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专题22.27 二次函数与一元二次方程（直通中考）（基础练）
【要点回顾】
1. 二次函数与一元二次方程
二次函数 ( )的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程 的根.
（1）当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；
（2）当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
（3）当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
2.二次函数与不等式
（1）抛物线 在x轴上方图像上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式
的解集；
（2）抛物线 在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式
的解集.
一、单选题
1．（2023·河北·统考中考真题）已知二次函数 和 （m是常数）的图象与x轴
都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（
）
A．2 B． C．4 D．
2．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数 的图象与x轴交于 ， 两
点，下列说法正确的是（ ）A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C． ， 两点之间的距离为 D．当 时， 的值随 值的增大而增大
3．（2022·湖北荆门·统考中考真题）若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那
么a满足（ ）
A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝
4．（2022·山东潍坊·中考真题）抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ）
A． B． C． D．4
5．（2022·山东泰安·统考中考真题）抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如
表：
x -2 -1 0 1
y 0 4 6 6
下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为 D．函数 的最大值为
6．（2021·四川泸州·统考中考真题）直线l过点（0，4）且与y轴垂直，若二次函数
（其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，且其对称
轴在y轴右侧，则a的取值范围是（ ）
A．a＞4 B．a＞0 C．0＜a≤4 D．0＜a＜4
7．（2020·湖南娄底·中考真题）二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）与x轴的两个交点的横
坐标分别为m和n，下列结论正确的是（ ）
A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b
8．（2020·贵州贵阳·统考中考真题）已知二次函数 的图象经过 与 两点，关于 的方程 有两个根，其中一个根是3．则关于 的方程
有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A． 或0 B． 或2 C． 或3 D． 或4
9．（2021·四川甘孜·统考中考真题）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法错误的是（
）
A．a＜0，b＞0
B．b2﹣4ac＞0
C．方程ax2＋bx＋c＝0的解是x＝5，x＝﹣1
1 2
D．不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是0＜x＜5
10．（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直
线 ，有以下结论：① ；②若t为任意实数，则有 ；③当图象经过点 时，方
程 的两根为 ， （ ），则 ，其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．（2023·湖南郴州·统考中考真题）抛物线 与 轴只有一个交点，则 ．12．（2020·山东青岛·中考真题）抛物线 （ 为常数）与 轴交点的个数是
．
13．（2022·江苏无锡·统考中考真题）把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平
移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： ．
14．（2018·湖北孝感·统考中考真题）如图，抛物线 与直线 的两个交点坐标分别为A
（−2，4（，B（1，1（，则关于x的方程 的解为 ．
15．（2017·山东青岛·中考真题）若抛物线 与x轴没有交点，则m的取值范围是
°
16．（2013·湖北荆门·中考真题）若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B
（m+6，n），则n= ．
17．（2015·四川广元·统考中考真题）从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数
和关于x的一元二次方程 中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象
限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是 ．
18．（2018·贵州黔东南·统考中考真题）已知：二次函数y=ax2+bx+c图像上部分点的横坐标x与纵坐标
y的对应值如表格所示，那么它的图像与x轴的另一个交点坐标是 ．
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
三、解答题
19．（2022·山东青岛·统考中考真题）已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P
（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．20．（2020·浙江温州·统考中考真题）已知抛物线 经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值；
（2）若（5， ），（m， ）是抛物线上不同的两点，且 ，求m的值．
21．（2015·福建宁德·中考真题）已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
O是坐标原点，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数；
（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求点P的坐标．22．（2011·广东东莞·中考真题）已知抛物线 与x轴没有交点．
