（重点）
在现实生活和生产中常见“产品配套”问题，解决这类题的基本相等关系是加工(或生产)
的各种零配件的总数量比等于一套组合件中各种零配件的数量此比
【例1】（2023上·全国·七年级专题练习）某家具厂有60名工人，加工某种由一个桌面和四条桌腿的桌子，
工人每天每人可以加工3个桌面或6个桌腿．怎么分配加工桌面和桌腿的人数，才能使每天生产的桌面和
桌腿配套．知识点2工程问题（重点）
工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
【例2】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做10天完
成，现在由乙先独做几天后，剩下的部分由甲独做，共计12天完成，问乙做了几天？
知识点3.商品销售问题
(1)售价=标价x打折率;
(2)利润=售价-进价;
(3)利润=进价x利润率；
(4)利润率=利润/进价 x100%
【例3】（2023上·北京西城·七年级北京四中校考期中）根据下面栗栗和小齐的对话，判断小齐买平板电脑
的预算是（ ）
柔柔：小齐，你之前提到的平板电脑买了没？
小齐：还没，它的售价比我的预算多 元呢！
柔栗：这台平板电脑现在正在打7折呢！
小齐：是嘛，太好了，这样比我的预算还要少 元！
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
知识点4.积分问题
积分问题经常出现在球赛及竞赛等问题中,不同的赛事规定胜、负场及对、错题的得分不一
致,但计算方法相类似。
(1)积分问题中常用比赛总场数及比赛总得分来找相等关系,
(2)有些比赛结果只有胜、负之分,如篮球比赛;有些比赛结果有胜、负,平之分,如足球比赛中
【例4】（2023上·吉林白城·七年级校联考期中）七年级进行法律知识竞赛，共有 道题，答对一道题得4
分，不答或答错一道题扣2分，小红同学参加了竞赛，成绩是 分，请问小红在竞赛中答对了多少道题？
知识点5.分段计费问题
在分段计费中，超出第一段的部分按第二段的收费标准来计算；超出第二段的部分按第三段的收费标准来计算，依次类推。
【例5】（2023上·北京房山·七年级统考期中）为了更好地使用和节约水资源，自2014年5月1日起，北
京市居民生活用水开始实施阶梯水价，下表为北京市居民用水（自来水）水费收费标准：
价格组成（单位：元/立方米）
每户年用水量 水单价
阶梯
（单位：立方米） （单位：元/立方米）
水费 水资源费 污水处理费
第一阶
0～180（含180） 5
梯
第二阶
180～260（含260） 7
梯
第三阶
260以上 9
梯
例如，某用户的年用水量为300立方米，按三阶梯计量应缴纳水费为：
（元）．
请解答以下问题：
(1)如果 用户的年用水量为100立方米，则 用户需缴纳的水费为________元；
(2)如果 用户一年缴纳的水费为1040元，则 用户该年用水量为________立方米；
(3)如果 用户的年用水量为 （ ）立方米，求 用户该年应缴纳水费多少元？（用含 的代数式表
示，并化简）
知识点6.常见一元一次方程应用题类型归纳（重点）
用一元一次方程解决实际问题的常见类型
1.等积变形：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积.2.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
3.行程问题：路程＝速度×时间
4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数
7.数字问题：多位数的表示方法：例如： .
8.方案问题：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
【例6】（广西壮族自治区南宁市2023-2024学年七年级上学期期中数学试题）幻方是古老的数学问题，
我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方﹣九宫格，把1﹣9这9个数填入3×3方格中，每一竖列以及两条
斜对角线上的数之和都相等．如图是一个未完成的“幻方”，则其中x的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式】（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但
其利润率恰好为10％，则该商品可以打（ ）折（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.8
【方法二】实例探索法
题型1.用一元一次方程解决劳动力调配问题
1.某车间 名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓 个或螺母 个．现有 名工人生产螺栓，其
他工人生产螺母，恰好每天生产的螺栓和螺母按 配套，为求 列出的方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型2.用一元一次方程解决利润率问题
2.文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖60元，以成本计算，第一台盈利 ，另—台亏本 ，则
本次出售中，商场（ ）
A．不赚不赔 B．赚10元 C．赚5元 D．赔5元题型3.用一元一次方程解决生产问题
1.（2023上·全国·七年级课堂例题）一项工程，甲队单独完成需要 天，乙队单独完成需要 天．若先由
甲队单独做 天，剩下部分由甲、乙两队合作完成，则还需要的天数是（ ）
A． B． C． D．
题型4.用一元一次方程解决行程问题
4．（2023上·浙江金华·七年级义乌市绣湖中学教育集团校联考阶段练习）如图，甲乙两只蚂蚁分别从数轴
上的A，B两点处同时出发，相向而行．甲蚂蚁的速度为每分钟6个单位长度，乙蚂蚁的速度为每分钟4个
单位长度．一只蝴蝶精灵与甲同时从A地出发，当蝴蝶精灵碰到乙后，马上返回遇上甲，再返回遇上乙，
依次反复，直至甲和乙两只蚂蚁相遇为止．已知蝴蝶精灵的速度为每分钟20个单位长度，那么，在这一过
程中，蝴蝶精灵一共飞行了（ ）个单位长度．
A．2020 B．4420 C．5400 D．缺少条件，无法计算
题型5用一元一次方程解决图表信息问题
5.（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）如图所示的是2023年11月份的月历，用以下形状的四个阴影图形