（1）求c的取值范围；
（2）试确定直线 经过的象限，并说明理由．
23．（2023·黑龙江牡丹江·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 经过点
， ，与x轴的另一个交点为B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线 与该抛物线交于A，D两点，直接写出四边形 的面积．注：抛物线
的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．24．（2023·河北秦皇岛·模拟预测）如图，抛物线 与 轴交于点 、 ，与 轴交于点
，其顶点纵坐标为 ．
（1）求 的值；
（2）求 ， 两点的坐标；
（3）以 ， 为一组邻边作 ，则点 关于 轴的对称点 是否在该抛物线上？请说明理
由．
参考答案
1．A
【分析】先求得两个抛物线与x轴的交点坐标，据此求解即可．
解：令 ，则 和 ，
解得 或 或 或 ，
不妨设 ，∵ 和 关于原点对称，又这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
∴ 与原点关于点 对称，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∵抛物线 的对称轴为 ，抛物线 的对称轴为 ，
∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2，
故选：A．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条
件．
2．C
【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．
解：∵二次函数 的图象与x轴交于 ， 两点，
∴
∴
∴二次函数解析式为 ，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，故
A，B选项不正确，不符合题意；
∵ ，抛物线开口向上，当 时， 的值随 值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题
意；
当 时，
即
∴ ，∴ ，故C选项正确，符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练
掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．D
【分析】由题意分两种情况：①函数为二次函数，函数y=ax2-x+1的图象与x轴恰有一个交点，可得
Δ=0，从而解出a值；②函数为一次函数，此时a=0，从而求解．
解：①函数为二次函数，y=ax2﹣x+1（a≠0），
∴Δ=1﹣4a=0，
∴a= ；
②函数为一次函数，
∴a=0，
∴a的值为 或0；
故选：D．
【点拨】此题考查了二次函数的性质，根的判别式，一次函数的性质，对函数的情况进行分类讨论是
解题的关键．
4．B
【分析】根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c的值．
解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，
∴x2+x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=1-4c=0，
解得：c= ．
故选：B．
【点拨】此题考查了抛物线与x轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键．
5．C
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可
解：由题意得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线 ，该函数的最大值为 ，故A、B、D说法正确，不符
合题意；
令 ，则 ，
解得 或 ，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意；
故选C．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．
6．D
【分析】由直线l：y=4，化简抛物线 ，令 ，利用判别
式 ，解出 ，由对称轴在y轴右侧可求 即可．
解：∵直线l过点（0，4）且与y轴垂直，
直线l：y=4，
，
∴ ，
∵二次函数 （其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的
交点，
∴ ，
，
∴ ，
又∵对称轴在y轴右侧，
，∴ ，
∴0＜a＜4．
故选择D．
【点拨】本题考查二次函数与直线的交点问题，抛物线对称轴，一元二次方程两个不等实根，根的判
别式，掌握二次函数与直线的交点问题转化为一元二次方程实根问题，根的判别式，抛物线对称轴公式是
解题关键．
7．C
【分析】依照题意画出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）及y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的大致图象，观察
图象即可得出结论．
解：二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可
得出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象．
观察图象，可知：m＜a＜b＜n．
故选：C．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象，依照题意画出图象，利用数形结合解
决问题是解题的关键．
8．B
【分析】由题意可得方程 的两个根是﹣3，1，方程在y的基础上加m，可以理解为二次
函数的图象沿着y轴平移m个单位,由此判断加m后的两个根,即可判断选项．
解：二次函数 的图象经过 与 两点，即方程 的两个根是﹣3和
1，
可以看成二次函数y的图象沿着y轴平移m个单位,得到一个根3，
由1到3移动2个单位，可得另一个根为﹣5.由于0＜n＜m，
可知方程 的两根范围在﹣5~﹣3和1~3，由此判断B符合该范围．
故选B．
【点拨】本题考查二次函数图象与一元二次方程的综合,关键在于方程加减任意数值可理解为在图像上
进行平移．
9．D
【分析】根据抛物线开口向下可知a＜0，再根据其对称轴为直线 ，即可求出b＞0，可
判断A；根据二次函数图象与一元二次方程的关系即可判断B；根据二次函数的对称性和其对称轴为 ，
可得出抛物线与x轴的另一个交点，再结合二次函数图象与一元二次方程的关系即可判断C；根据抛物线
与x轴的两个交点，即可利用图象法解不等式，由此可判断D．
解：由图象可知，抛物线开口向下，所以a＜0．对称轴为直线 ，所以b＞0，故A正确；
因为抛物线与x轴有两个交点，所以 ，故B正确；
由图象和对称轴公式可知，抛物线与x轴交于点（5，0）和（-1，0），所以方程 的解
是 ，故C正确；
由C选项结合图象可知，不等式 的解集是 ，故D错误．
故选D．
【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图象法确定不等式的
解集．熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
10．D
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到 ，利用抛物线与y轴
的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x=-1时有最小值可对②进行判断；由于二次函
数 与直线y=3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的另
一个交点为（-3，3），从而得到x=-3，x=1，则可对③进行判断．
1 2
解：∵抛物线开口向上，
∴ ，∵抛物线的对称轴为直线 ，即 ，
∴ ，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴ ，
∴ ，所以①正确；
∵ 时，y有最小值，
∴ （t为任意实数），即 ，所以②正确；
∵图象经过点 时，代入解析式可得 ，
方程 可化为 ，消a可得方程的两根为 ， ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴二次函数 与直线 的另一个交点为 ，
， 代入可得 ，
所以③正确．
综上所述，正确的个数是3．
故选D．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a
＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的
位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴
交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
11．9
【分析】根据抛物线与 轴只有一个交点，则判别式为0进行解答即可．
解：∵抛物线 与 轴只有一个交点，
∴
解得c=9．
故答案为：9．
【点拨】本题考查二次函数与x轴交点问题，解题关键是理解抛物线与x轴有两个交点，则判别式；抛物线与x轴有一个交点，则判别式 ；抛物线与x轴没有交点，则判别式 ．
12．2
【分析】求出∆的值，根据∆的值判断即可．
解：∵∆=4（k-1）2+8k=4k2+4>0，
∴抛物线与 轴有2个交点．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的
图象与x轴的交点横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根．当∆=0时，二次函数与x轴有一个交点，一元
二次方程有两个相等的实数根；当∆>0时，二次函数与x轴有两个交点，一元二次方程有两个不相等的实
数根；当∆<0时，二次函数与x轴没有交点，一元二次方程没有实数根．
13．m>3
【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题
意得到不等式m-3>0，据此即可求解．
解：∵y=x2+4x+m=（x+2）2+m-4，
此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），
函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即
（1，m-3），
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
∴m-3>0，
解得：m>3，
故答案为：m>3．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得
到新抛物线的顶点坐标．
14．
【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程 ，即 ，则抛
物线 与直线 交点的横坐标即为方程的解．
解：∵抛物线 与直线 的两个交点坐标分别为A（−2，4（，B（1，1（，由，可得 的解为： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数与一次函数交点问题，理解函数图象交点的横坐标即为方程的解是解题
的关键．
15．m＞9
解：∵抛物线 与x轴没有交点，
∴∆＜0，即 ，
解得 .
故答案为m＞9．
16．9
解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴当 时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．
又∵点A（m，n），B（m+6，n），
∴点A、B关于直线 对称．
∴A（ ，n），B（ ，n）．
将A点坐标代入抛物线解析式，得： ．
故答案为9
17． ．
解：∵所得函数的图象经过第一、三象限，∴ ，∴ ，∴3，0，﹣1，﹣2，﹣3中，3
和﹣3均不符合题意，
将m=0代入 中得， ，△=﹣4＜0，无实数根；
将 代入 中得， ， ，有实数根，但不是一元二次方程；将 代入 中得， ，△=4+4=8＞0，有实数根．
故m= ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查根的判别式；一次函数图象与系数的关系．
18．（3，0）．
【分析】根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，得出对称轴方程为x=1，再利用二次函数图像的
对称性解答即可．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，
∴对称轴x= =1；
点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），
因此它的图像与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．
故答案为：（3，0）．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数图像的对称性．
19．（1）m=1；（2）二次函数 的图象与x轴有两个交点，理由见分析．
【分析】（1）把P（2，4）代入y=x2+mx+m2−3即可求得m的值；
（2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案．
（1）解：∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P（2，4） ，
∴4=4+2m+m2−3，
即m2+2m−3=0，
解得：m=1，m=−3，
1 2
又∵m>0，
∴m=1；
（2）解：由（1）知二次函数y=x2+x−2，
∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0，
∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点．
【点拨】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出 的值是解题关键．
△
20．（1） ；（2）
【分析】（1）将点的坐标分别代入解析式即可求得a，b的值；（2）将（5， ），（m， ）代入解析式，联立 即可求得m的值.