依次分别覆盖月历中的5个数字，若覆盖的5个数字之和为121，则可能是以下哪一个形状覆盖的结果（
）
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
A． B．C． D．
题型6.用一元一次方程解决方案决策问题
6.（2023上·七年级课时练习）某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买
车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样
的，则七年级三个班级共有（ ）
A．60人 B．61人 C．62人 D．63人
题型7.用一元一次方程解决分段计费问题
7.某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过20m3，每立方米收费2元；若用水超过
20m3，超过部分每立方米加收1元．小明家5月份交水费64元，则他家该月用水（ ）m3．
A．38 B．34 C．28 D．44
【方法三】差异对比法
易错点1.单位不统一，导致错误
1.（2023上·七年级课时练习）某商品进价100元，售价150元，商店要求以不低于进价5%的利润率打折
出售，问最低可以打几折？
易错点2.解方程后未进行检验，导致错误
2.（2023上·福建泉州·七年级校联考期中）嘉嘉和淇淇玩游戏，如图是两人的对话．(1)如果淇淇想的数是 ，求他告诉嘉嘉的结果；
(2)若淇淇告诉嘉嘉的结果是66，求淇淇想的那个数是几．
【方法四】 仿真实战法
考法1.销售问题
1.某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比．该超市2020年4月份销售总额增长 其
中线上销售额增长 ．线下销售额增长 ，
设2019年4月份的销售总额为 元．线上销售额为 元，请用含 的代数式表示2020年4月份的线
下销售额(直接在表格中填写结果)；
求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
考法2.年龄增长问题
2.爷爷现在的年龄是孙子的5倍，12年后，爷爷的年龄是孙子的3倍，假设现在孙子的年龄是 岁， 则可
列出一元一次方程为 ．
考法3.方案设计问题
3.为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知
甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造
面积．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工
费用为400元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪
一种方案的施工费用最少？
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023上·广西贺州·七年级统考期中）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三
人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每
3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·江苏盐城·七年级校考期中）小峰在超市买1瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共用了19元，A
种饮料每瓶4元，如果设B种饮料每瓶x元，那么下面所列方程正确的是 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻
方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相
等．如图是一个未完成的幻方．则图中m的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
4．（2023上·广东广州·七年级华美英语实验学校校考期中）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二
百三十里，驽马日行一百三十里．驽马先行一十一日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走
230里，跑得慢的马每天走130里．慢马先走11天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则
可列方程为（ ）
A． B．C． D．
5．（2023上·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）为筹备缤纷节“快乐易物”活动，甲乙两个小组计
划分别制作一些个性书签．已知甲组比乙组多2人，若甲组每人制作4个书签，乙组每人制作5个书签，
则两个小组制作书签的总数相同，设乙组有x人，由题意，可列出的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·江苏无锡·七年级校考阶段练习）小明在日历的纵列上圈出了三个数，算出了它们的和，则和
不可能是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．57
7．（2023上·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考期中）如图，表中给出的是本月的月历，任意选
取“ ”型框中的6个数（譬如阴影部分所示），则这6个数的和不可能是（ ）
A．87 B．99 C．129 D．135
8．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考期中）两件商品都卖84元，其中一件盈利 ，
另一件亏损 ，则两件商品卖出后（ ）
A．亏本3元 B．盈利3元 C．盈利6.8元 D．不赢不亏
9．（2023上·河南郑州·七年级校考阶段练习）如图，在数轴上，点 分别表示数 ，且 ．若
，则点 表示的数为（ ）
A． B． C．2 D．1
10．（2023上·江苏常州·七年级统考期中）如图，将正整数1至1000按一定规律排列，整体平移表中带阴
影的三个方框，平移后被方框遮住的三个数的和可能是（ ）A．1002 B．1004 C．1006 D．1008
二、填空题