解：（1）∵抛物线 经过点（1，-2），（-2，13），
∴ ，解得 ，
∴a的值为1，b的值为-4；
（2）∵（5， ），（m， ）是抛物线上不同的两点，
∴ ，解得 或 （舍去）
∴m的值为-1.
【点拨】本题主要考查二次函数性质，用待定系数法求二次函数，正确解出方程组求得未知数是解题
的关键.
21．（1） ；（2） ，45°；（3）P（ ， ）．
试题分析：（1）把A，C两点的坐标代入抛物线解析式求出即可；
（2）先求出B点坐标，求出直线BC的解析式，进而利用CO，BO的长求出∠ABC的度数；
（3）利用∠ACB=∠PAB，得到△ABP∽△CBA，由相似三角形的性质求出BP的长，进而得出P点坐标．
解：（1）将点A的坐标（﹣1，0），点C的坐标（0，﹣3）代入抛物线解析式得： ，
解得： ，
故抛物线解析式为： ；
（2）由（1）得： ，
解得：x=﹣1或x=3，故B点坐标为：（3，0），
设直线BC的解析式为： ，
则： ，解得： ，故直线BC的解析式为： ，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴BO=OC=3，
∴∠ABC=45°；
（3）过点P作PD⊥x轴于点D，
∵∠ACB=∠PAB，∠ABC=∠PBA，
∴△ABP∽△CBA，
∴ ，
∵BO=OC=3，
∴BC= ，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∴ ，解得：BP= ，由题意可得：PD∥OC，
∴DB=DP= ，
∴OD= = ，则P（ ， ）．
考点：1．二次函数综合题；2．相似三角形的判定与性质；3．综合题；4．压轴题．
22．（1）c＞（2）顺次经过三、二、一象限．因为：k＞0，b=1＞0
解：（1）因为抛物线与x轴没有交点，所以 即 ，解得 （2）因为 所以直线y=
x+1随x的增大而增大，因为b=1所以直线y= x+1经过第一、二、三象限
23．（1） ；（2）四边形 的面积为42．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求得 ，联立解方程 ，求得D点坐标，利用三角形面积公式求解即可．
（1）解：将点 ， 代入 得
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：令 ，则 ，
解得 或 ，
，
∴ ，
解方程 ，
整理得 ，
解得 或 ，
当 时， ，
∴四边形 的面积为 ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数图象的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
24．（1） ；（2） 的坐标 ， 的坐标 ；（3） 在抛物线上，理由见分析
【分析】（1）根据抛物线的顶点纵坐标为 ，运用待定系数法求解；
（2）由（1）得抛物线的解析式，因为 ， 的坐标在 轴上，所以纵坐标为 ，代入抛物线的解析
式，解一元二次方程可求得 ， 的坐标；
（3）由平行四边形知 ， 关于对角线交点对称，求得 的坐标，进而根据点 ，点 关于 轴的
对称得出 的坐标，进而即可得出结论．
（1）解：∵抛物线 其顶点纵坐标为
∴抛物线 ，
∴顶点坐标为： ，
∴
∴ ；
∴
（2）解：由（1）知，抛物线表达式为 ，
令 ，得 ．
解得： ．
∴ 的坐标 ， 的坐标 ；
（3）解：由 ，令 ，解得： ，
∴如图所示，连接 交 于点 ，连接 ，
∵四边形 是平行四边形，
∵ 的坐标 ， 的坐标 ；
∴对角线交点 的坐标为 ），抛物线的对称轴为直线 ，
∴点 ， 关于对角线交点 ）对称，
∵ ，则
又∵点 是点 关于 轴的对称点，
∴
当 时， ，
∴ 在抛物线上．
【点拨】此题主要考查了二次函数的综合应用以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出点
的坐标是解决问题的关键．