11．（2023上·江苏宿迁·七年级统考期中）明代程大位所著的数学名著《算法统宗》中有一道僧分馒头问
题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大和小和得几丁？”意思是100个和尚分
100个馒头，大和尚1人吃3个馒头，小和尚3人吃1个馒头，问大、小和尚各有几人？如果设大和尚有
人，则可列出一元一次方程为 ．
12．（2023上·辽宁营口·七年级统考期中）如图，在数轴上 两个点表示的数分别为 和6，点 分
别从点 出发同时向右运动，若 的速度为每秒2个单位长度，点 速度为每秒1个单位长度，那么当
点 与点 的距离为2个单位长度时．点 运动的时间是 秒．
13．（2023上·广西南宁·七年级校联考期中）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数，例如 转化为
分数时，可设 ， ，即 ，解得 ， ，那么 转化为分数是
．
14．（2023上·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）如下表，从左向右依次在每个小格子中都
填入一个有理数，使得其中任意四个相邻小格子中所填数之和都等于 ．已知第 个数为 ，第 个数为
，第 个数为 ，第 个数为 ，则第 个数为 ； 的值为 ．
15．（2023上·广西南宁·七年级校联考期中）若 和 是同类项，那么 ．
16．（2022上·广西南宁·七年级校考阶段练习）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“ ”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和可能是①55；②70；
③84；④105；⑤140，其中正确的可能有 ．（填写序号）
17．（2023上·安徽淮南·七年级淮南实验中学校联考期中）按如图所示程序计算，若最终输出的结果为 ，
则输入的正整数x是 ．
18．（2023上·江苏南通·七年级统考期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个
数（如阴影部分所示），这7个数的和可能是下列选项①55，②70，③84，④105，⑤140中的
（填写序号）．
三、解答题
19．（2023上·江苏常州·七年级统考期中）把同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
(1)第5个图形需______颗黑色棋子；
(2)照这样的规律摆下去，第n个图形需______颗黑色棋子；
(3)照这样的规律摆下去，第______个图形恰好用了96颗黑色棋子．20．（2023上·江苏宿迁·七年级统考期中）已知： ， ．
(1)当 取何值时， 与 的值相等？
(2)是否存在这样 的值，使 与 的值互为相反数．如果存在，求出 的值；如果不存在，说明理由．
21．（辽宁省大连市金普新区2023-2024学年七年级上学期期中数学试题）一艘船从甲码头到乙码头顺流
而行，用了2小时，从乙码头到甲码头逆流而行，用了2.5小时，已知轮船在静水中的平均速度为27千
米/时，求水流的速度和甲乙码头相距多少千米？
22．（2023上·浙江温州·七年级温州市龙湾区海城中学校联考期中）根据以下素材，尝试解决问题
怎么做出更多的纸盒
素 如右图，用4个长方形纸板作侧面，1个正方形纸板作底面可以做成1个竖式
材1 无盖纸盒
素 如右图，用2个长方形纸板与2个正方形纸板作侧面，1个长方形纸板作底面
材2 可以做成1个横式无盖纸盒素
现有200张长方形纸板与100张正方形纸板
材3
问题解决
问 若要使做成的竖式无盖纸盒与横式无盖纸盒的数量一样多，则最多可以做成多少个无盖纸盒（两
题1 种纸盒之和）？
问 若要使做成的竖式无盖纸盒比横式无盖纸盒多10个，则最多可以做成多少个无盖纸盒（两种纸
题2 盒之和）？
问 若要先做出10个竖式无盖纸盒，接着再做竖式无盖纸盒或横式无盖纸盒，则最后最多可以做成
题3 个无盖纸盒（两种纸盒之和，包括先做出的10个纸盒）？（直接写答案）
23．（2023上·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图：在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数
c，b是最小的正整数，且a、b满足
(1) _______， _______， _______；
(2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数_______表示的点重合；
(3)点A、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点C以每秒4个单位
长度的速度向左运动，假设运动时间为t秒，
①则当 _______时，A、C重合．
②则当 _______时， （表示A，C两点之间的距离等于1）
24．（2023上·河南郑州·七年级校考阶段练习）已知数轴上 三点对应的数分别为 且满足
，动点 从 出发，以每秒1个单位的速度向终点 移动．(1)求 的值；
(2)当 到 的距离为 点到 点距离的一半时，求 的运动时间；
(3)当 运动到 时，动点 从 点出发，以每秒3个单位的速度向终点 移动，当一个点到达终点时，另
一个点也随之停止运动，若 的距离为2个单位长度时，请直接写出 的运动时间．
25．（2023上·浙江金华·七年级校联考期中）如图数轴上有两个点A、B，分别表示的数是 ，4．请回答
以下问题：
(1)A与B之间距离为 ，A，B中点对应的数为 ．
(2)若点C对应的数为 ，只移动C点，要使得A，B，C其中一点到另两点之间的距离相等，请写出所有
的移动方法．
(3)若点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向左做匀速运动，点Q从B出发，以每秒5个单位长度
的速度向左做匀速运动，P，Q同时运动：
①当点P运动多少秒时，点P和点Q重合？
②当点P运动多少秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度？26．（2023上·江苏南京·七年级统考期中）展板的形状如图所示，四角是半径相等的扇形，其余部分都是
长方形．
(1)请用含a，b，r的代数式表示该图形的面积；
(2)已知 ， ，现用一根长 的金线为广告牌边框镶一圈边，若金线恰好用完，求r．
（不考虑接头部分损耗，π取3）
